Theorem oduclatb 18473

Description: Being a complete lattice is self-dual. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
oduclatb.d	⊢ 𝐷 = (ODual‘𝑂)

Assertion

Ref	Expression
oduclatb	⊢ (𝑂 ∈ CLat ↔ 𝐷 ∈ CLat)

Proof of Theorem oduclatb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3450	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ CLat → 𝑂 ∈ V)
2		noel 4278	. . . . 5 ⊢ ¬ ((lub‘∅)‘∅) ∈ ∅
3		ssid 3944	. . . . . 6 ⊢ ∅ ⊆ ∅
4		base0 17184	. . . . . . 7 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
5		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (lub‘∅) = (lub‘∅)
6	4, 5	clatlubcl 18469	. . . . . 6 ⊢ ((∅ ∈ CLat ∧ ∅ ⊆ ∅) → ((lub‘∅)‘∅) ∈ ∅)
7	3, 6	mpan2 692	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ CLat → ((lub‘∅)‘∅) ∈ ∅)
8	2, 7	mto 197	. . . 4 ⊢ ¬ ∅ ∈ CLat
9		oduclatb.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (ODual‘𝑂)
10		fvprc 6832	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → (ODual‘𝑂) = ∅)
11	9, 10	eqtrid 2783	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → 𝐷 = ∅)
12	11	eleq1d 2821	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → (𝐷 ∈ CLat ↔ ∅ ∈ CLat))
13	8, 12	mtbiri 327	. . 3 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → ¬ 𝐷 ∈ CLat)
14	13	con4i 114	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ CLat → 𝑂 ∈ V)
15	9	oduposb 18293	. . . 4 ⊢ (𝑂 ∈ V → (𝑂 ∈ Poset ↔ 𝐷 ∈ Poset))
16		ancom 460	. . . . 5 ⊢ ((dom (lub‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂) ∧ dom (glb‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂)) ↔ (dom (glb‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂) ∧ dom (lub‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂)))
17		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (glb‘𝑂) = (glb‘𝑂)
18	9, 17	odulub 18371	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑂 ∈ V → (glb‘𝑂) = (lub‘𝐷))
19	18	dmeqd 5860	. . . . . . 7 ⊢ (𝑂 ∈ V → dom (glb‘𝑂) = dom (lub‘𝐷))
20	19	eqeq1d 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝑂 ∈ V → (dom (glb‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂) ↔ dom (lub‘𝐷) = 𝒫 (Base‘𝑂)))
21		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (lub‘𝑂) = (lub‘𝑂)
22	9, 21	oduglb 18373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑂 ∈ V → (lub‘𝑂) = (glb‘𝐷))
23	22	dmeqd 5860	. . . . . . 7 ⊢ (𝑂 ∈ V → dom (lub‘𝑂) = dom (glb‘𝐷))
24	23	eqeq1d 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝑂 ∈ V → (dom (lub‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂) ↔ dom (glb‘𝐷) = 𝒫 (Base‘𝑂)))
25	20, 24	anbi12d 633	. . . . 5 ⊢ (𝑂 ∈ V → ((dom (glb‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂) ∧ dom (lub‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂)) ↔ (dom (lub‘𝐷) = 𝒫 (Base‘𝑂) ∧ dom (glb‘𝐷) = 𝒫 (Base‘𝑂))))
26	16, 25	bitrid 283	. . . 4 ⊢ (𝑂 ∈ V → ((dom (lub‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂) ∧ dom (glb‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂)) ↔ (dom (lub‘𝐷) = 𝒫 (Base‘𝑂) ∧ dom (glb‘𝐷) = 𝒫 (Base‘𝑂))))
27	15, 26	anbi12d 633	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ V → ((𝑂 ∈ Poset ∧ (dom (lub‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂) ∧ dom (glb‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂))) ↔ (𝐷 ∈ Poset ∧ (dom (lub‘𝐷) = 𝒫 (Base‘𝑂) ∧ dom (glb‘𝐷) = 𝒫 (Base‘𝑂)))))
28		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑂) = (Base‘𝑂)
29	28, 21, 17	isclat 18466	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ CLat ↔ (𝑂 ∈ Poset ∧ (dom (lub‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂) ∧ dom (glb‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂))))
30	9, 28	odubas 18257	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑂) = (Base‘𝐷)
31		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (lub‘𝐷) = (lub‘𝐷)
32		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (glb‘𝐷) = (glb‘𝐷)
33	30, 31, 32	isclat 18466	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ CLat ↔ (𝐷 ∈ Poset ∧ (dom (lub‘𝐷) = 𝒫 (Base‘𝑂) ∧ dom (glb‘𝐷) = 𝒫 (Base‘𝑂))))
34	27, 29, 33	3bitr4g 314	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ V → (𝑂 ∈ CLat ↔ 𝐷 ∈ CLat))
35	1, 14, 34	pm5.21nii 378	1 ⊢ (𝑂 ∈ CLat ↔ 𝐷 ∈ CLat)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3429   ⊆ wss 3889  ∅c0 4273  𝒫 cpw 4541  dom cdm 5631  ‘cfv 6498  Basecbs 17179  ODualcodu 18252  Posetcpo 18273  lubclub 18275  glbcglb 18276  CLatccla 18464

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-dec 12645  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ple 17240  df-odu 18253  df-proset 18260  df-poset 18279  df-lub 18310  df-glb 18311  df-clat 18465

This theorem is referenced by: (None)