Theorem elat2 31588

Description: Expanded membership relation for the set of atoms, i.e. the predicate "is an atom (of the Hilbert lattice)." An atom is a nonzero element of a lattice such that anything less than it is zero, i.e. it is the smallest nonzero element of the lattice. (Contributed by NM, 9-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
elat2	⊢ (𝐴 ∈ HAtoms ↔ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ≠ 0ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝐴 → (𝑥 = 𝐴 ∨ 𝑥 = 0ℋ)))))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem elat2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ela 31587	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ HAtoms ↔ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 0ℋ ⋖ℋ 𝐴))
2		h0elch 30503	. . . . 5 ⊢ 0ℋ ∈ Cℋ
3		cvbr2 31531	. . . . 5 ⊢ ((0ℋ ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (0ℋ ⋖ℋ 𝐴 ↔ (0ℋ ⊊ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ ((0ℋ ⊊ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → 𝑥 = 𝐴))))
4	2, 3	mpan 688	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (0ℋ ⋖ℋ 𝐴 ↔ (0ℋ ⊊ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ ((0ℋ ⊊ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → 𝑥 = 𝐴))))
5		ch0pss 30693	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (0ℋ ⊊ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ 0ℋ))
6		ch0pss 30693	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (0ℋ ⊊ 𝑥 ↔ 𝑥 ≠ 0ℋ))
7	6	imbi1d 341	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → ((0ℋ ⊊ 𝑥 → 𝑥 = 𝐴) ↔ (𝑥 ≠ 0ℋ → 𝑥 = 𝐴)))
8	7	imbi2d 340	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → ((𝑥 ⊆ 𝐴 → (0ℋ ⊊ 𝑥 → 𝑥 = 𝐴)) ↔ (𝑥 ⊆ 𝐴 → (𝑥 ≠ 0ℋ → 𝑥 = 𝐴))))
9		impexp 451	. . . . . . . . 9 ⊢ (((0ℋ ⊊ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → 𝑥 = 𝐴) ↔ (0ℋ ⊊ 𝑥 → (𝑥 ⊆ 𝐴 → 𝑥 = 𝐴)))
10		bi2.04 388	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0ℋ ⊊ 𝑥 → (𝑥 ⊆ 𝐴 → 𝑥 = 𝐴)) ↔ (𝑥 ⊆ 𝐴 → (0ℋ ⊊ 𝑥 → 𝑥 = 𝐴)))
11	9, 10	bitri 274	. . . . . . . 8 ⊢ (((0ℋ ⊊ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → 𝑥 = 𝐴) ↔ (𝑥 ⊆ 𝐴 → (0ℋ ⊊ 𝑥 → 𝑥 = 𝐴)))
12		orcom 868	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 = 𝐴 ∨ 𝑥 = 0ℋ) ↔ (𝑥 = 0ℋ ∨ 𝑥 = 𝐴))
13		neor 3034	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 = 0ℋ ∨ 𝑥 = 𝐴) ↔ (𝑥 ≠ 0ℋ → 𝑥 = 𝐴))
14	12, 13	bitri 274	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = 𝐴 ∨ 𝑥 = 0ℋ) ↔ (𝑥 ≠ 0ℋ → 𝑥 = 𝐴))
15	14	imbi2i 335	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝐴 → (𝑥 = 𝐴 ∨ 𝑥 = 0ℋ)) ↔ (𝑥 ⊆ 𝐴 → (𝑥 ≠ 0ℋ → 𝑥 = 𝐴)))
16	8, 11, 15	3bitr4g 313	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (((0ℋ ⊊ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → 𝑥 = 𝐴) ↔ (𝑥 ⊆ 𝐴 → (𝑥 = 𝐴 ∨ 𝑥 = 0ℋ))))
17	16	ralbiia 3091	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ Cℋ ((0ℋ ⊊ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → 𝑥 = 𝐴) ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝐴 → (𝑥 = 𝐴 ∨ 𝑥 = 0ℋ)))
18	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (∀𝑥 ∈ Cℋ ((0ℋ ⊊ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → 𝑥 = 𝐴) ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝐴 → (𝑥 = 𝐴 ∨ 𝑥 = 0ℋ))))
19	5, 18	anbi12d 631	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → ((0ℋ ⊊ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ ((0ℋ ⊊ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → 𝑥 = 𝐴)) ↔ (𝐴 ≠ 0ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝐴 → (𝑥 = 𝐴 ∨ 𝑥 = 0ℋ)))))
20	4, 19	bitr2d 279	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → ((𝐴 ≠ 0ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝐴 → (𝑥 = 𝐴 ∨ 𝑥 = 0ℋ))) ↔ 0ℋ ⋖ℋ 𝐴))
21	20	pm5.32i 575	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ≠ 0ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝐴 → (𝑥 = 𝐴 ∨ 𝑥 = 0ℋ)))) ↔ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 0ℋ ⋖ℋ 𝐴))
22	1, 21	bitr4i 277	1 ⊢ (𝐴 ∈ HAtoms ↔ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ≠ 0ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝐴 → (𝑥 = 𝐴 ∨ 𝑥 = 0ℋ)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ∀wral 3061   ⊆ wss 3948   ⊊ wpss 3949   class class class wbr 5148   C_ℋ cch 30177  0_ℋc0h 30183   ⋖_ℋ ccv 30212  HAtomscat 30213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189  ax-hilex 30247  ax-hfvadd 30248  ax-hvcom 30249  ax-hvass 30250  ax-hv0cl 30251  ax-hvaddid 30252  ax-hfvmul 30253  ax-hvmulid 30254  ax-hvmulass 30255  ax-hvdistr1 30256  ax-hvdistr2 30257  ax-hvmul0 30258  ax-hfi 30327  ax-his1 30330  ax-his2 30331  ax-his3 30332  ax-his4 30333

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-icc 13330  df-seq 13966  df-exp 14027  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-topgen 17388  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-top 22395  df-topon 22412  df-bases 22448  df-lm 22732  df-haus 22818  df-grpo 29741  df-gid 29742  df-ginv 29743  df-gdiv 29744  df-ablo 29793  df-vc 29807  df-nv 29840  df-va 29843  df-ba 29844  df-sm 29845  df-0v 29846  df-vs 29847  df-nmcv 29848  df-ims 29849  df-hnorm 30216  df-hvsub 30219  df-hlim 30220  df-sh 30455  df-ch 30469  df-ch0 30501  df-cv 31527  df-at 31586

This theorem is referenced by:  atne0  31593  atss  31594  h1da  31597  atom1d  31601