HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  elat2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elat2 29898
Description: Expanded membership relation for the set of atoms, i.e. the predicate "is an atom (of the Hilbert lattice)." An atom is a nonzero element of a lattice such that anything less than it is zero, i.e. it is the smallest nonzero element of the lattice. (Contributed by NM, 9-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
elat2 (𝐴 ∈ HAtoms ↔ (𝐴C ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ ∀𝑥C (𝑥𝐴 → (𝑥 = 𝐴𝑥 = 0)))))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem elat2
StepHypRef Expression
1 ela 29897 . 2 (𝐴 ∈ HAtoms ↔ (𝐴C ∧ 0 𝐴))
2 h0elch 28811 . . . . 5 0C
3 cvbr2 29841 . . . . 5 ((0C𝐴C ) → (0 𝐴 ↔ (0𝐴 ∧ ∀𝑥C ((0𝑥𝑥𝐴) → 𝑥 = 𝐴))))
42, 3mpan 677 . . . 4 (𝐴C → (0 𝐴 ↔ (0𝐴 ∧ ∀𝑥C ((0𝑥𝑥𝐴) → 𝑥 = 𝐴))))
5 ch0pss 29003 . . . . 5 (𝐴C → (0𝐴𝐴 ≠ 0))
6 ch0pss 29003 . . . . . . . . . 10 (𝑥C → (0𝑥𝑥 ≠ 0))
76imbi1d 334 . . . . . . . . 9 (𝑥C → ((0𝑥𝑥 = 𝐴) ↔ (𝑥 ≠ 0𝑥 = 𝐴)))
87imbi2d 333 . . . . . . . 8 (𝑥C → ((𝑥𝐴 → (0𝑥𝑥 = 𝐴)) ↔ (𝑥𝐴 → (𝑥 ≠ 0𝑥 = 𝐴))))
9 impexp 443 . . . . . . . . 9 (((0𝑥𝑥𝐴) → 𝑥 = 𝐴) ↔ (0𝑥 → (𝑥𝐴𝑥 = 𝐴)))
10 bi2.04 380 . . . . . . . . 9 ((0𝑥 → (𝑥𝐴𝑥 = 𝐴)) ↔ (𝑥𝐴 → (0𝑥𝑥 = 𝐴)))
119, 10bitri 267 . . . . . . . 8 (((0𝑥𝑥𝐴) → 𝑥 = 𝐴) ↔ (𝑥𝐴 → (0𝑥𝑥 = 𝐴)))
12 orcom 856 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 = 𝐴𝑥 = 0) ↔ (𝑥 = 0𝑥 = 𝐴))
13 neor 3059 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 = 0𝑥 = 𝐴) ↔ (𝑥 ≠ 0𝑥 = 𝐴))
1412, 13bitri 267 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = 𝐴𝑥 = 0) ↔ (𝑥 ≠ 0𝑥 = 𝐴))
1514imbi2i 328 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴 → (𝑥 = 𝐴𝑥 = 0)) ↔ (𝑥𝐴 → (𝑥 ≠ 0𝑥 = 𝐴)))
168, 11, 153bitr4g 306 . . . . . . 7 (𝑥C → (((0𝑥𝑥𝐴) → 𝑥 = 𝐴) ↔ (𝑥𝐴 → (𝑥 = 𝐴𝑥 = 0))))
1716ralbiia 3114 . . . . . 6 (∀𝑥C ((0𝑥𝑥𝐴) → 𝑥 = 𝐴) ↔ ∀𝑥C (𝑥𝐴 → (𝑥 = 𝐴𝑥 = 0)))
1817a1i 11 . . . . 5 (𝐴C → (∀𝑥C ((0𝑥𝑥𝐴) → 𝑥 = 𝐴) ↔ ∀𝑥C (𝑥𝐴 → (𝑥 = 𝐴𝑥 = 0))))
195, 18anbi12d 621 . . . 4 (𝐴C → ((0𝐴 ∧ ∀𝑥C ((0𝑥𝑥𝐴) → 𝑥 = 𝐴)) ↔ (𝐴 ≠ 0 ∧ ∀𝑥C (𝑥𝐴 → (𝑥 = 𝐴𝑥 = 0)))))
204, 19bitr2d 272 . . 3 (𝐴C → ((𝐴 ≠ 0 ∧ ∀𝑥C (𝑥𝐴 → (𝑥 = 𝐴𝑥 = 0))) ↔ 0 𝐴))
2120pm5.32i 567 . 2 ((𝐴C ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ ∀𝑥C (𝑥𝐴 → (𝑥 = 𝐴𝑥 = 0)))) ↔ (𝐴C ∧ 0 𝐴))
221, 21bitr4i 270 1 (𝐴 ∈ HAtoms ↔ (𝐴C ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ ∀𝑥C (𝑥𝐴 → (𝑥 = 𝐴𝑥 = 0)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387  wo 833   = wceq 1507  wcel 2050  wne 2967  wral 3088  wss 3829  wpss 3830   class class class wbr 4929   C cch 28485  0c0h 28491   ccv 28520  HAtomscat 28521
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412  ax-pre-sup 10413  ax-addf 10414  ax-mulf 10415  ax-hilex 28555  ax-hfvadd 28556  ax-hvcom 28557  ax-hvass 28558  ax-hv0cl 28559  ax-hvaddid 28560  ax-hfvmul 28561  ax-hvmulid 28562  ax-hvmulass 28563  ax-hvdistr1 28564  ax-hvdistr2 28565  ax-hvmul0 28566  ax-hfi 28635  ax-his1 28638  ax-his2 28639  ax-his3 28640  ax-his4 28641
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-pss 3845  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-er 8089  df-map 8208  df-pm 8209  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-sup 8701  df-inf 8702  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-div 11099  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-4 11505  df-n0 11708  df-z 11794  df-uz 12059  df-q 12163  df-rp 12205  df-xneg 12324  df-xadd 12325  df-xmul 12326  df-icc 12561  df-seq 13185  df-exp 13245  df-cj 14319  df-re 14320  df-im 14321  df-sqrt 14455  df-abs 14456  df-topgen 16573  df-psmet 20239  df-xmet 20240  df-met 20241  df-bl 20242  df-mopn 20243  df-top 21206  df-topon 21223  df-bases 21258  df-lm 21541  df-haus 21627  df-grpo 28047  df-gid 28048  df-ginv 28049  df-gdiv 28050  df-ablo 28099  df-vc 28113  df-nv 28146  df-va 28149  df-ba 28150  df-sm 28151  df-0v 28152  df-vs 28153  df-nmcv 28154  df-ims 28155  df-hnorm 28524  df-hvsub 28527  df-hlim 28528  df-sh 28763  df-ch 28777  df-ch0 28809  df-cv 29837  df-at 29896
This theorem is referenced by:  atne0  29903  atss  29904  h1da  29907  atom1d  29911
  Copyright terms: Public domain W3C validator