MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axtgcont1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axtgcont1 27459
Description: Axiom of Continuity. Axiom A11 of [Schwabhauser] p. 13. This axiom (scheme) asserts that any two sets 𝑆 and 𝑇 (of points) such that the elements of 𝑆 precede the elements of 𝑇 with respect to some point π‘Ž (that is, π‘₯ is between π‘Ž and 𝑦 whenever π‘₯ is in 𝑋 and 𝑦 is in π‘Œ) are separated by some point 𝑏; this is explained in Axiom 11 of [Tarski1999] p. 185. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
axtrkg.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
axtrkg.d βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
axtrkg.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
axtrkg.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
axtgcont.1 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† 𝑃)
axtgcont.2 (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† 𝑃)
Assertion
Ref Expression
axtgcont1 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑃 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑇 π‘₯ ∈ (π‘ŽπΌπ‘¦) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑇 𝑏 ∈ (π‘₯𝐼𝑦)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦   π‘Ž,𝑏,π‘₯,𝑦,𝐼   𝑃,π‘Ž,𝑏,π‘₯,𝑦   𝑆,π‘Ž,𝑏,π‘₯   𝑇,π‘Ž,𝑏,π‘₯,𝑦   βˆ’ ,π‘Ž,𝑏,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑦,π‘Ž,𝑏)   𝑆(𝑦)   𝐺(π‘₯,𝑦,π‘Ž,𝑏)

Proof of Theorem axtgcont1
Dummy variables 𝑓 𝑖 𝑝 𝑧 𝑣 𝑠 𝑑 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-trkg 27444 . . . . 5 TarskiG = ((TarskiGC ∩ TarskiGB) ∩ (TarskiGCB ∩ {𝑓 ∣ [(Baseβ€˜π‘“) / 𝑝][(Itvβ€˜π‘“) / 𝑖](LineGβ€˜π‘“) = (π‘₯ ∈ 𝑝, 𝑦 ∈ (𝑝 βˆ– {π‘₯}) ↦ {𝑧 ∈ 𝑝 ∣ (𝑧 ∈ (π‘₯𝑖𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝑖𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝑖𝑧))})}))
2 inss1 4192 . . . . . 6 ((TarskiGC ∩ TarskiGB) ∩ (TarskiGCB ∩ {𝑓 ∣ [(Baseβ€˜π‘“) / 𝑝][(Itvβ€˜π‘“) / 𝑖](LineGβ€˜π‘“) = (π‘₯ ∈ 𝑝, 𝑦 ∈ (𝑝 βˆ– {π‘₯}) ↦ {𝑧 ∈ 𝑝 ∣ (𝑧 ∈ (π‘₯𝑖𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝑖𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝑖𝑧))})})) βŠ† (TarskiGC ∩ TarskiGB)
3 inss2 4193 . . . . . 6 (TarskiGC ∩ TarskiGB) βŠ† TarskiGB
42, 3sstri 3957 . . . . 5 ((TarskiGC ∩ TarskiGB) ∩ (TarskiGCB ∩ {𝑓 ∣ [(Baseβ€˜π‘“) / 𝑝][(Itvβ€˜π‘“) / 𝑖](LineGβ€˜π‘“) = (π‘₯ ∈ 𝑝, 𝑦 ∈ (𝑝 βˆ– {π‘₯}) ↦ {𝑧 ∈ 𝑝 ∣ (𝑧 ∈ (π‘₯𝑖𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝑖𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝑖𝑧))})})) βŠ† TarskiGB
51, 4eqsstri 3982 . . . 4 TarskiG βŠ† TarskiGB
6 axtrkg.g . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
75, 6sselid 3946 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiGB)
8 axtrkg.p . . . . . 6 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
9 axtrkg.d . . . . . 6 βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
10 axtrkg.i . . . . . 6 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
118, 9, 10istrkgb 27446 . . . . 5 (𝐺 ∈ TarskiGB ↔ (𝐺 ∈ V ∧ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (π‘₯𝐼π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑃 βˆ€π‘§ ∈ 𝑃 βˆ€π‘’ ∈ 𝑃 βˆ€π‘£ ∈ 𝑃 ((𝑒 ∈ (π‘₯𝐼𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐼𝑧)) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑃 (π‘Ž ∈ (𝑒𝐼𝑦) ∧ π‘Ž ∈ (𝑣𝐼π‘₯))) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π‘ƒβˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝑃(βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑃 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑑 π‘₯ ∈ (π‘ŽπΌπ‘¦) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑑 𝑏 ∈ (π‘₯𝐼𝑦)))))
1211simprbi 498 . . . 4 (𝐺 ∈ TarskiGB β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (π‘₯𝐼π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑃 βˆ€π‘§ ∈ 𝑃 βˆ€π‘’ ∈ 𝑃 βˆ€π‘£ ∈ 𝑃 ((𝑒 ∈ (π‘₯𝐼𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐼𝑧)) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑃 (π‘Ž ∈ (𝑒𝐼𝑦) ∧ π‘Ž ∈ (𝑣𝐼π‘₯))) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π‘ƒβˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝑃(βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑃 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑑 π‘₯ ∈ (π‘ŽπΌπ‘¦) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑑 𝑏 ∈ (π‘₯𝐼𝑦))))
1312simp3d 1145 . . 3 (𝐺 ∈ TarskiGB β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π‘ƒβˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝑃(βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑃 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑑 π‘₯ ∈ (π‘ŽπΌπ‘¦) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑑 𝑏 ∈ (π‘₯𝐼𝑦)))
147, 13syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π‘ƒβˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝑃(βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑃 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑑 π‘₯ ∈ (π‘ŽπΌπ‘¦) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑑 𝑏 ∈ (π‘₯𝐼𝑦)))
15 axtgcont.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† 𝑃)
168fvexi 6860 . . . . . 6 𝑃 ∈ V
1716ssex 5282 . . . . 5 (𝑆 βŠ† 𝑃 β†’ 𝑆 ∈ V)
18 elpwg 4567 . . . . 5 (𝑆 ∈ V β†’ (𝑆 ∈ 𝒫 𝑃 ↔ 𝑆 βŠ† 𝑃))
1915, 17, 183syl 18 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑆 ∈ 𝒫 𝑃 ↔ 𝑆 βŠ† 𝑃))
2015, 19mpbird 257 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝒫 𝑃)
21 axtgcont.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† 𝑃)
2216ssex 5282 . . . . 5 (𝑇 βŠ† 𝑃 β†’ 𝑇 ∈ V)
23 elpwg 4567 . . . . 5 (𝑇 ∈ V β†’ (𝑇 ∈ 𝒫 𝑃 ↔ 𝑇 βŠ† 𝑃))
2421, 22, 233syl 18 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑇 ∈ 𝒫 𝑃 ↔ 𝑇 βŠ† 𝑃))
2521, 24mpbird 257 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝒫 𝑃)
26 raleq 3308 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑆 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑑 π‘₯ ∈ (π‘ŽπΌπ‘¦) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑑 π‘₯ ∈ (π‘ŽπΌπ‘¦)))
2726rexbidv 3172 . . . . 5 (𝑠 = 𝑆 β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑃 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑑 π‘₯ ∈ (π‘ŽπΌπ‘¦) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑃 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑑 π‘₯ ∈ (π‘ŽπΌπ‘¦)))
28 raleq 3308 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑆 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑑 𝑏 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑑 𝑏 ∈ (π‘₯𝐼𝑦)))
2928rexbidv 3172 . . . . 5 (𝑠 = 𝑆 β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑑 𝑏 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑑 𝑏 ∈ (π‘₯𝐼𝑦)))
3027, 29imbi12d 345 . . . 4 (𝑠 = 𝑆 β†’ ((βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑃 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑑 π‘₯ ∈ (π‘ŽπΌπ‘¦) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑑 𝑏 ∈ (π‘₯𝐼𝑦)) ↔ (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑃 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑑 π‘₯ ∈ (π‘ŽπΌπ‘¦) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑑 𝑏 ∈ (π‘₯𝐼𝑦))))
31 raleq 3308 . . . . . 6 (𝑑 = 𝑇 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑑 π‘₯ ∈ (π‘ŽπΌπ‘¦) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑇 π‘₯ ∈ (π‘ŽπΌπ‘¦)))
3231rexralbidv 3211 . . . . 5 (𝑑 = 𝑇 β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑃 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑑 π‘₯ ∈ (π‘ŽπΌπ‘¦) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑃 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑇 π‘₯ ∈ (π‘ŽπΌπ‘¦)))
33 raleq 3308 . . . . . 6 (𝑑 = 𝑇 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑑 𝑏 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑇 𝑏 ∈ (π‘₯𝐼𝑦)))
3433rexralbidv 3211 . . . . 5 (𝑑 = 𝑇 β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑑 𝑏 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑇 𝑏 ∈ (π‘₯𝐼𝑦)))
3532, 34imbi12d 345 . . . 4 (𝑑 = 𝑇 β†’ ((βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑃 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑑 π‘₯ ∈ (π‘ŽπΌπ‘¦) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑑 𝑏 ∈ (π‘₯𝐼𝑦)) ↔ (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑃 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑇 π‘₯ ∈ (π‘ŽπΌπ‘¦) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑇 𝑏 ∈ (π‘₯𝐼𝑦))))
3630, 35rspc2v 3592 . . 3 ((𝑆 ∈ 𝒫 𝑃 ∧ 𝑇 ∈ 𝒫 𝑃) β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π‘ƒβˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝑃(βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑃 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑑 π‘₯ ∈ (π‘ŽπΌπ‘¦) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑑 𝑏 ∈ (π‘₯𝐼𝑦)) β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑃 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑇 π‘₯ ∈ (π‘ŽπΌπ‘¦) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑇 𝑏 ∈ (π‘₯𝐼𝑦))))
3720, 25, 36syl2anc 585 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π‘ƒβˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝑃(βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑃 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑑 π‘₯ ∈ (π‘ŽπΌπ‘¦) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑑 𝑏 ∈ (π‘₯𝐼𝑦)) β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑃 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑇 π‘₯ ∈ (π‘ŽπΌπ‘¦) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑇 𝑏 ∈ (π‘₯𝐼𝑦))))
3814, 37mpd 15 1 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑃 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑇 π‘₯ ∈ (π‘ŽπΌπ‘¦) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑇 𝑏 ∈ (π‘₯𝐼𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ w3o 1087   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {cab 2710  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {crab 3406  Vcvv 3447  [wsbc 3743   βˆ– cdif 3911   ∩ cin 3913   βŠ† wss 3914  π’« cpw 4564  {csn 4590  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   ∈ cmpo 7363  Basecbs 17091  distcds 17150  TarskiGcstrkg 27418  TarskiGCcstrkgc 27419  TarskiGBcstrkgb 27420  TarskiGCBcstrkgcb 27421  Itvcitv 27424  LineGclng 27425
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-iota 6452  df-fv 6508  df-ov 7364  df-trkgb 27440  df-trkg 27444
This theorem is referenced by:  axtgcont  27460
  Copyright terms: Public domain W3C validator