Theorem ch0le 32076

Description: The zero subspace is the smallest member of C_ℋ. (Contributed by NM, 14-Aug-2002.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ch0le	⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → 0ℋ ⊆ 𝐴)

Proof of Theorem ch0le

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chsh 31859	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → 𝐴 ∈ Sℋ )
2		sh0le 32075	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → 0ℋ ⊆ 𝐴)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → 0ℋ ⊆ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900   S_ℋ csh 31563   C_ℋ cch 31564  0_ℋc0h 31570

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-hilex 31634

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5172  df-xp 5662  df-cnv 5664  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-iota 6515  df-fv 6569  df-ov 7449  df-sh 31842  df-ch 31856  df-ch0 31888

This theorem is used by:  chnlen0  32079  ch0pss  32080  ch0lei  32086  chssoc  32131  atcveq0  32983