Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  axccd2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axccd2 43700
Description: An alternative version of the axiom of countable choice. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
axccd2.1 (𝜑𝐴 ≼ ω)
axccd2.2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ≠ ∅)
Assertion
Ref Expression
axccd2 (𝜑 → ∃𝑓𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝑥)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑥   𝜑,𝑓,𝑥

Proof of Theorem axccd2
StepHypRef Expression
1 isfinite2 9284 . . . . 5 (𝐴 ≺ ω → 𝐴 ∈ Fin)
21adantl 482 . . . 4 ((𝜑𝐴 ≺ ω) → 𝐴 ∈ Fin)
3 simpr 485 . . . 4 (((𝜑𝐴 ≺ ω) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
4 axccd2.2 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ≠ ∅)
54adantlr 713 . . . 4 (((𝜑𝐴 ≺ ω) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ≠ ∅)
62, 3, 5choicefi 43670 . . 3 ((𝜑𝐴 ≺ ω) → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝑥))
7 simpr 485 . . . . 5 ((𝑓 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝑥) → ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝑥)
87a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝐴 ≺ ω) → ((𝑓 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝑥) → ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝑥))
98eximdv 1920 . . 3 ((𝜑𝐴 ≺ ω) → (∃𝑓(𝑓 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝑥) → ∃𝑓𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝑥))
106, 9mpd 15 . 2 ((𝜑𝐴 ≺ ω) → ∃𝑓𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝑥)
11 axccd2.1 . . . . 5 (𝜑𝐴 ≼ ω)
1211anim1i 615 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ≺ ω) → (𝐴 ≼ ω ∧ ¬ 𝐴 ≺ ω))
13 bren2 8962 . . . 4 (𝐴 ≈ ω ↔ (𝐴 ≼ ω ∧ ¬ 𝐴 ≺ ω))
1412, 13sylibr 233 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ≺ ω) → 𝐴 ≈ ω)
15 simpr 485 . . . 4 ((𝜑𝐴 ≈ ω) → 𝐴 ≈ ω)
164adantlr 713 . . . 4 (((𝜑𝐴 ≈ ω) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ≠ ∅)
1715, 16axccd 43699 . . 3 ((𝜑𝐴 ≈ ω) → ∃𝑓𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝑥)
1814, 17syldan 591 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ≺ ω) → ∃𝑓𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝑥)
1910, 18pm2.61dan 811 1 (𝜑 → ∃𝑓𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  wex 1781  wcel 2106  wne 2939  wral 3060  c0 4318   class class class wbr 5141   Fn wfn 6527  cfv 6532  ωcom 7838  cen 8919  cdom 8920  csdm 8921  Fincfn 8922
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cc 10412
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-ov 7396  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-er 8686  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926
This theorem is referenced by:  smflimlem6  45265  smfpimcc  45297
  Copyright terms: Public domain W3C validator