Theorem clatglbcl2 18521

Description: Any subset of the base set has a GLB in a complete lattice. (Contributed by NM, 13-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
clatglbcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
clatglbcl.g	⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
clatglbcl2	⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑆 ∈ dom 𝐺)

Proof of Theorem clatglbcl2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clatglbcl.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2	1	fvexi 6900	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
3	2	elpw2 5314	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ 𝑆 ⊆ 𝐵)
4	3	biimpri 228	. . 3 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵)
5	4	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵)
6		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
7		clatglbcl.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
8	1, 6, 7	isclat 18515	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ CLat ↔ (𝐾 ∈ Poset ∧ (dom (lub‘𝐾) = 𝒫 𝐵 ∧ dom 𝐺 = 𝒫 𝐵)))
9		simprr 772	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (dom (lub‘𝐾) = 𝒫 𝐵 ∧ dom 𝐺 = 𝒫 𝐵)) → dom 𝐺 = 𝒫 𝐵)
10	8, 9	sylbi 217	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ CLat → dom 𝐺 = 𝒫 𝐵)
11	10	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → dom 𝐺 = 𝒫 𝐵)
12	5, 11	eleqtrrd 2836	1 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑆 ∈ dom 𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3931  𝒫 cpw 4580  dom cdm 5665  ‘cfv 6541  Basecbs 17230  Posetcpo 18324  lubclub 18326  glbcglb 18327  CLatccla 18513

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-sb 2064  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-ne 2932  df-rab 3420  df-v 3465  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-br 5124  df-dm 5675  df-iota 6494  df-fv 6549  df-clat 18514

This theorem is referenced by:  isglbd  18524  clatglb  18531  clatglble  18532  glbconN  39353