MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvfsum2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvfsum2 25786
Description: The reverse of dvfsumrlim 25783, when comparing a finite sum of increasing terms to an integral. In this case there is no point in stating the limit properties, because the terms of the sum aren't approaching zero, but there is nevertheless still a natural asymptotic statement that can be made. (Contributed by Mario Carneiro, 20-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsum2.s ๐‘† = (๐‘‡(,)+โˆž)
dvfsum2.z ๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)
dvfsum2.m (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
dvfsum2.d (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)
dvfsum2.u (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ โ„*)
dvfsum2.md (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โ‰ค (๐ท + 1))
dvfsum2.t (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„)
dvfsum2.a ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
dvfsum2.b1 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)
dvfsum2.b2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
dvfsum2.b3 (๐œ‘ โ†’ (โ„ D (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ ๐ด)) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ ๐ต))
dvfsum2.c (๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†’ ๐ต = ๐ถ)
dvfsum2.l ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘˜ โˆง ๐‘˜ โ‰ค ๐‘ˆ)) โ†’ ๐ต โ‰ค ๐ถ)
dvfsum2.g ๐บ = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))๐ถ โˆ’ ๐ด))
dvfsum2.0 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
dvfsum2.1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†)
dvfsum2.2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐‘†)
dvfsum2.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โ‰ค ๐‘‹)
dvfsum2.4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โ‰ค ๐‘Œ)
dvfsum2.5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โ‰ค ๐‘ˆ)
dvfsum2.e (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ ๐ต = ๐ธ)
Assertion
Ref Expression
dvfsum2 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜((๐บโ€˜๐‘Œ) โˆ’ (๐บโ€˜๐‘‹))) โ‰ค ๐ธ)
Distinct variable groups:   ๐ต,๐‘˜   ๐‘ฅ,๐ถ   ๐‘ฅ,๐‘˜,๐ท   ๐œ‘,๐‘˜,๐‘ฅ   ๐‘ฅ,๐ธ   ๐‘˜,๐‘€,๐‘ฅ   ๐‘†,๐‘˜,๐‘ฅ   ๐‘˜,๐‘‹,๐‘ฅ   ๐‘˜,๐‘Œ,๐‘ฅ   ๐‘ฅ,๐‘‡   ๐‘ˆ,๐‘˜,๐‘ฅ   ๐‘ฅ,๐‘‰   ๐‘ฅ,๐‘
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘ฅ,๐‘˜)   ๐ต(๐‘ฅ)   ๐ถ(๐‘˜)   ๐‘‡(๐‘˜)   ๐ธ(๐‘˜)   ๐บ(๐‘ฅ,๐‘˜)   ๐‘‰(๐‘˜)   ๐‘(๐‘˜)

Proof of Theorem dvfsum2
Dummy variable ๐‘š is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvfsum2.2 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐‘†)
2 fzfid 13942 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ)) โˆˆ Fin)
3 dvfsum2.b2 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
43ralrimiva 3144 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ ๐ต โˆˆ โ„)
5 elfzuz 13501 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
6 dvfsum2.z . . . . . . . . . 10 ๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)
75, 6eleqtrrdi 2842 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘)
8 dvfsum2.c . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†’ ๐ต = ๐ถ)
98eleq1d 2816 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†’ (๐ต โˆˆ โ„ โ†” ๐ถ โˆˆ โ„))
109rspccva 3610 . . . . . . . . 9 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
114, 7, 10syl2an 594 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
122, 11fsumrecl 15684 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆˆ โ„)
13 dvfsum2.a . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
1413ralrimiva 3144 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† ๐ด โˆˆ โ„)
15 nfcsb1v 3917 . . . . . . . . . 10 โ„ฒ๐‘ฅโฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด
1615nfel1 2917 . . . . . . . . 9 โ„ฒ๐‘ฅโฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด โˆˆ โ„
17 csbeq1a 3906 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ ๐ด = โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)
1817eleq1d 2816 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โ†” โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด โˆˆ โ„))
1916, 18rspc 3599 . . . . . . . 8 (๐‘Œ โˆˆ ๐‘† โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† ๐ด โˆˆ โ„ โ†’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด โˆˆ โ„))
201, 14, 19sylc 65 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด โˆˆ โ„)
2112, 20resubcld 11646 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โˆˆ โ„)
22 nfcv 2901 . . . . . . 7 โ„ฒ๐‘ฅ๐‘Œ
23 nfcv 2901 . . . . . . . 8 โ„ฒ๐‘ฅฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ
24 nfcv 2901 . . . . . . . 8 โ„ฒ๐‘ฅ โˆ’
2523, 24, 15nfov 7441 . . . . . . 7 โ„ฒ๐‘ฅ(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)
26 fveq2 6890 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ) = (โŒŠโ€˜๐‘Œ))
2726oveq2d 7427 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) = (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ)))
2827sumeq1d 15651 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))๐ถ = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ)
2928, 17oveq12d 7429 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))๐ถ โˆ’ ๐ด) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))
30 dvfsum2.g . . . . . . 7 ๐บ = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))๐ถ โˆ’ ๐ด))
3122, 25, 29, 30fvmptf 7018 . . . . . 6 ((๐‘Œ โˆˆ ๐‘† โˆง (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ (๐บโ€˜๐‘Œ) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))
321, 21, 31syl2anc 582 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐บโ€˜๐‘Œ) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))
33 dvfsum2.1 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†)
34 fzfid 13942 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹)) โˆˆ Fin)
35 elfzuz 13501 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
3635, 6eleqtrrdi 2842 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘)
374, 36, 10syl2an 594 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
3834, 37fsumrecl 15684 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆˆ โ„)
39 nfcsb1v 3917 . . . . . . . . . 10 โ„ฒ๐‘ฅโฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด
4039nfel1 2917 . . . . . . . . 9 โ„ฒ๐‘ฅโฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด โˆˆ โ„
41 csbeq1a 3906 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ ๐ด = โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)
4241eleq1d 2816 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โ†” โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด โˆˆ โ„))
4340, 42rspc 3599 . . . . . . . 8 (๐‘‹ โˆˆ ๐‘† โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† ๐ด โˆˆ โ„ โ†’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด โˆˆ โ„))
4433, 14, 43sylc 65 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด โˆˆ โ„)
4538, 44resubcld 11646 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โˆˆ โ„)
46 nfcv 2901 . . . . . . 7 โ„ฒ๐‘ฅ๐‘‹
47 nfcv 2901 . . . . . . . 8 โ„ฒ๐‘ฅฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ
4847, 24, 39nfov 7441 . . . . . . 7 โ„ฒ๐‘ฅ(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)
49 fveq2 6890 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ) = (โŒŠโ€˜๐‘‹))
5049oveq2d 7427 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) = (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹)))
5150sumeq1d 15651 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))๐ถ = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ)
5251, 41oveq12d 7429 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))๐ถ โˆ’ ๐ด) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))
5346, 48, 52, 30fvmptf 7018 . . . . . 6 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘† โˆง (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ (๐บโ€˜๐‘‹) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))
5433, 45, 53syl2anc 582 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐บโ€˜๐‘‹) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))
5532, 54oveq12d 7429 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐บโ€˜๐‘Œ) โˆ’ (๐บโ€˜๐‘‹)) = ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โˆ’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)))
5655fveq2d 6894 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜((๐บโ€˜๐‘Œ) โˆ’ (๐บโ€˜๐‘‹))) = (absโ€˜((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โˆ’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))))
5721recnd 11246 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โˆˆ โ„‚)
5845recnd 11246 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โˆˆ โ„‚)
5957, 58abssubd 15404 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โˆ’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))) = (absโ€˜((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โˆ’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))))
6056, 59eqtrd 2770 . 2 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜((๐บโ€˜๐‘Œ) โˆ’ (๐บโ€˜๐‘‹))) = (absโ€˜((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โˆ’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))))
61 dvfsum2.s . . . . . . . . . 10 ๐‘† = (๐‘‡(,)+โˆž)
62 ioossre 13389 . . . . . . . . . 10 (๐‘‡(,)+โˆž) โŠ† โ„
6361, 62eqsstri 4015 . . . . . . . . 9 ๐‘† โŠ† โ„
6463a1i 11 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โŠ† โ„)
65 dvfsum2.b1 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)
66 dvfsum2.b3 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (โ„ D (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ ๐ด)) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ ๐ต))
6764, 13, 65, 66dvmptrecl 25776 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
6867ralrimiva 3144 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† ๐ต โˆˆ โ„)
69 dvfsum2.e . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ ๐ต = ๐ธ)
7069eleq1d 2816 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ (๐ต โˆˆ โ„ โ†” ๐ธ โˆˆ โ„))
7170rspcv 3607 . . . . . 6 (๐‘Œ โˆˆ ๐‘† โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† ๐ต โˆˆ โ„ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„))
721, 68, 71sylc 65 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„)
7321, 72resubcld 11646 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โˆ’ ๐ธ) โˆˆ โ„)
7463, 33sselid 3979 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„)
75 reflcl 13765 . . . . . . . . 9 (๐‘‹ โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜๐‘‹) โˆˆ โ„)
7674, 75syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜๐‘‹) โˆˆ โ„)
7774, 76resubcld 11646 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) โˆˆ โ„)
78 nfv 1915 . . . . . . . . . 10 โ„ฒ๐‘š ๐ต โˆˆ โ„
79 nfcsb1v 3917 . . . . . . . . . . 11 โ„ฒ๐‘ฅโฆ‹๐‘š / ๐‘ฅโฆŒ๐ต
8079nfel1 2917 . . . . . . . . . 10 โ„ฒ๐‘ฅโฆ‹๐‘š / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆˆ โ„
81 csbeq1a 3906 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐‘š โ†’ ๐ต = โฆ‹๐‘š / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)
8281eleq1d 2816 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘š โ†’ (๐ต โˆˆ โ„ โ†” โฆ‹๐‘š / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆˆ โ„))
8378, 80, 82cbvralw 3301 . . . . . . . . 9 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† ๐ต โˆˆ โ„ โ†” โˆ€๐‘š โˆˆ ๐‘† โฆ‹๐‘š / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆˆ โ„)
8468, 83sylib 217 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ ๐‘† โฆ‹๐‘š / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆˆ โ„)
85 csbeq1 3895 . . . . . . . . . 10 (๐‘š = ๐‘‹ โ†’ โฆ‹๐‘š / ๐‘ฅโฆŒ๐ต = โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)
8685eleq1d 2816 . . . . . . . . 9 (๐‘š = ๐‘‹ โ†’ (โฆ‹๐‘š / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆˆ โ„ โ†” โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆˆ โ„))
8786rspcv 3607 . . . . . . . 8 (๐‘‹ โˆˆ ๐‘† โ†’ (โˆ€๐‘š โˆˆ ๐‘† โฆ‹๐‘š / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆˆ โ„ โ†’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆˆ โ„))
8833, 84, 87sylc 65 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆˆ โ„)
8977, 88remulcld 11248 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โˆˆ โ„)
9089, 45readdcld 11247 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โˆˆ โ„)
9190, 88resubcld 11646 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โˆˆ โ„)
9263, 1sselid 3979 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„)
93 reflcl 13765 . . . . . . . . . 10 (๐‘Œ โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ) โˆˆ โ„)
9492, 93syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ) โˆˆ โ„)
9592, 94resubcld 11646 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) โˆˆ โ„)
9695, 72remulcld 11248 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท ๐ธ) โˆˆ โ„)
9796, 21readdcld 11247 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท ๐ธ) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โˆˆ โ„)
9897, 72resubcld 11646 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท ๐ธ) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โˆ’ ๐ธ) โˆˆ โ„)
99 fracge0 13773 . . . . . . . . 9 (๐‘Œ โˆˆ โ„ โ†’ 0 โ‰ค (๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)))
10092, 99syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)))
101 dvfsum2.0 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
102101expr 455 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โ†’ 0 โ‰ค ๐ต))
103102ralrimiva 3144 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† (๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โ†’ 0 โ‰ค ๐ต))
104 dvfsum2.d . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)
105 dvfsum2.3 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โ‰ค ๐‘‹)
106 dvfsum2.4 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โ‰ค ๐‘Œ)
107104, 74, 92, 105, 106letrd 11375 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โ‰ค ๐‘Œ)
108 breq2 5151 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ (๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โ†” ๐ท โ‰ค ๐‘Œ))
10969breq2d 5159 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ (0 โ‰ค ๐ต โ†” 0 โ‰ค ๐ธ))
110108, 109imbi12d 343 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ ((๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โ†’ 0 โ‰ค ๐ต) โ†” (๐ท โ‰ค ๐‘Œ โ†’ 0 โ‰ค ๐ธ)))
111110rspcv 3607 . . . . . . . . 9 (๐‘Œ โˆˆ ๐‘† โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† (๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โ†’ 0 โ‰ค ๐ต) โ†’ (๐ท โ‰ค ๐‘Œ โ†’ 0 โ‰ค ๐ธ)))
1121, 103, 107, 111syl3c 66 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ธ)
11395, 72, 100, 112mulge0d 11795 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท ๐ธ))
11421, 96addge02d 11807 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (0 โ‰ค ((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท ๐ธ) โ†” (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โ‰ค (((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท ๐ธ) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))))
115113, 114mpbid 231 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โ‰ค (((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท ๐ธ) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)))
11621, 97, 72, 115lesub1dd 11834 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โˆ’ ๐ธ) โ‰ค ((((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท ๐ธ) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โˆ’ ๐ธ))
117 dvfsum2.m . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
118 dvfsum2.md . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โ‰ค (๐ท + 1))
119 dvfsum2.t . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„)
12013renegcld 11645 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†) โ†’ -๐ด โˆˆ โ„)
12167renegcld 11645 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†) โ†’ -๐ต โˆˆ โ„)
1223renegcld 11645 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘) โ†’ -๐ต โˆˆ โ„)
123 reelprrecn 11204 . . . . . . . . . . . . 13 โ„ โˆˆ {โ„, โ„‚}
124123a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ โ„ โˆˆ {โ„, โ„‚})
12513recnd 11246 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
126124, 125, 65, 66dvmptneg 25718 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (โ„ D (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ -๐ด)) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ -๐ต))
1278negeqd 11458 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†’ -๐ต = -๐ถ)
128 dvfsum2.u . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ โ„*)
129 dvfsum2.l . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘˜ โˆง ๐‘˜ โ‰ค ๐‘ˆ)) โ†’ ๐ต โ‰ค ๐ถ)
13067adantrr 713 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
1311303adant3 1130 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘˜ โˆง ๐‘˜ โ‰ค ๐‘ˆ)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
132 simp2r 1198 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘˜ โˆง ๐‘˜ โ‰ค ๐‘ˆ)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘†)
133683ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘˜ โˆง ๐‘˜ โ‰ค ๐‘ˆ)) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† ๐ต โˆˆ โ„)
1349rspcv 3607 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘˜ โˆˆ ๐‘† โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† ๐ต โˆˆ โ„ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„))
135132, 133, 134sylc 65 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘˜ โˆง ๐‘˜ โ‰ค ๐‘ˆ)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
136131, 135lenegd 11797 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘˜ โˆง ๐‘˜ โ‰ค ๐‘ˆ)) โ†’ (๐ต โ‰ค ๐ถ โ†” -๐ถ โ‰ค -๐ต))
137129, 136mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘˜ โˆง ๐‘˜ โ‰ค ๐‘ˆ)) โ†’ -๐ถ โ‰ค -๐ต)
138 eqid 2730 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) ยท -๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))-๐ถ โˆ’ -๐ด))) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) ยท -๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))-๐ถ โˆ’ -๐ด)))
139 dvfsum2.5 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โ‰ค ๐‘ˆ)
14061, 6, 117, 104, 118, 119, 120, 121, 122, 126, 127, 128, 137, 138, 33, 1, 105, 106, 139dvfsumlem3 25780 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) ยท -๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))-๐ถ โˆ’ -๐ด)))โ€˜๐‘Œ) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) ยท -๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))-๐ถ โˆ’ -๐ด)))โ€˜๐‘‹) โˆง (((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) ยท -๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))-๐ถ โˆ’ -๐ด)))โ€˜๐‘‹) โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ-๐ต) โ‰ค (((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) ยท -๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))-๐ถ โˆ’ -๐ด)))โ€˜๐‘Œ) โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ-๐ต)))
141140simprd 494 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) ยท -๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))-๐ถ โˆ’ -๐ด)))โ€˜๐‘‹) โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ-๐ต) โ‰ค (((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) ยท -๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))-๐ถ โˆ’ -๐ด)))โ€˜๐‘Œ) โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ-๐ต))
14277recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) โˆˆ โ„‚)
14388recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚)
144142, 143mulneg2d 11672 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท -โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) = -((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
14538recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆˆ โ„‚)
14644recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด โˆˆ โ„‚)
147145, 146neg2subd 11592 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (-ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ -โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) = (โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ))
14837recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
14934, 148fsumneg 15737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))-๐ถ = -ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ)
150149oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))-๐ถ โˆ’ -โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) = (-ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ -โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))
151145, 146negsubdi2d 11591 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ -(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) = (โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ))
152147, 150, 1513eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))-๐ถ โˆ’ -โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) = -(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))
153144, 152oveq12d 7429 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท -โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))-๐ถ โˆ’ -โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) = (-((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + -(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)))
15489recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โˆˆ โ„‚)
155154, 58negdid 11588 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ -(((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) = (-((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + -(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)))
156153, 155eqtr4d 2773 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท -โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))-๐ถ โˆ’ -โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) = -(((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)))
15790renegcld 11645 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ -(((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โˆˆ โ„)
158156, 157eqeltrd 2831 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท -โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))-๐ถ โˆ’ -โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โˆˆ โ„)
159 nfcv 2901 . . . . . . . . . . . . . . 15 โ„ฒ๐‘ฅ(๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹))
160 nfcv 2901 . . . . . . . . . . . . . . 15 โ„ฒ๐‘ฅ ยท
161 nfcsb1v 3917 . . . . . . . . . . . . . . . 16 โ„ฒ๐‘ฅโฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต
162161nfneg 11460 . . . . . . . . . . . . . . 15 โ„ฒ๐‘ฅ-โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต
163159, 160, 162nfov 7441 . . . . . . . . . . . . . 14 โ„ฒ๐‘ฅ((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท -โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)
164 nfcv 2901 . . . . . . . . . . . . . 14 โ„ฒ๐‘ฅ +
165 nfcv 2901 . . . . . . . . . . . . . . 15 โ„ฒ๐‘ฅฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))-๐ถ
16639nfneg 11460 . . . . . . . . . . . . . . 15 โ„ฒ๐‘ฅ-โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด
167165, 24, 166nfov 7441 . . . . . . . . . . . . . 14 โ„ฒ๐‘ฅ(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))-๐ถ โˆ’ -โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)
168163, 164, 167nfov 7441 . . . . . . . . . . . . 13 โ„ฒ๐‘ฅ(((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท -โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))-๐ถ โˆ’ -โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))
169 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘‹)
170169, 49oveq12d 7429 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) = (๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)))
171 csbeq1a 3906 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ ๐ต = โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)
172171negeqd 11458 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ -๐ต = -โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)
173170, 172oveq12d 7429 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ ((๐‘ฅ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) ยท -๐ต) = ((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท -โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
17450sumeq1d 15651 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))-๐ถ = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))-๐ถ)
17541negeqd 11458 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ -๐ด = -โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)
176174, 175oveq12d 7429 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))-๐ถ โˆ’ -๐ด) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))-๐ถ โˆ’ -โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))
177173, 176oveq12d 7429 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (((๐‘ฅ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) ยท -๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))-๐ถ โˆ’ -๐ด)) = (((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท -โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))-๐ถ โˆ’ -โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)))
17846, 168, 177, 138fvmptf 7018 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘† โˆง (((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท -โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))-๐ถ โˆ’ -โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) ยท -๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))-๐ถ โˆ’ -๐ด)))โ€˜๐‘‹) = (((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท -โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))-๐ถ โˆ’ -โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)))
17933, 158, 178syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) ยท -๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))-๐ถ โˆ’ -๐ด)))โ€˜๐‘‹) = (((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท -โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))-๐ถ โˆ’ -โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)))
180179, 156eqtrd 2770 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) ยท -๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))-๐ถ โˆ’ -๐ด)))โ€˜๐‘‹) = -(((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)))
181 csbnegg 11461 . . . . . . . . . . 11 (๐‘‹ โˆˆ ๐‘† โ†’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ-๐ต = -โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)
18233, 181syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ-๐ต = -โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)
183180, 182oveq12d 7429 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) ยท -๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))-๐ถ โˆ’ -๐ด)))โ€˜๐‘‹) โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ-๐ต) = (-(((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โˆ’ -โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
18495recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) โˆˆ โ„‚)
18572recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„‚)
186184, 185mulneg2d 11672 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท -๐ธ) = -((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท ๐ธ))
18712recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆˆ โ„‚)
18820recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด โˆˆ โ„‚)
189187, 188neg2subd 11592 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (-ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ -โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) = (โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ))
19011recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
1912, 190fsumneg 15737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))-๐ถ = -ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ)
192191oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))-๐ถ โˆ’ -โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) = (-ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ -โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))
193187, 188negsubdi2d 11591 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ -(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) = (โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ))
194189, 192, 1933eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))-๐ถ โˆ’ -โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) = -(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))
195186, 194oveq12d 7429 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท -๐ธ) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))-๐ถ โˆ’ -โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) = (-((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท ๐ธ) + -(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)))
19696recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท ๐ธ) โˆˆ โ„‚)
197196, 57negdid 11588 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ -(((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท ๐ธ) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) = (-((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท ๐ธ) + -(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)))
198195, 197eqtr4d 2773 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท -๐ธ) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))-๐ถ โˆ’ -โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) = -(((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท ๐ธ) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)))
19997renegcld 11645 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ -(((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท ๐ธ) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โˆˆ โ„)
200198, 199eqeltrd 2831 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท -๐ธ) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))-๐ถ โˆ’ -โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โˆˆ โ„)
201 nfcv 2901 . . . . . . . . . . . . . 14 โ„ฒ๐‘ฅ((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท -๐ธ)
202 nfcv 2901 . . . . . . . . . . . . . . 15 โ„ฒ๐‘ฅฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))-๐ถ
20315nfneg 11460 . . . . . . . . . . . . . . 15 โ„ฒ๐‘ฅ-โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด
204202, 24, 203nfov 7441 . . . . . . . . . . . . . 14 โ„ฒ๐‘ฅ(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))-๐ถ โˆ’ -โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)
205201, 164, 204nfov 7441 . . . . . . . . . . . . 13 โ„ฒ๐‘ฅ(((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท -๐ธ) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))-๐ถ โˆ’ -โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))
206 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘Œ)
207206, 26oveq12d 7429 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) = (๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)))
20869negeqd 11458 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ -๐ต = -๐ธ)
209207, 208oveq12d 7429 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ ((๐‘ฅ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) ยท -๐ต) = ((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท -๐ธ))
21027sumeq1d 15651 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))-๐ถ = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))-๐ถ)
21117negeqd 11458 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ -๐ด = -โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)
212210, 211oveq12d 7429 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))-๐ถ โˆ’ -๐ด) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))-๐ถ โˆ’ -โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))
213209, 212oveq12d 7429 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ (((๐‘ฅ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) ยท -๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))-๐ถ โˆ’ -๐ด)) = (((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท -๐ธ) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))-๐ถ โˆ’ -โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)))
21422, 205, 213, 138fvmptf 7018 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘Œ โˆˆ ๐‘† โˆง (((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท -๐ธ) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))-๐ถ โˆ’ -โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) ยท -๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))-๐ถ โˆ’ -๐ด)))โ€˜๐‘Œ) = (((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท -๐ธ) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))-๐ถ โˆ’ -โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)))
2151, 200, 214syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) ยท -๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))-๐ถ โˆ’ -๐ด)))โ€˜๐‘Œ) = (((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท -๐ธ) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))-๐ถ โˆ’ -โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)))
216215, 198eqtrd 2770 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) ยท -๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))-๐ถ โˆ’ -๐ด)))โ€˜๐‘Œ) = -(((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท ๐ธ) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)))
217208adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘Œ) โ†’ -๐ต = -๐ธ)
2181, 217csbied 3930 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ-๐ต = -๐ธ)
219216, 218oveq12d 7429 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) ยท -๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))-๐ถ โˆ’ -๐ด)))โ€˜๐‘Œ) โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ-๐ต) = (-(((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท ๐ธ) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โˆ’ -๐ธ))
220141, 183, 2193brtr3d 5178 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (-(((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โˆ’ -โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โ‰ค (-(((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท ๐ธ) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โˆ’ -๐ธ))
22190recnd 11246 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
222221, 143neg2subd 11592 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (-(((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โˆ’ -โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) = (โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆ’ (((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))))
22397recnd 11246 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท ๐ธ) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
224223, 185neg2subd 11592 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (-(((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท ๐ธ) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โˆ’ -๐ธ) = (๐ธ โˆ’ (((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท ๐ธ) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))))
225220, 222, 2243brtr3d 5178 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆ’ (((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))) โ‰ค (๐ธ โˆ’ (((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท ๐ธ) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))))
226221, 143negsubdi2d 11591 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ -((((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) = (โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆ’ (((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))))
227223, 185negsubdi2d 11591 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ -((((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท ๐ธ) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โˆ’ ๐ธ) = (๐ธ โˆ’ (((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท ๐ธ) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))))
228225, 226, 2273brtr4d 5179 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ -((((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โ‰ค -((((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท ๐ธ) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โˆ’ ๐ธ))
22998, 91lenegd 11797 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท ๐ธ) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โˆ’ ๐ธ) โ‰ค ((((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โ†” -((((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โ‰ค -((((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท ๐ธ) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โˆ’ ๐ธ)))
230228, 229mpbird 256 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท ๐ธ) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โˆ’ ๐ธ) โ‰ค ((((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
23173, 98, 91, 116, 230letrd 11375 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โˆ’ ๐ธ) โ‰ค ((((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
232 1red 11219 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„)
233 nfv 1915 . . . . . . . . . . 11 โ„ฒ๐‘ฅ ๐ท โ‰ค ๐‘‹
234 nfcv 2901 . . . . . . . . . . . 12 โ„ฒ๐‘ฅ0
235 nfcv 2901 . . . . . . . . . . . 12 โ„ฒ๐‘ฅ โ‰ค
236234, 235, 161nfbr 5194 . . . . . . . . . . 11 โ„ฒ๐‘ฅ0 โ‰ค โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต
237233, 236nfim 1897 . . . . . . . . . 10 โ„ฒ๐‘ฅ(๐ท โ‰ค ๐‘‹ โ†’ 0 โ‰ค โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)
238 breq2 5151 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โ†” ๐ท โ‰ค ๐‘‹))
239171breq2d 5159 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (0 โ‰ค ๐ต โ†” 0 โ‰ค โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
240238, 239imbi12d 343 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ ((๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โ†’ 0 โ‰ค ๐ต) โ†” (๐ท โ‰ค ๐‘‹ โ†’ 0 โ‰ค โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)))
241237, 240rspc 3599 . . . . . . . . 9 (๐‘‹ โˆˆ ๐‘† โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† (๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โ†’ 0 โ‰ค ๐ต) โ†’ (๐ท โ‰ค ๐‘‹ โ†’ 0 โ‰ค โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)))
24233, 103, 105, 241syl3c 66 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)
243 fracle1 13772 . . . . . . . . 9 (๐‘‹ โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) โ‰ค 1)
24474, 243syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) โ‰ค 1)
24577, 232, 88, 242, 244lemul1ad 12157 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โ‰ค (1 ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
246143mullidd 11236 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (1 ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) = โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)
247245, 246breqtrd 5173 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โ‰ค โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)
24889, 88, 45, 247leadd1dd 11832 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โ‰ค (โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)))
24990, 88, 45lesubadd2d 11817 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โ‰ค (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โ†” (((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โ‰ค (โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))))
250248, 249mpbird 256 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โ‰ค (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))
25173, 91, 45, 231, 250letrd 11375 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โˆ’ ๐ธ) โ‰ค (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))
25221, 72readdcld 11247 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) + ๐ธ) โˆˆ โ„)
253 fracge0 13773 . . . . . . 7 (๐‘‹ โˆˆ โ„ โ†’ 0 โ‰ค (๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)))
25474, 253syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)))
25577, 88, 254, 242mulge0d 11795 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
25645, 89addge02d 11807 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (0 โ‰ค ((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โ†” (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โ‰ค (((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))))
257255, 256mpbid 231 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โ‰ค (((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)))
258140simpld 493 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) ยท -๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))-๐ถ โˆ’ -๐ด)))โ€˜๐‘Œ) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) ยท -๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))-๐ถ โˆ’ -๐ด)))โ€˜๐‘‹))
259258, 216, 1803brtr3d 5178 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ -(((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท ๐ธ) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โ‰ค -(((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)))
26090, 97lenegd 11797 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โ‰ค (((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท ๐ธ) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โ†” -(((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท ๐ธ) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โ‰ค -(((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))))
261259, 260mpbird 256 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โ‰ค (((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท ๐ธ) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)))
262 fracle1 13772 . . . . . . . . . 10 (๐‘Œ โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) โ‰ค 1)
26392, 262syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) โ‰ค 1)
26495, 232, 72, 112, 263lemul1ad 12157 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท ๐ธ) โ‰ค (1 ยท ๐ธ))
265185mullidd 11236 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (1 ยท ๐ธ) = ๐ธ)
266264, 265breqtrd 5173 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท ๐ธ) โ‰ค ๐ธ)
26796, 72, 21, 266leadd1dd 11832 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท ๐ธ) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โ‰ค (๐ธ + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)))
268185, 57addcomd 11420 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ธ + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) = ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) + ๐ธ))
269267, 268breqtrd 5173 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท ๐ธ) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โ‰ค ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) + ๐ธ))
27090, 97, 252, 261, 269letrd 11375 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โ‰ค ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) + ๐ธ))
27145, 90, 252, 257, 270letrd 11375 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โ‰ค ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) + ๐ธ))
27245, 21, 72absdifled 15385 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โˆ’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))) โ‰ค ๐ธ โ†” (((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โˆ’ ๐ธ) โ‰ค (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โˆง (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โ‰ค ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) + ๐ธ))))
273251, 271, 272mpbir2and 709 . 2 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โˆ’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))) โ‰ค ๐ธ)
27460, 273eqbrtrd 5169 1 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜((๐บโ€˜๐‘Œ) โˆ’ (๐บโ€˜๐‘‹))) โ‰ค ๐ธ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆง w3a 1085   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104  โˆ€wral 3059  โฆ‹csb 3892   โŠ† wss 3947  {cpr 4629   class class class wbr 5147   โ†ฆ cmpt 5230  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117  +โˆžcpnf 11249  โ„*cxr 11251   โ‰ค cle 11253   โˆ’ cmin 11448  -cneg 11449  โ„คcz 12562  โ„คโ‰ฅcuz 12826  (,)cioo 13328  ...cfz 13488  โŒŠcfl 13759  abscabs 15185  ฮฃcsu 15636   D cdv 25612
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-sum 15637  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-nei 22822  df-lp 22860  df-perf 22861  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-haus 23039  df-cmp 23111  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-cncf 24618  df-limc 25615  df-dv 25616
This theorem is referenced by:  logfacbnd3  26962  log2sumbnd  27283
  Copyright terms: Public domain W3C validator