MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oduclatb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oduclatb 17624
Description: Being a complete lattice is self-dual. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
oduglb.d 𝐷 = (ODual‘𝑂)
Assertion
Ref Expression
oduclatb (𝑂 ∈ CLat ↔ 𝐷 ∈ CLat)

Proof of Theorem oduclatb
StepHypRef Expression
1 elex 3426 . 2 (𝑂 ∈ CLat → 𝑂 ∈ V)
2 noel 4177 . . . . 5 ¬ ((lub‘∅)‘∅) ∈ ∅
3 ssid 3872 . . . . . 6 ∅ ⊆ ∅
4 base0 16390 . . . . . . 7 ∅ = (Base‘∅)
5 eqid 2771 . . . . . . 7 (lub‘∅) = (lub‘∅)
64, 5clatlubcl 17592 . . . . . 6 ((∅ ∈ CLat ∧ ∅ ⊆ ∅) → ((lub‘∅)‘∅) ∈ ∅)
73, 6mpan2 679 . . . . 5 (∅ ∈ CLat → ((lub‘∅)‘∅) ∈ ∅)
82, 7mto 189 . . . 4 ¬ ∅ ∈ CLat
9 oduglb.d . . . . . 6 𝐷 = (ODual‘𝑂)
10 fvprc 6489 . . . . . 6 𝑂 ∈ V → (ODual‘𝑂) = ∅)
119, 10syl5eq 2819 . . . . 5 𝑂 ∈ V → 𝐷 = ∅)
1211eleq1d 2843 . . . 4 𝑂 ∈ V → (𝐷 ∈ CLat ↔ ∅ ∈ CLat))
138, 12mtbiri 319 . . 3 𝑂 ∈ V → ¬ 𝐷 ∈ CLat)
1413con4i 114 . 2 (𝐷 ∈ CLat → 𝑂 ∈ V)
159oduposb 17616 . . . 4 (𝑂 ∈ V → (𝑂 ∈ Poset ↔ 𝐷 ∈ Poset))
16 ancom 453 . . . . 5 ((dom (lub‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂) ∧ dom (glb‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂)) ↔ (dom (glb‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂) ∧ dom (lub‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂)))
17 eqid 2771 . . . . . . . . 9 (glb‘𝑂) = (glb‘𝑂)
189, 17odulub 17621 . . . . . . . 8 (𝑂 ∈ V → (glb‘𝑂) = (lub‘𝐷))
1918dmeqd 5620 . . . . . . 7 (𝑂 ∈ V → dom (glb‘𝑂) = dom (lub‘𝐷))
2019eqeq1d 2773 . . . . . 6 (𝑂 ∈ V → (dom (glb‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂) ↔ dom (lub‘𝐷) = 𝒫 (Base‘𝑂)))
21 eqid 2771 . . . . . . . . 9 (lub‘𝑂) = (lub‘𝑂)
229, 21oduglb 17619 . . . . . . . 8 (𝑂 ∈ V → (lub‘𝑂) = (glb‘𝐷))
2322dmeqd 5620 . . . . . . 7 (𝑂 ∈ V → dom (lub‘𝑂) = dom (glb‘𝐷))
2423eqeq1d 2773 . . . . . 6 (𝑂 ∈ V → (dom (lub‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂) ↔ dom (glb‘𝐷) = 𝒫 (Base‘𝑂)))
2520, 24anbi12d 622 . . . . 5 (𝑂 ∈ V → ((dom (glb‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂) ∧ dom (lub‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂)) ↔ (dom (lub‘𝐷) = 𝒫 (Base‘𝑂) ∧ dom (glb‘𝐷) = 𝒫 (Base‘𝑂))))
2616, 25syl5bb 275 . . . 4 (𝑂 ∈ V → ((dom (lub‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂) ∧ dom (glb‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂)) ↔ (dom (lub‘𝐷) = 𝒫 (Base‘𝑂) ∧ dom (glb‘𝐷) = 𝒫 (Base‘𝑂))))
2715, 26anbi12d 622 . . 3 (𝑂 ∈ V → ((𝑂 ∈ Poset ∧ (dom (lub‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂) ∧ dom (glb‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂))) ↔ (𝐷 ∈ Poset ∧ (dom (lub‘𝐷) = 𝒫 (Base‘𝑂) ∧ dom (glb‘𝐷) = 𝒫 (Base‘𝑂)))))
28 eqid 2771 . . . 4 (Base‘𝑂) = (Base‘𝑂)
2928, 21, 17isclat 17589 . . 3 (𝑂 ∈ CLat ↔ (𝑂 ∈ Poset ∧ (dom (lub‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂) ∧ dom (glb‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂))))
309, 28odubas 17613 . . . 4 (Base‘𝑂) = (Base‘𝐷)
31 eqid 2771 . . . 4 (lub‘𝐷) = (lub‘𝐷)
32 eqid 2771 . . . 4 (glb‘𝐷) = (glb‘𝐷)
3330, 31, 32isclat 17589 . . 3 (𝐷 ∈ CLat ↔ (𝐷 ∈ Poset ∧ (dom (lub‘𝐷) = 𝒫 (Base‘𝑂) ∧ dom (glb‘𝐷) = 𝒫 (Base‘𝑂))))
3427, 29, 333bitr4g 306 . 2 (𝑂 ∈ V → (𝑂 ∈ CLat ↔ 𝐷 ∈ CLat))
351, 14, 34pm5.21nii 371 1 (𝑂 ∈ CLat ↔ 𝐷 ∈ CLat)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 198  wa 387   = wceq 1508  wcel 2051  Vcvv 3408  wss 3822  c0 4172  𝒫 cpw 4416  dom cdm 5403  cfv 6185  Basecbs 16337  Posetcpo 17420  lubclub 17422  glbcglb 17423  CLatccla 17587  ODualcodu 17608
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-pss 3838  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-er 8087  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-nn 11438  df-2 11501  df-3 11502  df-4 11503  df-5 11504  df-6 11505  df-7 11506  df-8 11507  df-9 11508  df-dec 11910  df-ndx 16340  df-slot 16341  df-base 16343  df-sets 16344  df-ple 16439  df-proset 17408  df-poset 17426  df-lub 17454  df-glb 17455  df-clat 17588  df-odu 17609
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator