MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oduclatb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oduclatb 18565
Description: Being a complete lattice is self-dual. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
oduclatb.d 𝐷 = (ODual‘𝑂)
Assertion
Ref Expression
oduclatb (𝑂 ∈ CLat ↔ 𝐷 ∈ CLat)

Proof of Theorem oduclatb
StepHypRef Expression
1 elex 3499 . 2 (𝑂 ∈ CLat → 𝑂 ∈ V)
2 noel 4344 . . . . 5 ¬ ((lub‘∅)‘∅) ∈ ∅
3 ssid 4018 . . . . . 6 ∅ ⊆ ∅
4 base0 17250 . . . . . . 7 ∅ = (Base‘∅)
5 eqid 2735 . . . . . . 7 (lub‘∅) = (lub‘∅)
64, 5clatlubcl 18561 . . . . . 6 ((∅ ∈ CLat ∧ ∅ ⊆ ∅) → ((lub‘∅)‘∅) ∈ ∅)
73, 6mpan2 691 . . . . 5 (∅ ∈ CLat → ((lub‘∅)‘∅) ∈ ∅)
82, 7mto 197 . . . 4 ¬ ∅ ∈ CLat
9 oduclatb.d . . . . . 6 𝐷 = (ODual‘𝑂)
10 fvprc 6899 . . . . . 6 𝑂 ∈ V → (ODual‘𝑂) = ∅)
119, 10eqtrid 2787 . . . . 5 𝑂 ∈ V → 𝐷 = ∅)
1211eleq1d 2824 . . . 4 𝑂 ∈ V → (𝐷 ∈ CLat ↔ ∅ ∈ CLat))
138, 12mtbiri 327 . . 3 𝑂 ∈ V → ¬ 𝐷 ∈ CLat)
1413con4i 114 . 2 (𝐷 ∈ CLat → 𝑂 ∈ V)
159oduposb 18387 . . . 4 (𝑂 ∈ V → (𝑂 ∈ Poset ↔ 𝐷 ∈ Poset))
16 ancom 460 . . . . 5 ((dom (lub‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂) ∧ dom (glb‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂)) ↔ (dom (glb‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂) ∧ dom (lub‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂)))
17 eqid 2735 . . . . . . . . 9 (glb‘𝑂) = (glb‘𝑂)
189, 17odulub 18465 . . . . . . . 8 (𝑂 ∈ V → (glb‘𝑂) = (lub‘𝐷))
1918dmeqd 5919 . . . . . . 7 (𝑂 ∈ V → dom (glb‘𝑂) = dom (lub‘𝐷))
2019eqeq1d 2737 . . . . . 6 (𝑂 ∈ V → (dom (glb‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂) ↔ dom (lub‘𝐷) = 𝒫 (Base‘𝑂)))
21 eqid 2735 . . . . . . . . 9 (lub‘𝑂) = (lub‘𝑂)
229, 21oduglb 18467 . . . . . . . 8 (𝑂 ∈ V → (lub‘𝑂) = (glb‘𝐷))
2322dmeqd 5919 . . . . . . 7 (𝑂 ∈ V → dom (lub‘𝑂) = dom (glb‘𝐷))
2423eqeq1d 2737 . . . . . 6 (𝑂 ∈ V → (dom (lub‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂) ↔ dom (glb‘𝐷) = 𝒫 (Base‘𝑂)))
2520, 24anbi12d 632 . . . . 5 (𝑂 ∈ V → ((dom (glb‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂) ∧ dom (lub‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂)) ↔ (dom (lub‘𝐷) = 𝒫 (Base‘𝑂) ∧ dom (glb‘𝐷) = 𝒫 (Base‘𝑂))))
2616, 25bitrid 283 . . . 4 (𝑂 ∈ V → ((dom (lub‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂) ∧ dom (glb‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂)) ↔ (dom (lub‘𝐷) = 𝒫 (Base‘𝑂) ∧ dom (glb‘𝐷) = 𝒫 (Base‘𝑂))))
2715, 26anbi12d 632 . . 3 (𝑂 ∈ V → ((𝑂 ∈ Poset ∧ (dom (lub‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂) ∧ dom (glb‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂))) ↔ (𝐷 ∈ Poset ∧ (dom (lub‘𝐷) = 𝒫 (Base‘𝑂) ∧ dom (glb‘𝐷) = 𝒫 (Base‘𝑂)))))
28 eqid 2735 . . . 4 (Base‘𝑂) = (Base‘𝑂)
2928, 21, 17isclat 18558 . . 3 (𝑂 ∈ CLat ↔ (𝑂 ∈ Poset ∧ (dom (lub‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂) ∧ dom (glb‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂))))
309, 28odubas 18348 . . . 4 (Base‘𝑂) = (Base‘𝐷)
31 eqid 2735 . . . 4 (lub‘𝐷) = (lub‘𝐷)
32 eqid 2735 . . . 4 (glb‘𝐷) = (glb‘𝐷)
3330, 31, 32isclat 18558 . . 3 (𝐷 ∈ CLat ↔ (𝐷 ∈ Poset ∧ (dom (lub‘𝐷) = 𝒫 (Base‘𝑂) ∧ dom (glb‘𝐷) = 𝒫 (Base‘𝑂))))
3427, 29, 333bitr4g 314 . 2 (𝑂 ∈ V → (𝑂 ∈ CLat ↔ 𝐷 ∈ CLat))
351, 14, 34pm5.21nii 378 1 (𝑂 ∈ CLat ↔ 𝐷 ∈ CLat)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  wss 3963  c0 4339  𝒫 cpw 4605  dom cdm 5689  cfv 6563  Basecbs 17245  ODualcodu 18343  Posetcpo 18365  lubclub 18367  glbcglb 18368  CLatccla 18556
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-dec 12732  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ple 17318  df-odu 18344  df-proset 18352  df-poset 18371  df-lub 18404  df-glb 18405  df-clat 18557
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator