Theorem ch0pss 31808

Description: The zero subspace is a proper subset of nonzero Hilbert lattice elements. (Contributed by NM, 9-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ch0pss	⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (0ℋ ⊊ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ 0ℋ))

Proof of Theorem ch0pss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pss 3924	. 2 ⊢ (0ℋ ⊊ 𝐴 ↔ (0ℋ ⊆ 𝐴 ∧ 0ℋ ≠ 𝐴))
2		necom 3010	. . 3 ⊢ (0ℋ ≠ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ 0ℋ)
3		ch0le 31804	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → 0ℋ ⊆ 𝐴)
4	3	biantrurd 541	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (0ℋ ≠ 𝐴 ↔ (0ℋ ⊆ 𝐴 ∧ 0ℋ ≠ 𝐴)))
5	2, 4	bitr3id 288	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (𝐴 ≠ 0ℋ ↔ (0ℋ ⊆ 𝐴 ∧ 0ℋ ≠ 𝐴)))
6	1, 5	bitr4id 293	1 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (0ℋ ⊊ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ 0ℋ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957   ⊆ wss 3904   ⊊ wpss 3905   C_ℋ cch 31292  0_ℋc0h 31298

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-hilex 31362

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-sb 2096  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ne 2958  df-rab 3416  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-xp 5666  df-cnv 5668  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fv 6544  df-ov 7415  df-sh 31570  df-ch 31584  df-ch0 31616

This theorem is used by:  elat2  32703