HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  elat2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elat2 32087
Description: Expanded membership relation for the set of atoms, i.e. the predicate "is an atom (of the Hilbert lattice)." An atom is a nonzero element of a lattice such that anything less than it is zero, i.e. it is the smallest nonzero element of the lattice. (Contributed by NM, 9-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
elat2 (𝐴 ∈ HAtoms ↔ (𝐴C ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ ∀𝑥C (𝑥𝐴 → (𝑥 = 𝐴𝑥 = 0)))))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem elat2
StepHypRef Expression
1 ela 32086 . 2 (𝐴 ∈ HAtoms ↔ (𝐴C ∧ 0 𝐴))
2 h0elch 31002 . . . . 5 0C
3 cvbr2 32030 . . . . 5 ((0C𝐴C ) → (0 𝐴 ↔ (0𝐴 ∧ ∀𝑥C ((0𝑥𝑥𝐴) → 𝑥 = 𝐴))))
42, 3mpan 687 . . . 4 (𝐴C → (0 𝐴 ↔ (0𝐴 ∧ ∀𝑥C ((0𝑥𝑥𝐴) → 𝑥 = 𝐴))))
5 ch0pss 31192 . . . . 5 (𝐴C → (0𝐴𝐴 ≠ 0))
6 ch0pss 31192 . . . . . . . . . 10 (𝑥C → (0𝑥𝑥 ≠ 0))
76imbi1d 341 . . . . . . . . 9 (𝑥C → ((0𝑥𝑥 = 𝐴) ↔ (𝑥 ≠ 0𝑥 = 𝐴)))
87imbi2d 340 . . . . . . . 8 (𝑥C → ((𝑥𝐴 → (0𝑥𝑥 = 𝐴)) ↔ (𝑥𝐴 → (𝑥 ≠ 0𝑥 = 𝐴))))
9 impexp 450 . . . . . . . . 9 (((0𝑥𝑥𝐴) → 𝑥 = 𝐴) ↔ (0𝑥 → (𝑥𝐴𝑥 = 𝐴)))
10 bi2.04 387 . . . . . . . . 9 ((0𝑥 → (𝑥𝐴𝑥 = 𝐴)) ↔ (𝑥𝐴 → (0𝑥𝑥 = 𝐴)))
119, 10bitri 275 . . . . . . . 8 (((0𝑥𝑥𝐴) → 𝑥 = 𝐴) ↔ (𝑥𝐴 → (0𝑥𝑥 = 𝐴)))
12 orcom 867 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 = 𝐴𝑥 = 0) ↔ (𝑥 = 0𝑥 = 𝐴))
13 neor 3026 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 = 0𝑥 = 𝐴) ↔ (𝑥 ≠ 0𝑥 = 𝐴))
1412, 13bitri 275 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = 𝐴𝑥 = 0) ↔ (𝑥 ≠ 0𝑥 = 𝐴))
1514imbi2i 336 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴 → (𝑥 = 𝐴𝑥 = 0)) ↔ (𝑥𝐴 → (𝑥 ≠ 0𝑥 = 𝐴)))
168, 11, 153bitr4g 314 . . . . . . 7 (𝑥C → (((0𝑥𝑥𝐴) → 𝑥 = 𝐴) ↔ (𝑥𝐴 → (𝑥 = 𝐴𝑥 = 0))))
1716ralbiia 3083 . . . . . 6 (∀𝑥C ((0𝑥𝑥𝐴) → 𝑥 = 𝐴) ↔ ∀𝑥C (𝑥𝐴 → (𝑥 = 𝐴𝑥 = 0)))
1817a1i 11 . . . . 5 (𝐴C → (∀𝑥C ((0𝑥𝑥𝐴) → 𝑥 = 𝐴) ↔ ∀𝑥C (𝑥𝐴 → (𝑥 = 𝐴𝑥 = 0))))
195, 18anbi12d 630 . . . 4 (𝐴C → ((0𝐴 ∧ ∀𝑥C ((0𝑥𝑥𝐴) → 𝑥 = 𝐴)) ↔ (𝐴 ≠ 0 ∧ ∀𝑥C (𝑥𝐴 → (𝑥 = 𝐴𝑥 = 0)))))
204, 19bitr2d 280 . . 3 (𝐴C → ((𝐴 ≠ 0 ∧ ∀𝑥C (𝑥𝐴 → (𝑥 = 𝐴𝑥 = 0))) ↔ 0 𝐴))
2120pm5.32i 574 . 2 ((𝐴C ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ ∀𝑥C (𝑥𝐴 → (𝑥 = 𝐴𝑥 = 0)))) ↔ (𝐴C ∧ 0 𝐴))
221, 21bitr4i 278 1 (𝐴 ∈ HAtoms ↔ (𝐴C ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ ∀𝑥C (𝑥𝐴 → (𝑥 = 𝐴𝑥 = 0)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  wo 844   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2932  wral 3053  wss 3941  wpss 3942   class class class wbr 5139   C cch 30676  0c0h 30682   ccv 30711  HAtomscat 30712
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186  ax-mulf 11187  ax-hilex 30746  ax-hfvadd 30747  ax-hvcom 30748  ax-hvass 30749  ax-hv0cl 30750  ax-hvaddid 30751  ax-hfvmul 30752  ax-hvmulid 30753  ax-hvmulass 30754  ax-hvdistr1 30755  ax-hvdistr2 30756  ax-hvmul0 30757  ax-hfi 30826  ax-his1 30829  ax-his2 30830  ax-his3 30831  ax-his4 30832
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12976  df-xneg 13093  df-xadd 13094  df-xmul 13095  df-icc 13332  df-seq 13968  df-exp 14029  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-topgen 17394  df-psmet 21226  df-xmet 21227  df-met 21228  df-bl 21229  df-mopn 21230  df-top 22740  df-topon 22757  df-bases 22793  df-lm 23077  df-haus 23163  df-grpo 30240  df-gid 30241  df-ginv 30242  df-gdiv 30243  df-ablo 30292  df-vc 30306  df-nv 30339  df-va 30342  df-ba 30343  df-sm 30344  df-0v 30345  df-vs 30346  df-nmcv 30347  df-ims 30348  df-hnorm 30715  df-hvsub 30718  df-hlim 30719  df-sh 30954  df-ch 30968  df-ch0 31000  df-cv 32026  df-at 32085
This theorem is referenced by:  atne0  32092  atss  32093  h1da  32096  atom1d  32100
  Copyright terms: Public domain W3C validator