Theorem orthin 31521

Description: The intersection of orthogonal subspaces is the zero subspace. (Contributed by NM, 24-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
orthin	⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵) → (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ))

Proof of Theorem orthin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrin 4194	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵) → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ ((⊥‘𝐵) ∩ 𝐵))
2		incom 4161	. . . . . 6 ⊢ ((⊥‘𝐵) ∩ 𝐵) = (𝐵 ∩ (⊥‘𝐵))
3	1, 2	sseqtrdi 3974	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵) → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐵)))
4		ocin 31371	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ Sℋ → (𝐵 ∩ (⊥‘𝐵)) = 0ℋ)
5	4	sseq2d 3966	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ Sℋ → ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐵)) ↔ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 0ℋ))
6	3, 5	imbitrid 244	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ Sℋ → (𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵) → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 0ℋ))
7	6	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵) → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 0ℋ))
8		shincl 31456	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Sℋ )
9		sh0le 31515	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Sℋ → 0ℋ ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵))
10	8, 9	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → 0ℋ ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵))
11	7, 10	jctird 526	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 0ℋ ∧ 0ℋ ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵))))
12		eqss 3949	. 2 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ ↔ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 0ℋ ∧ 0ℋ ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵)))
13	11, 12	imbitrrdi 252	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵) → (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ∩ cin 3900   ⊆ wss 3901  ‘cfv 6492   S_ℋ csh 31003  ⊥cort 31005  0_ℋc0h 31010

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-hilex 31074  ax-hfvadd 31075  ax-hv0cl 31078  ax-hfvmul 31080  ax-hvmul0 31085  ax-hfi 31154  ax-his2 31158  ax-his3 31159  ax-his4 31160

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-ltxr 11171  df-nn 12146  df-hlim 31047  df-sh 31282  df-ch 31296  df-oc 31327  df-ch0 31328

This theorem is referenced by:  atomli  32457  chirredlem3  32467