dvfsum2 - Metamath Proof Explorer

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Theorem dvfsum2 25435

Description: The reverse of dvfsumrlim 25432, when comparing a finite sum of increasing terms to an integral. In this case there is no point in stating the limit properties, because the terms of the sum aren't approaching zero, but there is nevertheless still a natural asymptotic statement that can be made. (Contributed by Mario Carneiro, 20-May-2016.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
dvfsum2.s	⊢ 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
dvfsum2.z	⊢ 𝑍 = (ℤ_≥‘𝑀)
dvfsum2.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
dvfsum2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
dvfsum2.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ^*)
dvfsum2.md	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
dvfsum2.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
dvfsum2.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
dvfsum2.b1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ 𝑉)
dvfsum2.b2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
dvfsum2.b3	⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵))
dvfsum2.c	⊢ (𝑥 = 𝑘 → 𝐵 = 𝐶)
dvfsum2.l	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)) → 𝐵 ≤ 𝐶)
dvfsum2.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶 − 𝐴))
dvfsum2.0	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑥)) → 0 ≤ 𝐵)
dvfsum2.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
dvfsum2.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑆)
dvfsum2.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 ≤ 𝑋)
dvfsum2.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
dvfsum2.5	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ 𝑈)
dvfsum2.e	⊢ (𝑥 = 𝑌 → 𝐵 = 𝐸)

**Assertion**
Ref	Expression
dvfsum2	⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋))) ≤ 𝐸)

Distinct variable groups: 𝐵,𝑘 𝑥,𝐶 𝑥,𝑘,𝐷 𝜑,𝑘,𝑥 𝑥,𝐸 𝑘,𝑀,𝑥 𝑆,𝑘,𝑥 𝑘,𝑋,𝑥 𝑘,𝑌,𝑥 𝑥,𝑇 𝑈,𝑘,𝑥 𝑥,𝑉 𝑥,𝑍 Allowed substitution hints: 𝐴(𝑥,𝑘) 𝐵(𝑥) 𝐶(𝑘) 𝑇(𝑘) 𝐸(𝑘) 𝐺(𝑥,𝑘) 𝑉(𝑘) 𝑍(𝑘)

Proof of Theorem dvfsum2 Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvfsum2.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑆)
2		fzfid 13888	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀...(⌊‘𝑌)) ∈ Fin)
3		dvfsum2.b2	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	ralrimiva 3139	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑍 𝐵 ∈ ℝ)
5		elfzuz 13447	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌)) → 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑀))
6		dvfsum2.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑍 = (ℤ_≥‘𝑀)
7	5, 6	eleqtrrdi 2843	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
8		dvfsum2.c	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → 𝐵 = 𝐶)
9	8	eleq1d 2817	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ 𝐶 ∈ ℝ))
10	9	rspccva 3581	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝑍 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐶 ∈ ℝ)
11	4, 7, 10	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))) → 𝐶 ∈ ℝ)
12	2, 11	fsumrecl 15630	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 ∈ ℝ)
13		dvfsum2.a	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
14	13	ralrimiva 3139	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐴 ∈ ℝ)
15		nfcsb1v 3883	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴
16	15	nfel1 2918	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℝ
17		csbeq1a 3872	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → 𝐴 = ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)
18	17	eleq1d 2817	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℝ))
19	16, 18	rspc 3570	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑆 → (∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐴 ∈ ℝ → ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℝ))
20	1, 14, 19	sylc 65	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℝ)
21	12, 20	resubcld 11592	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) ∈ ℝ)
22		nfcv 2902	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝑌
23		nfcv 2902	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶
24		nfcv 2902	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥 −
25	23, 24, 15	nfov 7392	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)
26		fveq2 6847	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (⌊‘𝑥) = (⌊‘𝑌))
27	26	oveq2d 7378	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝑀...(⌊‘𝑥)) = (𝑀...(⌊‘𝑌)))
28	27	sumeq1d 15597	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶)
29	28, 17	oveq12d 7380	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶 − 𝐴) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))
30		dvfsum2.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶 − 𝐴))
31	22, 25, 29, 30	fvmptf 6974	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑆 ∧ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) ∈ ℝ) → (𝐺‘𝑌) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))
32	1, 21, 31	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑌) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))
33		dvfsum2.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
34		fzfid 13888	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀...(⌊‘𝑋)) ∈ Fin)
35		elfzuz 13447	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋)) → 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑀))
36	35, 6	eleqtrrdi 2843	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
37	4, 36, 10	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))) → 𝐶 ∈ ℝ)
38	34, 37	fsumrecl 15630	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 ∈ ℝ)
39		nfcsb1v 3883	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴
40	39	nfel1 2918	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℝ
41		csbeq1a 3872	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝐴 = ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)
42	41	eleq1d 2817	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℝ))
43	40, 42	rspc 3570	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → (∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐴 ∈ ℝ → ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℝ))
44	33, 14, 43	sylc 65	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℝ)
45	38, 44	resubcld 11592	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) ∈ ℝ)
46		nfcv 2902	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝑋
47		nfcv 2902	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶
48	47, 24, 39	nfov 7392	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)
49		fveq2 6847	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (⌊‘𝑥) = (⌊‘𝑋))
50	49	oveq2d 7378	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑀...(⌊‘𝑥)) = (𝑀...(⌊‘𝑋)))
51	50	sumeq1d 15597	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶)
52	51, 41	oveq12d 7380	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶 − 𝐴) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴))
53	46, 48, 52, 30	fvmptf 6974	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑆 ∧ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) ∈ ℝ) → (𝐺‘𝑋) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴))
54	33, 45, 53	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴))
55	32, 54	oveq12d 7380	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋)) = ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) − (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)))
56	55	fveq2d 6851	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋))) = (abs‘((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) − (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴))))
57	21	recnd 11192	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) ∈ ℂ)
58	45	recnd 11192	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) ∈ ℂ)
59	57, 58	abssubd 15350	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) − (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴))) = (abs‘((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) − (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))))
60	56, 59	eqtrd 2771	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋))) = (abs‘((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) − (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))))
61		dvfsum2.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
62		ioossre 13335	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇(,)+∞) ⊆ ℝ
63	61, 62	eqsstri 3981	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 ⊆ ℝ
64	63	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℝ)
65		dvfsum2.b1	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ 𝑉)
66		dvfsum2.b3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵))
67	64, 13, 65, 66	dvmptrecl 25425	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ ℝ)
68	67	ralrimiva 3139	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐵 ∈ ℝ)
69		dvfsum2.e	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → 𝐵 = 𝐸)
70	69	eleq1d 2817	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ 𝐸 ∈ ℝ))
71	70	rspcv 3578	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑆 → (∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐵 ∈ ℝ → 𝐸 ∈ ℝ))
72	1, 68, 71	sylc 65	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
73	21, 72	resubcld 11592	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) − 𝐸) ∈ ℝ)
74	63, 33	sselid 3945	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
75		reflcl 13711	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (⌊‘𝑋) ∈ ℝ)
76	74, 75	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⌊‘𝑋) ∈ ℝ)
77	74, 76	resubcld 11592	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − (⌊‘𝑋)) ∈ ℝ)
78		nfv 1917	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑚 𝐵 ∈ ℝ
79		nfcsb1v 3883	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑚 / 𝑥⦌𝐵
80	79	nfel1 2918	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑚 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ
81		csbeq1a 3872	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑚 → 𝐵 = ⦋𝑚 / 𝑥⦌𝐵)
82	81	eleq1d 2817	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑚 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑚 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ))
83	78, 80, 82	cbvralw 3287	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐵 ∈ ℝ ↔ ∀𝑚 ∈ 𝑆 ⦋𝑚 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ)
84	68, 83	sylib 217	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ 𝑆 ⦋𝑚 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ)
85		csbeq1 3861	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑋 → ⦋𝑚 / 𝑥⦌𝐵 = ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
86	85	eleq1d 2817	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑋 → (⦋𝑚 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ))
87	86	rspcv 3578	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → (∀𝑚 ∈ 𝑆 ⦋𝑚 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ → ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ))
88	33, 84, 87	sylc 65	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ)
89	77, 88	remulcld 11194	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ∈ ℝ)
90	89, 45	readdcld 11193	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)) ∈ ℝ)
91	90, 88	resubcld 11592	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ∈ ℝ)
92	63, 1	sselid 3945	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
93		reflcl 13711	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ ℝ → (⌊‘𝑌) ∈ ℝ)
94	92, 93	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⌊‘𝑌) ∈ ℝ)
95	92, 94	resubcld 11592	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − (⌊‘𝑌)) ∈ ℝ)
96	95, 72	remulcld 11194	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) ∈ ℝ)
97	96, 21	readdcld 11193	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) ∈ ℝ)
98	97, 72	resubcld 11592	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) − 𝐸) ∈ ℝ)
99		fracge0 13719	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝑌 − (⌊‘𝑌)))
100	92, 99	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑌 − (⌊‘𝑌)))
101		dvfsum2.0	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑥)) → 0 ≤ 𝐵)
102	101	expr 457	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐷 ≤ 𝑥 → 0 ≤ 𝐵))
103	102	ralrimiva 3139	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐷 ≤ 𝑥 → 0 ≤ 𝐵))
104		dvfsum2.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
105		dvfsum2.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≤ 𝑋)
106		dvfsum2.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
107	104, 74, 92, 105, 106	letrd 11321	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≤ 𝑌)
108		breq2 5114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝐷 ≤ 𝑥 ↔ 𝐷 ≤ 𝑌))
109	69	breq2d 5122	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (0 ≤ 𝐵 ↔ 0 ≤ 𝐸))
110	108, 109	imbi12d 344	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → ((𝐷 ≤ 𝑥 → 0 ≤ 𝐵) ↔ (𝐷 ≤ 𝑌 → 0 ≤ 𝐸)))
111	110	rspcv 3578	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑆 → (∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐷 ≤ 𝑥 → 0 ≤ 𝐵) → (𝐷 ≤ 𝑌 → 0 ≤ 𝐸)))
112	1, 103, 107, 111	syl3c 66	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐸)
113	95, 72, 100, 112	mulge0d 11741	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸))
114	21, 96	addge02d 11753	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) ↔ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) ≤ (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))))
115	113, 114	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) ≤ (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)))
116	21, 97, 72, 115	lesub1dd 11780	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) − 𝐸) ≤ ((((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) − 𝐸))
117		dvfsum2.m	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
118		dvfsum2.md	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
119		dvfsum2.t	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
120	13	renegcld 11591	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → -𝐴 ∈ ℝ)
121	67	renegcld 11591	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → -𝐵 ∈ ℝ)
122	3	renegcld 11591	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → -𝐵 ∈ ℝ)
123		reelprrecn 11152	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
124	123	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
125	13	recnd 11192	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℂ)
126	124, 125, 65, 66	dvmptneg 25367	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ -𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ -𝐵))
127	8	negeqd 11404	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → -𝐵 = -𝐶)
128		dvfsum2.u	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ^*)
129		dvfsum2.l	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)) → 𝐵 ≤ 𝐶)
130	67	adantrr 715	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆)) → 𝐵 ∈ ℝ)
131	130	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)) → 𝐵 ∈ ℝ)
132		simp2r 1200	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)) → 𝑘 ∈ 𝑆)
133	68	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐵 ∈ ℝ)
134	9	rspcv 3578	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑆 → (∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐵 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℝ))
135	132, 133, 134	sylc 65	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)) → 𝐶 ∈ ℝ)
136	131, 135	lenegd 11743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)) → (𝐵 ≤ 𝐶 ↔ -𝐶 ≤ -𝐵))
137	129, 136	mpbid 231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)) → -𝐶 ≤ -𝐵)
138		eqid 2731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴))) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))
139		dvfsum2.5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ 𝑈)
140	61, 6, 117, 104, 118, 119, 120, 121, 122, 126, 127, 128, 137, 138, 33, 1, 105, 106, 139	dvfsumlem3 25429	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑌) ≤ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑋) ∧ (((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑋) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌-𝐵) ≤ (((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑌) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌-𝐵)))
141	140	simprd 496	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑋) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌-𝐵) ≤ (((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑌) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌-𝐵))
142	77	recnd 11192	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − (⌊‘𝑋)) ∈ ℂ)
143	88	recnd 11192	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ)
144	142, 143	mulneg2d 11618	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) = -((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))
145	38	recnd 11192	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 ∈ ℂ)
146	44	recnd 11192	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ)
147	145, 146	neg2subd 11538	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (-Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴 − Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶))
148	37	recnd 11192	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))) → 𝐶 ∈ ℂ)
149	34, 148	fsumneg 15683	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))-𝐶 = -Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶)
150	149	oveq1d 7377	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))-𝐶 − -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) = (-Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴))
151	145, 146	negsubdi2d 11537	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → -(Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴 − Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶))
152	147, 150, 151	3eqtr4d 2781	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))-𝐶 − -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) = -(Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴))
153	144, 152	oveq12d 7380	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))-𝐶 − -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)) = (-((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + -(Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)))
154	89	recnd 11192	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ∈ ℂ)
155	154, 58	negdid 11534	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → -(((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)) = (-((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + -(Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)))
156	153, 155	eqtr4d 2774	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))-𝐶 − -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)) = -(((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)))
157	90	renegcld 11591	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → -(((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)) ∈ ℝ)
158	156, 157	eqeltrd 2832	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))-𝐶 − -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)) ∈ ℝ)
159		nfcv 2902	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑋 − (⌊‘𝑋))
160		nfcv 2902	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥 ·
161		nfcsb1v 3883	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵
162	161	nfneg 11406	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥-⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵
163	159, 160, 162	nfov 7392	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
164		nfcv 2902	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥 +
165		nfcv 2902	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))-𝐶
166	39	nfneg 11406	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥-⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴
167	165, 24, 166	nfov 7392	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥(Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))-𝐶 − -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)
168	163, 164, 167	nfov 7392	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥(((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))-𝐶 − -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴))
169		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝑥 = 𝑋)
170	169, 49	oveq12d 7380	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 − (⌊‘𝑥)) = (𝑋 − (⌊‘𝑋)))
171		csbeq1a 3872	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝐵 = ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
172	171	negeqd 11404	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → -𝐵 = -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
173	170, 172	oveq12d 7380	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) = ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))
174	50	sumeq1d 15597	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))-𝐶)
175	41	negeqd 11404	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → -𝐴 = -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)
176	174, 175	oveq12d 7380	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))-𝐶 − -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴))
177	173, 176	oveq12d 7380	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)) = (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))-𝐶 − -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)))
178	46, 168, 177, 138	fvmptf 6974	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑆 ∧ (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))-𝐶 − -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)) ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑋) = (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))-𝐶 − -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)))
179	33, 158, 178	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑋) = (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))-𝐶 − -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)))
180	179, 156	eqtrd 2771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑋) = -(((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)))
181		csbnegg 11407	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → ⦋𝑋 / 𝑥⦌-𝐵 = -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
182	33, 181	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑋 / 𝑥⦌-𝐵 = -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
183	180, 182	oveq12d 7380	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑋) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌-𝐵) = (-(((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)) − -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))
184	95	recnd 11192	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − (⌊‘𝑌)) ∈ ℂ)
185	72	recnd 11192	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
186	184, 185	mulneg2d 11618	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · -𝐸) = -((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸))
187	12	recnd 11192	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 ∈ ℂ)
188	20	recnd 11192	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ)
189	187, 188	neg2subd 11538	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (-Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − -⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 − Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶))
190	11	recnd 11192	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))) → 𝐶 ∈ ℂ)
191	2, 190	fsumneg 15683	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))-𝐶 = -Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶)
192	191	oveq1d 7377	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))-𝐶 − -⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) = (-Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − -⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))
193	187, 188	negsubdi2d 11537	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → -(Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 − Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶))
194	189, 192, 193	3eqtr4d 2781	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))-𝐶 − -⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) = -(Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))
195	186, 194	oveq12d 7380	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · -𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))-𝐶 − -⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) = (-((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + -(Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)))
196	96	recnd 11192	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) ∈ ℂ)
197	196, 57	negdid 11534	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → -(((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) = (-((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + -(Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)))
198	195, 197	eqtr4d 2774	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · -𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))-𝐶 − -⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) = -(((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)))
199	97	renegcld 11591	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → -(((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) ∈ ℝ)
200	198, 199	eqeltrd 2832	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · -𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))-𝐶 − -⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) ∈ ℝ)
201		nfcv 2902	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · -𝐸)
202		nfcv 2902	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))-𝐶
203	15	nfneg 11406	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥-⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴
204	202, 24, 203	nfov 7392	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥(Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))-𝐶 − -⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)
205	201, 164, 204	nfov 7392	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥(((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · -𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))-𝐶 − -⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))
206		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → 𝑥 = 𝑌)
207	206, 26	oveq12d 7380	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝑥 − (⌊‘𝑥)) = (𝑌 − (⌊‘𝑌)))
208	69	negeqd 11404	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → -𝐵 = -𝐸)
209	207, 208	oveq12d 7380	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → ((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) = ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · -𝐸))
210	27	sumeq1d 15597	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))-𝐶)
211	17	negeqd 11404	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → -𝐴 = -⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)
212	210, 211	oveq12d 7380	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))-𝐶 − -⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))
213	209, 212	oveq12d 7380	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)) = (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · -𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))-𝐶 − -⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)))
214	22, 205, 213, 138	fvmptf 6974	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑆 ∧ (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · -𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))-𝐶 − -⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑌) = (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · -𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))-𝐶 − -⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)))
215	1, 200, 214	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑌) = (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · -𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))-𝐶 − -⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)))
216	215, 198	eqtrd 2771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑌) = -(((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)))
217	208	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) → -𝐵 = -𝐸)
218	1, 217	csbied 3896	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑌 / 𝑥⦌-𝐵 = -𝐸)
219	216, 218	oveq12d 7380	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑌) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌-𝐵) = (-(((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) − -𝐸))
220	141, 183, 219	3brtr3d 5141	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (-(((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)) − -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ≤ (-(((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) − -𝐸))
221	90	recnd 11192	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)) ∈ ℂ)
222	221, 143	neg2subd 11538	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (-(((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)) − -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 − (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴))))
223	97	recnd 11192	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) ∈ ℂ)
224	223, 185	neg2subd 11538	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (-(((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) − -𝐸) = (𝐸 − (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))))
225	220, 222, 224	3brtr3d 5141	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 − (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴))) ≤ (𝐸 − (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))))
226	221, 143	negsubdi2d 11537	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 − (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴))))
227	223, 185	negsubdi2d 11537	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -((((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) − 𝐸) = (𝐸 − (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))))
228	225, 226, 227	3brtr4d 5142	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ≤ -((((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) − 𝐸))
229	98, 91	lenegd 11743	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) − 𝐸) ≤ ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ↔ -((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ≤ -((((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) − 𝐸)))
230	228, 229	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) − 𝐸) ≤ ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))
231	73, 98, 91, 116, 230	letrd 11321	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) − 𝐸) ≤ ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))
232		1red 11165	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
233		nfv 1917	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐷 ≤ 𝑋
234		nfcv 2902	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥0
235		nfcv 2902	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥 ≤
236	234, 235, 161	nfbr 5157	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥0 ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵
237	233, 236	nfim 1899	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐷 ≤ 𝑋 → 0 ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
238		breq2 5114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐷 ≤ 𝑥 ↔ 𝐷 ≤ 𝑋))
239	171	breq2d 5122	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (0 ≤ 𝐵 ↔ 0 ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))
240	238, 239	imbi12d 344	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐷 ≤ 𝑥 → 0 ≤ 𝐵) ↔ (𝐷 ≤ 𝑋 → 0 ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)))
241	237, 240	rspc 3570	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → (∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐷 ≤ 𝑥 → 0 ≤ 𝐵) → (𝐷 ≤ 𝑋 → 0 ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)))
242	33, 103, 105, 241	syl3c 66	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
243		fracle1 13718	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 − (⌊‘𝑋)) ≤ 1)
244	74, 243	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − (⌊‘𝑋)) ≤ 1)
245	77, 232, 88, 242, 244	lemul1ad 12103	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ≤ (1 · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))
246	143	mullidd 11182	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) = ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
247	245, 246	breqtrd 5136	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
248	89, 88, 45, 247	leadd1dd 11778	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)) ≤ (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)))
249	90, 88, 45	lesubadd2d 11763	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ≤ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) ↔ (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)) ≤ (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴))))
250	248, 249	mpbird 256	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ≤ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴))
251	73, 91, 45, 231, 250	letrd 11321	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) − 𝐸) ≤ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴))
252	21, 72	readdcld 11193	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) + 𝐸) ∈ ℝ)
253		fracge0 13719	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝑋 − (⌊‘𝑋)))
254	74, 253	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑋 − (⌊‘𝑋)))
255	77, 88, 254, 242	mulge0d 11741	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))
256	45, 89	addge02d 11753	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ↔ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) ≤ (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴))))
257	255, 256	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) ≤ (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)))
258	140	simpld 495	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑌) ≤ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑋))
259	258, 216, 180	3brtr3d 5141	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -(((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) ≤ -(((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)))
260	90, 97	lenegd 11743	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)) ≤ (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) ↔ -(((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) ≤ -(((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴))))
261	259, 260	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)) ≤ (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)))
262		fracle1 13718	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ ℝ → (𝑌 − (⌊‘𝑌)) ≤ 1)
263	92, 262	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − (⌊‘𝑌)) ≤ 1)
264	95, 232, 72, 112, 263	lemul1ad 12103	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) ≤ (1 · 𝐸))
265	185	mullidd 11182	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐸) = 𝐸)
266	264, 265	breqtrd 5136	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) ≤ 𝐸)
267	96, 72, 21, 266	leadd1dd 11778	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) ≤ (𝐸 + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)))
268	185, 57	addcomd 11366	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸 + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) = ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) + 𝐸))
269	267, 268	breqtrd 5136	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) ≤ ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) + 𝐸))
270	90, 97, 252, 261, 269	letrd 11321	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)) ≤ ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) + 𝐸))
271	45, 90, 252, 257, 270	letrd 11321	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) ≤ ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) + 𝐸))
272	45, 21, 72	absdifled 15331	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) − (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))) ≤ 𝐸 ↔ (((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) − 𝐸) ≤ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) ∧ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) ≤ ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) + 𝐸))))
273	251, 271, 272	mpbir2and 711	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) − (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))) ≤ 𝐸)
274	60, 273	eqbrtrd 5132	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋))) ≤ 𝐸)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 396 ∧ w3a 1087 = wceq 1541 ∈ wcel 2106 ∀wral 3060 ⦋csb 3858 ⊆ wss 3913 {cpr 4593 class class class wbr 5110 ↦ cmpt 5193 ‘cfv 6501 (class class class)co 7362 ℂcc 11058 ℝcr 11059 0cc0 11060 1c1 11061 + caddc 11063 · cmul 11065 +∞cpnf 11195 ℝ^*cxr 11197 ≤ cle 11199 − cmin 11394 -cneg 11395 ℤcz 12508 ℤ_≥cuz 12772 (,)cioo 13274 ...cfz 13434 ⌊cfl 13705 abscabs 15131 Σcsu 15582 D cdv 25264

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2702 ax-rep 5247 ax-sep 5261 ax-nul 5268 ax-pow 5325 ax-pr 5389 ax-un 7677 ax-inf2 9586 ax-cnex 11116 ax-resscn 11117 ax-1cn 11118 ax-icn 11119 ax-addcl 11120 ax-addrcl 11121 ax-mulcl 11122 ax-mulrcl 11123 ax-mulcom 11124 ax-addass 11125 ax-mulass 11126 ax-distr 11127 ax-i2m1 11128 ax-1ne0 11129 ax-1rid 11130 ax-rnegex 11131 ax-rrecex 11132 ax-cnre 11133 ax-pre-lttri 11134 ax-pre-lttrn 11135 ax-pre-ltadd 11136 ax-pre-mulgt0 11137 ax-pre-sup 11138 ax-addf 11139 ax-mulf 11140

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2533 df-eu 2562 df-clab 2709 df-cleq 2723 df-clel 2809 df-nfc 2884 df-ne 2940 df-nel 3046 df-ral 3061 df-rex 3070 df-rmo 3351 df-reu 3352 df-rab 3406 df-v 3448 df-sbc 3743 df-csb 3859 df-dif 3916 df-un 3918 df-in 3920 df-ss 3930 df-pss 3932 df-nul 4288 df-if 4492 df-pw 4567 df-sn 4592 df-pr 4594 df-tp 4596 df-op 4598 df-uni 4871 df-int 4913 df-iun 4961 df-iin 4962 df-br 5111 df-opab 5173 df-mpt 5194 df-tr 5228 df-id 5536 df-eprel 5542 df-po 5550 df-so 5551 df-fr 5593 df-se 5594 df-we 5595 df-xp 5644 df-rel 5645 df-cnv 5646 df-co 5647 df-dm 5648 df-rn 5649 df-res 5650 df-ima 5651 df-pred 6258 df-ord 6325 df-on 6326 df-lim 6327 df-suc 6328 df-iota 6453 df-fun 6503 df-fn 6504 df-f 6505 df-f1 6506 df-fo 6507 df-f1o 6508 df-fv 6509 df-isom 6510 df-riota 7318 df-ov 7365 df-oprab 7366 df-mpo 7367 df-of 7622 df-om 7808 df-1st 7926 df-2nd 7927 df-supp 8098 df-frecs 8217 df-wrecs 8248 df-recs 8322 df-rdg 8361 df-1o 8417 df-2o 8418 df-er 8655 df-map 8774 df-pm 8775 df-ixp 8843 df-en 8891 df-dom 8892 df-sdom 8893 df-fin 8894 df-fsupp 9313 df-fi 9356 df-sup 9387 df-inf 9388 df-oi 9455 df-card 9884 df-pnf 11200 df-mnf 11201 df-xr 11202 df-ltxr 11203 df-le 11204 df-sub 11396 df-neg 11397 df-div 11822 df-nn 12163 df-2 12225 df-3 12226 df-4 12227 df-5 12228 df-6 12229 df-7 12230 df-8 12231 df-9 12232 df-n0 12423 df-z 12509 df-dec 12628 df-uz 12773 df-q 12883 df-rp 12925 df-xneg 13042 df-xadd 13043 df-xmul 13044 df-ioo 13278 df-ico 13280 df-icc 13281 df-fz 13435 df-fzo 13578 df-fl 13707 df-seq 13917 df-exp 13978 df-hash 14241 df-cj 14996 df-re 14997 df-im 14998 df-sqrt 15132 df-abs 15133 df-clim 15382 df-sum 15583 df-struct 17030 df-sets 17047 df-slot 17065 df-ndx 17077 df-base 17095 df-ress 17124 df-plusg 17160 df-mulr 17161 df-starv 17162 df-sca 17163 df-vsca 17164 df-ip 17165 df-tset 17166 df-ple 17167 df-ds 17169 df-unif 17170 df-hom 17171 df-cco 17172 df-rest 17318 df-topn 17319 df-0g 17337 df-gsum 17338 df-topgen 17339 df-pt 17340 df-prds 17343 df-xrs 17398 df-qtop 17403 df-imas 17404 df-xps 17406 df-mre 17480 df-mrc 17481 df-acs 17483 df-mgm 18511 df-sgrp 18560 df-mnd 18571 df-submnd 18616 df-mulg 18887 df-cntz 19111 df-cmn 19578 df-psmet 20825 df-xmet 20826 df-met 20827 df-bl 20828 df-mopn 20829 df-fbas 20830 df-fg 20831 df-cnfld 20834 df-top 22280 df-topon 22297 df-topsp 22319 df-bases 22333 df-cld 22407 df-ntr 22408 df-cls 22409 df-nei 22486 df-lp 22524 df-perf 22525 df-cn 22615 df-cnp 22616 df-haus 22703 df-cmp 22775 df-tx 22950 df-hmeo 23143 df-fil 23234 df-fm 23326 df-flim 23327 df-flf 23328 df-xms 23710 df-ms 23711 df-tms 23712 df-cncf 24278 df-limc 25267 df-dv 25268

This theorem is referenced by: logfacbnd3 26608 log2sumbnd 26929

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