MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  istrkgb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem istrkgb 28279
Description: Property of being a Tarski geometry - betweenness part. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
istrkg.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
istrkg.d βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
istrkg.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
istrkgb (𝐺 ∈ TarskiGB ↔ (𝐺 ∈ V ∧ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (π‘₯𝐼π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑃 βˆ€π‘§ ∈ 𝑃 βˆ€π‘’ ∈ 𝑃 βˆ€π‘£ ∈ 𝑃 ((𝑒 ∈ (π‘₯𝐼𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐼𝑧)) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑃 (π‘Ž ∈ (𝑒𝐼𝑦) ∧ π‘Ž ∈ (𝑣𝐼π‘₯))) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π‘ƒβˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝑃(βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑃 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑑 π‘₯ ∈ (π‘ŽπΌπ‘¦) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑑 𝑏 ∈ (π‘₯𝐼𝑦)))))
Distinct variable groups:   π‘Ž,𝑏,𝑠,𝑑,𝑒,𝑣,π‘₯,𝑦,𝑧,𝐼   𝑃,π‘Ž,𝑏,𝑠,𝑑,𝑒,𝑣,π‘₯,𝑦,𝑧   βˆ’ ,π‘Ž,𝑏,𝑒,𝑣,π‘₯,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐺(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑣,𝑒,𝑑,𝑠,π‘Ž,𝑏)   βˆ’ (𝑑,𝑠)

Proof of Theorem istrkgb
Dummy variables 𝑓 𝑖 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 istrkg.p . . 3 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
2 istrkg.i . . 3 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
3 simpl 481 . . . . 5 ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) β†’ 𝑝 = 𝑃)
4 simpr 483 . . . . . . . . 9 ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) β†’ 𝑖 = 𝐼)
54oveqd 7443 . . . . . . . 8 ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) β†’ (π‘₯𝑖π‘₯) = (π‘₯𝐼π‘₯))
65eleq2d 2815 . . . . . . 7 ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) β†’ (𝑦 ∈ (π‘₯𝑖π‘₯) ↔ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼π‘₯)))
76imbi1d 340 . . . . . 6 ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) β†’ ((𝑦 ∈ (π‘₯𝑖π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ↔ (𝑦 ∈ (π‘₯𝐼π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦)))
83, 7raleqbidv 3340 . . . . 5 ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑝 (𝑦 ∈ (π‘₯𝑖π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (π‘₯𝐼π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦)))
93, 8raleqbidv 3340 . . . 4 ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑝 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑝 (𝑦 ∈ (π‘₯𝑖π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (π‘₯𝐼π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦)))
104oveqd 7443 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) β†’ (π‘₯𝑖𝑧) = (π‘₯𝐼𝑧))
1110eleq2d 2815 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) β†’ (𝑒 ∈ (π‘₯𝑖𝑧) ↔ 𝑒 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))
124oveqd 7443 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) β†’ (𝑦𝑖𝑧) = (𝑦𝐼𝑧))
1312eleq2d 2815 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) β†’ (𝑣 ∈ (𝑦𝑖𝑧) ↔ 𝑣 ∈ (𝑦𝐼𝑧)))
1411, 13anbi12d 630 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) β†’ ((𝑒 ∈ (π‘₯𝑖𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝑖𝑧)) ↔ (𝑒 ∈ (π‘₯𝐼𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐼𝑧))))
154oveqd 7443 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) β†’ (𝑒𝑖𝑦) = (𝑒𝐼𝑦))
1615eleq2d 2815 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) β†’ (π‘Ž ∈ (𝑒𝑖𝑦) ↔ π‘Ž ∈ (𝑒𝐼𝑦)))
174oveqd 7443 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) β†’ (𝑣𝑖π‘₯) = (𝑣𝐼π‘₯))
1817eleq2d 2815 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) β†’ (π‘Ž ∈ (𝑣𝑖π‘₯) ↔ π‘Ž ∈ (𝑣𝐼π‘₯)))
1916, 18anbi12d 630 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) β†’ ((π‘Ž ∈ (𝑒𝑖𝑦) ∧ π‘Ž ∈ (𝑣𝑖π‘₯)) ↔ (π‘Ž ∈ (𝑒𝐼𝑦) ∧ π‘Ž ∈ (𝑣𝐼π‘₯))))
203, 19rexeqbidv 3341 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑝 (π‘Ž ∈ (𝑒𝑖𝑦) ∧ π‘Ž ∈ (𝑣𝑖π‘₯)) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑃 (π‘Ž ∈ (𝑒𝐼𝑦) ∧ π‘Ž ∈ (𝑣𝐼π‘₯))))
2114, 20imbi12d 343 . . . . . . . . 9 ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) β†’ (((𝑒 ∈ (π‘₯𝑖𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝑖𝑧)) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑝 (π‘Ž ∈ (𝑒𝑖𝑦) ∧ π‘Ž ∈ (𝑣𝑖π‘₯))) ↔ ((𝑒 ∈ (π‘₯𝐼𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐼𝑧)) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑃 (π‘Ž ∈ (𝑒𝐼𝑦) ∧ π‘Ž ∈ (𝑣𝐼π‘₯)))))
223, 21raleqbidv 3340 . . . . . . . 8 ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑝 ((𝑒 ∈ (π‘₯𝑖𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝑖𝑧)) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑝 (π‘Ž ∈ (𝑒𝑖𝑦) ∧ π‘Ž ∈ (𝑣𝑖π‘₯))) ↔ βˆ€π‘£ ∈ 𝑃 ((𝑒 ∈ (π‘₯𝐼𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐼𝑧)) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑃 (π‘Ž ∈ (𝑒𝐼𝑦) ∧ π‘Ž ∈ (𝑣𝐼π‘₯)))))
233, 22raleqbidv 3340 . . . . . . 7 ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ 𝑝 βˆ€π‘£ ∈ 𝑝 ((𝑒 ∈ (π‘₯𝑖𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝑖𝑧)) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑝 (π‘Ž ∈ (𝑒𝑖𝑦) ∧ π‘Ž ∈ (𝑣𝑖π‘₯))) ↔ βˆ€π‘’ ∈ 𝑃 βˆ€π‘£ ∈ 𝑃 ((𝑒 ∈ (π‘₯𝐼𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐼𝑧)) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑃 (π‘Ž ∈ (𝑒𝐼𝑦) ∧ π‘Ž ∈ (𝑣𝐼π‘₯)))))
243, 23raleqbidv 3340 . . . . . 6 ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑝 βˆ€π‘’ ∈ 𝑝 βˆ€π‘£ ∈ 𝑝 ((𝑒 ∈ (π‘₯𝑖𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝑖𝑧)) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑝 (π‘Ž ∈ (𝑒𝑖𝑦) ∧ π‘Ž ∈ (𝑣𝑖π‘₯))) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑃 βˆ€π‘’ ∈ 𝑃 βˆ€π‘£ ∈ 𝑃 ((𝑒 ∈ (π‘₯𝐼𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐼𝑧)) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑃 (π‘Ž ∈ (𝑒𝐼𝑦) ∧ π‘Ž ∈ (𝑣𝐼π‘₯)))))
253, 24raleqbidv 3340 . . . . 5 ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑝 βˆ€π‘§ ∈ 𝑝 βˆ€π‘’ ∈ 𝑝 βˆ€π‘£ ∈ 𝑝 ((𝑒 ∈ (π‘₯𝑖𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝑖𝑧)) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑝 (π‘Ž ∈ (𝑒𝑖𝑦) ∧ π‘Ž ∈ (𝑣𝑖π‘₯))) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑃 βˆ€π‘§ ∈ 𝑃 βˆ€π‘’ ∈ 𝑃 βˆ€π‘£ ∈ 𝑃 ((𝑒 ∈ (π‘₯𝐼𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐼𝑧)) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑃 (π‘Ž ∈ (𝑒𝐼𝑦) ∧ π‘Ž ∈ (𝑣𝐼π‘₯)))))
263, 25raleqbidv 3340 . . . 4 ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑝 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑝 βˆ€π‘§ ∈ 𝑝 βˆ€π‘’ ∈ 𝑝 βˆ€π‘£ ∈ 𝑝 ((𝑒 ∈ (π‘₯𝑖𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝑖𝑧)) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑝 (π‘Ž ∈ (𝑒𝑖𝑦) ∧ π‘Ž ∈ (𝑣𝑖π‘₯))) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑃 βˆ€π‘§ ∈ 𝑃 βˆ€π‘’ ∈ 𝑃 βˆ€π‘£ ∈ 𝑃 ((𝑒 ∈ (π‘₯𝐼𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐼𝑧)) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑃 (π‘Ž ∈ (𝑒𝐼𝑦) ∧ π‘Ž ∈ (𝑣𝐼π‘₯)))))
273pweqd 4623 . . . . 5 ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) β†’ 𝒫 𝑝 = 𝒫 𝑃)
284oveqd 7443 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) β†’ (π‘Žπ‘–π‘¦) = (π‘ŽπΌπ‘¦))
2928eleq2d 2815 . . . . . . . . 9 ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) β†’ (π‘₯ ∈ (π‘Žπ‘–π‘¦) ↔ π‘₯ ∈ (π‘ŽπΌπ‘¦)))
30292ralbidv 3216 . . . . . . . 8 ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑑 π‘₯ ∈ (π‘Žπ‘–π‘¦) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑑 π‘₯ ∈ (π‘ŽπΌπ‘¦)))
313, 30rexeqbidv 3341 . . . . . . 7 ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑝 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑑 π‘₯ ∈ (π‘Žπ‘–π‘¦) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑃 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑑 π‘₯ ∈ (π‘ŽπΌπ‘¦)))
324oveqd 7443 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) β†’ (π‘₯𝑖𝑦) = (π‘₯𝐼𝑦))
3332eleq2d 2815 . . . . . . . . 9 ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) β†’ (𝑏 ∈ (π‘₯𝑖𝑦) ↔ 𝑏 ∈ (π‘₯𝐼𝑦)))
34332ralbidv 3216 . . . . . . . 8 ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑑 𝑏 ∈ (π‘₯𝑖𝑦) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑑 𝑏 ∈ (π‘₯𝐼𝑦)))
353, 34rexeqbidv 3341 . . . . . . 7 ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝑝 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑑 𝑏 ∈ (π‘₯𝑖𝑦) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑑 𝑏 ∈ (π‘₯𝐼𝑦)))
3631, 35imbi12d 343 . . . . . 6 ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) β†’ ((βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑝 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑑 π‘₯ ∈ (π‘Žπ‘–π‘¦) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑝 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑑 𝑏 ∈ (π‘₯𝑖𝑦)) ↔ (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑃 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑑 π‘₯ ∈ (π‘ŽπΌπ‘¦) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑑 𝑏 ∈ (π‘₯𝐼𝑦))))
3727, 36raleqbidv 3340 . . . . 5 ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝑝(βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑝 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑑 π‘₯ ∈ (π‘Žπ‘–π‘¦) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑝 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑑 𝑏 ∈ (π‘₯𝑖𝑦)) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝑃(βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑃 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑑 π‘₯ ∈ (π‘ŽπΌπ‘¦) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑑 𝑏 ∈ (π‘₯𝐼𝑦))))
3827, 37raleqbidv 3340 . . . 4 ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π‘βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝑝(βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑝 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑑 π‘₯ ∈ (π‘Žπ‘–π‘¦) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑝 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑑 𝑏 ∈ (π‘₯𝑖𝑦)) ↔ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π‘ƒβˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝑃(βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑃 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑑 π‘₯ ∈ (π‘ŽπΌπ‘¦) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑑 𝑏 ∈ (π‘₯𝐼𝑦))))
399, 26, 383anbi123d 1432 . . 3 ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑖 = 𝐼) β†’ ((βˆ€π‘₯ ∈ 𝑝 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑝 (𝑦 ∈ (π‘₯𝑖π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑝 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑝 βˆ€π‘§ ∈ 𝑝 βˆ€π‘’ ∈ 𝑝 βˆ€π‘£ ∈ 𝑝 ((𝑒 ∈ (π‘₯𝑖𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝑖𝑧)) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑝 (π‘Ž ∈ (𝑒𝑖𝑦) ∧ π‘Ž ∈ (𝑣𝑖π‘₯))) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π‘βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝑝(βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑝 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑑 π‘₯ ∈ (π‘Žπ‘–π‘¦) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑝 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑑 𝑏 ∈ (π‘₯𝑖𝑦))) ↔ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (π‘₯𝐼π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑃 βˆ€π‘§ ∈ 𝑃 βˆ€π‘’ ∈ 𝑃 βˆ€π‘£ ∈ 𝑃 ((𝑒 ∈ (π‘₯𝐼𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐼𝑧)) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑃 (π‘Ž ∈ (𝑒𝐼𝑦) ∧ π‘Ž ∈ (𝑣𝐼π‘₯))) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π‘ƒβˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝑃(βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑃 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑑 π‘₯ ∈ (π‘ŽπΌπ‘¦) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑑 𝑏 ∈ (π‘₯𝐼𝑦)))))
401, 2, 39sbcie2s 17137 . 2 (𝑓 = 𝐺 β†’ ([(Baseβ€˜π‘“) / 𝑝][(Itvβ€˜π‘“) / 𝑖](βˆ€π‘₯ ∈ 𝑝 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑝 (𝑦 ∈ (π‘₯𝑖π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑝 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑝 βˆ€π‘§ ∈ 𝑝 βˆ€π‘’ ∈ 𝑝 βˆ€π‘£ ∈ 𝑝 ((𝑒 ∈ (π‘₯𝑖𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝑖𝑧)) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑝 (π‘Ž ∈ (𝑒𝑖𝑦) ∧ π‘Ž ∈ (𝑣𝑖π‘₯))) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π‘βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝑝(βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑝 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑑 π‘₯ ∈ (π‘Žπ‘–π‘¦) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑝 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑑 𝑏 ∈ (π‘₯𝑖𝑦))) ↔ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (π‘₯𝐼π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑃 βˆ€π‘§ ∈ 𝑃 βˆ€π‘’ ∈ 𝑃 βˆ€π‘£ ∈ 𝑃 ((𝑒 ∈ (π‘₯𝐼𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐼𝑧)) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑃 (π‘Ž ∈ (𝑒𝐼𝑦) ∧ π‘Ž ∈ (𝑣𝐼π‘₯))) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π‘ƒβˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝑃(βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑃 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑑 π‘₯ ∈ (π‘ŽπΌπ‘¦) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑑 𝑏 ∈ (π‘₯𝐼𝑦)))))
41 df-trkgb 28273 . 2 TarskiGB = {𝑓 ∣ [(Baseβ€˜π‘“) / 𝑝][(Itvβ€˜π‘“) / 𝑖](βˆ€π‘₯ ∈ 𝑝 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑝 (𝑦 ∈ (π‘₯𝑖π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑝 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑝 βˆ€π‘§ ∈ 𝑝 βˆ€π‘’ ∈ 𝑝 βˆ€π‘£ ∈ 𝑝 ((𝑒 ∈ (π‘₯𝑖𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝑖𝑧)) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑝 (π‘Ž ∈ (𝑒𝑖𝑦) ∧ π‘Ž ∈ (𝑣𝑖π‘₯))) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π‘βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝑝(βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑝 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑑 π‘₯ ∈ (π‘Žπ‘–π‘¦) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑝 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑑 𝑏 ∈ (π‘₯𝑖𝑦)))}
4240, 41elab4g 3674 1 (𝐺 ∈ TarskiGB ↔ (𝐺 ∈ V ∧ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (π‘₯𝐼π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑃 βˆ€π‘§ ∈ 𝑃 βˆ€π‘’ ∈ 𝑃 βˆ€π‘£ ∈ 𝑃 ((𝑒 ∈ (π‘₯𝐼𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑦𝐼𝑧)) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑃 (π‘Ž ∈ (𝑒𝐼𝑦) ∧ π‘Ž ∈ (𝑣𝐼π‘₯))) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π‘ƒβˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝑃(βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑃 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑑 π‘₯ ∈ (π‘ŽπΌπ‘¦) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑑 𝑏 ∈ (π‘₯𝐼𝑦)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3058  βˆƒwrex 3067  Vcvv 3473  [wsbc 3778  π’« cpw 4606  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17187  distcds 17249  TarskiGBcstrkgb 28253  Itvcitv 28257
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-ext 2699  ax-nul 5310
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-sb 2060  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-iota 6505  df-fv 6561  df-ov 7429  df-trkgb 28273
This theorem is referenced by:  axtgbtwnid  28290  axtgpasch  28291  axtgcont1  28292  f1otrg  28695  eengtrkg  28817
  Copyright terms: Public domain W3C validator