MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isglbd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isglbd 17705
Description: Properties that determine the greatest lower bound of a complete lattice. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isglbd.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
isglbd.l = (le‘𝐾)
isglbd.g 𝐺 = (glb‘𝐾)
isglbd.1 ((𝜑𝑦𝑆) → 𝐻 𝑦)
isglbd.2 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦) → 𝑥 𝐻)
isglbd.3 (𝜑𝐾 ∈ CLat)
isglbd.4 (𝜑𝑆𝐵)
isglbd.5 (𝜑𝐻𝐵)
Assertion
Ref Expression
isglbd (𝜑 → (𝐺𝑆) = 𝐻)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑦,𝐻   𝑥,𝐾,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)   (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem isglbd
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isglbd.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 isglbd.l . . 3 = (le‘𝐾)
3 isglbd.g . . 3 𝐺 = (glb‘𝐾)
4 biid 264 . . 3 ((∀𝑦𝑆 𝑦 ∧ ∀𝑥𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦𝑥 )) ↔ (∀𝑦𝑆 𝑦 ∧ ∀𝑥𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦𝑥 )))
5 isglbd.3 . . 3 (𝜑𝐾 ∈ CLat)
6 isglbd.4 . . 3 (𝜑𝑆𝐵)
71, 2, 3, 4, 5, 6glbval 17585 . 2 (𝜑 → (𝐺𝑆) = (𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑦 ∧ ∀𝑥𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦𝑥 ))))
8 isglbd.1 . . . 4 ((𝜑𝑦𝑆) → 𝐻 𝑦)
98ralrimiva 3170 . . 3 (𝜑 → ∀𝑦𝑆 𝐻 𝑦)
10 isglbd.2 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦) → 𝑥 𝐻)
11103exp 1116 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐵 → (∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦𝑥 𝐻)))
1211ralrimiv 3169 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦𝑥 𝐻))
13 isglbd.5 . . . 4 (𝜑𝐻𝐵)
141, 3clatglbcl2 17703 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → 𝑆 ∈ dom 𝐺)
155, 6, 14syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ dom 𝐺)
161, 2, 3, 4, 5, 15glbeu 17584 . . . 4 (𝜑 → ∃!𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑦 ∧ ∀𝑥𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦𝑥 )))
17 breq1 5042 . . . . . . 7 ( = 𝐻 → ( 𝑦𝐻 𝑦))
1817ralbidv 3185 . . . . . 6 ( = 𝐻 → (∀𝑦𝑆 𝑦 ↔ ∀𝑦𝑆 𝐻 𝑦))
19 breq2 5043 . . . . . . . 8 ( = 𝐻 → (𝑥 𝑥 𝐻))
2019imbi2d 344 . . . . . . 7 ( = 𝐻 → ((∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦𝑥 ) ↔ (∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦𝑥 𝐻)))
2120ralbidv 3185 . . . . . 6 ( = 𝐻 → (∀𝑥𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦𝑥 ) ↔ ∀𝑥𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦𝑥 𝐻)))
2218, 21anbi12d 633 . . . . 5 ( = 𝐻 → ((∀𝑦𝑆 𝑦 ∧ ∀𝑥𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦𝑥 )) ↔ (∀𝑦𝑆 𝐻 𝑦 ∧ ∀𝑥𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦𝑥 𝐻))))
2322riota2 7113 . . . 4 ((𝐻𝐵 ∧ ∃!𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑦 ∧ ∀𝑥𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦𝑥 ))) → ((∀𝑦𝑆 𝐻 𝑦 ∧ ∀𝑥𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦𝑥 𝐻)) ↔ (𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑦 ∧ ∀𝑥𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦𝑥 ))) = 𝐻))
2413, 16, 23syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → ((∀𝑦𝑆 𝐻 𝑦 ∧ ∀𝑥𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦𝑥 𝐻)) ↔ (𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑦 ∧ ∀𝑥𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦𝑥 ))) = 𝐻))
259, 12, 24mpbi2and 711 . 2 (𝜑 → (𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑦 ∧ ∀𝑥𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦𝑥 ))) = 𝐻)
267, 25eqtrd 2856 1 (𝜑 → (𝐺𝑆) = 𝐻)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wral 3126  ∃!wreu 3128  wss 3910   class class class wbr 5039  dom cdm 5528  cfv 6328  crio 7087  Basecbs 16461  lecple 16550  glbcglb 17531  CLatccla 17695
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-op 4547  df-uni 4812  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-id 5433  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-glb 17563  df-clat 17696
This theorem is referenced by:  dihglblem2N  38468
  Copyright terms: Public domain W3C validator