Theorem axccd2 45137

Description: An alternative version of the axiom of countable choice. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
axccd2.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≼ ω)
axccd2.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≠ ∅)

Assertion

Ref	Expression
axccd2	⊢ (𝜑 → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑥   𝜑,𝑓,𝑥

Proof of Theorem axccd2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfinite2 9362	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≺ ω → 𝐴 ∈ Fin)
2	1	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≺ ω) → 𝐴 ∈ Fin)
3		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≺ ω) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
4		axccd2.2	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≠ ∅)
5	4	adantlr 714	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≺ ω) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≠ ∅)
6	2, 3, 5	choicefi 45107	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≺ ω) → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥))
7		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥)
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≺ ω) → ((𝑓 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥))
9	8	eximdv 1916	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≺ ω) → (∃𝑓(𝑓 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥) → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥))
10	6, 9	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≺ ω) → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥)
11		axccd2.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≼ ω)
12	11	anim1i 614	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ≺ ω) → (𝐴 ≼ ω ∧ ¬ 𝐴 ≺ ω))
13		bren2 9043	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ ω ↔ (𝐴 ≼ ω ∧ ¬ 𝐴 ≺ ω))
14	12, 13	sylibr 234	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ≺ ω) → 𝐴 ≈ ω)
15		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≈ ω) → 𝐴 ≈ ω)
16	4	adantlr 714	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≈ ω) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≠ ∅)
17	15, 16	axccd 45136	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≈ ω) → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥)
18	14, 17	syldan 590	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ≺ ω) → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥)
19	10, 18	pm2.61dan 812	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395  ∃wex 1777   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∀wral 3067  ∅c0 4352   class class class wbr 5166   Fn wfn 6568  ‘cfv 6573  ωcom 7903   ≈ cen 9000   ≼ cdom 9001   ≺ csdm 9002  Fincfn 9003

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cc 10504

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007

This theorem is referenced by:  smflimlem6  46697  smfpimcc  46729