Theorem renegclALT 36259

Description: Closure law for negative of reals. Demonstrates use of weak deduction theorem with explicit substitution. The proof is much longer than that of renegcl 10938. (Contributed by NM, 15-Jun-2019.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
renegclALT	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem renegclALT

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negeq 10867	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → -𝑥 = -𝐴)
2	1	eleq1d 2874	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (-𝑥 ∈ ℝ ↔ -𝐴 ∈ ℝ))
3		vex 3444	. . . . . . 7 ⊢ 𝑥 ∈ V
4		c0ex 10624	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
5	3, 4	ifex 4473	. . . . . 6 ⊢ if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) ∈ V
6		csbnegg 10872	. . . . . 6 ⊢ (if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) ∈ V → ⦋if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥⦌-𝑥 = -⦋if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥⦌𝑥)
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ⦋if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥⦌-𝑥 = -⦋if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥⦌𝑥
8		csbvarg 4339	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ∈ V → ⦋0 / 𝑥⦌𝑥 = 0)
9	4, 8	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⦋0 / 𝑥⦌𝑥 = 0
10		0re 10632	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
11	9, 10	eqeltri 2886	. . . . . . . . 9 ⊢ ⦋0 / 𝑥⦌𝑥 ∈ ℝ
12		sbcel1g 4321	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ∈ V → ([0 / 𝑥]𝑥 ∈ ℝ ↔ ⦋0 / 𝑥⦌𝑥 ∈ ℝ))
13	4, 12	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ([0 / 𝑥]𝑥 ∈ ℝ ↔ ⦋0 / 𝑥⦌𝑥 ∈ ℝ)
14	11, 13	mpbir 234	. . . . . . . 8 ⊢ [0 / 𝑥]𝑥 ∈ ℝ
15	14	elimhyps 36257	. . . . . . 7 ⊢ [if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥]𝑥 ∈ ℝ
16		sbcel1g 4321	. . . . . . . 8 ⊢ (if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) ∈ V → ([if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥]𝑥 ∈ ℝ ↔ ⦋if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥⦌𝑥 ∈ ℝ))
17	5, 16	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ([if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥]𝑥 ∈ ℝ ↔ ⦋if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥⦌𝑥 ∈ ℝ)
18	15, 17	mpbi 233	. . . . . 6 ⊢ ⦋if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥⦌𝑥 ∈ ℝ
19	18	renegcli 10936	. . . . 5 ⊢ -⦋if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥⦌𝑥 ∈ ℝ
20	7, 19	eqeltri 2886	. . . 4 ⊢ ⦋if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥⦌-𝑥 ∈ ℝ
21		sbcel1g 4321	. . . . 5 ⊢ (if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) ∈ V → ([if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥]-𝑥 ∈ ℝ ↔ ⦋if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥⦌-𝑥 ∈ ℝ))
22	5, 21	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ([if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥]-𝑥 ∈ ℝ ↔ ⦋if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥⦌-𝑥 ∈ ℝ)
23	20, 22	mpbir 234	. . 3 ⊢ [if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥]-𝑥 ∈ ℝ
24	23	dedths 36258	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → -𝑥 ∈ ℝ)
25	2, 24	vtoclga 3522	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441  [wsbc 3720  ⦋csb 3828  ifcif 4425  ℝcr 10525  0cc0 10526  -cneg 10860

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-ltxr 10669  df-sub 10861  df-neg 10862

This theorem is referenced by: (None)