Theorem ch0pss 31381

Description: The zero subspace is a proper subset of nonzero Hilbert lattice elements. (Contributed by NM, 9-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ch0pss	⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (0ℋ ⊊ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ 0ℋ))

Proof of Theorem ch0pss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pss 3937	. 2 ⊢ (0ℋ ⊊ 𝐴 ↔ (0ℋ ⊆ 𝐴 ∧ 0ℋ ≠ 𝐴))
2		necom 2979	. . 3 ⊢ (0ℋ ≠ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ 0ℋ)
3		ch0le 31377	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → 0ℋ ⊆ 𝐴)
4	3	biantrurd 532	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (0ℋ ≠ 𝐴 ↔ (0ℋ ⊆ 𝐴 ∧ 0ℋ ≠ 𝐴)))
5	2, 4	bitr3id 285	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (𝐴 ≠ 0ℋ ↔ (0ℋ ⊆ 𝐴 ∧ 0ℋ ≠ 𝐴)))
6	1, 5	bitr4id 290	1 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (0ℋ ⊊ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ 0ℋ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926   ⊆ wss 3917   ⊊ wpss 3918   C_ℋ cch 30865  0_ℋc0h 30871

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-hilex 30935

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-ne 2927  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-xp 5647  df-cnv 5649  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fv 6522  df-ov 7393  df-sh 31143  df-ch 31157  df-ch0 31189

This theorem is referenced by:  elat2  32276