Theorem renegclALT 39245

Description: Closure law for negative of reals. Demonstrates use of weak deduction theorem with explicit substitution. The proof is much longer than that of renegcl 11446. (Contributed by NM, 15-Jun-2019.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
renegclALT	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem renegclALT

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negeq 11374	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → -𝑥 = -𝐴)
2	1	eleq1d 2821	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (-𝑥 ∈ ℝ ↔ -𝐴 ∈ ℝ))
3		vex 3444	. . . . . . 7 ⊢ 𝑥 ∈ V
4		c0ex 11128	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
5	3, 4	ifex 4530	. . . . . 6 ⊢ if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) ∈ V
6		csbnegg 11379	. . . . . 6 ⊢ (if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) ∈ V → ⦋if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥⦌-𝑥 = -⦋if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥⦌𝑥)
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ⦋if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥⦌-𝑥 = -⦋if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥⦌𝑥
8		csbvarg 4386	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ∈ V → ⦋0 / 𝑥⦌𝑥 = 0)
9	4, 8	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⦋0 / 𝑥⦌𝑥 = 0
10		0re 11136	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
11	9, 10	eqeltri 2832	. . . . . . . . 9 ⊢ ⦋0 / 𝑥⦌𝑥 ∈ ℝ
12		sbcel1g 4368	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ∈ V → ([0 / 𝑥]𝑥 ∈ ℝ ↔ ⦋0 / 𝑥⦌𝑥 ∈ ℝ))
13	4, 12	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ([0 / 𝑥]𝑥 ∈ ℝ ↔ ⦋0 / 𝑥⦌𝑥 ∈ ℝ)
14	11, 13	mpbir 231	. . . . . . . 8 ⊢ [0 / 𝑥]𝑥 ∈ ℝ
15	14	elimhyps 39243	. . . . . . 7 ⊢ [if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥]𝑥 ∈ ℝ
16		sbcel1g 4368	. . . . . . . 8 ⊢ (if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) ∈ V → ([if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥]𝑥 ∈ ℝ ↔ ⦋if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥⦌𝑥 ∈ ℝ))
17	5, 16	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ([if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥]𝑥 ∈ ℝ ↔ ⦋if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥⦌𝑥 ∈ ℝ)
18	15, 17	mpbi 230	. . . . . 6 ⊢ ⦋if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥⦌𝑥 ∈ ℝ
19	18	renegcli 11444	. . . . 5 ⊢ -⦋if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥⦌𝑥 ∈ ℝ
20	7, 19	eqeltri 2832	. . . 4 ⊢ ⦋if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥⦌-𝑥 ∈ ℝ
21		sbcel1g 4368	. . . . 5 ⊢ (if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) ∈ V → ([if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥]-𝑥 ∈ ℝ ↔ ⦋if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥⦌-𝑥 ∈ ℝ))
22	5, 21	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ([if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥]-𝑥 ∈ ℝ ↔ ⦋if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥⦌-𝑥 ∈ ℝ)
23	20, 22	mpbir 231	. . 3 ⊢ [if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥]-𝑥 ∈ ℝ
24	23	dedths 39244	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → -𝑥 ∈ ℝ)
25	2, 24	vtoclga 3532	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440  [wsbc 3740  ⦋csb 3849  ifcif 4479  ℝcr 11027  0cc0 11028  -cneg 11367

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-ltxr 11173  df-sub 11368  df-neg 11369

This theorem is referenced by: (None)