Theorem ssex 5189

Description: The subset of a set is also a set. Exercise 3 of [TakeutiZaring] p. 22. This is one way to express the Axiom of Separation ax-sep 5167 (a.k.a. Subset Axiom). (Contributed by NM, 27-Apr-1994.)

Hypothesis

Ref	Expression
ssex.1	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ssex	⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)

Proof of Theorem ssex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ss 3898	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴)
2		ssex.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
3	2	inex2 5186	. . 3 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ V
4		eleq1 2877	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴 → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∈ V ↔ 𝐴 ∈ V))
5	3, 4	mpbii 236	. 2 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
6	1, 5	sylbi 220	1 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441   ∩ cin 3880   ⊆ wss 3881

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2770  ax-sep 5167

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-tru 1541  df-ex 1782  df-sb 2070  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-rab 3115  df-v 3443  df-in 3888  df-ss 3898

This theorem is referenced by:  ssexi  5190  ssexg  5191  intex  5204  moabex  5316  ixpiunwdom  9038  omex  9090  tcss  9170  bndrank  9254  scottex  9298  aceq3lem  9531  cfslb  9677  dcomex  9858  axdc2lem  9859  grothpw  10237  grothpwex  10238  grothomex  10240  elnp  10398  negfi  11577  hashfacen  13808  limsuple  14827  limsuplt  14828  limsupbnd1  14831  o1add2  14972  o1mul2  14973  o1sub2  14974  o1dif  14978  caucvgrlem  15021  fsumo1  15159  lcmfval  15955  lcmf0val  15956  unbenlem  16234  ressbas2  16547  prdsval  16720  prdsbas  16722  rescbas  17091  reschom  17092  rescco  17094  acsmapd  17780  issstrmgm  17855  issubmnd  17930  eqgfval  18320  dfod2  18683  ablfac1b  19185  islinds2  20502  pmatcollpw3lem  21388  2basgen  21595  prdstopn  22233  ressust  22870  rectbntr0  23437  elcncf  23494  cncfcnvcn  23530  cmssmscld  23954  cmsss  23955  ovolctb2  24096  limcfval  24475  ellimc2  24480  limcflf  24484  limcres  24489  limcun  24498  dvfval  24500  lhop2  24618  taylfval  24954  ulmval  24975  xrlimcnp  25554  axtgcont1  26262  fpwrelmap  30495  ressnm  30664  ressprs  30668  ordtrestNEW  31274  ddeval1  31603  ddeval0  31604  carsgclctunlem3  31688  bnj849  32307  msrval  32898  mclsval  32923  brsset  33463  isfne4  33801  refssfne  33819  topjoin  33826  bj-snglex  34409  mblfinlem3  35096  filbcmb  35178  cnpwstotbnd  35235  ismtyval  35238  ispsubsp  37041  ispsubclN  37233  isnumbasgrplem2  40048  rtrclex  40317  brmptiunrelexpd  40384  iunrelexp0  40403  mulcncff  42512  subcncff  42522  addcncff  42526  cncfuni  42528  divcncff  42533  etransclem1  42877  etransclem4  42880  etransclem13  42889  isvonmbl  43277  issubmgm2  44410  linccl  44823  ellcoellss  44844  elbigolo1  44971