Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  glbconN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem glbconN 38711
Description: De Morgan's law for GLB and LUB. This holds in any complete ortholattice, although we assume HL for convenience. (Contributed by NM, 17-Jan-2012.) New df-riota 7368. (Revised by SN, 3-Jan-2025.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
glbcon.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
glbcon.u 𝑈 = (lub‘𝐾)
glbcon.g 𝐺 = (glb‘𝐾)
glbcon.o = (oc‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
glbconN ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐵) → (𝐺𝑆) = ( ‘(𝑈‘{𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥) ∈ 𝑆})))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,   𝑥,𝑆
Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem glbconN
Dummy variables 𝑢 𝑡 𝑣 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseqin2 4215 . . . . 5 (𝑆𝐵 ↔ (𝐵𝑆) = 𝑆)
21biimpi 215 . . . 4 (𝑆𝐵 → (𝐵𝑆) = 𝑆)
3 dfin5 3956 . . . 4 (𝐵𝑆) = {𝑥𝐵𝑥𝑆}
42, 3eqtr3di 2786 . . 3 (𝑆𝐵𝑆 = {𝑥𝐵𝑥𝑆})
54fveq2d 6895 . 2 (𝑆𝐵 → (𝐺𝑆) = (𝐺‘{𝑥𝐵𝑥𝑆}))
6 glbcon.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
7 eqid 2731 . . . 4 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
8 glbcon.g . . . 4 𝐺 = (glb‘𝐾)
9 biid 261 . . . 4 ((∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑦(le‘𝐾)𝑧 ∧ ∀𝑤𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑤(le‘𝐾)𝑧𝑤(le‘𝐾)𝑦)) ↔ (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑦(le‘𝐾)𝑧 ∧ ∀𝑤𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑤(le‘𝐾)𝑧𝑤(le‘𝐾)𝑦)))
10 id 22 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ HL)
11 ssrab2 4077 . . . . 5 {𝑥𝐵𝑥𝑆} ⊆ 𝐵
1211a1i 11 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → {𝑥𝐵𝑥𝑆} ⊆ 𝐵)
136, 7, 8, 9, 10, 12glbval 18332 . . 3 (𝐾 ∈ HL → (𝐺‘{𝑥𝐵𝑥𝑆}) = (𝑦𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑦(le‘𝐾)𝑧 ∧ ∀𝑤𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑤(le‘𝐾)𝑧𝑤(le‘𝐾)𝑦))))
14 hlop 38696 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
15 hlclat 38692 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
166, 8clatglbcl2 18469 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CLat ∧ {𝑥𝐵𝑥𝑆} ⊆ 𝐵) → {𝑥𝐵𝑥𝑆} ∈ dom 𝐺)
1715, 12, 16syl2anc 583 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → {𝑥𝐵𝑥𝑆} ∈ dom 𝐺)
186, 7, 8, 9, 10, 17glbeu 18331 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → ∃!𝑦𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑦(le‘𝐾)𝑧 ∧ ∀𝑤𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑤(le‘𝐾)𝑧𝑤(le‘𝐾)𝑦)))
19 glbcon.o . . . . 5 = (oc‘𝐾)
20 breq1 5151 . . . . . . 7 (𝑦 = ( 𝑣) → (𝑦(le‘𝐾)𝑧 ↔ ( 𝑣)(le‘𝐾)𝑧))
2120ralbidv 3176 . . . . . 6 (𝑦 = ( 𝑣) → (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑦(le‘𝐾)𝑧 ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆} ( 𝑣)(le‘𝐾)𝑧))
22 breq2 5152 . . . . . . . 8 (𝑦 = ( 𝑣) → (𝑤(le‘𝐾)𝑦𝑤(le‘𝐾)( 𝑣)))
2322imbi2d 340 . . . . . . 7 (𝑦 = ( 𝑣) → ((∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑤(le‘𝐾)𝑧𝑤(le‘𝐾)𝑦) ↔ (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑤(le‘𝐾)𝑧𝑤(le‘𝐾)( 𝑣))))
2423ralbidv 3176 . . . . . 6 (𝑦 = ( 𝑣) → (∀𝑤𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑤(le‘𝐾)𝑧𝑤(le‘𝐾)𝑦) ↔ ∀𝑤𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑤(le‘𝐾)𝑧𝑤(le‘𝐾)( 𝑣))))
2521, 24anbi12d 630 . . . . 5 (𝑦 = ( 𝑣) → ((∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑦(le‘𝐾)𝑧 ∧ ∀𝑤𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑤(le‘𝐾)𝑧𝑤(le‘𝐾)𝑦)) ↔ (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆} ( 𝑣)(le‘𝐾)𝑧 ∧ ∀𝑤𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑤(le‘𝐾)𝑧𝑤(le‘𝐾)( 𝑣)))))
266, 19, 25riotaocN 38543 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ ∃!𝑦𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑦(le‘𝐾)𝑧 ∧ ∀𝑤𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑤(le‘𝐾)𝑧𝑤(le‘𝐾)𝑦))) → (𝑦𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑦(le‘𝐾)𝑧 ∧ ∀𝑤𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑤(le‘𝐾)𝑧𝑤(le‘𝐾)𝑦))) = ( ‘(𝑣𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆} ( 𝑣)(le‘𝐾)𝑧 ∧ ∀𝑤𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑤(le‘𝐾)𝑧𝑤(le‘𝐾)( 𝑣))))))
2714, 18, 26syl2anc 583 . . 3 (𝐾 ∈ HL → (𝑦𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑦(le‘𝐾)𝑧 ∧ ∀𝑤𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑤(le‘𝐾)𝑧𝑤(le‘𝐾)𝑦))) = ( ‘(𝑣𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆} ( 𝑣)(le‘𝐾)𝑧 ∧ ∀𝑤𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑤(le‘𝐾)𝑧𝑤(le‘𝐾)( 𝑣))))))
2814ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑢𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
296, 19opoccl 38528 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑢𝐵) → ( 𝑢) ∈ 𝐵)
3028, 29sylancom 587 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑢𝐵) → ( 𝑢) ∈ 𝐵)
3114ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
326, 19opoccl 38528 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑧𝐵) → ( 𝑧) ∈ 𝐵)
3331, 32sylancom 587 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → ( 𝑧) ∈ 𝐵)
346, 19opococ 38529 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑧𝐵) → ( ‘( 𝑧)) = 𝑧)
3531, 34sylancom 587 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → ( ‘( 𝑧)) = 𝑧)
3635eqcomd 2737 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → 𝑧 = ( ‘( 𝑧)))
37 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 = ( 𝑧) → ( 𝑢) = ( ‘( 𝑧)))
3837rspceeqv 3633 . . . . . . . . . . 11 ((( 𝑧) ∈ 𝐵𝑧 = ( ‘( 𝑧))) → ∃𝑢𝐵 𝑧 = ( 𝑢))
3933, 36, 38syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → ∃𝑢𝐵 𝑧 = ( 𝑢))
40 eleq1 2820 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = ( 𝑢) → (𝑧𝑆 ↔ ( 𝑢) ∈ 𝑆))
41 breq2 5152 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = ( 𝑢) → (( 𝑣)(le‘𝐾)𝑧 ↔ ( 𝑣)(le‘𝐾)( 𝑢)))
4240, 41imbi12d 344 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = ( 𝑢) → ((𝑧𝑆 → ( 𝑣)(le‘𝐾)𝑧) ↔ (( 𝑢) ∈ 𝑆 → ( 𝑣)(le‘𝐾)( 𝑢))))
4342adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑧 = ( 𝑢)) → ((𝑧𝑆 → ( 𝑣)(le‘𝐾)𝑧) ↔ (( 𝑢) ∈ 𝑆 → ( 𝑣)(le‘𝐾)( 𝑢))))
4430, 39, 43ralxfrd 5406 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) → (∀𝑧𝐵 (𝑧𝑆 → ( 𝑣)(le‘𝐾)𝑧) ↔ ∀𝑢𝐵 (( 𝑢) ∈ 𝑆 → ( 𝑣)(le‘𝐾)( 𝑢))))
45 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑢𝐵) → 𝑢𝐵)
46 simplr 766 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑢𝐵) → 𝑣𝐵)
476, 7, 19oplecon3b 38534 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑢𝐵𝑣𝐵) → (𝑢(le‘𝐾)𝑣 ↔ ( 𝑣)(le‘𝐾)( 𝑢)))
4828, 45, 46, 47syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑢𝐵) → (𝑢(le‘𝐾)𝑣 ↔ ( 𝑣)(le‘𝐾)( 𝑢)))
4948imbi2d 340 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑢𝐵) → ((( 𝑢) ∈ 𝑆𝑢(le‘𝐾)𝑣) ↔ (( 𝑢) ∈ 𝑆 → ( 𝑣)(le‘𝐾)( 𝑢))))
5049ralbidva 3174 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) → (∀𝑢𝐵 (( 𝑢) ∈ 𝑆𝑢(le‘𝐾)𝑣) ↔ ∀𝑢𝐵 (( 𝑢) ∈ 𝑆 → ( 𝑣)(le‘𝐾)( 𝑢))))
5144, 50bitr4d 282 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) → (∀𝑧𝐵 (𝑧𝑆 → ( 𝑣)(le‘𝐾)𝑧) ↔ ∀𝑢𝐵 (( 𝑢) ∈ 𝑆𝑢(le‘𝐾)𝑣)))
52 eleq1 2820 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥𝑆𝑧𝑆))
5352ralrab 3689 . . . . . . . 8 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆} ( 𝑣)(le‘𝐾)𝑧 ↔ ∀𝑧𝐵 (𝑧𝑆 → ( 𝑣)(le‘𝐾)𝑧))
54 fveq2 6891 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑢 → ( 𝑥) = ( 𝑢))
5554eleq1d 2817 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑢 → (( 𝑥) ∈ 𝑆 ↔ ( 𝑢) ∈ 𝑆))
5655ralrab 3689 . . . . . . . 8 (∀𝑢 ∈ {𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥) ∈ 𝑆}𝑢(le‘𝐾)𝑣 ↔ ∀𝑢𝐵 (( 𝑢) ∈ 𝑆𝑢(le‘𝐾)𝑣))
5751, 53, 563bitr4g 314 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) → (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆} ( 𝑣)(le‘𝐾)𝑧 ↔ ∀𝑢 ∈ {𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥) ∈ 𝑆}𝑢(le‘𝐾)𝑣))
5814ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑡𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
596, 19opoccl 38528 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑡𝐵) → ( 𝑡) ∈ 𝐵)
6058, 59sylancom 587 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑡𝐵) → ( 𝑡) ∈ 𝐵)
6114ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑤𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
626, 19opoccl 38528 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑤𝐵) → ( 𝑤) ∈ 𝐵)
6361, 62sylancom 587 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑤𝐵) → ( 𝑤) ∈ 𝐵)
646, 19opococ 38529 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑤𝐵) → ( ‘( 𝑤)) = 𝑤)
6561, 64sylancom 587 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑤𝐵) → ( ‘( 𝑤)) = 𝑤)
6665eqcomd 2737 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑤𝐵) → 𝑤 = ( ‘( 𝑤)))
67 fveq2 6891 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 = ( 𝑤) → ( 𝑡) = ( ‘( 𝑤)))
6867rspceeqv 3633 . . . . . . . . . 10 ((( 𝑤) ∈ 𝐵𝑤 = ( ‘( 𝑤))) → ∃𝑡𝐵 𝑤 = ( 𝑡))
6963, 66, 68syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑤𝐵) → ∃𝑡𝐵 𝑤 = ( 𝑡))
70 breq1 5151 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = ( 𝑡) → (𝑤(le‘𝐾)𝑧 ↔ ( 𝑡)(le‘𝐾)𝑧))
7170ralbidv 3176 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = ( 𝑡) → (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑤(le‘𝐾)𝑧 ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆} ( 𝑡)(le‘𝐾)𝑧))
72 breq1 5151 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = ( 𝑡) → (𝑤(le‘𝐾)( 𝑣) ↔ ( 𝑡)(le‘𝐾)( 𝑣)))
7371, 72imbi12d 344 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = ( 𝑡) → ((∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑤(le‘𝐾)𝑧𝑤(le‘𝐾)( 𝑣)) ↔ (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆} ( 𝑡)(le‘𝐾)𝑧 → ( 𝑡)(le‘𝐾)( 𝑣))))
7473adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑤 = ( 𝑡)) → ((∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑤(le‘𝐾)𝑧𝑤(le‘𝐾)( 𝑣)) ↔ (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆} ( 𝑡)(le‘𝐾)𝑧 → ( 𝑡)(le‘𝐾)( 𝑣))))
7560, 69, 74ralxfrd 5406 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) → (∀𝑤𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑤(le‘𝐾)𝑧𝑤(le‘𝐾)( 𝑣)) ↔ ∀𝑡𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆} ( 𝑡)(le‘𝐾)𝑧 → ( 𝑡)(le‘𝐾)( 𝑣))))
7614ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑡𝐵) ∧ 𝑢𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
77 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑡𝐵) ∧ 𝑢𝐵) → 𝑢𝐵)
78 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑡𝐵) ∧ 𝑢𝐵) → 𝑡𝐵)
796, 7, 19oplecon3b 38534 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑢𝐵𝑡𝐵) → (𝑢(le‘𝐾)𝑡 ↔ ( 𝑡)(le‘𝐾)( 𝑢)))
8076, 77, 78, 79syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑡𝐵) ∧ 𝑢𝐵) → (𝑢(le‘𝐾)𝑡 ↔ ( 𝑡)(le‘𝐾)( 𝑢)))
8180imbi2d 340 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑡𝐵) ∧ 𝑢𝐵) → ((( 𝑢) ∈ 𝑆𝑢(le‘𝐾)𝑡) ↔ (( 𝑢) ∈ 𝑆 → ( 𝑡)(le‘𝐾)( 𝑢))))
8281ralbidva 3174 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑡𝐵) → (∀𝑢𝐵 (( 𝑢) ∈ 𝑆𝑢(le‘𝐾)𝑡) ↔ ∀𝑢𝐵 (( 𝑢) ∈ 𝑆 → ( 𝑡)(le‘𝐾)( 𝑢))))
8376, 29sylancom 587 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑡𝐵) ∧ 𝑢𝐵) → ( 𝑢) ∈ 𝐵)
8414ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑡𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
8584, 32sylancom 587 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑡𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → ( 𝑧) ∈ 𝐵)
8684, 34sylancom 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑡𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → ( ‘( 𝑧)) = 𝑧)
8786eqcomd 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑡𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → 𝑧 = ( ‘( 𝑧)))
8885, 87, 38syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑡𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → ∃𝑢𝐵 𝑧 = ( 𝑢))
89 breq2 5152 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = ( 𝑢) → (( 𝑡)(le‘𝐾)𝑧 ↔ ( 𝑡)(le‘𝐾)( 𝑢)))
9040, 89imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = ( 𝑢) → ((𝑧𝑆 → ( 𝑡)(le‘𝐾)𝑧) ↔ (( 𝑢) ∈ 𝑆 → ( 𝑡)(le‘𝐾)( 𝑢))))
9190adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑡𝐵) ∧ 𝑧 = ( 𝑢)) → ((𝑧𝑆 → ( 𝑡)(le‘𝐾)𝑧) ↔ (( 𝑢) ∈ 𝑆 → ( 𝑡)(le‘𝐾)( 𝑢))))
9283, 88, 91ralxfrd 5406 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑡𝐵) → (∀𝑧𝐵 (𝑧𝑆 → ( 𝑡)(le‘𝐾)𝑧) ↔ ∀𝑢𝐵 (( 𝑢) ∈ 𝑆 → ( 𝑡)(le‘𝐾)( 𝑢))))
9382, 92bitr4d 282 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑡𝐵) → (∀𝑢𝐵 (( 𝑢) ∈ 𝑆𝑢(le‘𝐾)𝑡) ↔ ∀𝑧𝐵 (𝑧𝑆 → ( 𝑡)(le‘𝐾)𝑧)))
9455ralrab 3689 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑢 ∈ {𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥) ∈ 𝑆}𝑢(le‘𝐾)𝑡 ↔ ∀𝑢𝐵 (( 𝑢) ∈ 𝑆𝑢(le‘𝐾)𝑡))
9552ralrab 3689 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆} ( 𝑡)(le‘𝐾)𝑧 ↔ ∀𝑧𝐵 (𝑧𝑆 → ( 𝑡)(le‘𝐾)𝑧))
9693, 94, 953bitr4g 314 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑡𝐵) → (∀𝑢 ∈ {𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥) ∈ 𝑆}𝑢(le‘𝐾)𝑡 ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆} ( 𝑡)(le‘𝐾)𝑧))
97 simplr 766 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑡𝐵) → 𝑣𝐵)
98 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑡𝐵) → 𝑡𝐵)
996, 7, 19oplecon3b 38534 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑣𝐵𝑡𝐵) → (𝑣(le‘𝐾)𝑡 ↔ ( 𝑡)(le‘𝐾)( 𝑣)))
10058, 97, 98, 99syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑡𝐵) → (𝑣(le‘𝐾)𝑡 ↔ ( 𝑡)(le‘𝐾)( 𝑣)))
10196, 100imbi12d 344 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑡𝐵) → ((∀𝑢 ∈ {𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥) ∈ 𝑆}𝑢(le‘𝐾)𝑡𝑣(le‘𝐾)𝑡) ↔ (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆} ( 𝑡)(le‘𝐾)𝑧 → ( 𝑡)(le‘𝐾)( 𝑣))))
102101ralbidva 3174 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) → (∀𝑡𝐵 (∀𝑢 ∈ {𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥) ∈ 𝑆}𝑢(le‘𝐾)𝑡𝑣(le‘𝐾)𝑡) ↔ ∀𝑡𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆} ( 𝑡)(le‘𝐾)𝑧 → ( 𝑡)(le‘𝐾)( 𝑣))))
10375, 102bitr4d 282 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) → (∀𝑤𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑤(le‘𝐾)𝑧𝑤(le‘𝐾)( 𝑣)) ↔ ∀𝑡𝐵 (∀𝑢 ∈ {𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥) ∈ 𝑆}𝑢(le‘𝐾)𝑡𝑣(le‘𝐾)𝑡)))
10457, 103anbi12d 630 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) → ((∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆} ( 𝑣)(le‘𝐾)𝑧 ∧ ∀𝑤𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑤(le‘𝐾)𝑧𝑤(le‘𝐾)( 𝑣))) ↔ (∀𝑢 ∈ {𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥) ∈ 𝑆}𝑢(le‘𝐾)𝑣 ∧ ∀𝑡𝐵 (∀𝑢 ∈ {𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥) ∈ 𝑆}𝑢(le‘𝐾)𝑡𝑣(le‘𝐾)𝑡))))
105104riotabidva 7388 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → (𝑣𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆} ( 𝑣)(le‘𝐾)𝑧 ∧ ∀𝑤𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑤(le‘𝐾)𝑧𝑤(le‘𝐾)( 𝑣)))) = (𝑣𝐵 (∀𝑢 ∈ {𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥) ∈ 𝑆}𝑢(le‘𝐾)𝑣 ∧ ∀𝑡𝐵 (∀𝑢 ∈ {𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥) ∈ 𝑆}𝑢(le‘𝐾)𝑡𝑣(le‘𝐾)𝑡))))
106 ssrab2 4077 . . . . . 6 {𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥) ∈ 𝑆} ⊆ 𝐵
107 glbcon.u . . . . . . 7 𝑈 = (lub‘𝐾)
108 biid 261 . . . . . . 7 ((∀𝑢 ∈ {𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥) ∈ 𝑆}𝑢(le‘𝐾)𝑣 ∧ ∀𝑡𝐵 (∀𝑢 ∈ {𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥) ∈ 𝑆}𝑢(le‘𝐾)𝑡𝑣(le‘𝐾)𝑡)) ↔ (∀𝑢 ∈ {𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥) ∈ 𝑆}𝑢(le‘𝐾)𝑣 ∧ ∀𝑡𝐵 (∀𝑢 ∈ {𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥) ∈ 𝑆}𝑢(le‘𝐾)𝑡𝑣(le‘𝐾)𝑡)))
109 simpl 482 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ {𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥) ∈ 𝑆} ⊆ 𝐵) → 𝐾 ∈ HL)
110 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ {𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥) ∈ 𝑆} ⊆ 𝐵) → {𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥) ∈ 𝑆} ⊆ 𝐵)
1116, 7, 107, 108, 109, 110lubval 18319 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ {𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥) ∈ 𝑆} ⊆ 𝐵) → (𝑈‘{𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥) ∈ 𝑆}) = (𝑣𝐵 (∀𝑢 ∈ {𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥) ∈ 𝑆}𝑢(le‘𝐾)𝑣 ∧ ∀𝑡𝐵 (∀𝑢 ∈ {𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥) ∈ 𝑆}𝑢(le‘𝐾)𝑡𝑣(le‘𝐾)𝑡))))
112106, 111mpan2 688 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → (𝑈‘{𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥) ∈ 𝑆}) = (𝑣𝐵 (∀𝑢 ∈ {𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥) ∈ 𝑆}𝑢(le‘𝐾)𝑣 ∧ ∀𝑡𝐵 (∀𝑢 ∈ {𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥) ∈ 𝑆}𝑢(le‘𝐾)𝑡𝑣(le‘𝐾)𝑡))))
113105, 112eqtr4d 2774 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → (𝑣𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆} ( 𝑣)(le‘𝐾)𝑧 ∧ ∀𝑤𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑤(le‘𝐾)𝑧𝑤(le‘𝐾)( 𝑣)))) = (𝑈‘{𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥) ∈ 𝑆}))
114113fveq2d 6895 . . 3 (𝐾 ∈ HL → ( ‘(𝑣𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆} ( 𝑣)(le‘𝐾)𝑧 ∧ ∀𝑤𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑤(le‘𝐾)𝑧𝑤(le‘𝐾)( 𝑣))))) = ( ‘(𝑈‘{𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥) ∈ 𝑆})))
11513, 27, 1143eqtrd 2775 . 2 (𝐾 ∈ HL → (𝐺‘{𝑥𝐵𝑥𝑆}) = ( ‘(𝑈‘{𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥) ∈ 𝑆})))
1165, 115sylan9eqr 2793 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐵) → (𝐺𝑆) = ( ‘(𝑈‘{𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥) ∈ 𝑆})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  wral 3060  wrex 3069  ∃!wreu 3373  {crab 3431  cin 3947  wss 3948   class class class wbr 5148  dom cdm 5676  cfv 6543  crio 7367  Basecbs 17151  lecple 17211  occoc 17212  lubclub 18272  glbcglb 18273  CLatccla 18461  OPcops 38506  HLchlt 38684
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-lub 18309  df-glb 18310  df-clat 18462  df-oposet 38510  df-ol 38512  df-oml 38513  df-hlat 38685
This theorem is referenced by:  glbconxN  38713
  Copyright terms: Public domain W3C validator