Theorem clatglble 18420

Description: The greatest lower bound is the least element. (Contributed by NM, 5-Dec-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
clatglb.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
clatglb.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
clatglb.g	⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
clatglble	⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑋)

Proof of Theorem clatglble

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clatglb.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		clatglb.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		clatglb.g	. 2 ⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
4		simp1 1136	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ CLat)
5	1, 3	clatglbcl2 18409	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑆 ∈ dom 𝐺)
6	5	3adant3 1132	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ dom 𝐺)
7		simp3 1138	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝑆)
8	1, 2, 3, 4, 6, 7	glble 18273	1 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3902   class class class wbr 5091  dom cdm 5616  ‘cfv 6481  Basecbs 17117  lecple 17165  glbcglb 18213  CLatccla 18401

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-glb 18248  df-clat 18402

This theorem is referenced by:  clatleglb  18421  clatglbss  18422  diaglbN  41093  diaintclN  41096  dibglbN  41204  dibintclN  41205  dihglblem2N  41332  dihglblem4  41335  dihglbcpreN  41338  dochvalr  41395