Theorem oduclatb 18464

Description: Being a complete lattice is self-dual. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
oduclatb.d	⊢ 𝐷 = (ODual‘𝑂)

Assertion

Ref	Expression
oduclatb	⊢ (𝑂 ∈ CLat ↔ 𝐷 ∈ CLat)

Proof of Theorem oduclatb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3452	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ CLat → 𝑂 ∈ V)
2		noel 4266	. . . . 5 ⊢ ¬ ((lub‘∅)‘∅) ∈ ∅
3		ssid 3937	. . . . . 6 ⊢ ∅ ⊆ ∅
4		base0 17175	. . . . . . 7 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
5		eqid 2739	. . . . . . 7 ⊢ (lub‘∅) = (lub‘∅)
6	4, 5	clatlubcl 18460	. . . . . 6 ⊢ ((∅ ∈ CLat ∧ ∅ ⊆ ∅) → ((lub‘∅)‘∅) ∈ ∅)
7	3, 6	mpan2 697	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ CLat → ((lub‘∅)‘∅) ∈ ∅)
8	2, 7	mto 198	. . . 4 ⊢ ¬ ∅ ∈ CLat
9		oduclatb.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (ODual‘𝑂)
10		fvprc 6819	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → (ODual‘𝑂) = ∅)
11	9, 10	eqtrid 2786	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → 𝐷 = ∅)
12	11	eleq1d 2824	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → (𝐷 ∈ CLat ↔ ∅ ∈ CLat))
13	8, 12	mtbiri 328	. . 3 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → ¬ 𝐷 ∈ CLat)
14	13	con4i 114	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ CLat → 𝑂 ∈ V)
15	9	oduposb 18284	. . . 4 ⊢ (𝑂 ∈ V → (𝑂 ∈ Poset ↔ 𝐷 ∈ Poset))
16		ancom 461	. . . . 5 ⊢ ((dom (lub‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂) ∧ dom (glb‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂)) ↔ (dom (glb‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂) ∧ dom (lub‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂)))
17		eqid 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ (glb‘𝑂) = (glb‘𝑂)
18	9, 17	odulub 18362	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑂 ∈ V → (glb‘𝑂) = (lub‘𝐷))
19	18	dmeqd 5847	. . . . . . 7 ⊢ (𝑂 ∈ V → dom (glb‘𝑂) = dom (lub‘𝐷))
20	19	eqeq1d 2741	. . . . . 6 ⊢ (𝑂 ∈ V → (dom (glb‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂) ↔ dom (lub‘𝐷) = 𝒫 (Base‘𝑂)))
21		eqid 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ (lub‘𝑂) = (lub‘𝑂)
22	9, 21	oduglb 18364	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑂 ∈ V → (lub‘𝑂) = (glb‘𝐷))
23	22	dmeqd 5847	. . . . . . 7 ⊢ (𝑂 ∈ V → dom (lub‘𝑂) = dom (glb‘𝐷))
24	23	eqeq1d 2741	. . . . . 6 ⊢ (𝑂 ∈ V → (dom (lub‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂) ↔ dom (glb‘𝐷) = 𝒫 (Base‘𝑂)))
25	20, 24	anbi12d 638	. . . . 5 ⊢ (𝑂 ∈ V → ((dom (glb‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂) ∧ dom (lub‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂)) ↔ (dom (lub‘𝐷) = 𝒫 (Base‘𝑂) ∧ dom (glb‘𝐷) = 𝒫 (Base‘𝑂))))
26	16, 25	bitrid 284	. . . 4 ⊢ (𝑂 ∈ V → ((dom (lub‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂) ∧ dom (glb‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂)) ↔ (dom (lub‘𝐷) = 𝒫 (Base‘𝑂) ∧ dom (glb‘𝐷) = 𝒫 (Base‘𝑂))))
27	15, 26	anbi12d 638	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ V → ((𝑂 ∈ Poset ∧ (dom (lub‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂) ∧ dom (glb‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂))) ↔ (𝐷 ∈ Poset ∧ (dom (lub‘𝐷) = 𝒫 (Base‘𝑂) ∧ dom (glb‘𝐷) = 𝒫 (Base‘𝑂)))))
28		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑂) = (Base‘𝑂)
29	28, 21, 17	isclat 18457	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ CLat ↔ (𝑂 ∈ Poset ∧ (dom (lub‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂) ∧ dom (glb‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂))))
30	9, 28	odubas 18248	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑂) = (Base‘𝐷)
31		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (lub‘𝐷) = (lub‘𝐷)
32		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (glb‘𝐷) = (glb‘𝐷)
33	30, 31, 32	isclat 18457	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ CLat ↔ (𝐷 ∈ Poset ∧ (dom (lub‘𝐷) = 𝒫 (Base‘𝑂) ∧ dom (glb‘𝐷) = 𝒫 (Base‘𝑂))))
34	27, 29, 33	3bitr4g 315	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ V → (𝑂 ∈ CLat ↔ 𝐷 ∈ CLat))
35	1, 14, 34	pm5.21nii 379	1 ⊢ (𝑂 ∈ CLat ↔ 𝐷 ∈ CLat)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3431   ⊆ wss 3883  ∅c0 4261  𝒫 cpw 4529  dom cdm 5618  ‘cfv 6485  Basecbs 17170  ODualcodu 18243  Posetcpo 18264  lubclub 18266  glbcglb 18267  CLatccla 18455

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-dec 12636  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ple 17231  df-odu 18244  df-proset 18251  df-poset 18270  df-lub 18301  df-glb 18302  df-clat 18456

This theorem is referenced by: (None)