Theorem elat2 32824

Description: Expanded membership relation for the set of atoms, i.e. the predicate "is an atom (of the Hilbert lattice)." An atom is a nonzero element of a lattice such that anything less than it is zero, i.e. it is the smallest nonzero element of the lattice. (Contributed by NM, 9-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
elat2	⊢ (𝐴 ∈ HAtoms ↔ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ≠ 0ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝐴 → (𝑥 = 𝐴 ∨ 𝑥 = 0ℋ)))))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem elat2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ela 32823	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ HAtoms ↔ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 0ℋ ⋖ℋ 𝐴))
2		h0elch 31739	. . . . 5 ⊢ 0ℋ ∈ Cℋ
3		cvbr2 32767	. . . . 5 ⊢ ((0ℋ ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (0ℋ ⋖ℋ 𝐴 ↔ (0ℋ ⊊ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ ((0ℋ ⊊ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → 𝑥 = 𝐴))))
4	2, 3	mpan 703	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (0ℋ ⋖ℋ 𝐴 ↔ (0ℋ ⊊ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ ((0ℋ ⊊ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → 𝑥 = 𝐴))))
5		ch0pss 31929	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (0ℋ ⊊ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ 0ℋ))
6		ch0pss 31929	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (0ℋ ⊊ 𝑥 ↔ 𝑥 ≠ 0ℋ))
7	6	imbi1d 344	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → ((0ℋ ⊊ 𝑥 → 𝑥 = 𝐴) ↔ (𝑥 ≠ 0ℋ → 𝑥 = 𝐴)))
8	7	imbi2d 343	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → ((𝑥 ⊆ 𝐴 → (0ℋ ⊊ 𝑥 → 𝑥 = 𝐴)) ↔ (𝑥 ⊆ 𝐴 → (𝑥 ≠ 0ℋ → 𝑥 = 𝐴))))
9		impexp 456	. . . . . . . . 9 ⊢ (((0ℋ ⊊ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → 𝑥 = 𝐴) ↔ (0ℋ ⊊ 𝑥 → (𝑥 ⊆ 𝐴 → 𝑥 = 𝐴)))
10		bi2.04 392	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0ℋ ⊊ 𝑥 → (𝑥 ⊆ 𝐴 → 𝑥 = 𝐴)) ↔ (𝑥 ⊆ 𝐴 → (0ℋ ⊊ 𝑥 → 𝑥 = 𝐴)))
11	9, 10	bitri 278	. . . . . . . 8 ⊢ (((0ℋ ⊊ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → 𝑥 = 𝐴) ↔ (𝑥 ⊆ 𝐴 → (0ℋ ⊊ 𝑥 → 𝑥 = 𝐴)))
12		orcom 884	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 = 𝐴 ∨ 𝑥 = 0ℋ) ↔ (𝑥 = 0ℋ ∨ 𝑥 = 𝐴))
13		neor 3047	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 = 0ℋ ∨ 𝑥 = 𝐴) ↔ (𝑥 ≠ 0ℋ → 𝑥 = 𝐴))
14	12, 13	bitri 278	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = 𝐴 ∨ 𝑥 = 0ℋ) ↔ (𝑥 ≠ 0ℋ → 𝑥 = 𝐴))
15	14	imbi2i 339	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝐴 → (𝑥 = 𝐴 ∨ 𝑥 = 0ℋ)) ↔ (𝑥 ⊆ 𝐴 → (𝑥 ≠ 0ℋ → 𝑥 = 𝐴)))
16	8, 11, 15	3bitr4g 317	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (((0ℋ ⊊ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → 𝑥 = 𝐴) ↔ (𝑥 ⊆ 𝐴 → (𝑥 = 𝐴 ∨ 𝑥 = 0ℋ))))
17	16	ralbiia 3106	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ Cℋ ((0ℋ ⊊ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → 𝑥 = 𝐴) ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝐴 → (𝑥 = 𝐴 ∨ 𝑥 = 0ℋ)))
18	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (∀𝑥 ∈ Cℋ ((0ℋ ⊊ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → 𝑥 = 𝐴) ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝐴 → (𝑥 = 𝐴 ∨ 𝑥 = 0ℋ))))
19	5, 18	anbi12d 644	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → ((0ℋ ⊊ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ ((0ℋ ⊊ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → 𝑥 = 𝐴)) ↔ (𝐴 ≠ 0ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝐴 → (𝑥 = 𝐴 ∨ 𝑥 = 0ℋ)))))
20	4, 19	bitr2d 283	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → ((𝐴 ≠ 0ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝐴 → (𝑥 = 𝐴 ∨ 𝑥 = 0ℋ))) ↔ 0ℋ ⋖ℋ 𝐴))
21	20	pm5.32i 585	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ≠ 0ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝐴 → (𝑥 = 𝐴 ∨ 𝑥 = 0ℋ)))) ↔ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 0ℋ ⋖ℋ 𝐴))
22	1, 21	bitr4i 281	1 ⊢ (𝐴 ∈ HAtoms ↔ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ≠ 0ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝐴 → (𝑥 = 𝐴 ∨ 𝑥 = 0ℋ)))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∀wral 3076   ⊆ wss 3899   ⊊ wpss 3900   class class class wbr 5103   C_ℋ cch 31413  0_ℋc0h 31419   ⋖_ℋ ccv 31448  HAtomscat 31449

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205  ax-addf 11206  ax-mulf 11207  ax-hilex 31483  ax-hfvadd 31484  ax-hvcom 31485  ax-hvass 31486  ax-hv0cl 31487  ax-hvaddid 31488  ax-hfvmul 31489  ax-hvmulid 31490  ax-hvmulass 31491  ax-hvdistr1 31492  ax-hvdistr2 31493  ax-hvmul0 31494  ax-hfi 31563  ax-his1 31566  ax-his2 31567  ax-his3 31568  ax-his4 31569

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9415  df-inf 9416  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-q 13001  df-rp 13046  df-xneg 13166  df-xadd 13167  df-xmul 13168  df-icc 13408  df-seq 14069  df-exp 14129  df-cj 15189  df-re 15190  df-im 15191  df-sqrt 15325  df-abs 15326  df-topgen 17531  df-psmet 21580  df-xmet 21581  df-met 21582  df-bl 21583  df-mopn 21584  df-top 23122  df-topon 23139  df-bases 23174  df-lm 23457  df-haus 23543  df-grpo 30977  df-gid 30978  df-ginv 30979  df-gdiv 30980  df-ablo 31029  df-vc 31043  df-nv 31076  df-va 31079  df-ba 31080  df-sm 31081  df-0v 31082  df-vs 31083  df-nmcv 31084  df-ims 31085  df-hnorm 31452  df-hvsub 31455  df-hlim 31456  df-sh 31691  df-ch 31705  df-ch0 31737  df-cv 32763  df-at 32822

This theorem is used by:  atne0  32829  atss  32830  h1da  32833  atom1d  32837