Theorem ch0pss 31415

Description: The zero subspace is a proper subset of nonzero Hilbert lattice elements. (Contributed by NM, 9-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ch0pss	⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (0ℋ ⊊ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ 0ℋ))

Proof of Theorem ch0pss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pss 3920	. 2 ⊢ (0ℋ ⊊ 𝐴 ↔ (0ℋ ⊆ 𝐴 ∧ 0ℋ ≠ 𝐴))
2		necom 2979	. . 3 ⊢ (0ℋ ≠ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ 0ℋ)
3		ch0le 31411	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → 0ℋ ⊆ 𝐴)
4	3	biantrurd 532	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (0ℋ ≠ 𝐴 ↔ (0ℋ ⊆ 𝐴 ∧ 0ℋ ≠ 𝐴)))
5	2, 4	bitr3id 285	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (𝐴 ≠ 0ℋ ↔ (0ℋ ⊆ 𝐴 ∧ 0ℋ ≠ 𝐴)))
6	1, 5	bitr4id 290	1 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (0ℋ ⊊ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ 0ℋ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2926   ⊆ wss 3900   ⊊ wpss 3901   C_ℋ cch 30899  0_ℋc0h 30905

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-ext 2702  ax-sep 5232  ax-hilex 30969

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2067  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-ne 2927  df-rab 3394  df-v 3436  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-br 5090  df-opab 5152  df-xp 5620  df-cnv 5622  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6433  df-fv 6485  df-ov 7344  df-sh 31177  df-ch 31191  df-ch0 31223

This theorem is referenced by:  elat2  32310