Theorem elat2 32428

Description: Expanded membership relation for the set of atoms, i.e. the predicate "is an atom (of the Hilbert lattice)." An atom is a nonzero element of a lattice such that anything less than it is zero, i.e. it is the smallest nonzero element of the lattice. (Contributed by NM, 9-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
elat2	⊢ (𝐴 ∈ HAtoms ↔ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ≠ 0ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝐴 → (𝑥 = 𝐴 ∨ 𝑥 = 0ℋ)))))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem elat2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ela 32427	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ HAtoms ↔ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 0ℋ ⋖ℋ 𝐴))
2		h0elch 31343	. . . . 5 ⊢ 0ℋ ∈ Cℋ
3		cvbr2 32371	. . . . 5 ⊢ ((0ℋ ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (0ℋ ⋖ℋ 𝐴 ↔ (0ℋ ⊊ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ ((0ℋ ⊊ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → 𝑥 = 𝐴))))
4	2, 3	mpan 691	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (0ℋ ⋖ℋ 𝐴 ↔ (0ℋ ⊊ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ ((0ℋ ⊊ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → 𝑥 = 𝐴))))
5		ch0pss 31533	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (0ℋ ⊊ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ 0ℋ))
6		ch0pss 31533	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (0ℋ ⊊ 𝑥 ↔ 𝑥 ≠ 0ℋ))
7	6	imbi1d 341	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → ((0ℋ ⊊ 𝑥 → 𝑥 = 𝐴) ↔ (𝑥 ≠ 0ℋ → 𝑥 = 𝐴)))
8	7	imbi2d 340	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → ((𝑥 ⊆ 𝐴 → (0ℋ ⊊ 𝑥 → 𝑥 = 𝐴)) ↔ (𝑥 ⊆ 𝐴 → (𝑥 ≠ 0ℋ → 𝑥 = 𝐴))))
9		impexp 450	. . . . . . . . 9 ⊢ (((0ℋ ⊊ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → 𝑥 = 𝐴) ↔ (0ℋ ⊊ 𝑥 → (𝑥 ⊆ 𝐴 → 𝑥 = 𝐴)))
10		bi2.04 387	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0ℋ ⊊ 𝑥 → (𝑥 ⊆ 𝐴 → 𝑥 = 𝐴)) ↔ (𝑥 ⊆ 𝐴 → (0ℋ ⊊ 𝑥 → 𝑥 = 𝐴)))
11	9, 10	bitri 275	. . . . . . . 8 ⊢ (((0ℋ ⊊ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → 𝑥 = 𝐴) ↔ (𝑥 ⊆ 𝐴 → (0ℋ ⊊ 𝑥 → 𝑥 = 𝐴)))
12		orcom 871	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 = 𝐴 ∨ 𝑥 = 0ℋ) ↔ (𝑥 = 0ℋ ∨ 𝑥 = 𝐴))
13		neor 3025	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 = 0ℋ ∨ 𝑥 = 𝐴) ↔ (𝑥 ≠ 0ℋ → 𝑥 = 𝐴))
14	12, 13	bitri 275	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = 𝐴 ∨ 𝑥 = 0ℋ) ↔ (𝑥 ≠ 0ℋ → 𝑥 = 𝐴))
15	14	imbi2i 336	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝐴 → (𝑥 = 𝐴 ∨ 𝑥 = 0ℋ)) ↔ (𝑥 ⊆ 𝐴 → (𝑥 ≠ 0ℋ → 𝑥 = 𝐴)))
16	8, 11, 15	3bitr4g 314	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (((0ℋ ⊊ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → 𝑥 = 𝐴) ↔ (𝑥 ⊆ 𝐴 → (𝑥 = 𝐴 ∨ 𝑥 = 0ℋ))))
17	16	ralbiia 3082	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ Cℋ ((0ℋ ⊊ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → 𝑥 = 𝐴) ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝐴 → (𝑥 = 𝐴 ∨ 𝑥 = 0ℋ)))
18	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (∀𝑥 ∈ Cℋ ((0ℋ ⊊ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → 𝑥 = 𝐴) ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝐴 → (𝑥 = 𝐴 ∨ 𝑥 = 0ℋ))))
19	5, 18	anbi12d 633	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → ((0ℋ ⊊ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ ((0ℋ ⊊ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → 𝑥 = 𝐴)) ↔ (𝐴 ≠ 0ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝐴 → (𝑥 = 𝐴 ∨ 𝑥 = 0ℋ)))))
20	4, 19	bitr2d 280	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → ((𝐴 ≠ 0ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝐴 → (𝑥 = 𝐴 ∨ 𝑥 = 0ℋ))) ↔ 0ℋ ⋖ℋ 𝐴))
21	20	pm5.32i 574	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ≠ 0ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝐴 → (𝑥 = 𝐴 ∨ 𝑥 = 0ℋ)))) ↔ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 0ℋ ⋖ℋ 𝐴))
22	1, 21	bitr4i 278	1 ⊢ (𝐴 ∈ HAtoms ↔ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ≠ 0ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝐴 → (𝑥 = 𝐴 ∨ 𝑥 = 0ℋ)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052   ⊆ wss 3903   ⊊ wpss 3904   class class class wbr 5100   C_ℋ cch 31017  0_ℋc0h 31023   ⋖_ℋ ccv 31052  HAtomscat 31053

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117  ax-mulf 11118  ax-hilex 31087  ax-hfvadd 31088  ax-hvcom 31089  ax-hvass 31090  ax-hv0cl 31091  ax-hvaddid 31092  ax-hfvmul 31093  ax-hvmulid 31094  ax-hvmulass 31095  ax-hvdistr1 31096  ax-hvdistr2 31097  ax-hvmul0 31098  ax-hfi 31167  ax-his1 31170  ax-his2 31171  ax-his3 31172  ax-his4 31173

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9357  df-inf 9358  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12918  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-icc 13280  df-seq 13937  df-exp 13997  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-topgen 17375  df-psmet 21313  df-xmet 21314  df-met 21315  df-bl 21316  df-mopn 21317  df-top 22850  df-topon 22867  df-bases 22902  df-lm 23185  df-haus 23271  df-grpo 30581  df-gid 30582  df-ginv 30583  df-gdiv 30584  df-ablo 30633  df-vc 30647  df-nv 30680  df-va 30683  df-ba 30684  df-sm 30685  df-0v 30686  df-vs 30687  df-nmcv 30688  df-ims 30689  df-hnorm 31056  df-hvsub 31059  df-hlim 31060  df-sh 31295  df-ch 31309  df-ch0 31341  df-cv 32367  df-at 32426

This theorem is referenced by:  atne0  32433  atss  32434  h1da  32437  atom1d  32441