MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oduclatb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oduclatb 18552
Description: Being a complete lattice is self-dual. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
oduclatb.d 𝐷 = (ODual‘𝑂)
Assertion
Ref Expression
oduclatb (𝑂 ∈ CLat ↔ 𝐷 ∈ CLat)

Proof of Theorem oduclatb
StepHypRef Expression
1 elex 3501 . 2 (𝑂 ∈ CLat → 𝑂 ∈ V)
2 noel 4338 . . . . 5 ¬ ((lub‘∅)‘∅) ∈ ∅
3 ssid 4006 . . . . . 6 ∅ ⊆ ∅
4 base0 17252 . . . . . . 7 ∅ = (Base‘∅)
5 eqid 2737 . . . . . . 7 (lub‘∅) = (lub‘∅)
64, 5clatlubcl 18548 . . . . . 6 ((∅ ∈ CLat ∧ ∅ ⊆ ∅) → ((lub‘∅)‘∅) ∈ ∅)
73, 6mpan2 691 . . . . 5 (∅ ∈ CLat → ((lub‘∅)‘∅) ∈ ∅)
82, 7mto 197 . . . 4 ¬ ∅ ∈ CLat
9 oduclatb.d . . . . . 6 𝐷 = (ODual‘𝑂)
10 fvprc 6898 . . . . . 6 𝑂 ∈ V → (ODual‘𝑂) = ∅)
119, 10eqtrid 2789 . . . . 5 𝑂 ∈ V → 𝐷 = ∅)
1211eleq1d 2826 . . . 4 𝑂 ∈ V → (𝐷 ∈ CLat ↔ ∅ ∈ CLat))
138, 12mtbiri 327 . . 3 𝑂 ∈ V → ¬ 𝐷 ∈ CLat)
1413con4i 114 . 2 (𝐷 ∈ CLat → 𝑂 ∈ V)
159oduposb 18374 . . . 4 (𝑂 ∈ V → (𝑂 ∈ Poset ↔ 𝐷 ∈ Poset))
16 ancom 460 . . . . 5 ((dom (lub‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂) ∧ dom (glb‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂)) ↔ (dom (glb‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂) ∧ dom (lub‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂)))
17 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (glb‘𝑂) = (glb‘𝑂)
189, 17odulub 18452 . . . . . . . 8 (𝑂 ∈ V → (glb‘𝑂) = (lub‘𝐷))
1918dmeqd 5916 . . . . . . 7 (𝑂 ∈ V → dom (glb‘𝑂) = dom (lub‘𝐷))
2019eqeq1d 2739 . . . . . 6 (𝑂 ∈ V → (dom (glb‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂) ↔ dom (lub‘𝐷) = 𝒫 (Base‘𝑂)))
21 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (lub‘𝑂) = (lub‘𝑂)
229, 21oduglb 18454 . . . . . . . 8 (𝑂 ∈ V → (lub‘𝑂) = (glb‘𝐷))
2322dmeqd 5916 . . . . . . 7 (𝑂 ∈ V → dom (lub‘𝑂) = dom (glb‘𝐷))
2423eqeq1d 2739 . . . . . 6 (𝑂 ∈ V → (dom (lub‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂) ↔ dom (glb‘𝐷) = 𝒫 (Base‘𝑂)))
2520, 24anbi12d 632 . . . . 5 (𝑂 ∈ V → ((dom (glb‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂) ∧ dom (lub‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂)) ↔ (dom (lub‘𝐷) = 𝒫 (Base‘𝑂) ∧ dom (glb‘𝐷) = 𝒫 (Base‘𝑂))))
2616, 25bitrid 283 . . . 4 (𝑂 ∈ V → ((dom (lub‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂) ∧ dom (glb‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂)) ↔ (dom (lub‘𝐷) = 𝒫 (Base‘𝑂) ∧ dom (glb‘𝐷) = 𝒫 (Base‘𝑂))))
2715, 26anbi12d 632 . . 3 (𝑂 ∈ V → ((𝑂 ∈ Poset ∧ (dom (lub‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂) ∧ dom (glb‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂))) ↔ (𝐷 ∈ Poset ∧ (dom (lub‘𝐷) = 𝒫 (Base‘𝑂) ∧ dom (glb‘𝐷) = 𝒫 (Base‘𝑂)))))
28 eqid 2737 . . . 4 (Base‘𝑂) = (Base‘𝑂)
2928, 21, 17isclat 18545 . . 3 (𝑂 ∈ CLat ↔ (𝑂 ∈ Poset ∧ (dom (lub‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂) ∧ dom (glb‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂))))
309, 28odubas 18336 . . . 4 (Base‘𝑂) = (Base‘𝐷)
31 eqid 2737 . . . 4 (lub‘𝐷) = (lub‘𝐷)
32 eqid 2737 . . . 4 (glb‘𝐷) = (glb‘𝐷)
3330, 31, 32isclat 18545 . . 3 (𝐷 ∈ CLat ↔ (𝐷 ∈ Poset ∧ (dom (lub‘𝐷) = 𝒫 (Base‘𝑂) ∧ dom (glb‘𝐷) = 𝒫 (Base‘𝑂))))
3427, 29, 333bitr4g 314 . 2 (𝑂 ∈ V → (𝑂 ∈ CLat ↔ 𝐷 ∈ CLat))
351, 14, 34pm5.21nii 378 1 (𝑂 ∈ CLat ↔ 𝐷 ∈ CLat)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  Vcvv 3480  wss 3951  c0 4333  𝒫 cpw 4600  dom cdm 5685  cfv 6561  Basecbs 17247  ODualcodu 18331  Posetcpo 18353  lubclub 18355  glbcglb 18356  CLatccla 18543
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-dec 12734  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ple 17317  df-odu 18332  df-proset 18340  df-poset 18359  df-lub 18391  df-glb 18392  df-clat 18544
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator