Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  glbconN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem glbconN 36507
Description: De Morgan's law for GLB and LUB. This holds in any complete ortholattice, although we assume HL for convenience. (Contributed by NM, 17-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
glbcon.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
glbcon.u 𝑈 = (lub‘𝐾)
glbcon.g 𝐺 = (glb‘𝐾)
glbcon.o = (oc‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
glbconN ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐵) → (𝐺𝑆) = ( ‘(𝑈‘{𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥) ∈ 𝑆})))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,   𝑥,𝑆
Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem glbconN
Dummy variables 𝑢 𝑡 𝑣 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfin5 3944 . . . 4 (𝐵𝑆) = {𝑥𝐵𝑥𝑆}
2 sseqin2 4192 . . . . 5 (𝑆𝐵 ↔ (𝐵𝑆) = 𝑆)
32biimpi 218 . . . 4 (𝑆𝐵 → (𝐵𝑆) = 𝑆)
41, 3syl5reqr 2871 . . 3 (𝑆𝐵𝑆 = {𝑥𝐵𝑥𝑆})
54fveq2d 6669 . 2 (𝑆𝐵 → (𝐺𝑆) = (𝐺‘{𝑥𝐵𝑥𝑆}))
6 glbcon.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
7 eqid 2821 . . . 4 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
8 glbcon.g . . . 4 𝐺 = (glb‘𝐾)
9 biid 263 . . . 4 ((∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑦(le‘𝐾)𝑧 ∧ ∀𝑤𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑤(le‘𝐾)𝑧𝑤(le‘𝐾)𝑦)) ↔ (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑦(le‘𝐾)𝑧 ∧ ∀𝑤𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑤(le‘𝐾)𝑧𝑤(le‘𝐾)𝑦)))
10 id 22 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ HL)
11 ssrab2 4056 . . . . 5 {𝑥𝐵𝑥𝑆} ⊆ 𝐵
1211a1i 11 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → {𝑥𝐵𝑥𝑆} ⊆ 𝐵)
136, 7, 8, 9, 10, 12glbval 17601 . . 3 (𝐾 ∈ HL → (𝐺‘{𝑥𝐵𝑥𝑆}) = (𝑦𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑦(le‘𝐾)𝑧 ∧ ∀𝑤𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑤(le‘𝐾)𝑧𝑤(le‘𝐾)𝑦))))
14 hlop 36492 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
15 hlclat 36488 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
166, 8clatglbcl 17718 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ CLat ∧ {𝑥𝐵𝑥𝑆} ⊆ 𝐵) → (𝐺‘{𝑥𝐵𝑥𝑆}) ∈ 𝐵)
1715, 11, 16sylancl 588 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → (𝐺‘{𝑥𝐵𝑥𝑆}) ∈ 𝐵)
1813, 17eqeltrrd 2914 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → (𝑦𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑦(le‘𝐾)𝑧 ∧ ∀𝑤𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑤(le‘𝐾)𝑧𝑤(le‘𝐾)𝑦))) ∈ 𝐵)
196fvexi 6679 . . . . . 6 𝐵 ∈ V
2019riotaclbBAD 36085 . . . . 5 (∃!𝑦𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑦(le‘𝐾)𝑧 ∧ ∀𝑤𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑤(le‘𝐾)𝑧𝑤(le‘𝐾)𝑦)) ↔ (𝑦𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑦(le‘𝐾)𝑧 ∧ ∀𝑤𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑤(le‘𝐾)𝑧𝑤(le‘𝐾)𝑦))) ∈ 𝐵)
2118, 20sylibr 236 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → ∃!𝑦𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑦(le‘𝐾)𝑧 ∧ ∀𝑤𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑤(le‘𝐾)𝑧𝑤(le‘𝐾)𝑦)))
22 glbcon.o . . . . 5 = (oc‘𝐾)
23 breq1 5062 . . . . . . 7 (𝑦 = ( 𝑣) → (𝑦(le‘𝐾)𝑧 ↔ ( 𝑣)(le‘𝐾)𝑧))
2423ralbidv 3197 . . . . . 6 (𝑦 = ( 𝑣) → (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑦(le‘𝐾)𝑧 ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆} ( 𝑣)(le‘𝐾)𝑧))
25 breq2 5063 . . . . . . . 8 (𝑦 = ( 𝑣) → (𝑤(le‘𝐾)𝑦𝑤(le‘𝐾)( 𝑣)))
2625imbi2d 343 . . . . . . 7 (𝑦 = ( 𝑣) → ((∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑤(le‘𝐾)𝑧𝑤(le‘𝐾)𝑦) ↔ (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑤(le‘𝐾)𝑧𝑤(le‘𝐾)( 𝑣))))
2726ralbidv 3197 . . . . . 6 (𝑦 = ( 𝑣) → (∀𝑤𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑤(le‘𝐾)𝑧𝑤(le‘𝐾)𝑦) ↔ ∀𝑤𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑤(le‘𝐾)𝑧𝑤(le‘𝐾)( 𝑣))))
2824, 27anbi12d 632 . . . . 5 (𝑦 = ( 𝑣) → ((∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑦(le‘𝐾)𝑧 ∧ ∀𝑤𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑤(le‘𝐾)𝑧𝑤(le‘𝐾)𝑦)) ↔ (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆} ( 𝑣)(le‘𝐾)𝑧 ∧ ∀𝑤𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑤(le‘𝐾)𝑧𝑤(le‘𝐾)( 𝑣)))))
296, 22, 28riotaocN 36339 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ ∃!𝑦𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑦(le‘𝐾)𝑧 ∧ ∀𝑤𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑤(le‘𝐾)𝑧𝑤(le‘𝐾)𝑦))) → (𝑦𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑦(le‘𝐾)𝑧 ∧ ∀𝑤𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑤(le‘𝐾)𝑧𝑤(le‘𝐾)𝑦))) = ( ‘(𝑣𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆} ( 𝑣)(le‘𝐾)𝑧 ∧ ∀𝑤𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑤(le‘𝐾)𝑧𝑤(le‘𝐾)( 𝑣))))))
3014, 21, 29syl2anc 586 . . 3 (𝐾 ∈ HL → (𝑦𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑦(le‘𝐾)𝑧 ∧ ∀𝑤𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑤(le‘𝐾)𝑧𝑤(le‘𝐾)𝑦))) = ( ‘(𝑣𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆} ( 𝑣)(le‘𝐾)𝑧 ∧ ∀𝑤𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑤(le‘𝐾)𝑧𝑤(le‘𝐾)( 𝑣))))))
3114ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑢𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
326, 22opoccl 36324 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑢𝐵) → ( 𝑢) ∈ 𝐵)
3331, 32sylancom 590 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑢𝐵) → ( 𝑢) ∈ 𝐵)
3414ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
356, 22opoccl 36324 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑧𝐵) → ( 𝑧) ∈ 𝐵)
3634, 35sylancom 590 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → ( 𝑧) ∈ 𝐵)
376, 22opococ 36325 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑧𝐵) → ( ‘( 𝑧)) = 𝑧)
3834, 37sylancom 590 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → ( ‘( 𝑧)) = 𝑧)
3938eqcomd 2827 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → 𝑧 = ( ‘( 𝑧)))
40 fveq2 6665 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 = ( 𝑧) → ( 𝑢) = ( ‘( 𝑧)))
4140rspceeqv 3638 . . . . . . . . . . 11 ((( 𝑧) ∈ 𝐵𝑧 = ( ‘( 𝑧))) → ∃𝑢𝐵 𝑧 = ( 𝑢))
4236, 39, 41syl2anc 586 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → ∃𝑢𝐵 𝑧 = ( 𝑢))
43 eleq1 2900 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = ( 𝑢) → (𝑧𝑆 ↔ ( 𝑢) ∈ 𝑆))
44 breq2 5063 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = ( 𝑢) → (( 𝑣)(le‘𝐾)𝑧 ↔ ( 𝑣)(le‘𝐾)( 𝑢)))
4543, 44imbi12d 347 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = ( 𝑢) → ((𝑧𝑆 → ( 𝑣)(le‘𝐾)𝑧) ↔ (( 𝑢) ∈ 𝑆 → ( 𝑣)(le‘𝐾)( 𝑢))))
4645adantl 484 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑧 = ( 𝑢)) → ((𝑧𝑆 → ( 𝑣)(le‘𝐾)𝑧) ↔ (( 𝑢) ∈ 𝑆 → ( 𝑣)(le‘𝐾)( 𝑢))))
4733, 42, 46ralxfrd 5301 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) → (∀𝑧𝐵 (𝑧𝑆 → ( 𝑣)(le‘𝐾)𝑧) ↔ ∀𝑢𝐵 (( 𝑢) ∈ 𝑆 → ( 𝑣)(le‘𝐾)( 𝑢))))
48 simpr 487 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑢𝐵) → 𝑢𝐵)
49 simplr 767 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑢𝐵) → 𝑣𝐵)
506, 7, 22oplecon3b 36330 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑢𝐵𝑣𝐵) → (𝑢(le‘𝐾)𝑣 ↔ ( 𝑣)(le‘𝐾)( 𝑢)))
5131, 48, 49, 50syl3anc 1367 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑢𝐵) → (𝑢(le‘𝐾)𝑣 ↔ ( 𝑣)(le‘𝐾)( 𝑢)))
5251imbi2d 343 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑢𝐵) → ((( 𝑢) ∈ 𝑆𝑢(le‘𝐾)𝑣) ↔ (( 𝑢) ∈ 𝑆 → ( 𝑣)(le‘𝐾)( 𝑢))))
5352ralbidva 3196 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) → (∀𝑢𝐵 (( 𝑢) ∈ 𝑆𝑢(le‘𝐾)𝑣) ↔ ∀𝑢𝐵 (( 𝑢) ∈ 𝑆 → ( 𝑣)(le‘𝐾)( 𝑢))))
5447, 53bitr4d 284 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) → (∀𝑧𝐵 (𝑧𝑆 → ( 𝑣)(le‘𝐾)𝑧) ↔ ∀𝑢𝐵 (( 𝑢) ∈ 𝑆𝑢(le‘𝐾)𝑣)))
55 eleq1 2900 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥𝑆𝑧𝑆))
5655ralrab 3685 . . . . . . . 8 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆} ( 𝑣)(le‘𝐾)𝑧 ↔ ∀𝑧𝐵 (𝑧𝑆 → ( 𝑣)(le‘𝐾)𝑧))
57 fveq2 6665 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑢 → ( 𝑥) = ( 𝑢))
5857eleq1d 2897 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑢 → (( 𝑥) ∈ 𝑆 ↔ ( 𝑢) ∈ 𝑆))
5958ralrab 3685 . . . . . . . 8 (∀𝑢 ∈ {𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥) ∈ 𝑆}𝑢(le‘𝐾)𝑣 ↔ ∀𝑢𝐵 (( 𝑢) ∈ 𝑆𝑢(le‘𝐾)𝑣))
6054, 56, 593bitr4g 316 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) → (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆} ( 𝑣)(le‘𝐾)𝑧 ↔ ∀𝑢 ∈ {𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥) ∈ 𝑆}𝑢(le‘𝐾)𝑣))
6114ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑡𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
626, 22opoccl 36324 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑡𝐵) → ( 𝑡) ∈ 𝐵)
6361, 62sylancom 590 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑡𝐵) → ( 𝑡) ∈ 𝐵)
6414ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑤𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
656, 22opoccl 36324 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑤𝐵) → ( 𝑤) ∈ 𝐵)
6664, 65sylancom 590 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑤𝐵) → ( 𝑤) ∈ 𝐵)
676, 22opococ 36325 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑤𝐵) → ( ‘( 𝑤)) = 𝑤)
6864, 67sylancom 590 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑤𝐵) → ( ‘( 𝑤)) = 𝑤)
6968eqcomd 2827 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑤𝐵) → 𝑤 = ( ‘( 𝑤)))
70 fveq2 6665 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 = ( 𝑤) → ( 𝑡) = ( ‘( 𝑤)))
7170rspceeqv 3638 . . . . . . . . . 10 ((( 𝑤) ∈ 𝐵𝑤 = ( ‘( 𝑤))) → ∃𝑡𝐵 𝑤 = ( 𝑡))
7266, 69, 71syl2anc 586 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑤𝐵) → ∃𝑡𝐵 𝑤 = ( 𝑡))
73 breq1 5062 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = ( 𝑡) → (𝑤(le‘𝐾)𝑧 ↔ ( 𝑡)(le‘𝐾)𝑧))
7473ralbidv 3197 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = ( 𝑡) → (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑤(le‘𝐾)𝑧 ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆} ( 𝑡)(le‘𝐾)𝑧))
75 breq1 5062 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = ( 𝑡) → (𝑤(le‘𝐾)( 𝑣) ↔ ( 𝑡)(le‘𝐾)( 𝑣)))
7674, 75imbi12d 347 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = ( 𝑡) → ((∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑤(le‘𝐾)𝑧𝑤(le‘𝐾)( 𝑣)) ↔ (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆} ( 𝑡)(le‘𝐾)𝑧 → ( 𝑡)(le‘𝐾)( 𝑣))))
7776adantl 484 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑤 = ( 𝑡)) → ((∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑤(le‘𝐾)𝑧𝑤(le‘𝐾)( 𝑣)) ↔ (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆} ( 𝑡)(le‘𝐾)𝑧 → ( 𝑡)(le‘𝐾)( 𝑣))))
7863, 72, 77ralxfrd 5301 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) → (∀𝑤𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑤(le‘𝐾)𝑧𝑤(le‘𝐾)( 𝑣)) ↔ ∀𝑡𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆} ( 𝑡)(le‘𝐾)𝑧 → ( 𝑡)(le‘𝐾)( 𝑣))))
7914ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑡𝐵) ∧ 𝑢𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
80 simpr 487 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑡𝐵) ∧ 𝑢𝐵) → 𝑢𝐵)
81 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑡𝐵) ∧ 𝑢𝐵) → 𝑡𝐵)
826, 7, 22oplecon3b 36330 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑢𝐵𝑡𝐵) → (𝑢(le‘𝐾)𝑡 ↔ ( 𝑡)(le‘𝐾)( 𝑢)))
8379, 80, 81, 82syl3anc 1367 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑡𝐵) ∧ 𝑢𝐵) → (𝑢(le‘𝐾)𝑡 ↔ ( 𝑡)(le‘𝐾)( 𝑢)))
8483imbi2d 343 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑡𝐵) ∧ 𝑢𝐵) → ((( 𝑢) ∈ 𝑆𝑢(le‘𝐾)𝑡) ↔ (( 𝑢) ∈ 𝑆 → ( 𝑡)(le‘𝐾)( 𝑢))))
8584ralbidva 3196 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑡𝐵) → (∀𝑢𝐵 (( 𝑢) ∈ 𝑆𝑢(le‘𝐾)𝑡) ↔ ∀𝑢𝐵 (( 𝑢) ∈ 𝑆 → ( 𝑡)(le‘𝐾)( 𝑢))))
8679, 32sylancom 590 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑡𝐵) ∧ 𝑢𝐵) → ( 𝑢) ∈ 𝐵)
8714ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑡𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
8887, 35sylancom 590 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑡𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → ( 𝑧) ∈ 𝐵)
8987, 37sylancom 590 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑡𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → ( ‘( 𝑧)) = 𝑧)
9089eqcomd 2827 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑡𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → 𝑧 = ( ‘( 𝑧)))
9188, 90, 41syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑡𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → ∃𝑢𝐵 𝑧 = ( 𝑢))
92 breq2 5063 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = ( 𝑢) → (( 𝑡)(le‘𝐾)𝑧 ↔ ( 𝑡)(le‘𝐾)( 𝑢)))
9343, 92imbi12d 347 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = ( 𝑢) → ((𝑧𝑆 → ( 𝑡)(le‘𝐾)𝑧) ↔ (( 𝑢) ∈ 𝑆 → ( 𝑡)(le‘𝐾)( 𝑢))))
9493adantl 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑡𝐵) ∧ 𝑧 = ( 𝑢)) → ((𝑧𝑆 → ( 𝑡)(le‘𝐾)𝑧) ↔ (( 𝑢) ∈ 𝑆 → ( 𝑡)(le‘𝐾)( 𝑢))))
9586, 91, 94ralxfrd 5301 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑡𝐵) → (∀𝑧𝐵 (𝑧𝑆 → ( 𝑡)(le‘𝐾)𝑧) ↔ ∀𝑢𝐵 (( 𝑢) ∈ 𝑆 → ( 𝑡)(le‘𝐾)( 𝑢))))
9685, 95bitr4d 284 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑡𝐵) → (∀𝑢𝐵 (( 𝑢) ∈ 𝑆𝑢(le‘𝐾)𝑡) ↔ ∀𝑧𝐵 (𝑧𝑆 → ( 𝑡)(le‘𝐾)𝑧)))
9758ralrab 3685 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑢 ∈ {𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥) ∈ 𝑆}𝑢(le‘𝐾)𝑡 ↔ ∀𝑢𝐵 (( 𝑢) ∈ 𝑆𝑢(le‘𝐾)𝑡))
9855ralrab 3685 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆} ( 𝑡)(le‘𝐾)𝑧 ↔ ∀𝑧𝐵 (𝑧𝑆 → ( 𝑡)(le‘𝐾)𝑧))
9996, 97, 983bitr4g 316 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑡𝐵) → (∀𝑢 ∈ {𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥) ∈ 𝑆}𝑢(le‘𝐾)𝑡 ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆} ( 𝑡)(le‘𝐾)𝑧))
100 simplr 767 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑡𝐵) → 𝑣𝐵)
101 simpr 487 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑡𝐵) → 𝑡𝐵)
1026, 7, 22oplecon3b 36330 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑣𝐵𝑡𝐵) → (𝑣(le‘𝐾)𝑡 ↔ ( 𝑡)(le‘𝐾)( 𝑣)))
10361, 100, 101, 102syl3anc 1367 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑡𝐵) → (𝑣(le‘𝐾)𝑡 ↔ ( 𝑡)(le‘𝐾)( 𝑣)))
10499, 103imbi12d 347 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑡𝐵) → ((∀𝑢 ∈ {𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥) ∈ 𝑆}𝑢(le‘𝐾)𝑡𝑣(le‘𝐾)𝑡) ↔ (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆} ( 𝑡)(le‘𝐾)𝑧 → ( 𝑡)(le‘𝐾)( 𝑣))))
105104ralbidva 3196 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) → (∀𝑡𝐵 (∀𝑢 ∈ {𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥) ∈ 𝑆}𝑢(le‘𝐾)𝑡𝑣(le‘𝐾)𝑡) ↔ ∀𝑡𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆} ( 𝑡)(le‘𝐾)𝑧 → ( 𝑡)(le‘𝐾)( 𝑣))))
10678, 105bitr4d 284 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) → (∀𝑤𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑤(le‘𝐾)𝑧𝑤(le‘𝐾)( 𝑣)) ↔ ∀𝑡𝐵 (∀𝑢 ∈ {𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥) ∈ 𝑆}𝑢(le‘𝐾)𝑡𝑣(le‘𝐾)𝑡)))
10760, 106anbi12d 632 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) → ((∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆} ( 𝑣)(le‘𝐾)𝑧 ∧ ∀𝑤𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑤(le‘𝐾)𝑧𝑤(le‘𝐾)( 𝑣))) ↔ (∀𝑢 ∈ {𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥) ∈ 𝑆}𝑢(le‘𝐾)𝑣 ∧ ∀𝑡𝐵 (∀𝑢 ∈ {𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥) ∈ 𝑆}𝑢(le‘𝐾)𝑡𝑣(le‘𝐾)𝑡))))
108107riotabidva 7127 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → (𝑣𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆} ( 𝑣)(le‘𝐾)𝑧 ∧ ∀𝑤𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑤(le‘𝐾)𝑧𝑤(le‘𝐾)( 𝑣)))) = (𝑣𝐵 (∀𝑢 ∈ {𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥) ∈ 𝑆}𝑢(le‘𝐾)𝑣 ∧ ∀𝑡𝐵 (∀𝑢 ∈ {𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥) ∈ 𝑆}𝑢(le‘𝐾)𝑡𝑣(le‘𝐾)𝑡))))
109 ssrab2 4056 . . . . . 6 {𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥) ∈ 𝑆} ⊆ 𝐵
110 glbcon.u . . . . . . 7 𝑈 = (lub‘𝐾)
111 biid 263 . . . . . . 7 ((∀𝑢 ∈ {𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥) ∈ 𝑆}𝑢(le‘𝐾)𝑣 ∧ ∀𝑡𝐵 (∀𝑢 ∈ {𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥) ∈ 𝑆}𝑢(le‘𝐾)𝑡𝑣(le‘𝐾)𝑡)) ↔ (∀𝑢 ∈ {𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥) ∈ 𝑆}𝑢(le‘𝐾)𝑣 ∧ ∀𝑡𝐵 (∀𝑢 ∈ {𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥) ∈ 𝑆}𝑢(le‘𝐾)𝑡𝑣(le‘𝐾)𝑡)))
112 simpl 485 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ {𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥) ∈ 𝑆} ⊆ 𝐵) → 𝐾 ∈ HL)
113 simpr 487 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ {𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥) ∈ 𝑆} ⊆ 𝐵) → {𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥) ∈ 𝑆} ⊆ 𝐵)
1146, 7, 110, 111, 112, 113lubval 17588 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ {𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥) ∈ 𝑆} ⊆ 𝐵) → (𝑈‘{𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥) ∈ 𝑆}) = (𝑣𝐵 (∀𝑢 ∈ {𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥) ∈ 𝑆}𝑢(le‘𝐾)𝑣 ∧ ∀𝑡𝐵 (∀𝑢 ∈ {𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥) ∈ 𝑆}𝑢(le‘𝐾)𝑡𝑣(le‘𝐾)𝑡))))
115109, 114mpan2 689 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → (𝑈‘{𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥) ∈ 𝑆}) = (𝑣𝐵 (∀𝑢 ∈ {𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥) ∈ 𝑆}𝑢(le‘𝐾)𝑣 ∧ ∀𝑡𝐵 (∀𝑢 ∈ {𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥) ∈ 𝑆}𝑢(le‘𝐾)𝑡𝑣(le‘𝐾)𝑡))))
116108, 115eqtr4d 2859 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → (𝑣𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆} ( 𝑣)(le‘𝐾)𝑧 ∧ ∀𝑤𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑤(le‘𝐾)𝑧𝑤(le‘𝐾)( 𝑣)))) = (𝑈‘{𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥) ∈ 𝑆}))
117116fveq2d 6669 . . 3 (𝐾 ∈ HL → ( ‘(𝑣𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆} ( 𝑣)(le‘𝐾)𝑧 ∧ ∀𝑤𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑤(le‘𝐾)𝑧𝑤(le‘𝐾)( 𝑣))))) = ( ‘(𝑈‘{𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥) ∈ 𝑆})))
11813, 30, 1173eqtrd 2860 . 2 (𝐾 ∈ HL → (𝐺‘{𝑥𝐵𝑥𝑆}) = ( ‘(𝑈‘{𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥) ∈ 𝑆})))
1195, 118sylan9eqr 2878 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐵) → (𝐺𝑆) = ( ‘(𝑈‘{𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥) ∈ 𝑆})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398   = wceq 1533  wcel 2110  wral 3138  wrex 3139  ∃!wreu 3140  {crab 3142  cin 3935  wss 3936   class class class wbr 5059  cfv 6350  crio 7107  Basecbs 16477  lecple 16566  occoc 16567  lubclub 17546  glbcglb 17547  CLatccla 17711  OPcops 36302  HLchlt 36480
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-riotaBAD 36083
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-id 5455  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-undef 7933  df-lub 17578  df-glb 17579  df-clat 17712  df-oposet 36306  df-ol 36308  df-oml 36309  df-hlat 36481
This theorem is referenced by:  glbconxN  36508
  Copyright terms: Public domain W3C validator