Theorem oduclatb 18577

Description: Being a complete lattice is self-dual. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
oduclatb.d	⊢ 𝐷 = (ODual‘𝑂)

Assertion

Ref	Expression
oduclatb	⊢ (𝑂 ∈ CLat ↔ 𝐷 ∈ CLat)

Proof of Theorem oduclatb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3509	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ CLat → 𝑂 ∈ V)
2		noel 4360	. . . . 5 ⊢ ¬ ((lub‘∅)‘∅) ∈ ∅
3		ssid 4031	. . . . . 6 ⊢ ∅ ⊆ ∅
4		base0 17263	. . . . . . 7 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
5		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (lub‘∅) = (lub‘∅)
6	4, 5	clatlubcl 18573	. . . . . 6 ⊢ ((∅ ∈ CLat ∧ ∅ ⊆ ∅) → ((lub‘∅)‘∅) ∈ ∅)
7	3, 6	mpan2 690	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ CLat → ((lub‘∅)‘∅) ∈ ∅)
8	2, 7	mto 197	. . . 4 ⊢ ¬ ∅ ∈ CLat
9		oduclatb.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (ODual‘𝑂)
10		fvprc 6912	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → (ODual‘𝑂) = ∅)
11	9, 10	eqtrid 2792	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → 𝐷 = ∅)
12	11	eleq1d 2829	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → (𝐷 ∈ CLat ↔ ∅ ∈ CLat))
13	8, 12	mtbiri 327	. . 3 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → ¬ 𝐷 ∈ CLat)
14	13	con4i 114	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ CLat → 𝑂 ∈ V)
15	9	oduposb 18399	. . . 4 ⊢ (𝑂 ∈ V → (𝑂 ∈ Poset ↔ 𝐷 ∈ Poset))
16		ancom 460	. . . . 5 ⊢ ((dom (lub‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂) ∧ dom (glb‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂)) ↔ (dom (glb‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂) ∧ dom (lub‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂)))
17		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (glb‘𝑂) = (glb‘𝑂)
18	9, 17	odulub 18477	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑂 ∈ V → (glb‘𝑂) = (lub‘𝐷))
19	18	dmeqd 5930	. . . . . . 7 ⊢ (𝑂 ∈ V → dom (glb‘𝑂) = dom (lub‘𝐷))
20	19	eqeq1d 2742	. . . . . 6 ⊢ (𝑂 ∈ V → (dom (glb‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂) ↔ dom (lub‘𝐷) = 𝒫 (Base‘𝑂)))
21		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (lub‘𝑂) = (lub‘𝑂)
22	9, 21	oduglb 18479	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑂 ∈ V → (lub‘𝑂) = (glb‘𝐷))
23	22	dmeqd 5930	. . . . . . 7 ⊢ (𝑂 ∈ V → dom (lub‘𝑂) = dom (glb‘𝐷))
24	23	eqeq1d 2742	. . . . . 6 ⊢ (𝑂 ∈ V → (dom (lub‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂) ↔ dom (glb‘𝐷) = 𝒫 (Base‘𝑂)))
25	20, 24	anbi12d 631	. . . . 5 ⊢ (𝑂 ∈ V → ((dom (glb‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂) ∧ dom (lub‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂)) ↔ (dom (lub‘𝐷) = 𝒫 (Base‘𝑂) ∧ dom (glb‘𝐷) = 𝒫 (Base‘𝑂))))
26	16, 25	bitrid 283	. . . 4 ⊢ (𝑂 ∈ V → ((dom (lub‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂) ∧ dom (glb‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂)) ↔ (dom (lub‘𝐷) = 𝒫 (Base‘𝑂) ∧ dom (glb‘𝐷) = 𝒫 (Base‘𝑂))))
27	15, 26	anbi12d 631	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ V → ((𝑂 ∈ Poset ∧ (dom (lub‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂) ∧ dom (glb‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂))) ↔ (𝐷 ∈ Poset ∧ (dom (lub‘𝐷) = 𝒫 (Base‘𝑂) ∧ dom (glb‘𝐷) = 𝒫 (Base‘𝑂)))))
28		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑂) = (Base‘𝑂)
29	28, 21, 17	isclat 18570	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ CLat ↔ (𝑂 ∈ Poset ∧ (dom (lub‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂) ∧ dom (glb‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂))))
30	9, 28	odubas 18361	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑂) = (Base‘𝐷)
31		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (lub‘𝐷) = (lub‘𝐷)
32		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (glb‘𝐷) = (glb‘𝐷)
33	30, 31, 32	isclat 18570	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ CLat ↔ (𝐷 ∈ Poset ∧ (dom (lub‘𝐷) = 𝒫 (Base‘𝑂) ∧ dom (glb‘𝐷) = 𝒫 (Base‘𝑂))))
34	27, 29, 33	3bitr4g 314	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ V → (𝑂 ∈ CLat ↔ 𝐷 ∈ CLat))
35	1, 14, 34	pm5.21nii 378	1 ⊢ (𝑂 ∈ CLat ↔ 𝐷 ∈ CLat)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488   ⊆ wss 3976  ∅c0 4352  𝒫 cpw 4622  dom cdm 5700  ‘cfv 6573  Basecbs 17258  ODualcodu 18356  Posetcpo 18377  lubclub 18379  glbcglb 18380  CLatccla 18568

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-dec 12759  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ple 17331  df-odu 18357  df-proset 18365  df-poset 18383  df-lub 18416  df-glb 18417  df-clat 18569

This theorem is referenced by: (None)