Theorem renegclALT 39940

Description: Closure law for negative of reals. Demonstrates use of weak deduction theorem with explicit substitution. The proof is much longer than that of renegcl 11592. (Contributed by NM, 15-Jun-2019.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
renegclALT	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem renegclALT

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negeq 11520	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → -𝑥 = -𝐴)
2	1	eleq1d 2845	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (-𝑥 ∈ ℝ ↔ -𝐴 ∈ ℝ))
3		vex 3454	. . . . . . 7 ⊢ 𝑥 ∈ V
4		c0ex 11271	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
5	3, 4	ifex 4532	. . . . . 6 ⊢ if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) ∈ V
6		csbnegg 11525	. . . . . 6 ⊢ (if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) ∈ V → ⦋if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥⦌-𝑥 = -⦋if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥⦌𝑥)
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ⦋if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥⦌-𝑥 = -⦋if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥⦌𝑥
8		csbvarg 4391	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ∈ V → ⦋0 / 𝑥⦌𝑥 = 0)
9	4, 8	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⦋0 / 𝑥⦌𝑥 = 0
10		0re 11281	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
11	9, 10	eqeltri 2856	. . . . . . . . 9 ⊢ ⦋0 / 𝑥⦌𝑥 ∈ ℝ
12		sbcel1g 4373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ∈ V → ([0 / 𝑥]𝑥 ∈ ℝ ↔ ⦋0 / 𝑥⦌𝑥 ∈ ℝ))
13	4, 12	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ([0 / 𝑥]𝑥 ∈ ℝ ↔ ⦋0 / 𝑥⦌𝑥 ∈ ℝ)
14	11, 13	mpbir 234	. . . . . . . 8 ⊢ [0 / 𝑥]𝑥 ∈ ℝ
15	14	elimhyps 39938	. . . . . . 7 ⊢ [if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥]𝑥 ∈ ℝ
16		sbcel1g 4373	. . . . . . . 8 ⊢ (if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) ∈ V → ([if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥]𝑥 ∈ ℝ ↔ ⦋if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥⦌𝑥 ∈ ℝ))
17	5, 16	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ([if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥]𝑥 ∈ ℝ ↔ ⦋if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥⦌𝑥 ∈ ℝ)
18	15, 17	mpbi 233	. . . . . 6 ⊢ ⦋if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥⦌𝑥 ∈ ℝ
19	18	renegcli 11590	. . . . 5 ⊢ -⦋if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥⦌𝑥 ∈ ℝ
20	7, 19	eqeltri 2856	. . . 4 ⊢ ⦋if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥⦌-𝑥 ∈ ℝ
21		sbcel1g 4373	. . . . 5 ⊢ (if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) ∈ V → ([if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥]-𝑥 ∈ ℝ ↔ ⦋if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥⦌-𝑥 ∈ ℝ))
22	5, 21	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ([if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥]-𝑥 ∈ ℝ ↔ ⦋if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥⦌-𝑥 ∈ ℝ)
23	20, 22	mpbir 234	. . 3 ⊢ [if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥]-𝑥 ∈ ℝ
24	23	dedths 39939	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → -𝑥 ∈ ℝ)
25	2, 24	vtoclga 3536	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450  [wsbc 3738  ⦋csb 3846  ifcif 4481  ℝcr 11170  0cc0 11171  -cneg 11513

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5542  df-po 5555  df-so 5556  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-ltxr 11319  df-sub 11514  df-neg 11515

This theorem is used by: (None)