Theorem clatglble 17735

Description: The greatest lower bound is the least element. (Contributed by NM, 5-Dec-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
clatglb.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
clatglb.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
clatglb.g	⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
clatglble	⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑋)

Proof of Theorem clatglble

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clatglb.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		clatglb.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		clatglb.g	. 2 ⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
4		simp1 1132	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ CLat)
5	1, 3	clatglbcl2 17725	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑆 ∈ dom 𝐺)
6	5	3adant3 1128	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ dom 𝐺)
7		simp3 1134	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝑆)
8	1, 2, 3, 4, 6, 7	glble 17610	1 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3936   class class class wbr 5066  dom cdm 5555  ‘cfv 6355  Basecbs 16483  lecple 16572  glbcglb 17553  CLatccla 17717

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-glb 17585  df-clat 17718

This theorem is referenced by:  clatleglb  17736  clatglbss  17737  diaglbN  38206  diaintclN  38209  dibglbN  38317  dibintclN  38318  dihglblem2N  38445  dihglblem4  38448  dihglbcpreN  38451  dochvalr  38508