MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clatglble Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clatglble 17440
Description: The greatest lower bound is the least element. (Contributed by NM, 5-Dec-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
clatglb.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
clatglb.l = (le‘𝐾)
clatglb.g 𝐺 = (glb‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
clatglble ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑋𝑆) → (𝐺𝑆) 𝑋)

Proof of Theorem clatglble
StepHypRef Expression
1 clatglb.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 clatglb.l . 2 = (le‘𝐾)
3 clatglb.g . 2 𝐺 = (glb‘𝐾)
4 simp1 1167 . 2 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑋𝑆) → 𝐾 ∈ CLat)
51, 3clatglbcl2 17430 . . 3 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → 𝑆 ∈ dom 𝐺)
653adant3 1163 . 2 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑋𝑆) → 𝑆 ∈ dom 𝐺)
7 simp3 1169 . 2 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑋𝑆) → 𝑋𝑆)
81, 2, 3, 4, 6, 7glble 17315 1 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑋𝑆) → (𝐺𝑆) 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157  wss 3769   class class class wbr 4843  dom cdm 5312  cfv 6101  Basecbs 16184  lecple 16274  glbcglb 17258  CLatccla 17422
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-id 5220  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-glb 17290  df-clat 17423
This theorem is referenced by:  clatleglb  17441  clatglbss  17442  diaglbN  37076  diaintclN  37079  dibglbN  37187  dibintclN  37188  dihglblem2N  37315  dihglblem4  37318  dihglbcpreN  37321  dochvalr  37378
  Copyright terms: Public domain W3C validator