Theorem axccd2 45173

Description: An alternative version of the axiom of countable choice. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
axccd2.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≼ ω)
axccd2.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≠ ∅)

Assertion

Ref	Expression
axccd2	⊢ (𝜑 → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑥   𝜑,𝑓,𝑥

Proof of Theorem axccd2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfinite2 9332	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≺ ω → 𝐴 ∈ Fin)
2	1	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≺ ω) → 𝐴 ∈ Fin)
3		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≺ ω) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
4		axccd2.2	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≠ ∅)
5	4	adantlr 715	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≺ ω) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≠ ∅)
6	2, 3, 5	choicefi 45143	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≺ ω) → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥))
7		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥)
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≺ ω) → ((𝑓 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥))
9	8	eximdv 1915	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≺ ω) → (∃𝑓(𝑓 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥) → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥))
10	6, 9	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≺ ω) → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥)
11		axccd2.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≼ ω)
12	11	anim1i 615	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ≺ ω) → (𝐴 ≼ ω ∧ ¬ 𝐴 ≺ ω))
13		bren2 9022	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ ω ↔ (𝐴 ≼ ω ∧ ¬ 𝐴 ≺ ω))
14	12, 13	sylibr 234	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ≺ ω) → 𝐴 ≈ ω)
15		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≈ ω) → 𝐴 ≈ ω)
16	4	adantlr 715	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≈ ω) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≠ ∅)
17	15, 16	axccd 45172	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≈ ω) → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥)
18	14, 17	syldan 591	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ≺ ω) → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥)
19	10, 18	pm2.61dan 813	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395  ∃wex 1776   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ∀wral 3059  ∅c0 4339   class class class wbr 5148   Fn wfn 6558  ‘cfv 6563  ωcom 7887   ≈ cen 8981   ≼ cdom 8982   ≺ csdm 8983  Fincfn 8984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cc 10473

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988

This theorem is referenced by:  smflimlem6  46732  smfpimcc  46764