Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  renegclALT Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem renegclALT 37454
Description: Closure law for negative of reals. Demonstrates use of weak deduction theorem with explicit substitution. The proof is much longer than that of renegcl 11471. (Contributed by NM, 15-Jun-2019.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
renegclALT (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem renegclALT
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 negeq 11400 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → -𝑥 = -𝐴)
21eleq1d 2823 . 2 (𝑥 = 𝐴 → (-𝑥 ∈ ℝ ↔ -𝐴 ∈ ℝ))
3 vex 3452 . . . . . . 7 𝑥 ∈ V
4 c0ex 11156 . . . . . . 7 0 ∈ V
53, 4ifex 4541 . . . . . 6 if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) ∈ V
6 csbnegg 11405 . . . . . 6 (if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) ∈ V → if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥-𝑥 = -if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥𝑥)
75, 6ax-mp 5 . . . . 5 if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥-𝑥 = -if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥𝑥
8 csbvarg 4396 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ V → 0 / 𝑥𝑥 = 0)
94, 8ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 0 / 𝑥𝑥 = 0
10 0re 11164 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
119, 10eqeltri 2834 . . . . . . . . 9 0 / 𝑥𝑥 ∈ ℝ
12 sbcel1g 4378 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ V → ([0 / 𝑥]𝑥 ∈ ℝ ↔ 0 / 𝑥𝑥 ∈ ℝ))
134, 12ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ([0 / 𝑥]𝑥 ∈ ℝ ↔ 0 / 𝑥𝑥 ∈ ℝ)
1411, 13mpbir 230 . . . . . . . 8 [0 / 𝑥]𝑥 ∈ ℝ
1514elimhyps 37452 . . . . . . 7 [if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥]𝑥 ∈ ℝ
16 sbcel1g 4378 . . . . . . . 8 (if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) ∈ V → ([if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥]𝑥 ∈ ℝ ↔ if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥𝑥 ∈ ℝ))
175, 16ax-mp 5 . . . . . . 7 ([if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥]𝑥 ∈ ℝ ↔ if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥𝑥 ∈ ℝ)
1815, 17mpbi 229 . . . . . 6 if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥𝑥 ∈ ℝ
1918renegcli 11469 . . . . 5 -if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥𝑥 ∈ ℝ
207, 19eqeltri 2834 . . . 4 if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥-𝑥 ∈ ℝ
21 sbcel1g 4378 . . . . 5 (if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) ∈ V → ([if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥]-𝑥 ∈ ℝ ↔ if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥-𝑥 ∈ ℝ))
225, 21ax-mp 5 . . . 4 ([if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥]-𝑥 ∈ ℝ ↔ if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥-𝑥 ∈ ℝ)
2320, 22mpbir 230 . . 3 [if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥]-𝑥 ∈ ℝ
2423dedths 37453 . 2 (𝑥 ∈ ℝ → -𝑥 ∈ ℝ)
252, 24vtoclga 3537 1 (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3448  [wsbc 3744  csb 3860  ifcif 4491  cr 11057  0cc0 11058  -cneg 11393
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-po 5550  df-so 5551  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-ltxr 11201  df-sub 11394  df-neg 11395
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator