Theorem orthin 31646

Description: The intersection of orthogonal subspaces is the zero subspace. (Contributed by NM, 24-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
orthin	⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵) → (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ))

Proof of Theorem orthin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrin 4193	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵) → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ ((⊥‘𝐵) ∩ 𝐵))
2		incom 4161	. . . . . 6 ⊢ ((⊥‘𝐵) ∩ 𝐵) = (𝐵 ∩ (⊥‘𝐵))
3	1, 2	sseqtrdi 3976	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵) → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐵)))
4		ocin 31496	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ Sℋ → (𝐵 ∩ (⊥‘𝐵)) = 0ℋ)
5	4	sseq2d 3968	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ Sℋ → ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐵)) ↔ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 0ℋ))
6	3, 5	imbitrid 246	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ Sℋ → (𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵) → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 0ℋ))
7	6	adantl 485	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵) → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 0ℋ))
8		shincl 31581	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Sℋ )
9		sh0le 31640	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Sℋ → 0ℋ ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵))
10	8, 9	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → 0ℋ ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵))
11	7, 10	jctird 534	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 0ℋ ∧ 0ℋ ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵))))
12		eqss 3951	. 2 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ ↔ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 0ℋ ∧ 0ℋ ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵)))
13	11, 12	imbitrrdi 254	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵) → (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ∩ cin 3903   ⊆ wss 3904  ‘cfv 6521   S_ℋ csh 31128  ⊥cort 31130  0_ℋc0h 31135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-hilex 31199  ax-hfvadd 31200  ax-hv0cl 31203  ax-hfvmul 31205  ax-hvmul0 31210  ax-hfi 31279  ax-his2 31283  ax-his3 31284  ax-his4 31285

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-map 8810  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-ltxr 11221  df-nn 12211  df-hlim 31172  df-sh 31407  df-ch 31421  df-oc 31452  df-ch0 31453

This theorem is referenced by:  atomli  32582  chirredlem3  32592