Theorem clatglbcl2 18463

Description: Any subset of the base set has a GLB in a complete lattice. (Contributed by NM, 13-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
clatglbcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
clatglbcl.g	⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
clatglbcl2	⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑆 ∈ dom 𝐺)

Proof of Theorem clatglbcl2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clatglbcl.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2	1	fvexi 6841	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
3	2	elpw2 5262	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ 𝑆 ⊆ 𝐵)
4	3	bilanri 507	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵)
5		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
6		clatglbcl.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
7	1, 5, 6	isclat 18457	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ CLat ↔ (𝐾 ∈ Poset ∧ (dom (lub‘𝐾) = 𝒫 𝐵 ∧ dom 𝐺 = 𝒫 𝐵)))
8		simprr 778	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (dom (lub‘𝐾) = 𝒫 𝐵 ∧ dom 𝐺 = 𝒫 𝐵)) → dom 𝐺 = 𝒫 𝐵)
9	7, 8	sylbi 218	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ CLat → dom 𝐺 = 𝒫 𝐵)
10	9	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → dom 𝐺 = 𝒫 𝐵)
11	4, 10	eleqtrrd 2842	1 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑆 ∈ dom 𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ⊆ wss 3883  𝒫 cpw 4529  dom cdm 5618  ‘cfv 6485  Basecbs 17170  Posetcpo 18264  lubclub 18266  glbcglb 18267  CLatccla 18455

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-sb 2074  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-ne 2935  df-rab 3392  df-v 3433  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-dm 5628  df-iota 6441  df-fv 6493  df-clat 18456

This theorem is referenced by:  isglbd  18466  clatglb  18473  clatglble  18474  glbconN  39869