Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  renegclALT Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem renegclALT 38868
Description: Closure law for negative of reals. Demonstrates use of weak deduction theorem with explicit substitution. The proof is much longer than that of renegcl 11595. (Contributed by NM, 15-Jun-2019.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
renegclALT (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem renegclALT
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 negeq 11524 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → -𝑥 = -𝐴)
21eleq1d 2823 . 2 (𝑥 = 𝐴 → (-𝑥 ∈ ℝ ↔ -𝐴 ∈ ℝ))
3 vex 3486 . . . . . . 7 𝑥 ∈ V
4 c0ex 11280 . . . . . . 7 0 ∈ V
53, 4ifex 4598 . . . . . 6 if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) ∈ V
6 csbnegg 11529 . . . . . 6 (if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) ∈ V → if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥-𝑥 = -if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥𝑥)
75, 6ax-mp 5 . . . . 5 if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥-𝑥 = -if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥𝑥
8 csbvarg 4453 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ V → 0 / 𝑥𝑥 = 0)
94, 8ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 0 / 𝑥𝑥 = 0
10 0re 11288 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
119, 10eqeltri 2834 . . . . . . . . 9 0 / 𝑥𝑥 ∈ ℝ
12 sbcel1g 4435 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ V → ([0 / 𝑥]𝑥 ∈ ℝ ↔ 0 / 𝑥𝑥 ∈ ℝ))
134, 12ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ([0 / 𝑥]𝑥 ∈ ℝ ↔ 0 / 𝑥𝑥 ∈ ℝ)
1411, 13mpbir 231 . . . . . . . 8 [0 / 𝑥]𝑥 ∈ ℝ
1514elimhyps 38866 . . . . . . 7 [if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥]𝑥 ∈ ℝ
16 sbcel1g 4435 . . . . . . . 8 (if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) ∈ V → ([if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥]𝑥 ∈ ℝ ↔ if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥𝑥 ∈ ℝ))
175, 16ax-mp 5 . . . . . . 7 ([if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥]𝑥 ∈ ℝ ↔ if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥𝑥 ∈ ℝ)
1815, 17mpbi 230 . . . . . 6 if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥𝑥 ∈ ℝ
1918renegcli 11593 . . . . 5 -if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥𝑥 ∈ ℝ
207, 19eqeltri 2834 . . . 4 if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥-𝑥 ∈ ℝ
21 sbcel1g 4435 . . . . 5 (if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) ∈ V → ([if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥]-𝑥 ∈ ℝ ↔ if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥-𝑥 ∈ ℝ))
225, 21ax-mp 5 . . . 4 ([if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥]-𝑥 ∈ ℝ ↔ if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥-𝑥 ∈ ℝ)
2320, 22mpbir 231 . . 3 [if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) / 𝑥]-𝑥 ∈ ℝ
2423dedths 38867 . 2 (𝑥 ∈ ℝ → -𝑥 ∈ ℝ)
252, 24vtoclga 3585 1 (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206   = wceq 1537  wcel 2103  Vcvv 3482  [wsbc 3798  csb 3915  ifcif 4548  cr 11179  0cc0 11180  -cneg 11517
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766  ax-resscn 11237  ax-1cn 11238  ax-icn 11239  ax-addcl 11240  ax-addrcl 11241  ax-mulcl 11242  ax-mulrcl 11243  ax-mulcom 11244  ax-addass 11245  ax-mulass 11246  ax-distr 11247  ax-i2m1 11248  ax-1ne0 11249  ax-1rid 11250  ax-rnegex 11251  ax-rrecex 11252  ax-cnre 11253  ax-pre-lttri 11254  ax-pre-lttrn 11255  ax-pre-ltadd 11256
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-id 5597  df-po 5611  df-so 5612  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-riota 7401  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-mpo 7450  df-er 8759  df-en 9000  df-dom 9001  df-sdom 9002  df-pnf 11322  df-mnf 11323  df-ltxr 11325  df-sub 11518  df-neg 11519
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator