MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clatglb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clatglb 18574
Description: Properties of greatest lower bound of a complete lattice. (Contributed by NM, 5-Dec-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
clatglb.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
clatglb.l = (le‘𝐾)
clatglb.g 𝐺 = (glb‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
clatglb ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → (∀𝑦𝑆 (𝐺𝑆) 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 (𝐺𝑆))))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,𝐵   𝑦,𝐺,𝑧   𝑦,𝐾,𝑧   𝑦, ,𝑧   𝑦,𝑆,𝑧

Proof of Theorem clatglb
StepHypRef Expression
1 clatglb.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 clatglb.l . 2 = (le‘𝐾)
3 clatglb.g . 2 𝐺 = (glb‘𝐾)
4 simpl 482 . 2 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → 𝐾 ∈ CLat)
51, 3clatglbcl2 18564 . 2 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → 𝑆 ∈ dom 𝐺)
61, 2, 3, 4, 5glbprop 18429 1 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → (∀𝑦𝑆 (𝐺𝑆) 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 (𝐺𝑆))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  wss 3963   class class class wbr 5148  cfv 6563  Basecbs 17245  lecple 17305  glbcglb 18368  CLatccla 18556
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-glb 18405  df-clat 18557
This theorem is referenced by:  clatleglb  18576
  Copyright terms: Public domain W3C validator