MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clatglb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clatglb 18562
Description: Properties of greatest lower bound of a complete lattice. (Contributed by NM, 5-Dec-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
clatglb.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
clatglb.l = (le‘𝐾)
clatglb.g 𝐺 = (glb‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
clatglb ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → (∀𝑦𝑆 (𝐺𝑆) 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 (𝐺𝑆))))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,𝐵   𝑦,𝐺,𝑧   𝑦,𝐾,𝑧   𝑦, ,𝑧   𝑦,𝑆,𝑧

Proof of Theorem clatglb
StepHypRef Expression
1 clatglb.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 clatglb.l . 2 = (le‘𝐾)
3 clatglb.g . 2 𝐺 = (glb‘𝐾)
4 simpl 482 . 2 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → 𝐾 ∈ CLat)
51, 3clatglbcl2 18552 . 2 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → 𝑆 ∈ dom 𝐺)
61, 2, 3, 4, 5glbprop 18417 1 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → (∀𝑦𝑆 (𝐺𝑆) 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 (𝐺𝑆))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  wral 3060  wss 3950   class class class wbr 5142  cfv 6560  Basecbs 17248  lecple 17305  glbcglb 18357  CLatccla 18544
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-glb 18393  df-clat 18545
This theorem is referenced by:  clatleglb  18564
  Copyright terms: Public domain W3C validator