Theorem ch0le 31802

Description: The zero subspace is the smallest member of C_ℋ. (Contributed by NM, 14-Aug-2002.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ch0le	⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → 0ℋ ⊆ 𝐴)

Proof of Theorem ch0le

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chsh 31585	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → 𝐴 ∈ Sℋ )
2		sh0le 31801	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → 0ℋ ⊆ 𝐴)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → 0ℋ ⊆ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2143   ⊆ wss 3905   S_ℋ csh 31289   C_ℋ cch 31290  0_ℋc0h 31296

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-hilex 31360

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-sb 2097  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-xp 5667  df-cnv 5669  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fv 6544  df-ov 7413  df-sh 31568  df-ch 31582  df-ch0 31614

This theorem is used by:  chnlen0  31805  ch0pss  31806  ch0lei  31812  chssoc  31857  atcveq0  32709