Theorem csbov2g 7465

Description: Move class substitution in and out of an operation. (Contributed by NM, 12-Nov-2005.)

Assertion

Ref	Expression
csbov2g	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ⦋𝐴 / 𝑥⦌(𝐵𝐹𝐶) = (𝐵𝐹⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐶))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem csbov2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		csbov12g 7463	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ⦋𝐴 / 𝑥⦌(𝐵𝐹𝐶) = (⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵𝐹⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐶))
2		csbconstg 3869	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵 = 𝐵)
3	2	oveq1d 7432	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵𝐹⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐶) = (𝐵𝐹⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐶))
4	1, 3	eqtrd 2797	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ⦋𝐴 / 𝑥⦌(𝐵𝐹𝐶) = (𝐵𝐹⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ⦋csb 3850  (class class class)co 7417

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-nul 5267  ax-pr 5402

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-dm 5669  df-iota 6493  df-fv 6545  df-ov 7420

This theorem is used by:  csbnegg  11482  prmgaplem7  17155  matgsum  22665  scmatscm  22741  pm2mpf1lem  23025  pm2mpcoe1  23031  pm2mpmhmlem2  23050  monmat2matmon  23055  divcncf  25681  logbmpt  27033  finxpreclem4  38156  tfsconcatfv  44190  cotrclrcl  44590  ply1mulgsumlem3  49326  ply1mulgsumlem4  49327  ply1mulgsum  49328