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Theorem dvfsum2 25382
Description: The reverse of dvfsumrlim 25379, when comparing a finite sum of increasing terms to an integral. In this case there is no point in stating the limit properties, because the terms of the sum aren't approaching zero, but there is nevertheless still a natural asymptotic statement that can be made. (Contributed by Mario Carneiro, 20-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsum2.s 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
dvfsum2.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
dvfsum2.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
dvfsum2.d (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
dvfsum2.u (𝜑𝑈 ∈ ℝ*)
dvfsum2.md (𝜑𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
dvfsum2.t (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
dvfsum2.a ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
dvfsum2.b1 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐵𝑉)
dvfsum2.b2 ((𝜑𝑥𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
dvfsum2.b3 (𝜑 → (ℝ D (𝑥𝑆𝐴)) = (𝑥𝑆𝐵))
dvfsum2.c (𝑥 = 𝑘𝐵 = 𝐶)
dvfsum2.l ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑥𝑥𝑘𝑘𝑈)) → 𝐵𝐶)
dvfsum2.g 𝐺 = (𝑥𝑆 ↦ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴))
dvfsum2.0 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → 0 ≤ 𝐵)
dvfsum2.1 (𝜑𝑋𝑆)
dvfsum2.2 (𝜑𝑌𝑆)
dvfsum2.3 (𝜑𝐷𝑋)
dvfsum2.4 (𝜑𝑋𝑌)
dvfsum2.5 (𝜑𝑌𝑈)
dvfsum2.e (𝑥 = 𝑌𝐵 = 𝐸)
Assertion
Ref Expression
dvfsum2 (𝜑 → (abs‘((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋))) ≤ 𝐸)
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑥,𝐶   𝑥,𝑘,𝐷   𝜑,𝑘,𝑥   𝑥,𝐸   𝑘,𝑀,𝑥   𝑆,𝑘,𝑥   𝑘,𝑋,𝑥   𝑘,𝑌,𝑥   𝑥,𝑇   𝑈,𝑘,𝑥   𝑥,𝑉   𝑥,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑘)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑘)   𝑇(𝑘)   𝐸(𝑘)   𝐺(𝑥,𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem dvfsum2
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvfsum2.2 . . . . . 6 (𝜑𝑌𝑆)
2 fzfid 13870 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀...(⌊‘𝑌)) ∈ Fin)
3 dvfsum2.b2 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
43ralrimiva 3141 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑥𝑍 𝐵 ∈ ℝ)
5 elfzuz 13429 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
6 dvfsum2.z . . . . . . . . . 10 𝑍 = (ℤ𝑀)
75, 6eleqtrrdi 2849 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌)) → 𝑘𝑍)
8 dvfsum2.c . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑘𝐵 = 𝐶)
98eleq1d 2822 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑘 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ 𝐶 ∈ ℝ))
109rspccva 3578 . . . . . . . . 9 ((∀𝑥𝑍 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑘𝑍) → 𝐶 ∈ ℝ)
114, 7, 10syl2an 596 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))) → 𝐶 ∈ ℝ)
122, 11fsumrecl 15611 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 ∈ ℝ)
13 dvfsum2.a . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
1413ralrimiva 3141 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑥𝑆 𝐴 ∈ ℝ)
15 nfcsb1v 3878 . . . . . . . . . 10 𝑥𝑌 / 𝑥𝐴
1615nfel1 2921 . . . . . . . . 9 𝑥𝑌 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ
17 csbeq1a 3867 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑌𝐴 = 𝑌 / 𝑥𝐴)
1817eleq1d 2822 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑌 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑌 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ))
1916, 18rspc 3567 . . . . . . . 8 (𝑌𝑆 → (∀𝑥𝑆 𝐴 ∈ ℝ → 𝑌 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ))
201, 14, 19sylc 65 . . . . . . 7 (𝜑𝑌 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ)
2112, 20resubcld 11579 . . . . . 6 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) ∈ ℝ)
22 nfcv 2905 . . . . . . 7 𝑥𝑌
23 nfcv 2905 . . . . . . . 8 𝑥Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶
24 nfcv 2905 . . . . . . . 8 𝑥
2523, 24, 15nfov 7383 . . . . . . 7 𝑥𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)
26 fveq2 6839 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑌 → (⌊‘𝑥) = (⌊‘𝑌))
2726oveq2d 7369 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑌 → (𝑀...(⌊‘𝑥)) = (𝑀...(⌊‘𝑌)))
2827sumeq1d 15578 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑌 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶)
2928, 17oveq12d 7371 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑌 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴))
30 dvfsum2.g . . . . . . 7 𝐺 = (𝑥𝑆 ↦ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴))
3122, 25, 29, 30fvmptf 6966 . . . . . 6 ((𝑌𝑆 ∧ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) ∈ ℝ) → (𝐺𝑌) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴))
321, 21, 31syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺𝑌) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴))
33 dvfsum2.1 . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑆)
34 fzfid 13870 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀...(⌊‘𝑋)) ∈ Fin)
35 elfzuz 13429 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
3635, 6eleqtrrdi 2849 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋)) → 𝑘𝑍)
374, 36, 10syl2an 596 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))) → 𝐶 ∈ ℝ)
3834, 37fsumrecl 15611 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 ∈ ℝ)
39 nfcsb1v 3878 . . . . . . . . . 10 𝑥𝑋 / 𝑥𝐴
4039nfel1 2921 . . . . . . . . 9 𝑥𝑋 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ
41 csbeq1a 3867 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑋𝐴 = 𝑋 / 𝑥𝐴)
4241eleq1d 2822 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑋 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑋 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ))
4340, 42rspc 3567 . . . . . . . 8 (𝑋𝑆 → (∀𝑥𝑆 𝐴 ∈ ℝ → 𝑋 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ))
4433, 14, 43sylc 65 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ)
4538, 44resubcld 11579 . . . . . 6 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴) ∈ ℝ)
46 nfcv 2905 . . . . . . 7 𝑥𝑋
47 nfcv 2905 . . . . . . . 8 𝑥Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶
4847, 24, 39nfov 7383 . . . . . . 7 𝑥𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)
49 fveq2 6839 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑋 → (⌊‘𝑥) = (⌊‘𝑋))
5049oveq2d 7369 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑋 → (𝑀...(⌊‘𝑥)) = (𝑀...(⌊‘𝑋)))
5150sumeq1d 15578 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶)
5251, 41oveq12d 7371 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴))
5346, 48, 52, 30fvmptf 6966 . . . . . 6 ((𝑋𝑆 ∧ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴) ∈ ℝ) → (𝐺𝑋) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴))
5433, 45, 53syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺𝑋) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴))
5532, 54oveq12d 7371 . . . 4 (𝜑 → ((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋)) = ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) − (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)))
5655fveq2d 6843 . . 3 (𝜑 → (abs‘((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋))) = (abs‘((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) − (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴))))
5721recnd 11179 . . . 4 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) ∈ ℂ)
5845recnd 11179 . . . 4 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴) ∈ ℂ)
5957, 58abssubd 15330 . . 3 (𝜑 → (abs‘((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) − (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴))) = (abs‘((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴) − (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴))))
6056, 59eqtrd 2776 . 2 (𝜑 → (abs‘((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋))) = (abs‘((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴) − (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴))))
61 dvfsum2.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
62 ioossre 13317 . . . . . . . . . 10 (𝑇(,)+∞) ⊆ ℝ
6361, 62eqsstri 3976 . . . . . . . . 9 𝑆 ⊆ ℝ
6463a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ⊆ ℝ)
65 dvfsum2.b1 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐵𝑉)
66 dvfsum2.b3 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D (𝑥𝑆𝐴)) = (𝑥𝑆𝐵))
6764, 13, 65, 66dvmptrecl 25372 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐵 ∈ ℝ)
6867ralrimiva 3141 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥𝑆 𝐵 ∈ ℝ)
69 dvfsum2.e . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑌𝐵 = 𝐸)
7069eleq1d 2822 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑌 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ 𝐸 ∈ ℝ))
7170rspcv 3575 . . . . . 6 (𝑌𝑆 → (∀𝑥𝑆 𝐵 ∈ ℝ → 𝐸 ∈ ℝ))
721, 68, 71sylc 65 . . . . 5 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
7321, 72resubcld 11579 . . . 4 (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) − 𝐸) ∈ ℝ)
7463, 33sselid 3940 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
75 reflcl 13693 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ℝ → (⌊‘𝑋) ∈ ℝ)
7674, 75syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⌊‘𝑋) ∈ ℝ)
7774, 76resubcld 11579 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 − (⌊‘𝑋)) ∈ ℝ)
78 nfv 1917 . . . . . . . . . 10 𝑚 𝐵 ∈ ℝ
79 nfcsb1v 3878 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝑚 / 𝑥𝐵
8079nfel1 2921 . . . . . . . . . 10 𝑥𝑚 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ
81 csbeq1a 3867 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑚𝐵 = 𝑚 / 𝑥𝐵)
8281eleq1d 2822 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑚 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ 𝑚 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ))
8378, 80, 82cbvralw 3287 . . . . . . . . 9 (∀𝑥𝑆 𝐵 ∈ ℝ ↔ ∀𝑚𝑆 𝑚 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ)
8468, 83sylib 217 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑚𝑆 𝑚 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ)
85 csbeq1 3856 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑋𝑚 / 𝑥𝐵 = 𝑋 / 𝑥𝐵)
8685eleq1d 2822 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑋 → (𝑚 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ ↔ 𝑋 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ))
8786rspcv 3575 . . . . . . . 8 (𝑋𝑆 → (∀𝑚𝑆 𝑚 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ → 𝑋 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ))
8833, 84, 87sylc 65 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ)
8977, 88remulcld 11181 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) ∈ ℝ)
9089, 45readdcld 11180 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)) ∈ ℝ)
9190, 88resubcld 11579 . . . 4 (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)) − 𝑋 / 𝑥𝐵) ∈ ℝ)
9263, 1sselid 3940 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
93 reflcl 13693 . . . . . . . . . 10 (𝑌 ∈ ℝ → (⌊‘𝑌) ∈ ℝ)
9492, 93syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⌊‘𝑌) ∈ ℝ)
9592, 94resubcld 11579 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑌 − (⌊‘𝑌)) ∈ ℝ)
9695, 72remulcld 11181 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) ∈ ℝ)
9796, 21readdcld 11180 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) ∈ ℝ)
9897, 72resubcld 11579 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) − 𝐸) ∈ ℝ)
99 fracge0 13701 . . . . . . . . 9 (𝑌 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝑌 − (⌊‘𝑌)))
10092, 99syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ (𝑌 − (⌊‘𝑌)))
101 dvfsum2.0 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → 0 ≤ 𝐵)
102101expr 457 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑆) → (𝐷𝑥 → 0 ≤ 𝐵))
103102ralrimiva 3141 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑥𝑆 (𝐷𝑥 → 0 ≤ 𝐵))
104 dvfsum2.d . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
105 dvfsum2.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷𝑋)
106 dvfsum2.4 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋𝑌)
107104, 74, 92, 105, 106letrd 11308 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷𝑌)
108 breq2 5107 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑌 → (𝐷𝑥𝐷𝑌))
10969breq2d 5115 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑌 → (0 ≤ 𝐵 ↔ 0 ≤ 𝐸))
110108, 109imbi12d 344 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑌 → ((𝐷𝑥 → 0 ≤ 𝐵) ↔ (𝐷𝑌 → 0 ≤ 𝐸)))
111110rspcv 3575 . . . . . . . . 9 (𝑌𝑆 → (∀𝑥𝑆 (𝐷𝑥 → 0 ≤ 𝐵) → (𝐷𝑌 → 0 ≤ 𝐸)))
1121, 103, 107, 111syl3c 66 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ 𝐸)
11395, 72, 100, 112mulge0d 11728 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸))
11421, 96addge02d 11740 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 ≤ ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) ↔ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) ≤ (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴))))
115113, 114mpbid 231 . . . . . 6 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) ≤ (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)))
11621, 97, 72, 115lesub1dd 11767 . . . . 5 (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) − 𝐸) ≤ ((((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) − 𝐸))
117 dvfsum2.m . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
118 dvfsum2.md . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
119 dvfsum2.t . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
12013renegcld 11578 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝑆) → -𝐴 ∈ ℝ)
12167renegcld 11578 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝑆) → -𝐵 ∈ ℝ)
1223renegcld 11578 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝑍) → -𝐵 ∈ ℝ)
123 reelprrecn 11139 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
124123a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
12513recnd 11179 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℂ)
126124, 125, 65, 66dvmptneg 25314 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D (𝑥𝑆 ↦ -𝐴)) = (𝑥𝑆 ↦ -𝐵))
1278negeqd 11391 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑘 → -𝐵 = -𝐶)
128 dvfsum2.u . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈 ∈ ℝ*)
129 dvfsum2.l . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑥𝑥𝑘𝑘𝑈)) → 𝐵𝐶)
13067adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆)) → 𝐵 ∈ ℝ)
1311303adant3 1132 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑥𝑥𝑘𝑘𝑈)) → 𝐵 ∈ ℝ)
132 simp2r 1200 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑥𝑥𝑘𝑘𝑈)) → 𝑘𝑆)
133683ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑥𝑥𝑘𝑘𝑈)) → ∀𝑥𝑆 𝐵 ∈ ℝ)
1349rspcv 3575 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘𝑆 → (∀𝑥𝑆 𝐵 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℝ))
135132, 133, 134sylc 65 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑥𝑥𝑘𝑘𝑈)) → 𝐶 ∈ ℝ)
136131, 135lenegd 11730 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑥𝑥𝑘𝑘𝑈)) → (𝐵𝐶 ↔ -𝐶 ≤ -𝐵))
137129, 136mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑥𝑥𝑘𝑘𝑈)) → -𝐶 ≤ -𝐵)
138 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴))) = (𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))
139 dvfsum2.5 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑌𝑈)
14061, 6, 117, 104, 118, 119, 120, 121, 122, 126, 127, 128, 137, 138, 33, 1, 105, 106, 139dvfsumlem3 25376 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑌) ≤ ((𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑋) ∧ (((𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑋) − 𝑋 / 𝑥-𝐵) ≤ (((𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑌) − 𝑌 / 𝑥-𝐵)))
141140simprd 496 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑋) − 𝑋 / 𝑥-𝐵) ≤ (((𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑌) − 𝑌 / 𝑥-𝐵))
14277recnd 11179 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑋 − (⌊‘𝑋)) ∈ ℂ)
14388recnd 11179 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑋 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ)
144142, 143mulneg2d 11605 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · -𝑋 / 𝑥𝐵) = -((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵))
14538recnd 11179 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 ∈ ℂ)
14644recnd 11179 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑋 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ)
147145, 146neg2subd 11525 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (-Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − -𝑋 / 𝑥𝐴) = (𝑋 / 𝑥𝐴 − Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶))
14837recnd 11179 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))) → 𝐶 ∈ ℂ)
14934, 148fsumneg 15664 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))-𝐶 = -Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶)
150149oveq1d 7368 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))-𝐶 − -𝑋 / 𝑥𝐴) = (-Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − -𝑋 / 𝑥𝐴))
151145, 146negsubdi2d 11524 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → -(Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴) = (𝑋 / 𝑥𝐴 − Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶))
152147, 150, 1513eqtr4d 2786 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))-𝐶 − -𝑋 / 𝑥𝐴) = -(Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴))
153144, 152oveq12d 7371 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · -𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))-𝐶 − -𝑋 / 𝑥𝐴)) = (-((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + -(Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)))
15489recnd 11179 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) ∈ ℂ)
155154, 58negdid 11521 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → -(((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)) = (-((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + -(Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)))
156153, 155eqtr4d 2779 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · -𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))-𝐶 − -𝑋 / 𝑥𝐴)) = -(((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)))
15790renegcld 11578 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → -(((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)) ∈ ℝ)
158156, 157eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · -𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))-𝐶 − -𝑋 / 𝑥𝐴)) ∈ ℝ)
159 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥(𝑋 − (⌊‘𝑋))
160 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥 ·
161 nfcsb1v 3878 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥𝑋 / 𝑥𝐵
162161nfneg 11393 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥-𝑋 / 𝑥𝐵
163159, 160, 162nfov 7383 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · -𝑋 / 𝑥𝐵)
164 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥 +
165 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))-𝐶
16639nfneg 11393 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥-𝑋 / 𝑥𝐴
167165, 24, 166nfov 7383 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))-𝐶 − -𝑋 / 𝑥𝐴)
168163, 164, 167nfov 7383 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥(((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · -𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))-𝐶 − -𝑋 / 𝑥𝐴))
169 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑋𝑥 = 𝑋)
170169, 49oveq12d 7371 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 − (⌊‘𝑥)) = (𝑋 − (⌊‘𝑋)))
171 csbeq1a 3867 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑋𝐵 = 𝑋 / 𝑥𝐵)
172171negeqd 11391 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑋 → -𝐵 = -𝑋 / 𝑥𝐵)
173170, 172oveq12d 7371 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) = ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · -𝑋 / 𝑥𝐵))
17450sumeq1d 15578 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑋 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))-𝐶)
17541negeqd 11391 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑋 → -𝐴 = -𝑋 / 𝑥𝐴)
176174, 175oveq12d 7371 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑋 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))-𝐶 − -𝑋 / 𝑥𝐴))
177173, 176oveq12d 7371 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑋 → (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)) = (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · -𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))-𝐶 − -𝑋 / 𝑥𝐴)))
17846, 168, 177, 138fvmptf 6966 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋𝑆 ∧ (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · -𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))-𝐶 − -𝑋 / 𝑥𝐴)) ∈ ℝ) → ((𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑋) = (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · -𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))-𝐶 − -𝑋 / 𝑥𝐴)))
17933, 158, 178syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑋) = (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · -𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))-𝐶 − -𝑋 / 𝑥𝐴)))
180179, 156eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑋) = -(((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)))
181 csbnegg 11394 . . . . . . . . . . 11 (𝑋𝑆𝑋 / 𝑥-𝐵 = -𝑋 / 𝑥𝐵)
18233, 181syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 / 𝑥-𝐵 = -𝑋 / 𝑥𝐵)
183180, 182oveq12d 7371 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑋) − 𝑋 / 𝑥-𝐵) = (-(((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)) − -𝑋 / 𝑥𝐵))
18495recnd 11179 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑌 − (⌊‘𝑌)) ∈ ℂ)
18572recnd 11179 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
186184, 185mulneg2d 11605 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · -𝐸) = -((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸))
18712recnd 11179 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 ∈ ℂ)
18820recnd 11179 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑌 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ)
189187, 188neg2subd 11525 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (-Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − -𝑌 / 𝑥𝐴) = (𝑌 / 𝑥𝐴 − Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶))
19011recnd 11179 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))) → 𝐶 ∈ ℂ)
1912, 190fsumneg 15664 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))-𝐶 = -Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶)
192191oveq1d 7368 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))-𝐶 − -𝑌 / 𝑥𝐴) = (-Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − -𝑌 / 𝑥𝐴))
193187, 188negsubdi2d 11524 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → -(Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) = (𝑌 / 𝑥𝐴 − Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶))
194189, 192, 1933eqtr4d 2786 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))-𝐶 − -𝑌 / 𝑥𝐴) = -(Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴))
195186, 194oveq12d 7371 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · -𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))-𝐶 − -𝑌 / 𝑥𝐴)) = (-((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + -(Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)))
19696recnd 11179 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) ∈ ℂ)
197196, 57negdid 11521 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → -(((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) = (-((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + -(Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)))
198195, 197eqtr4d 2779 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · -𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))-𝐶 − -𝑌 / 𝑥𝐴)) = -(((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)))
19997renegcld 11578 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → -(((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) ∈ ℝ)
200198, 199eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · -𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))-𝐶 − -𝑌 / 𝑥𝐴)) ∈ ℝ)
201 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · -𝐸)
202 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))-𝐶
20315nfneg 11393 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥-𝑌 / 𝑥𝐴
204202, 24, 203nfov 7383 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))-𝐶 − -𝑌 / 𝑥𝐴)
205201, 164, 204nfov 7383 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥(((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · -𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))-𝐶 − -𝑌 / 𝑥𝐴))
206 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑌𝑥 = 𝑌)
207206, 26oveq12d 7371 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑌 → (𝑥 − (⌊‘𝑥)) = (𝑌 − (⌊‘𝑌)))
20869negeqd 11391 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑌 → -𝐵 = -𝐸)
209207, 208oveq12d 7371 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑌 → ((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) = ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · -𝐸))
21027sumeq1d 15578 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑌 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))-𝐶)
21117negeqd 11391 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑌 → -𝐴 = -𝑌 / 𝑥𝐴)
212210, 211oveq12d 7371 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑌 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))-𝐶 − -𝑌 / 𝑥𝐴))
213209, 212oveq12d 7371 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑌 → (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)) = (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · -𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))-𝐶 − -𝑌 / 𝑥𝐴)))
21422, 205, 213, 138fvmptf 6966 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑌𝑆 ∧ (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · -𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))-𝐶 − -𝑌 / 𝑥𝐴)) ∈ ℝ) → ((𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑌) = (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · -𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))-𝐶 − -𝑌 / 𝑥𝐴)))
2151, 200, 214syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑌) = (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · -𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))-𝐶 − -𝑌 / 𝑥𝐴)))
216215, 198eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑌) = -(((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)))
217208adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 = 𝑌) → -𝐵 = -𝐸)
2181, 217csbied 3891 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌 / 𝑥-𝐵 = -𝐸)
219216, 218oveq12d 7371 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑌) − 𝑌 / 𝑥-𝐵) = (-(((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) − -𝐸))
220141, 183, 2193brtr3d 5134 . . . . . . . 8 (𝜑 → (-(((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)) − -𝑋 / 𝑥𝐵) ≤ (-(((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) − -𝐸))
22190recnd 11179 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)) ∈ ℂ)
222221, 143neg2subd 11525 . . . . . . . 8 (𝜑 → (-(((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)) − -𝑋 / 𝑥𝐵) = (𝑋 / 𝑥𝐵 − (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴))))
22397recnd 11179 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) ∈ ℂ)
224223, 185neg2subd 11525 . . . . . . . 8 (𝜑 → (-(((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) − -𝐸) = (𝐸 − (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴))))
225220, 222, 2243brtr3d 5134 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 / 𝑥𝐵 − (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴))) ≤ (𝐸 − (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴))))
226221, 143negsubdi2d 11524 . . . . . . 7 (𝜑 → -((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)) − 𝑋 / 𝑥𝐵) = (𝑋 / 𝑥𝐵 − (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴))))
227223, 185negsubdi2d 11524 . . . . . . 7 (𝜑 → -((((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) − 𝐸) = (𝐸 − (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴))))
228225, 226, 2273brtr4d 5135 . . . . . 6 (𝜑 → -((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)) − 𝑋 / 𝑥𝐵) ≤ -((((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) − 𝐸))
22998, 91lenegd 11730 . . . . . 6 (𝜑 → (((((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) − 𝐸) ≤ ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)) − 𝑋 / 𝑥𝐵) ↔ -((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)) − 𝑋 / 𝑥𝐵) ≤ -((((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) − 𝐸)))
230228, 229mpbird 256 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) − 𝐸) ≤ ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)) − 𝑋 / 𝑥𝐵))
23173, 98, 91, 116, 230letrd 11308 . . . 4 (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) − 𝐸) ≤ ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)) − 𝑋 / 𝑥𝐵))
232 1red 11152 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
233 nfv 1917 . . . . . . . . . . 11 𝑥 𝐷𝑋
234 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . 12 𝑥0
235 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . 12 𝑥
236234, 235, 161nfbr 5150 . . . . . . . . . . 11 𝑥0 ≤ 𝑋 / 𝑥𝐵
237233, 236nfim 1899 . . . . . . . . . 10 𝑥(𝐷𝑋 → 0 ≤ 𝑋 / 𝑥𝐵)
238 breq2 5107 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑋 → (𝐷𝑥𝐷𝑋))
239171breq2d 5115 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑋 → (0 ≤ 𝐵 ↔ 0 ≤ 𝑋 / 𝑥𝐵))
240238, 239imbi12d 344 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐷𝑥 → 0 ≤ 𝐵) ↔ (𝐷𝑋 → 0 ≤ 𝑋 / 𝑥𝐵)))
241237, 240rspc 3567 . . . . . . . . 9 (𝑋𝑆 → (∀𝑥𝑆 (𝐷𝑥 → 0 ≤ 𝐵) → (𝐷𝑋 → 0 ≤ 𝑋 / 𝑥𝐵)))
24233, 103, 105, 241syl3c 66 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ 𝑋 / 𝑥𝐵)
243 fracle1 13700 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 − (⌊‘𝑋)) ≤ 1)
24474, 243syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋 − (⌊‘𝑋)) ≤ 1)
24577, 232, 88, 242, 244lemul1ad 12090 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) ≤ (1 · 𝑋 / 𝑥𝐵))
246143mulid2d 11169 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 · 𝑋 / 𝑥𝐵) = 𝑋 / 𝑥𝐵)
247245, 246breqtrd 5129 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) ≤ 𝑋 / 𝑥𝐵)
24889, 88, 45, 247leadd1dd 11765 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)) ≤ (𝑋 / 𝑥𝐵 + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)))
24990, 88, 45lesubadd2d 11750 . . . . 5 (𝜑 → (((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)) − 𝑋 / 𝑥𝐵) ≤ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴) ↔ (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)) ≤ (𝑋 / 𝑥𝐵 + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴))))
250248, 249mpbird 256 . . . 4 (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)) − 𝑋 / 𝑥𝐵) ≤ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴))
25173, 91, 45, 231, 250letrd 11308 . . 3 (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) − 𝐸) ≤ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴))
25221, 72readdcld 11180 . . . 4 (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) + 𝐸) ∈ ℝ)
253 fracge0 13701 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝑋 − (⌊‘𝑋)))
25474, 253syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ (𝑋 − (⌊‘𝑋)))
25577, 88, 254, 242mulge0d 11728 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵))
25645, 89addge02d 11740 . . . . 5 (𝜑 → (0 ≤ ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) ↔ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴) ≤ (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴))))
257255, 256mpbid 231 . . . 4 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴) ≤ (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)))
258140simpld 495 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑌) ≤ ((𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑋))
259258, 216, 1803brtr3d 5134 . . . . . 6 (𝜑 → -(((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) ≤ -(((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)))
26090, 97lenegd 11730 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)) ≤ (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) ↔ -(((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) ≤ -(((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴))))
261259, 260mpbird 256 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)) ≤ (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)))
262 fracle1 13700 . . . . . . . . . 10 (𝑌 ∈ ℝ → (𝑌 − (⌊‘𝑌)) ≤ 1)
26392, 262syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑌 − (⌊‘𝑌)) ≤ 1)
26495, 232, 72, 112, 263lemul1ad 12090 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) ≤ (1 · 𝐸))
265185mulid2d 11169 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 · 𝐸) = 𝐸)
266264, 265breqtrd 5129 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) ≤ 𝐸)
26796, 72, 21, 266leadd1dd 11765 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) ≤ (𝐸 + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)))
268185, 57addcomd 11353 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐸 + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) = ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) + 𝐸))
269267, 268breqtrd 5129 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) ≤ ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) + 𝐸))
27090, 97, 252, 261, 269letrd 11308 . . . 4 (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)) ≤ ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) + 𝐸))
27145, 90, 252, 257, 270letrd 11308 . . 3 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴) ≤ ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) + 𝐸))
27245, 21, 72absdifled 15311 . . 3 (𝜑 → ((abs‘((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴) − (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴))) ≤ 𝐸 ↔ (((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) − 𝐸) ≤ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴) ∧ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴) ≤ ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) + 𝐸))))
273251, 271, 272mpbir2and 711 . 2 (𝜑 → (abs‘((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴) − (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴))) ≤ 𝐸)
27460, 273eqbrtrd 5125 1 (𝜑 → (abs‘((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋))) ≤ 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3062  csb 3853  wss 3908  {cpr 4586   class class class wbr 5103  cmpt 5186  cfv 6493  (class class class)co 7353  cc 11045  cr 11046  0cc0 11047  1c1 11048   + caddc 11050   · cmul 11052  +∞cpnf 11182  *cxr 11184  cle 11186  cmin 11381  -cneg 11382  cz 12495  cuz 12759  (,)cioo 13256  ...cfz 13416  cfl 13687  abscabs 15111  Σcsu 15562   D cdv 25211
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-inf2 9573  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124  ax-pre-sup 11125  ax-addf 11126  ax-mulf 11127
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7309  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7613  df-om 7799  df-1st 7917  df-2nd 7918  df-supp 8089  df-frecs 8208  df-wrecs 8239  df-recs 8313  df-rdg 8352  df-1o 8408  df-2o 8409  df-er 8644  df-map 8763  df-pm 8764  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9302  df-fi 9343  df-sup 9374  df-inf 9375  df-oi 9442  df-card 9871  df-pnf 11187  df-mnf 11188  df-xr 11189  df-ltxr 11190  df-le 11191  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11809  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12410  df-z 12496  df-dec 12615  df-uz 12760  df-q 12866  df-rp 12908  df-xneg 13025  df-xadd 13026  df-xmul 13027  df-ioo 13260  df-ico 13262  df-icc 13263  df-fz 13417  df-fzo 13560  df-fl 13689  df-seq 13899  df-exp 13960  df-hash 14223  df-cj 14976  df-re 14977  df-im 14978  df-sqrt 15112  df-abs 15113  df-clim 15362  df-sum 15563  df-struct 17011  df-sets 17028  df-slot 17046  df-ndx 17058  df-base 17076  df-ress 17105  df-plusg 17138  df-mulr 17139  df-starv 17140  df-sca 17141  df-vsca 17142  df-ip 17143  df-tset 17144  df-ple 17145  df-ds 17147  df-unif 17148  df-hom 17149  df-cco 17150  df-rest 17296  df-topn 17297  df-0g 17315  df-gsum 17316  df-topgen 17317  df-pt 17318  df-prds 17321  df-xrs 17376  df-qtop 17381  df-imas 17382  df-xps 17384  df-mre 17458  df-mrc 17459  df-acs 17461  df-mgm 18489  df-sgrp 18538  df-mnd 18549  df-submnd 18594  df-mulg 18864  df-cntz 19088  df-cmn 19555  df-psmet 20773  df-xmet 20774  df-met 20775  df-bl 20776  df-mopn 20777  df-fbas 20778  df-fg 20779  df-cnfld 20782  df-top 22227  df-topon 22244  df-topsp 22266  df-bases 22280  df-cld 22354  df-ntr 22355  df-cls 22356  df-nei 22433  df-lp 22471  df-perf 22472  df-cn 22562  df-cnp 22563  df-haus 22650  df-cmp 22722  df-tx 22897  df-hmeo 23090  df-fil 23181  df-fm 23273  df-flim 23274  df-flf 23275  df-xms 23657  df-ms 23658  df-tms 23659  df-cncf 24225  df-limc 25214  df-dv 25215
This theorem is referenced by:  logfacbnd3  26555  log2sumbnd  26876
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