Theorem axccd2 42722

Description: An alternative version of the axiom of countable choice. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
axccd2.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≼ ω)
axccd2.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≠ ∅)

Assertion

Ref	Expression
axccd2	⊢ (𝜑 → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑥   𝜑,𝑓,𝑥

Proof of Theorem axccd2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfinite2 9033	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≺ ω → 𝐴 ∈ Fin)
2	1	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≺ ω) → 𝐴 ∈ Fin)
3		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≺ ω) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
4		axccd2.2	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≠ ∅)
5	4	adantlr 711	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≺ ω) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≠ ∅)
6	2, 3, 5	choicefi 42693	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≺ ω) → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥))
7		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥)
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≺ ω) → ((𝑓 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥))
9	8	eximdv 1923	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≺ ω) → (∃𝑓(𝑓 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥) → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥))
10	6, 9	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≺ ω) → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥)
11		axccd2.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≼ ω)
12	11	anim1i 614	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ≺ ω) → (𝐴 ≼ ω ∧ ¬ 𝐴 ≺ ω))
13		bren2 8742	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ ω ↔ (𝐴 ≼ ω ∧ ¬ 𝐴 ≺ ω))
14	12, 13	sylibr 233	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ≺ ω) → 𝐴 ≈ ω)
15		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≈ ω) → 𝐴 ≈ ω)
16	4	adantlr 711	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≈ ω) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≠ ∅)
17	15, 16	axccd 42721	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≈ ω) → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥)
18	14, 17	syldan 590	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ≺ ω) → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥)
19	10, 18	pm2.61dan 809	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395  ∃wex 1785   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2944  ∀wral 3065  ∅c0 4261   class class class wbr 5078   Fn wfn 6425  ‘cfv 6430  ωcom 7700   ≈ cen 8704   ≼ cdom 8705   ≺ csdm 8706  Fincfn 8707

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cc 10175

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-int 4885  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-ov 7271  df-om 7701  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-1o 8281  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-fin 8711

This theorem is referenced by:  smflimlem6  44262  smfpimcc  44292