Theorem ch0pss 29228

Description: The zero subspace is a proper subset of nonzero Hilbert lattice elements. (Contributed by NM, 9-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ch0pss	⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (0ℋ ⊊ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ 0ℋ))

Proof of Theorem ch0pss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pss 3900	. 2 ⊢ (0ℋ ⊊ 𝐴 ↔ (0ℋ ⊆ 𝐴 ∧ 0ℋ ≠ 𝐴))
2		necom 3040	. . 3 ⊢ (0ℋ ≠ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ 0ℋ)
3		ch0le 29224	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → 0ℋ ⊆ 𝐴)
4	3	biantrurd 536	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (0ℋ ≠ 𝐴 ↔ (0ℋ ⊆ 𝐴 ∧ 0ℋ ≠ 𝐴)))
5	2, 4	bitr3id 288	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (𝐴 ≠ 0ℋ ↔ (0ℋ ⊆ 𝐴 ∧ 0ℋ ≠ 𝐴)))
6	1, 5	bitr4id 293	1 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (0ℋ ⊊ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ 0ℋ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987   ⊆ wss 3881   ⊊ wpss 3882   C_ℋ cch 28712  0_ℋc0h 28718

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-hilex 28782

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-rab 3115  df-v 3443  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-xp 5525  df-cnv 5527  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fv 6332  df-ov 7138  df-sh 28990  df-ch 29004  df-ch0 29036

This theorem is referenced by:  elat2  30123