MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isglbd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isglbd 18554
Description: Properties that determine the greatest lower bound of a complete lattice. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isglbd.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
isglbd.l = (le‘𝐾)
isglbd.g 𝐺 = (glb‘𝐾)
isglbd.1 ((𝜑𝑦𝑆) → 𝐻 𝑦)
isglbd.2 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦) → 𝑥 𝐻)
isglbd.3 (𝜑𝐾 ∈ CLat)
isglbd.4 (𝜑𝑆𝐵)
isglbd.5 (𝜑𝐻𝐵)
Assertion
Ref Expression
isglbd (𝜑 → (𝐺𝑆) = 𝐻)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑦,𝐻   𝑥,𝐾,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)   (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem isglbd
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isglbd.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 isglbd.l . . 3 = (le‘𝐾)
3 isglbd.g . . 3 𝐺 = (glb‘𝐾)
4 biid 261 . . 3 ((∀𝑦𝑆 𝑦 ∧ ∀𝑥𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦𝑥 )) ↔ (∀𝑦𝑆 𝑦 ∧ ∀𝑥𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦𝑥 )))
5 isglbd.3 . . 3 (𝜑𝐾 ∈ CLat)
6 isglbd.4 . . 3 (𝜑𝑆𝐵)
71, 2, 3, 4, 5, 6glbval 18414 . 2 (𝜑 → (𝐺𝑆) = (𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑦 ∧ ∀𝑥𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦𝑥 ))))
8 isglbd.1 . . . 4 ((𝜑𝑦𝑆) → 𝐻 𝑦)
98ralrimiva 3146 . . 3 (𝜑 → ∀𝑦𝑆 𝐻 𝑦)
10 isglbd.2 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦) → 𝑥 𝐻)
11103exp 1120 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐵 → (∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦𝑥 𝐻)))
1211ralrimiv 3145 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦𝑥 𝐻))
13 isglbd.5 . . . 4 (𝜑𝐻𝐵)
141, 3clatglbcl2 18551 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → 𝑆 ∈ dom 𝐺)
155, 6, 14syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ dom 𝐺)
161, 2, 3, 4, 5, 15glbeu 18413 . . . 4 (𝜑 → ∃!𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑦 ∧ ∀𝑥𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦𝑥 )))
17 breq1 5146 . . . . . . 7 ( = 𝐻 → ( 𝑦𝐻 𝑦))
1817ralbidv 3178 . . . . . 6 ( = 𝐻 → (∀𝑦𝑆 𝑦 ↔ ∀𝑦𝑆 𝐻 𝑦))
19 breq2 5147 . . . . . . . 8 ( = 𝐻 → (𝑥 𝑥 𝐻))
2019imbi2d 340 . . . . . . 7 ( = 𝐻 → ((∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦𝑥 ) ↔ (∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦𝑥 𝐻)))
2120ralbidv 3178 . . . . . 6 ( = 𝐻 → (∀𝑥𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦𝑥 ) ↔ ∀𝑥𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦𝑥 𝐻)))
2218, 21anbi12d 632 . . . . 5 ( = 𝐻 → ((∀𝑦𝑆 𝑦 ∧ ∀𝑥𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦𝑥 )) ↔ (∀𝑦𝑆 𝐻 𝑦 ∧ ∀𝑥𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦𝑥 𝐻))))
2322riota2 7413 . . . 4 ((𝐻𝐵 ∧ ∃!𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑦 ∧ ∀𝑥𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦𝑥 ))) → ((∀𝑦𝑆 𝐻 𝑦 ∧ ∀𝑥𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦𝑥 𝐻)) ↔ (𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑦 ∧ ∀𝑥𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦𝑥 ))) = 𝐻))
2413, 16, 23syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → ((∀𝑦𝑆 𝐻 𝑦 ∧ ∀𝑥𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦𝑥 𝐻)) ↔ (𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑦 ∧ ∀𝑥𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦𝑥 ))) = 𝐻))
259, 12, 24mpbi2and 712 . 2 (𝜑 → (𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑦 ∧ ∀𝑥𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦𝑥 ))) = 𝐻)
267, 25eqtrd 2777 1 (𝜑 → (𝐺𝑆) = 𝐻)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  ∃!wreu 3378  wss 3951   class class class wbr 5143  dom cdm 5685  cfv 6561  crio 7387  Basecbs 17247  lecple 17304  glbcglb 18356  CLatccla 18543
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-glb 18392  df-clat 18544
This theorem is referenced by:  dihglblem2N  41296
  Copyright terms: Public domain W3C validator