Theorem clatglbcl2 18139

Description: Any subset of the base set has a GLB in a complete lattice. (Contributed by NM, 13-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
clatglbcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
clatglbcl.g	⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
clatglbcl2	⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑆 ∈ dom 𝐺)

Proof of Theorem clatglbcl2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clatglbcl.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2	1	fvexi 6770	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
3	2	elpw2 5264	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ 𝑆 ⊆ 𝐵)
4	3	biimpri 227	. . 3 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵)
5	4	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵)
6		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
7		clatglbcl.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
8	1, 6, 7	isclat 18133	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ CLat ↔ (𝐾 ∈ Poset ∧ (dom (lub‘𝐾) = 𝒫 𝐵 ∧ dom 𝐺 = 𝒫 𝐵)))
9		simprr 769	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (dom (lub‘𝐾) = 𝒫 𝐵 ∧ dom 𝐺 = 𝒫 𝐵)) → dom 𝐺 = 𝒫 𝐵)
10	8, 9	sylbi 216	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ CLat → dom 𝐺 = 𝒫 𝐵)
11	10	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → dom 𝐺 = 𝒫 𝐵)
12	5, 11	eleqtrrd 2842	1 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑆 ∈ dom 𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3883  𝒫 cpw 4530  dom cdm 5580  ‘cfv 6418  Basecbs 16840  Posetcpo 17940  lubclub 17942  glbcglb 17943  CLatccla 18131

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-dm 5590  df-iota 6376  df-fv 6426  df-clat 18132

This theorem is referenced by:  isglbd  18142  clatglb  18149  clatglble  18150