Theorem axccd2 46061

Description: An alternative version of the axiom of countable choice. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
axccd2.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≼ ω)
axccd2.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≠ ∅)

Assertion

Ref	Expression
axccd2	⊢ (𝜑 → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑥   𝜑,𝑓,𝑥

Proof of Theorem axccd2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfinite2 9271	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≺ ω → 𝐴 ∈ Fin)
2	1	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≺ ω) → 𝐴 ∈ Fin)
3		simpr 490	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≺ ω) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
4		axccd2.2	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≠ ∅)
5	4	adantlr 728	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≺ ω) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≠ ∅)
6	2, 3, 5	choicefi 46033	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≺ ω) → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥))
7		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥)
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≺ ω) → ((𝑓 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥))
9	8	eximdv 1950	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≺ ω) → (∃𝑓(𝑓 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥) → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥))
10	6, 9	mpd 16	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≺ ω) → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥)
11		axccd2.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≼ ω)
12	11	anim1i 627	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ≺ ω) → (𝐴 ≼ ω ∧ ¬ 𝐴 ≺ ω))
13		bren2 8992	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ ω ↔ (𝐴 ≼ ω ∧ ¬ 𝐴 ≺ ω))
14	12, 13	sylibr 237	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ≺ ω) → 𝐴 ≈ ω)
15		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≈ ω) → 𝐴 ≈ ω)
16	4	adantlr 728	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≈ ω) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≠ ∅)
17	15, 16	axccd 46060	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≈ ω) → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥)
18	14, 17	syldan 603	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ≺ ω) → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥)
19	10, 18	pm2.61dan 825	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ∀wral 3078  ∅c0 4282   class class class wbr 5107   Fn wfn 6532  ‘cfv 6537  ωcom 7865   ≈ cen 8952   ≼ cdom 8953   ≺ csdm 8954  Fincfn 8955

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cc 10440

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7419  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959

This theorem is used by:  smflimlem6  47606  smfpimcc  47638