Theorem csbnegg 11558

Description: Move class substitution in and out of the negative of a number. (Contributed by NM, 1-Mar-2008.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)

Assertion

Ref	Expression
csbnegg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ⦋𝐴 / 𝑥⦌ -𝐵 = -⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵)

Proof of Theorem csbnegg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		csbov2g 7469	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ⦋𝐴 / 𝑥⦌(0 − 𝐵) = (0 − ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵))
2		df-neg 11548	. . 3 ⊢ -𝐵 = (0 − 𝐵)
3	2	csbeq2i 3854	. 2 ⊢ ⦋𝐴 / 𝑥⦌ -𝐵 = ⦋𝐴 / 𝑥⦌(0 − 𝐵)
4		df-neg 11548	. 2 ⊢ -⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵 = (0 − ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵)
5	1, 3, 4	3eqtr4g 2820	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ⦋𝐴 / 𝑥⦌ -𝐵 = -⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ⦋csb 3846  (class class class)co 7421  0cc0 11204   − cmin 11545   -cneg 11546

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-nul 5259  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-dm 5660  df-iota 6494  df-fv 6547  df-ov 7424  df-neg 11548

This theorem is used by:  dvfsum2  26360  renegclALT  40114