HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  ch0pss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ch0pss 28695
Description: The zero subspace is a proper subset of nonzero Hilbert lattice elements. (Contributed by NM, 9-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ch0pss (𝐴C → (0𝐴𝐴 ≠ 0))

Proof of Theorem ch0pss
StepHypRef Expression
1 necom 2990 . . 3 (0𝐴𝐴 ≠ 0)
2 ch0le 28691 . . . 4 (𝐴C → 0𝐴)
32biantrurd 528 . . 3 (𝐴C → (0𝐴 ↔ (0𝐴 ∧ 0𝐴)))
41, 3syl5bbr 276 . 2 (𝐴C → (𝐴 ≠ 0 ↔ (0𝐴 ∧ 0𝐴)))
5 df-pss 3748 . 2 (0𝐴 ↔ (0𝐴 ∧ 0𝐴))
64, 5syl6rbbr 281 1 (𝐴C → (0𝐴𝐴 ≠ 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  wcel 2155  wne 2937  wss 3732  wpss 3733   C cch 28177  0c0h 28183
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-hilex 28247
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-rex 3061  df-rab 3064  df-v 3352  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-op 4341  df-uni 4595  df-br 4810  df-opab 4872  df-xp 5283  df-cnv 5285  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-iota 6031  df-fv 6076  df-ov 6845  df-sh 28455  df-ch 28469  df-ch0 28501
This theorem is referenced by:  elat2  29590
  Copyright terms: Public domain W3C validator