Theorem clatglbcl2 18538

Description: Any subset of the base set has a GLB in a complete lattice. (Contributed by NM, 13-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
clatglbcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
clatglbcl.g	⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
clatglbcl2	⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑆 ∈ dom 𝐺)

Proof of Theorem clatglbcl2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clatglbcl.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2	1	fvexi 6881	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
3	2	elpw2 5290	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ 𝑆 ⊆ 𝐵)
4	3	bilanri 510	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵)
5		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
6		clatglbcl.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
7	1, 5, 6	isclat 18532	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ CLat ↔ (𝐾 ∈ Poset ∧ (dom (lub‘𝐾) = 𝒫 𝐵 ∧ dom 𝐺 = 𝒫 𝐵)))
8		simprr 782	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (dom (lub‘𝐾) = 𝒫 𝐵 ∧ dom 𝐺 = 𝒫 𝐵)) → dom 𝐺 = 𝒫 𝐵)
9	7, 8	sylbi 219	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ CLat → dom 𝐺 = 𝒫 𝐵)
10	9	adantr 484	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → dom 𝐺 = 𝒫 𝐵)
11	4, 10	eleqtrrd 2865	1 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑆 ∈ dom 𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ⊆ wss 3904  𝒫 cpw 4555  dom cdm 5647  ‘cfv 6521  Basecbs 17245  Posetcpo 18339  lubclub 18341  glbcglb 18342  CLatccla 18530

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-sb 2091  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ne 2958  df-rab 3415  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-dm 5657  df-iota 6477  df-fv 6529  df-clat 18531

This theorem is referenced by:  isglbd  18541  clatglb  18548  clatglble  18549  glbconN  40001