Theorem clatglble 18575

Description: The greatest lower bound is the least element. (Contributed by NM, 5-Dec-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
clatglb.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
clatglb.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
clatglb.g	⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
clatglble	⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑋)

Proof of Theorem clatglble

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clatglb.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		clatglb.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		clatglb.g	. 2 ⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
4		simp1 1135	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ CLat)
5	1, 3	clatglbcl2 18564	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑆 ∈ dom 𝐺)
6	5	3adant3 1131	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ dom 𝐺)
7		simp3 1137	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝑆)
8	1, 2, 3, 4, 6, 7	glble 18430	1 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3963   class class class wbr 5148  dom cdm 5689  ‘cfv 6563  Basecbs 17245  lecple 17305  glbcglb 18368  CLatccla 18556

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-glb 18405  df-clat 18557

This theorem is referenced by:  clatleglb  18576  clatglbss  18577  diaglbN  41038  diaintclN  41041  dibglbN  41149  dibintclN  41150  dihglblem2N  41277  dihglblem4  41280  dihglbcpreN  41283  dochvalr  41340