Theorem oduclatb 18552

Description: Being a complete lattice is self-dual. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
oduclatb.d	⊢ 𝐷 = (ODual‘𝑂)

Assertion

Ref	Expression
oduclatb	⊢ (𝑂 ∈ CLat ↔ 𝐷 ∈ CLat)

Proof of Theorem oduclatb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3501	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ CLat → 𝑂 ∈ V)
2		noel 4338	. . . . 5 ⊢ ¬ ((lub‘∅)‘∅) ∈ ∅
3		ssid 4006	. . . . . 6 ⊢ ∅ ⊆ ∅
4		base0 17252	. . . . . . 7 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
5		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (lub‘∅) = (lub‘∅)
6	4, 5	clatlubcl 18548	. . . . . 6 ⊢ ((∅ ∈ CLat ∧ ∅ ⊆ ∅) → ((lub‘∅)‘∅) ∈ ∅)
7	3, 6	mpan2 691	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ CLat → ((lub‘∅)‘∅) ∈ ∅)
8	2, 7	mto 197	. . . 4 ⊢ ¬ ∅ ∈ CLat
9		oduclatb.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (ODual‘𝑂)
10		fvprc 6898	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → (ODual‘𝑂) = ∅)
11	9, 10	eqtrid 2789	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → 𝐷 = ∅)
12	11	eleq1d 2826	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → (𝐷 ∈ CLat ↔ ∅ ∈ CLat))
13	8, 12	mtbiri 327	. . 3 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → ¬ 𝐷 ∈ CLat)
14	13	con4i 114	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ CLat → 𝑂 ∈ V)
15	9	oduposb 18374	. . . 4 ⊢ (𝑂 ∈ V → (𝑂 ∈ Poset ↔ 𝐷 ∈ Poset))
16		ancom 460	. . . . 5 ⊢ ((dom (lub‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂) ∧ dom (glb‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂)) ↔ (dom (glb‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂) ∧ dom (lub‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂)))
17		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (glb‘𝑂) = (glb‘𝑂)
18	9, 17	odulub 18452	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑂 ∈ V → (glb‘𝑂) = (lub‘𝐷))
19	18	dmeqd 5916	. . . . . . 7 ⊢ (𝑂 ∈ V → dom (glb‘𝑂) = dom (lub‘𝐷))
20	19	eqeq1d 2739	. . . . . 6 ⊢ (𝑂 ∈ V → (dom (glb‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂) ↔ dom (lub‘𝐷) = 𝒫 (Base‘𝑂)))
21		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (lub‘𝑂) = (lub‘𝑂)
22	9, 21	oduglb 18454	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑂 ∈ V → (lub‘𝑂) = (glb‘𝐷))
23	22	dmeqd 5916	. . . . . . 7 ⊢ (𝑂 ∈ V → dom (lub‘𝑂) = dom (glb‘𝐷))
24	23	eqeq1d 2739	. . . . . 6 ⊢ (𝑂 ∈ V → (dom (lub‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂) ↔ dom (glb‘𝐷) = 𝒫 (Base‘𝑂)))
25	20, 24	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝑂 ∈ V → ((dom (glb‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂) ∧ dom (lub‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂)) ↔ (dom (lub‘𝐷) = 𝒫 (Base‘𝑂) ∧ dom (glb‘𝐷) = 𝒫 (Base‘𝑂))))
26	16, 25	bitrid 283	. . . 4 ⊢ (𝑂 ∈ V → ((dom (lub‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂) ∧ dom (glb‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂)) ↔ (dom (lub‘𝐷) = 𝒫 (Base‘𝑂) ∧ dom (glb‘𝐷) = 𝒫 (Base‘𝑂))))
27	15, 26	anbi12d 632	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ V → ((𝑂 ∈ Poset ∧ (dom (lub‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂) ∧ dom (glb‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂))) ↔ (𝐷 ∈ Poset ∧ (dom (lub‘𝐷) = 𝒫 (Base‘𝑂) ∧ dom (glb‘𝐷) = 𝒫 (Base‘𝑂)))))
28		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑂) = (Base‘𝑂)
29	28, 21, 17	isclat 18545	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ CLat ↔ (𝑂 ∈ Poset ∧ (dom (lub‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂) ∧ dom (glb‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂))))
30	9, 28	odubas 18336	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑂) = (Base‘𝐷)
31		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (lub‘𝐷) = (lub‘𝐷)
32		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (glb‘𝐷) = (glb‘𝐷)
33	30, 31, 32	isclat 18545	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ CLat ↔ (𝐷 ∈ Poset ∧ (dom (lub‘𝐷) = 𝒫 (Base‘𝑂) ∧ dom (glb‘𝐷) = 𝒫 (Base‘𝑂))))
34	27, 29, 33	3bitr4g 314	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ V → (𝑂 ∈ CLat ↔ 𝐷 ∈ CLat))
35	1, 14, 34	pm5.21nii 378	1 ⊢ (𝑂 ∈ CLat ↔ 𝐷 ∈ CLat)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3480   ⊆ wss 3951  ∅c0 4333  𝒫 cpw 4600  dom cdm 5685  ‘cfv 6561  Basecbs 17247  ODualcodu 18331  Posetcpo 18353  lubclub 18355  glbcglb 18356  CLatccla 18543

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-dec 12734  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ple 17317  df-odu 18332  df-proset 18340  df-poset 18359  df-lub 18391  df-glb 18392  df-clat 18544

This theorem is referenced by: (None)