Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  renegclALT Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem renegclALT 34744
Description: Closure law for negative of reals. Demonstrates use of weak deduction theorem with explicit substitution. The proof is much longer than that of renegcl 10632. (Contributed by NM, 15-Jun-2019.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
renegclALT (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem renegclALT
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 negeq 10561 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → -𝑥 = -𝐴)
21eleq1d 2877 . 2 (𝑥 = 𝐴 → (-𝑥 ∈ ℝ ↔ -𝐴 ∈ ℝ))
3 vex 3401 . . . . . . 7 𝑥 ∈ V
4 c0ex 10322 . . . . . . 7 0 ∈ V
53, 4ifex 4334 . . . . . 6 if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) ∈ V
6 csbnegg 10566 . . . . . 6 (if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) ∈ V → if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥-𝑥 = -if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥𝑥)
75, 6ax-mp 5 . . . . 5 if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥-𝑥 = -if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥𝑥
8 csbvarg 4207 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ V → 0 / 𝑥𝑥 = 0)
94, 8ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 0 / 𝑥𝑥 = 0
10 0re 10330 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
119, 10eqeltri 2888 . . . . . . . . 9 0 / 𝑥𝑥 ∈ ℝ
12 sbcel1g 4191 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ V → ([0 / 𝑥]𝑥 ∈ ℝ ↔ 0 / 𝑥𝑥 ∈ ℝ))
134, 12ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ([0 / 𝑥]𝑥 ∈ ℝ ↔ 0 / 𝑥𝑥 ∈ ℝ)
1411, 13mpbir 222 . . . . . . . 8 [0 / 𝑥]𝑥 ∈ ℝ
1514elimhyps 34742 . . . . . . 7 [if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥]𝑥 ∈ ℝ
16 sbcel1g 4191 . . . . . . . 8 (if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) ∈ V → ([if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥]𝑥 ∈ ℝ ↔ if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥𝑥 ∈ ℝ))
175, 16ax-mp 5 . . . . . . 7 ([if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥]𝑥 ∈ ℝ ↔ if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥𝑥 ∈ ℝ)
1815, 17mpbi 221 . . . . . 6 if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥𝑥 ∈ ℝ
1918renegcli 10630 . . . . 5 -if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥𝑥 ∈ ℝ
207, 19eqeltri 2888 . . . 4 if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥-𝑥 ∈ ℝ
21 sbcel1g 4191 . . . . 5 (if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) ∈ V → ([if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥]-𝑥 ∈ ℝ ↔ if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥-𝑥 ∈ ℝ))
225, 21ax-mp 5 . . . 4 ([if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥]-𝑥 ∈ ℝ ↔ if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥-𝑥 ∈ ℝ)
2320, 22mpbir 222 . . 3 [if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥]-𝑥 ∈ ℝ
2423dedths 34743 . 2 (𝑥 ∈ ℝ → -𝑥 ∈ ℝ)
252, 24vtoclga 3472 1 (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197   = wceq 1637  wcel 2157  Vcvv 3398  [wsbc 3640  csb 3735  ifcif 4286  cr 10223  0cc0 10224  -cneg 10555
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2791  ax-sep 4982  ax-nul 4990  ax-pow 5042  ax-pr 5103  ax-un 7182  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2638  df-clab 2800  df-cleq 2806  df-clel 2809  df-nfc 2944  df-ne 2986  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rab 3112  df-v 3400  df-sbc 3641  df-csb 3736  df-dif 3779  df-un 3781  df-in 3783  df-ss 3790  df-nul 4124  df-if 4287  df-pw 4360  df-sn 4378  df-pr 4380  df-op 4384  df-uni 4638  df-br 4852  df-opab 4914  df-mpt 4931  df-id 5226  df-po 5239  df-so 5240  df-xp 5324  df-rel 5325  df-cnv 5326  df-co 5327  df-dm 5328  df-rn 5329  df-res 5330  df-ima 5331  df-iota 6067  df-fun 6106  df-fn 6107  df-f 6108  df-f1 6109  df-fo 6110  df-f1o 6111  df-fv 6112  df-riota 6838  df-ov 6880  df-oprab 6881  df-mpt2 6882  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-pnf 10364  df-mnf 10365  df-ltxr 10367  df-sub 10556  df-neg 10557
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator