Theorem ch0pss 31464

Description: The zero subspace is a proper subset of nonzero Hilbert lattice elements. (Contributed by NM, 9-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ch0pss	⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (0ℋ ⊊ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ 0ℋ))

Proof of Theorem ch0pss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pss 3971	. 2 ⊢ (0ℋ ⊊ 𝐴 ↔ (0ℋ ⊆ 𝐴 ∧ 0ℋ ≠ 𝐴))
2		necom 2994	. . 3 ⊢ (0ℋ ≠ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ 0ℋ)
3		ch0le 31460	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → 0ℋ ⊆ 𝐴)
4	3	biantrurd 532	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (0ℋ ≠ 𝐴 ↔ (0ℋ ⊆ 𝐴 ∧ 0ℋ ≠ 𝐴)))
5	2, 4	bitr3id 285	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (𝐴 ≠ 0ℋ ↔ (0ℋ ⊆ 𝐴 ∧ 0ℋ ≠ 𝐴)))
6	1, 5	bitr4id 290	1 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (0ℋ ⊊ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ 0ℋ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940   ⊆ wss 3951   ⊊ wpss 3952   C_ℋ cch 30948  0_ℋc0h 30954

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-hilex 31018

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2065  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ne 2941  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-xp 5691  df-cnv 5693  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fv 6569  df-ov 7434  df-sh 31226  df-ch 31240  df-ch0 31272

This theorem is referenced by:  elat2  32359