Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  axccd2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axccd2 42442
Description: An alternative version of the axiom of countable choice. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
axccd2.1 (𝜑𝐴 ≼ ω)
axccd2.2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ≠ ∅)
Assertion
Ref Expression
axccd2 (𝜑 → ∃𝑓𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝑥)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑥   𝜑,𝑓,𝑥

Proof of Theorem axccd2
StepHypRef Expression
1 isfinite2 8929 . . . . 5 (𝐴 ≺ ω → 𝐴 ∈ Fin)
21adantl 485 . . . 4 ((𝜑𝐴 ≺ ω) → 𝐴 ∈ Fin)
3 simpr 488 . . . 4 (((𝜑𝐴 ≺ ω) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
4 axccd2.2 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ≠ ∅)
54adantlr 715 . . . 4 (((𝜑𝐴 ≺ ω) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ≠ ∅)
62, 3, 5choicefi 42413 . . 3 ((𝜑𝐴 ≺ ω) → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝑥))
7 simpr 488 . . . . 5 ((𝑓 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝑥) → ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝑥)
87a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝐴 ≺ ω) → ((𝑓 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝑥) → ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝑥))
98eximdv 1925 . . 3 ((𝜑𝐴 ≺ ω) → (∃𝑓(𝑓 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝑥) → ∃𝑓𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝑥))
106, 9mpd 15 . 2 ((𝜑𝐴 ≺ ω) → ∃𝑓𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝑥)
11 axccd2.1 . . . . 5 (𝜑𝐴 ≼ ω)
1211anim1i 618 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ≺ ω) → (𝐴 ≼ ω ∧ ¬ 𝐴 ≺ ω))
13 bren2 8659 . . . 4 (𝐴 ≈ ω ↔ (𝐴 ≼ ω ∧ ¬ 𝐴 ≺ ω))
1412, 13sylibr 237 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ≺ ω) → 𝐴 ≈ ω)
15 simpr 488 . . . 4 ((𝜑𝐴 ≈ ω) → 𝐴 ≈ ω)
164adantlr 715 . . . 4 (((𝜑𝐴 ≈ ω) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ≠ ∅)
1715, 16axccd 42441 . . 3 ((𝜑𝐴 ≈ ω) → ∃𝑓𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝑥)
1814, 17syldan 594 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ≺ ω) → ∃𝑓𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝑥)
1910, 18pm2.61dan 813 1 (𝜑 → ∃𝑓𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399  wex 1787  wcel 2110  wne 2940  wral 3061  c0 4237   class class class wbr 5053   Fn wfn 6375  cfv 6380  ωcom 7644  cen 8623  cdom 8624  csdm 8625  Fincfn 8626
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cc 10049
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630
This theorem is referenced by:  smflimlem6  43983  smfpimcc  44013
  Copyright terms: Public domain W3C validator