MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvfsum2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvfsum2 25551
Description: The reverse of dvfsumrlim 25548, when comparing a finite sum of increasing terms to an integral. In this case there is no point in stating the limit properties, because the terms of the sum aren't approaching zero, but there is nevertheless still a natural asymptotic statement that can be made. (Contributed by Mario Carneiro, 20-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsum2.s ๐‘† = (๐‘‡(,)+โˆž)
dvfsum2.z ๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)
dvfsum2.m (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
dvfsum2.d (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)
dvfsum2.u (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ โ„*)
dvfsum2.md (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โ‰ค (๐ท + 1))
dvfsum2.t (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„)
dvfsum2.a ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
dvfsum2.b1 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)
dvfsum2.b2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
dvfsum2.b3 (๐œ‘ โ†’ (โ„ D (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ ๐ด)) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ ๐ต))
dvfsum2.c (๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†’ ๐ต = ๐ถ)
dvfsum2.l ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘˜ โˆง ๐‘˜ โ‰ค ๐‘ˆ)) โ†’ ๐ต โ‰ค ๐ถ)
dvfsum2.g ๐บ = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))๐ถ โˆ’ ๐ด))
dvfsum2.0 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
dvfsum2.1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†)
dvfsum2.2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐‘†)
dvfsum2.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โ‰ค ๐‘‹)
dvfsum2.4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โ‰ค ๐‘Œ)
dvfsum2.5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โ‰ค ๐‘ˆ)
dvfsum2.e (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ ๐ต = ๐ธ)
Assertion
Ref Expression
dvfsum2 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜((๐บโ€˜๐‘Œ) โˆ’ (๐บโ€˜๐‘‹))) โ‰ค ๐ธ)
Distinct variable groups:   ๐ต,๐‘˜   ๐‘ฅ,๐ถ   ๐‘ฅ,๐‘˜,๐ท   ๐œ‘,๐‘˜,๐‘ฅ   ๐‘ฅ,๐ธ   ๐‘˜,๐‘€,๐‘ฅ   ๐‘†,๐‘˜,๐‘ฅ   ๐‘˜,๐‘‹,๐‘ฅ   ๐‘˜,๐‘Œ,๐‘ฅ   ๐‘ฅ,๐‘‡   ๐‘ˆ,๐‘˜,๐‘ฅ   ๐‘ฅ,๐‘‰   ๐‘ฅ,๐‘
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘ฅ,๐‘˜)   ๐ต(๐‘ฅ)   ๐ถ(๐‘˜)   ๐‘‡(๐‘˜)   ๐ธ(๐‘˜)   ๐บ(๐‘ฅ,๐‘˜)   ๐‘‰(๐‘˜)   ๐‘(๐‘˜)

Proof of Theorem dvfsum2
Dummy variable ๐‘š is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvfsum2.2 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐‘†)
2 fzfid 13938 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ)) โˆˆ Fin)
3 dvfsum2.b2 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
43ralrimiva 3147 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ ๐ต โˆˆ โ„)
5 elfzuz 13497 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
6 dvfsum2.z . . . . . . . . . 10 ๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)
75, 6eleqtrrdi 2845 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘)
8 dvfsum2.c . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†’ ๐ต = ๐ถ)
98eleq1d 2819 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†’ (๐ต โˆˆ โ„ โ†” ๐ถ โˆˆ โ„))
109rspccva 3612 . . . . . . . . 9 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
114, 7, 10syl2an 597 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
122, 11fsumrecl 15680 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆˆ โ„)
13 dvfsum2.a . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
1413ralrimiva 3147 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† ๐ด โˆˆ โ„)
15 nfcsb1v 3919 . . . . . . . . . 10 โ„ฒ๐‘ฅโฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด
1615nfel1 2920 . . . . . . . . 9 โ„ฒ๐‘ฅโฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด โˆˆ โ„
17 csbeq1a 3908 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ ๐ด = โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)
1817eleq1d 2819 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โ†” โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด โˆˆ โ„))
1916, 18rspc 3601 . . . . . . . 8 (๐‘Œ โˆˆ ๐‘† โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† ๐ด โˆˆ โ„ โ†’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด โˆˆ โ„))
201, 14, 19sylc 65 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด โˆˆ โ„)
2112, 20resubcld 11642 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โˆˆ โ„)
22 nfcv 2904 . . . . . . 7 โ„ฒ๐‘ฅ๐‘Œ
23 nfcv 2904 . . . . . . . 8 โ„ฒ๐‘ฅฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ
24 nfcv 2904 . . . . . . . 8 โ„ฒ๐‘ฅ โˆ’
2523, 24, 15nfov 7439 . . . . . . 7 โ„ฒ๐‘ฅ(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)
26 fveq2 6892 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ) = (โŒŠโ€˜๐‘Œ))
2726oveq2d 7425 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) = (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ)))
2827sumeq1d 15647 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))๐ถ = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ)
2928, 17oveq12d 7427 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))๐ถ โˆ’ ๐ด) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))
30 dvfsum2.g . . . . . . 7 ๐บ = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))๐ถ โˆ’ ๐ด))
3122, 25, 29, 30fvmptf 7020 . . . . . 6 ((๐‘Œ โˆˆ ๐‘† โˆง (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ (๐บโ€˜๐‘Œ) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))
321, 21, 31syl2anc 585 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐บโ€˜๐‘Œ) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))
33 dvfsum2.1 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†)
34 fzfid 13938 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹)) โˆˆ Fin)
35 elfzuz 13497 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
3635, 6eleqtrrdi 2845 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘)
374, 36, 10syl2an 597 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
3834, 37fsumrecl 15680 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆˆ โ„)
39 nfcsb1v 3919 . . . . . . . . . 10 โ„ฒ๐‘ฅโฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด
4039nfel1 2920 . . . . . . . . 9 โ„ฒ๐‘ฅโฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด โˆˆ โ„
41 csbeq1a 3908 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ ๐ด = โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)
4241eleq1d 2819 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โ†” โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด โˆˆ โ„))
4340, 42rspc 3601 . . . . . . . 8 (๐‘‹ โˆˆ ๐‘† โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† ๐ด โˆˆ โ„ โ†’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด โˆˆ โ„))
4433, 14, 43sylc 65 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด โˆˆ โ„)
4538, 44resubcld 11642 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โˆˆ โ„)
46 nfcv 2904 . . . . . . 7 โ„ฒ๐‘ฅ๐‘‹
47 nfcv 2904 . . . . . . . 8 โ„ฒ๐‘ฅฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ
4847, 24, 39nfov 7439 . . . . . . 7 โ„ฒ๐‘ฅ(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)
49 fveq2 6892 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ) = (โŒŠโ€˜๐‘‹))
5049oveq2d 7425 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) = (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹)))
5150sumeq1d 15647 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))๐ถ = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ)
5251, 41oveq12d 7427 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))๐ถ โˆ’ ๐ด) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))
5346, 48, 52, 30fvmptf 7020 . . . . . 6 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘† โˆง (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ (๐บโ€˜๐‘‹) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))
5433, 45, 53syl2anc 585 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐บโ€˜๐‘‹) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))
5532, 54oveq12d 7427 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐บโ€˜๐‘Œ) โˆ’ (๐บโ€˜๐‘‹)) = ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โˆ’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)))
5655fveq2d 6896 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜((๐บโ€˜๐‘Œ) โˆ’ (๐บโ€˜๐‘‹))) = (absโ€˜((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โˆ’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))))
5721recnd 11242 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โˆˆ โ„‚)
5845recnd 11242 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โˆˆ โ„‚)
5957, 58abssubd 15400 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โˆ’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))) = (absโ€˜((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โˆ’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))))
6056, 59eqtrd 2773 . 2 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜((๐บโ€˜๐‘Œ) โˆ’ (๐บโ€˜๐‘‹))) = (absโ€˜((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โˆ’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))))
61 dvfsum2.s . . . . . . . . . 10 ๐‘† = (๐‘‡(,)+โˆž)
62 ioossre 13385 . . . . . . . . . 10 (๐‘‡(,)+โˆž) โŠ† โ„
6361, 62eqsstri 4017 . . . . . . . . 9 ๐‘† โŠ† โ„
6463a1i 11 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โŠ† โ„)
65 dvfsum2.b1 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)
66 dvfsum2.b3 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (โ„ D (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ ๐ด)) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ ๐ต))
6764, 13, 65, 66dvmptrecl 25541 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
6867ralrimiva 3147 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† ๐ต โˆˆ โ„)
69 dvfsum2.e . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ ๐ต = ๐ธ)
7069eleq1d 2819 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ (๐ต โˆˆ โ„ โ†” ๐ธ โˆˆ โ„))
7170rspcv 3609 . . . . . 6 (๐‘Œ โˆˆ ๐‘† โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† ๐ต โˆˆ โ„ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„))
721, 68, 71sylc 65 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„)
7321, 72resubcld 11642 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โˆ’ ๐ธ) โˆˆ โ„)
7463, 33sselid 3981 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„)
75 reflcl 13761 . . . . . . . . 9 (๐‘‹ โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜๐‘‹) โˆˆ โ„)
7674, 75syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜๐‘‹) โˆˆ โ„)
7774, 76resubcld 11642 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) โˆˆ โ„)
78 nfv 1918 . . . . . . . . . 10 โ„ฒ๐‘š ๐ต โˆˆ โ„
79 nfcsb1v 3919 . . . . . . . . . . 11 โ„ฒ๐‘ฅโฆ‹๐‘š / ๐‘ฅโฆŒ๐ต
8079nfel1 2920 . . . . . . . . . 10 โ„ฒ๐‘ฅโฆ‹๐‘š / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆˆ โ„
81 csbeq1a 3908 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐‘š โ†’ ๐ต = โฆ‹๐‘š / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)
8281eleq1d 2819 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘š โ†’ (๐ต โˆˆ โ„ โ†” โฆ‹๐‘š / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆˆ โ„))
8378, 80, 82cbvralw 3304 . . . . . . . . 9 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† ๐ต โˆˆ โ„ โ†” โˆ€๐‘š โˆˆ ๐‘† โฆ‹๐‘š / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆˆ โ„)
8468, 83sylib 217 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ ๐‘† โฆ‹๐‘š / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆˆ โ„)
85 csbeq1 3897 . . . . . . . . . 10 (๐‘š = ๐‘‹ โ†’ โฆ‹๐‘š / ๐‘ฅโฆŒ๐ต = โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)
8685eleq1d 2819 . . . . . . . . 9 (๐‘š = ๐‘‹ โ†’ (โฆ‹๐‘š / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆˆ โ„ โ†” โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆˆ โ„))
8786rspcv 3609 . . . . . . . 8 (๐‘‹ โˆˆ ๐‘† โ†’ (โˆ€๐‘š โˆˆ ๐‘† โฆ‹๐‘š / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆˆ โ„ โ†’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆˆ โ„))
8833, 84, 87sylc 65 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆˆ โ„)
8977, 88remulcld 11244 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โˆˆ โ„)
9089, 45readdcld 11243 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โˆˆ โ„)
9190, 88resubcld 11642 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โˆˆ โ„)
9263, 1sselid 3981 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„)
93 reflcl 13761 . . . . . . . . . 10 (๐‘Œ โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ) โˆˆ โ„)
9492, 93syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ) โˆˆ โ„)
9592, 94resubcld 11642 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) โˆˆ โ„)
9695, 72remulcld 11244 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท ๐ธ) โˆˆ โ„)
9796, 21readdcld 11243 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท ๐ธ) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โˆˆ โ„)
9897, 72resubcld 11642 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท ๐ธ) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โˆ’ ๐ธ) โˆˆ โ„)
99 fracge0 13769 . . . . . . . . 9 (๐‘Œ โˆˆ โ„ โ†’ 0 โ‰ค (๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)))
10092, 99syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)))
101 dvfsum2.0 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
102101expr 458 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โ†’ 0 โ‰ค ๐ต))
103102ralrimiva 3147 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† (๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โ†’ 0 โ‰ค ๐ต))
104 dvfsum2.d . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)
105 dvfsum2.3 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โ‰ค ๐‘‹)
106 dvfsum2.4 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โ‰ค ๐‘Œ)
107104, 74, 92, 105, 106letrd 11371 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โ‰ค ๐‘Œ)
108 breq2 5153 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ (๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โ†” ๐ท โ‰ค ๐‘Œ))
10969breq2d 5161 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ (0 โ‰ค ๐ต โ†” 0 โ‰ค ๐ธ))
110108, 109imbi12d 345 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ ((๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โ†’ 0 โ‰ค ๐ต) โ†” (๐ท โ‰ค ๐‘Œ โ†’ 0 โ‰ค ๐ธ)))
111110rspcv 3609 . . . . . . . . 9 (๐‘Œ โˆˆ ๐‘† โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† (๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โ†’ 0 โ‰ค ๐ต) โ†’ (๐ท โ‰ค ๐‘Œ โ†’ 0 โ‰ค ๐ธ)))
1121, 103, 107, 111syl3c 66 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ธ)
11395, 72, 100, 112mulge0d 11791 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท ๐ธ))
11421, 96addge02d 11803 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (0 โ‰ค ((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท ๐ธ) โ†” (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โ‰ค (((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท ๐ธ) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))))
115113, 114mpbid 231 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โ‰ค (((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท ๐ธ) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)))
11621, 97, 72, 115lesub1dd 11830 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โˆ’ ๐ธ) โ‰ค ((((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท ๐ธ) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โˆ’ ๐ธ))
117 dvfsum2.m . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
118 dvfsum2.md . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โ‰ค (๐ท + 1))
119 dvfsum2.t . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„)
12013renegcld 11641 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†) โ†’ -๐ด โˆˆ โ„)
12167renegcld 11641 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†) โ†’ -๐ต โˆˆ โ„)
1223renegcld 11641 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘) โ†’ -๐ต โˆˆ โ„)
123 reelprrecn 11202 . . . . . . . . . . . . 13 โ„ โˆˆ {โ„, โ„‚}
124123a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ โ„ โˆˆ {โ„, โ„‚})
12513recnd 11242 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
126124, 125, 65, 66dvmptneg 25483 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (โ„ D (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ -๐ด)) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ -๐ต))
1278negeqd 11454 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†’ -๐ต = -๐ถ)
128 dvfsum2.u . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ โ„*)
129 dvfsum2.l . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘˜ โˆง ๐‘˜ โ‰ค ๐‘ˆ)) โ†’ ๐ต โ‰ค ๐ถ)
13067adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
1311303adant3 1133 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘˜ โˆง ๐‘˜ โ‰ค ๐‘ˆ)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
132 simp2r 1201 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘˜ โˆง ๐‘˜ โ‰ค ๐‘ˆ)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘†)
133683ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘˜ โˆง ๐‘˜ โ‰ค ๐‘ˆ)) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† ๐ต โˆˆ โ„)
1349rspcv 3609 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘˜ โˆˆ ๐‘† โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† ๐ต โˆˆ โ„ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„))
135132, 133, 134sylc 65 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘˜ โˆง ๐‘˜ โ‰ค ๐‘ˆ)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
136131, 135lenegd 11793 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘˜ โˆง ๐‘˜ โ‰ค ๐‘ˆ)) โ†’ (๐ต โ‰ค ๐ถ โ†” -๐ถ โ‰ค -๐ต))
137129, 136mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘˜ โˆง ๐‘˜ โ‰ค ๐‘ˆ)) โ†’ -๐ถ โ‰ค -๐ต)
138 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) ยท -๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))-๐ถ โˆ’ -๐ด))) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) ยท -๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))-๐ถ โˆ’ -๐ด)))
139 dvfsum2.5 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โ‰ค ๐‘ˆ)
14061, 6, 117, 104, 118, 119, 120, 121, 122, 126, 127, 128, 137, 138, 33, 1, 105, 106, 139dvfsumlem3 25545 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) ยท -๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))-๐ถ โˆ’ -๐ด)))โ€˜๐‘Œ) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) ยท -๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))-๐ถ โˆ’ -๐ด)))โ€˜๐‘‹) โˆง (((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) ยท -๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))-๐ถ โˆ’ -๐ด)))โ€˜๐‘‹) โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ-๐ต) โ‰ค (((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) ยท -๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))-๐ถ โˆ’ -๐ด)))โ€˜๐‘Œ) โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ-๐ต)))
141140simprd 497 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) ยท -๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))-๐ถ โˆ’ -๐ด)))โ€˜๐‘‹) โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ-๐ต) โ‰ค (((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) ยท -๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))-๐ถ โˆ’ -๐ด)))โ€˜๐‘Œ) โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ-๐ต))
14277recnd 11242 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) โˆˆ โ„‚)
14388recnd 11242 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚)
144142, 143mulneg2d 11668 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท -โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) = -((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
14538recnd 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆˆ โ„‚)
14644recnd 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด โˆˆ โ„‚)
147145, 146neg2subd 11588 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (-ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ -โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) = (โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ))
14837recnd 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
14934, 148fsumneg 15733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))-๐ถ = -ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ)
150149oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))-๐ถ โˆ’ -โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) = (-ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ -โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))
151145, 146negsubdi2d 11587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ -(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) = (โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ))
152147, 150, 1513eqtr4d 2783 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))-๐ถ โˆ’ -โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) = -(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))
153144, 152oveq12d 7427 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท -โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))-๐ถ โˆ’ -โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) = (-((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + -(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)))
15489recnd 11242 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โˆˆ โ„‚)
155154, 58negdid 11584 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ -(((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) = (-((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + -(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)))
156153, 155eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท -โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))-๐ถ โˆ’ -โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) = -(((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)))
15790renegcld 11641 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ -(((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โˆˆ โ„)
158156, 157eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท -โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))-๐ถ โˆ’ -โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โˆˆ โ„)
159 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . . 15 โ„ฒ๐‘ฅ(๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹))
160 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . . 15 โ„ฒ๐‘ฅ ยท
161 nfcsb1v 3919 . . . . . . . . . . . . . . . 16 โ„ฒ๐‘ฅโฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต
162161nfneg 11456 . . . . . . . . . . . . . . 15 โ„ฒ๐‘ฅ-โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต
163159, 160, 162nfov 7439 . . . . . . . . . . . . . 14 โ„ฒ๐‘ฅ((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท -โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)
164 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . 14 โ„ฒ๐‘ฅ +
165 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . . 15 โ„ฒ๐‘ฅฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))-๐ถ
16639nfneg 11456 . . . . . . . . . . . . . . 15 โ„ฒ๐‘ฅ-โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด
167165, 24, 166nfov 7439 . . . . . . . . . . . . . 14 โ„ฒ๐‘ฅ(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))-๐ถ โˆ’ -โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)
168163, 164, 167nfov 7439 . . . . . . . . . . . . 13 โ„ฒ๐‘ฅ(((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท -โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))-๐ถ โˆ’ -โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))
169 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘‹)
170169, 49oveq12d 7427 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) = (๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)))
171 csbeq1a 3908 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ ๐ต = โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)
172171negeqd 11454 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ -๐ต = -โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)
173170, 172oveq12d 7427 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ ((๐‘ฅ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) ยท -๐ต) = ((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท -โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
17450sumeq1d 15647 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))-๐ถ = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))-๐ถ)
17541negeqd 11454 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ -๐ด = -โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)
176174, 175oveq12d 7427 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))-๐ถ โˆ’ -๐ด) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))-๐ถ โˆ’ -โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))
177173, 176oveq12d 7427 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (((๐‘ฅ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) ยท -๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))-๐ถ โˆ’ -๐ด)) = (((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท -โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))-๐ถ โˆ’ -โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)))
17846, 168, 177, 138fvmptf 7020 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘† โˆง (((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท -โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))-๐ถ โˆ’ -โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) ยท -๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))-๐ถ โˆ’ -๐ด)))โ€˜๐‘‹) = (((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท -โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))-๐ถ โˆ’ -โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)))
17933, 158, 178syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) ยท -๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))-๐ถ โˆ’ -๐ด)))โ€˜๐‘‹) = (((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท -โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))-๐ถ โˆ’ -โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)))
180179, 156eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) ยท -๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))-๐ถ โˆ’ -๐ด)))โ€˜๐‘‹) = -(((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)))
181 csbnegg 11457 . . . . . . . . . . 11 (๐‘‹ โˆˆ ๐‘† โ†’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ-๐ต = -โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)
18233, 181syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ-๐ต = -โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)
183180, 182oveq12d 7427 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) ยท -๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))-๐ถ โˆ’ -๐ด)))โ€˜๐‘‹) โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ-๐ต) = (-(((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โˆ’ -โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
18495recnd 11242 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) โˆˆ โ„‚)
18572recnd 11242 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„‚)
186184, 185mulneg2d 11668 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท -๐ธ) = -((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท ๐ธ))
18712recnd 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆˆ โ„‚)
18820recnd 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด โˆˆ โ„‚)
189187, 188neg2subd 11588 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (-ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ -โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) = (โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ))
19011recnd 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
1912, 190fsumneg 15733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))-๐ถ = -ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ)
192191oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))-๐ถ โˆ’ -โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) = (-ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ -โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))
193187, 188negsubdi2d 11587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ -(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) = (โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ))
194189, 192, 1933eqtr4d 2783 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))-๐ถ โˆ’ -โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) = -(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))
195186, 194oveq12d 7427 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท -๐ธ) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))-๐ถ โˆ’ -โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) = (-((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท ๐ธ) + -(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)))
19696recnd 11242 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท ๐ธ) โˆˆ โ„‚)
197196, 57negdid 11584 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ -(((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท ๐ธ) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) = (-((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท ๐ธ) + -(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)))
198195, 197eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท -๐ธ) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))-๐ถ โˆ’ -โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) = -(((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท ๐ธ) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)))
19997renegcld 11641 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ -(((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท ๐ธ) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โˆˆ โ„)
200198, 199eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท -๐ธ) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))-๐ถ โˆ’ -โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โˆˆ โ„)
201 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . 14 โ„ฒ๐‘ฅ((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท -๐ธ)
202 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . . 15 โ„ฒ๐‘ฅฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))-๐ถ
20315nfneg 11456 . . . . . . . . . . . . . . 15 โ„ฒ๐‘ฅ-โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด
204202, 24, 203nfov 7439 . . . . . . . . . . . . . 14 โ„ฒ๐‘ฅ(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))-๐ถ โˆ’ -โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)
205201, 164, 204nfov 7439 . . . . . . . . . . . . 13 โ„ฒ๐‘ฅ(((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท -๐ธ) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))-๐ถ โˆ’ -โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))
206 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘Œ)
207206, 26oveq12d 7427 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) = (๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)))
20869negeqd 11454 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ -๐ต = -๐ธ)
209207, 208oveq12d 7427 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ ((๐‘ฅ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) ยท -๐ต) = ((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท -๐ธ))
21027sumeq1d 15647 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))-๐ถ = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))-๐ถ)
21117negeqd 11454 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ -๐ด = -โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)
212210, 211oveq12d 7427 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))-๐ถ โˆ’ -๐ด) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))-๐ถ โˆ’ -โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))
213209, 212oveq12d 7427 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ (((๐‘ฅ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) ยท -๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))-๐ถ โˆ’ -๐ด)) = (((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท -๐ธ) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))-๐ถ โˆ’ -โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)))
21422, 205, 213, 138fvmptf 7020 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘Œ โˆˆ ๐‘† โˆง (((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท -๐ธ) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))-๐ถ โˆ’ -โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) ยท -๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))-๐ถ โˆ’ -๐ด)))โ€˜๐‘Œ) = (((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท -๐ธ) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))-๐ถ โˆ’ -โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)))
2151, 200, 214syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) ยท -๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))-๐ถ โˆ’ -๐ด)))โ€˜๐‘Œ) = (((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท -๐ธ) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))-๐ถ โˆ’ -โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)))
216215, 198eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) ยท -๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))-๐ถ โˆ’ -๐ด)))โ€˜๐‘Œ) = -(((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท ๐ธ) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)))
217208adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘Œ) โ†’ -๐ต = -๐ธ)
2181, 217csbied 3932 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ-๐ต = -๐ธ)
219216, 218oveq12d 7427 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) ยท -๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))-๐ถ โˆ’ -๐ด)))โ€˜๐‘Œ) โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ-๐ต) = (-(((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท ๐ธ) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โˆ’ -๐ธ))
220141, 183, 2193brtr3d 5180 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (-(((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โˆ’ -โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โ‰ค (-(((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท ๐ธ) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โˆ’ -๐ธ))
22190recnd 11242 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
222221, 143neg2subd 11588 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (-(((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โˆ’ -โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) = (โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆ’ (((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))))
22397recnd 11242 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท ๐ธ) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
224223, 185neg2subd 11588 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (-(((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท ๐ธ) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โˆ’ -๐ธ) = (๐ธ โˆ’ (((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท ๐ธ) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))))
225220, 222, 2243brtr3d 5180 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆ’ (((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))) โ‰ค (๐ธ โˆ’ (((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท ๐ธ) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))))
226221, 143negsubdi2d 11587 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ -((((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) = (โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆ’ (((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))))
227223, 185negsubdi2d 11587 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ -((((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท ๐ธ) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โˆ’ ๐ธ) = (๐ธ โˆ’ (((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท ๐ธ) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))))
228225, 226, 2273brtr4d 5181 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ -((((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โ‰ค -((((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท ๐ธ) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โˆ’ ๐ธ))
22998, 91lenegd 11793 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท ๐ธ) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โˆ’ ๐ธ) โ‰ค ((((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โ†” -((((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โ‰ค -((((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท ๐ธ) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โˆ’ ๐ธ)))
230228, 229mpbird 257 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท ๐ธ) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โˆ’ ๐ธ) โ‰ค ((((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
23173, 98, 91, 116, 230letrd 11371 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โˆ’ ๐ธ) โ‰ค ((((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
232 1red 11215 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„)
233 nfv 1918 . . . . . . . . . . 11 โ„ฒ๐‘ฅ ๐ท โ‰ค ๐‘‹
234 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . 12 โ„ฒ๐‘ฅ0
235 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . 12 โ„ฒ๐‘ฅ โ‰ค
236234, 235, 161nfbr 5196 . . . . . . . . . . 11 โ„ฒ๐‘ฅ0 โ‰ค โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต
237233, 236nfim 1900 . . . . . . . . . 10 โ„ฒ๐‘ฅ(๐ท โ‰ค ๐‘‹ โ†’ 0 โ‰ค โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)
238 breq2 5153 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โ†” ๐ท โ‰ค ๐‘‹))
239171breq2d 5161 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (0 โ‰ค ๐ต โ†” 0 โ‰ค โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
240238, 239imbi12d 345 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ ((๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โ†’ 0 โ‰ค ๐ต) โ†” (๐ท โ‰ค ๐‘‹ โ†’ 0 โ‰ค โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)))
241237, 240rspc 3601 . . . . . . . . 9 (๐‘‹ โˆˆ ๐‘† โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† (๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โ†’ 0 โ‰ค ๐ต) โ†’ (๐ท โ‰ค ๐‘‹ โ†’ 0 โ‰ค โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)))
24233, 103, 105, 241syl3c 66 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)
243 fracle1 13768 . . . . . . . . 9 (๐‘‹ โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) โ‰ค 1)
24474, 243syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) โ‰ค 1)
24577, 232, 88, 242, 244lemul1ad 12153 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โ‰ค (1 ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
246143mullidd 11232 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (1 ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) = โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)
247245, 246breqtrd 5175 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โ‰ค โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)
24889, 88, 45, 247leadd1dd 11828 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โ‰ค (โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)))
24990, 88, 45lesubadd2d 11813 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โ‰ค (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โ†” (((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โ‰ค (โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))))
250248, 249mpbird 257 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โ‰ค (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))
25173, 91, 45, 231, 250letrd 11371 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โˆ’ ๐ธ) โ‰ค (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))
25221, 72readdcld 11243 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) + ๐ธ) โˆˆ โ„)
253 fracge0 13769 . . . . . . 7 (๐‘‹ โˆˆ โ„ โ†’ 0 โ‰ค (๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)))
25474, 253syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)))
25577, 88, 254, 242mulge0d 11791 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
25645, 89addge02d 11803 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (0 โ‰ค ((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โ†” (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โ‰ค (((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))))
257255, 256mpbid 231 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โ‰ค (((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)))
258140simpld 496 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) ยท -๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))-๐ถ โˆ’ -๐ด)))โ€˜๐‘Œ) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) ยท -๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))-๐ถ โˆ’ -๐ด)))โ€˜๐‘‹))
259258, 216, 1803brtr3d 5180 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ -(((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท ๐ธ) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โ‰ค -(((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)))
26090, 97lenegd 11793 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โ‰ค (((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท ๐ธ) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โ†” -(((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท ๐ธ) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โ‰ค -(((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))))
261259, 260mpbird 257 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โ‰ค (((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท ๐ธ) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)))
262 fracle1 13768 . . . . . . . . . 10 (๐‘Œ โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) โ‰ค 1)
26392, 262syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) โ‰ค 1)
26495, 232, 72, 112, 263lemul1ad 12153 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท ๐ธ) โ‰ค (1 ยท ๐ธ))
265185mullidd 11232 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (1 ยท ๐ธ) = ๐ธ)
266264, 265breqtrd 5175 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท ๐ธ) โ‰ค ๐ธ)
26796, 72, 21, 266leadd1dd 11828 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท ๐ธ) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โ‰ค (๐ธ + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)))
268185, 57addcomd 11416 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ธ + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) = ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) + ๐ธ))
269267, 268breqtrd 5175 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท ๐ธ) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โ‰ค ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) + ๐ธ))
27090, 97, 252, 261, 269letrd 11371 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โ‰ค ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) + ๐ธ))
27145, 90, 252, 257, 270letrd 11371 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โ‰ค ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) + ๐ธ))
27245, 21, 72absdifled 15381 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โˆ’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))) โ‰ค ๐ธ โ†” (((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โˆ’ ๐ธ) โ‰ค (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โˆง (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โ‰ค ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) + ๐ธ))))
273251, 271, 272mpbir2and 712 . 2 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โˆ’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))) โ‰ค ๐ธ)
27460, 273eqbrtrd 5171 1 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜((๐บโ€˜๐‘Œ) โˆ’ (๐บโ€˜๐‘‹))) โ‰ค ๐ธ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3062  โฆ‹csb 3894   โŠ† wss 3949  {cpr 4631   class class class wbr 5149   โ†ฆ cmpt 5232  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  โ„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115  +โˆžcpnf 11245  โ„*cxr 11247   โ‰ค cle 11249   โˆ’ cmin 11444  -cneg 11445  โ„คcz 12558  โ„คโ‰ฅcuz 12822  (,)cioo 13324  ...cfz 13484  โŒŠcfl 13755  abscabs 15181  ฮฃcsu 15632   D cdv 25380
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-cmp 22891  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384
This theorem is referenced by:  logfacbnd3  26726  log2sumbnd  27047
  Copyright terms: Public domain W3C validator