Theorem axccd2 45235

Description: An alternative version of the axiom of countable choice. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
axccd2.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≼ ω)
axccd2.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≠ ∅)

Assertion

Ref	Expression
axccd2	⊢ (𝜑 → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑥   𝜑,𝑓,𝑥

Proof of Theorem axccd2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfinite2 9334	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≺ ω → 𝐴 ∈ Fin)
2	1	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≺ ω) → 𝐴 ∈ Fin)
3		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≺ ω) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
4		axccd2.2	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≠ ∅)
5	4	adantlr 715	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≺ ω) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≠ ∅)
6	2, 3, 5	choicefi 45205	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≺ ω) → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥))
7		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥)
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≺ ω) → ((𝑓 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥))
9	8	eximdv 1917	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≺ ω) → (∃𝑓(𝑓 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥) → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥))
10	6, 9	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≺ ω) → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥)
11		axccd2.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≼ ω)
12	11	anim1i 615	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ≺ ω) → (𝐴 ≼ ω ∧ ¬ 𝐴 ≺ ω))
13		bren2 9023	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ ω ↔ (𝐴 ≼ ω ∧ ¬ 𝐴 ≺ ω))
14	12, 13	sylibr 234	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ≺ ω) → 𝐴 ≈ ω)
15		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≈ ω) → 𝐴 ≈ ω)
16	4	adantlr 715	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≈ ω) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≠ ∅)
17	15, 16	axccd 45234	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≈ ω) → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥)
18	14, 17	syldan 591	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ≺ ω) → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥)
19	10, 18	pm2.61dan 813	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395  ∃wex 1779   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  ∅c0 4333   class class class wbr 5143   Fn wfn 6556  ‘cfv 6561  ωcom 7887   ≈ cen 8982   ≼ cdom 8983   ≺ csdm 8984  Fincfn 8985

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cc 10475

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989

This theorem is referenced by:  smflimlem6  46791  smfpimcc  46823