dvfsum2 - Metamath Proof Explorer

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Theorem dvfsum2 26001

Description: The reverse of dvfsumrlim 25998, when comparing a finite sum of increasing terms to an integral. In this case there is no point in stating the limit properties, because the terms of the sum aren't approaching zero, but there is nevertheless still a natural asymptotic statement that can be made. (Contributed by Mario Carneiro, 20-May-2016.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
dvfsum2.s	⊢ 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
dvfsum2.z	⊢ 𝑍 = (ℤ_≥‘𝑀)
dvfsum2.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
dvfsum2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
dvfsum2.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ^*)
dvfsum2.md	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
dvfsum2.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
dvfsum2.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
dvfsum2.b1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ 𝑉)
dvfsum2.b2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
dvfsum2.b3	⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵))
dvfsum2.c	⊢ (𝑥 = 𝑘 → 𝐵 = 𝐶)
dvfsum2.l	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)) → 𝐵 ≤ 𝐶)
dvfsum2.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶 − 𝐴))
dvfsum2.0	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑥)) → 0 ≤ 𝐵)
dvfsum2.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
dvfsum2.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑆)
dvfsum2.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 ≤ 𝑋)
dvfsum2.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
dvfsum2.5	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ 𝑈)
dvfsum2.e	⊢ (𝑥 = 𝑌 → 𝐵 = 𝐸)

**Assertion**
Ref	Expression
dvfsum2	⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋))) ≤ 𝐸)

Distinct variable groups: 𝐵,𝑘 𝑥,𝐶 𝑥,𝑘,𝐷 𝜑,𝑘,𝑥 𝑥,𝐸 𝑘,𝑀,𝑥 𝑆,𝑘,𝑥 𝑘,𝑋,𝑥 𝑘,𝑌,𝑥 𝑥,𝑇 𝑈,𝑘,𝑥 𝑥,𝑉 𝑥,𝑍 Allowed substitution hints: 𝐴(𝑥,𝑘) 𝐵(𝑥) 𝐶(𝑘) 𝑇(𝑘) 𝐸(𝑘) 𝐺(𝑥,𝑘) 𝑉(𝑘) 𝑍(𝑘)

Proof of Theorem dvfsum2 Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvfsum2.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑆)
2		fzfid 13935	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀...(⌊‘𝑌)) ∈ Fin)
3		dvfsum2.b2	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	ralrimiva 3129	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑍 𝐵 ∈ ℝ)
5		elfzuz 13474	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌)) → 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑀))
6		dvfsum2.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑍 = (ℤ_≥‘𝑀)
7	5, 6	eleqtrrdi 2847	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
8		dvfsum2.c	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → 𝐵 = 𝐶)
9	8	eleq1d 2821	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ 𝐶 ∈ ℝ))
10	9	rspccva 3563	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝑍 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐶 ∈ ℝ)
11	4, 7, 10	syl2an 597	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))) → 𝐶 ∈ ℝ)
12	2, 11	fsumrecl 15696	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 ∈ ℝ)
13		dvfsum2.a	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
14	13	ralrimiva 3129	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐴 ∈ ℝ)
15		nfcsb1v 3861	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴
16	15	nfel1 2915	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℝ
17		csbeq1a 3851	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → 𝐴 = ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)
18	17	eleq1d 2821	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℝ))
19	16, 18	rspc 3552	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑆 → (∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐴 ∈ ℝ → ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℝ))
20	1, 14, 19	sylc 65	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℝ)
21	12, 20	resubcld 11578	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) ∈ ℝ)
22		nfcv 2898	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝑌
23		nfcv 2898	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶
24		nfcv 2898	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥 −
25	23, 24, 15	nfov 7397	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)
26		fveq2 6840	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (⌊‘𝑥) = (⌊‘𝑌))
27	26	oveq2d 7383	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝑀...(⌊‘𝑥)) = (𝑀...(⌊‘𝑌)))
28	27	sumeq1d 15662	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶)
29	28, 17	oveq12d 7385	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶 − 𝐴) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))
30		dvfsum2.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶 − 𝐴))
31	22, 25, 29, 30	fvmptf 6969	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑆 ∧ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) ∈ ℝ) → (𝐺‘𝑌) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))
32	1, 21, 31	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑌) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))
33		dvfsum2.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
34		fzfid 13935	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀...(⌊‘𝑋)) ∈ Fin)
35		elfzuz 13474	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋)) → 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑀))
36	35, 6	eleqtrrdi 2847	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
37	4, 36, 10	syl2an 597	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))) → 𝐶 ∈ ℝ)
38	34, 37	fsumrecl 15696	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 ∈ ℝ)
39		nfcsb1v 3861	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴
40	39	nfel1 2915	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℝ
41		csbeq1a 3851	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝐴 = ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)
42	41	eleq1d 2821	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℝ))
43	40, 42	rspc 3552	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → (∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐴 ∈ ℝ → ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℝ))
44	33, 14, 43	sylc 65	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℝ)
45	38, 44	resubcld 11578	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) ∈ ℝ)
46		nfcv 2898	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝑋
47		nfcv 2898	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶
48	47, 24, 39	nfov 7397	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)
49		fveq2 6840	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (⌊‘𝑥) = (⌊‘𝑋))
50	49	oveq2d 7383	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑀...(⌊‘𝑥)) = (𝑀...(⌊‘𝑋)))
51	50	sumeq1d 15662	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶)
52	51, 41	oveq12d 7385	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶 − 𝐴) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴))
53	46, 48, 52, 30	fvmptf 6969	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑆 ∧ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) ∈ ℝ) → (𝐺‘𝑋) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴))
54	33, 45, 53	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴))
55	32, 54	oveq12d 7385	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋)) = ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) − (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)))
56	55	fveq2d 6844	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋))) = (abs‘((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) − (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴))))
57	21	recnd 11173	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) ∈ ℂ)
58	45	recnd 11173	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) ∈ ℂ)
59	57, 58	abssubd 15418	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) − (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴))) = (abs‘((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) − (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))))
60	56, 59	eqtrd 2771	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋))) = (abs‘((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) − (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))))
61		dvfsum2.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
62		ioossre 13360	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇(,)+∞) ⊆ ℝ
63	61, 62	eqsstri 3968	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 ⊆ ℝ
64	63	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℝ)
65		dvfsum2.b1	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ 𝑉)
66		dvfsum2.b3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵))
67	64, 13, 65, 66	dvmptrecl 25991	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ ℝ)
68	67	ralrimiva 3129	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐵 ∈ ℝ)
69		dvfsum2.e	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → 𝐵 = 𝐸)
70	69	eleq1d 2821	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ 𝐸 ∈ ℝ))
71	70	rspcv 3560	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑆 → (∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐵 ∈ ℝ → 𝐸 ∈ ℝ))
72	1, 68, 71	sylc 65	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
73	21, 72	resubcld 11578	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) − 𝐸) ∈ ℝ)
74	63, 33	sselid 3919	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
75		reflcl 13755	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (⌊‘𝑋) ∈ ℝ)
76	74, 75	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⌊‘𝑋) ∈ ℝ)
77	74, 76	resubcld 11578	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − (⌊‘𝑋)) ∈ ℝ)
78		nfv 1916	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑚 𝐵 ∈ ℝ
79		nfcsb1v 3861	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑚 / 𝑥⦌𝐵
80	79	nfel1 2915	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑚 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ
81		csbeq1a 3851	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑚 → 𝐵 = ⦋𝑚 / 𝑥⦌𝐵)
82	81	eleq1d 2821	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑚 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑚 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ))
83	78, 80, 82	cbvralw 3279	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐵 ∈ ℝ ↔ ∀𝑚 ∈ 𝑆 ⦋𝑚 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ)
84	68, 83	sylib 218	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ 𝑆 ⦋𝑚 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ)
85		csbeq1 3840	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑋 → ⦋𝑚 / 𝑥⦌𝐵 = ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
86	85	eleq1d 2821	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑋 → (⦋𝑚 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ))
87	86	rspcv 3560	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → (∀𝑚 ∈ 𝑆 ⦋𝑚 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ → ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ))
88	33, 84, 87	sylc 65	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ)
89	77, 88	remulcld 11175	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ∈ ℝ)
90	89, 45	readdcld 11174	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)) ∈ ℝ)
91	90, 88	resubcld 11578	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ∈ ℝ)
92	63, 1	sselid 3919	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
93		reflcl 13755	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ ℝ → (⌊‘𝑌) ∈ ℝ)
94	92, 93	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⌊‘𝑌) ∈ ℝ)
95	92, 94	resubcld 11578	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − (⌊‘𝑌)) ∈ ℝ)
96	95, 72	remulcld 11175	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) ∈ ℝ)
97	96, 21	readdcld 11174	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) ∈ ℝ)
98	97, 72	resubcld 11578	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) − 𝐸) ∈ ℝ)
99		fracge0 13763	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝑌 − (⌊‘𝑌)))
100	92, 99	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑌 − (⌊‘𝑌)))
101		dvfsum2.0	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑥)) → 0 ≤ 𝐵)
102	101	expr 456	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐷 ≤ 𝑥 → 0 ≤ 𝐵))
103	102	ralrimiva 3129	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐷 ≤ 𝑥 → 0 ≤ 𝐵))
104		dvfsum2.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
105		dvfsum2.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≤ 𝑋)
106		dvfsum2.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
107	104, 74, 92, 105, 106	letrd 11303	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≤ 𝑌)
108		breq2 5089	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝐷 ≤ 𝑥 ↔ 𝐷 ≤ 𝑌))
109	69	breq2d 5097	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (0 ≤ 𝐵 ↔ 0 ≤ 𝐸))
110	108, 109	imbi12d 344	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → ((𝐷 ≤ 𝑥 → 0 ≤ 𝐵) ↔ (𝐷 ≤ 𝑌 → 0 ≤ 𝐸)))
111	110	rspcv 3560	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑆 → (∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐷 ≤ 𝑥 → 0 ≤ 𝐵) → (𝐷 ≤ 𝑌 → 0 ≤ 𝐸)))
112	1, 103, 107, 111	syl3c 66	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐸)
113	95, 72, 100, 112	mulge0d 11727	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸))
114	21, 96	addge02d 11739	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) ↔ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) ≤ (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))))
115	113, 114	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) ≤ (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)))
116	21, 97, 72, 115	lesub1dd 11766	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) − 𝐸) ≤ ((((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) − 𝐸))
117		dvfsum2.m	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
118		dvfsum2.md	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
119		dvfsum2.t	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
120	13	renegcld 11577	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → -𝐴 ∈ ℝ)
121	67	renegcld 11577	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → -𝐵 ∈ ℝ)
122	3	renegcld 11577	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → -𝐵 ∈ ℝ)
123		reelprrecn 11130	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
124	123	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
125	13	recnd 11173	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℂ)
126	124, 125, 65, 66	dvmptneg 25933	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ -𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ -𝐵))
127	8	negeqd 11387	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → -𝐵 = -𝐶)
128		dvfsum2.u	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ^*)
129		dvfsum2.l	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)) → 𝐵 ≤ 𝐶)
130	67	adantrr 718	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆)) → 𝐵 ∈ ℝ)
131	130	3adant3 1133	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)) → 𝐵 ∈ ℝ)
132		simp2r 1202	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)) → 𝑘 ∈ 𝑆)
133	68	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐵 ∈ ℝ)
134	9	rspcv 3560	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑆 → (∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐵 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℝ))
135	132, 133, 134	sylc 65	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)) → 𝐶 ∈ ℝ)
136	131, 135	lenegd 11729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)) → (𝐵 ≤ 𝐶 ↔ -𝐶 ≤ -𝐵))
137	129, 136	mpbid 232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)) → -𝐶 ≤ -𝐵)
138		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴))) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))
139		dvfsum2.5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ 𝑈)
140	61, 6, 117, 104, 118, 119, 120, 121, 122, 126, 127, 128, 137, 138, 33, 1, 105, 106, 139	dvfsumlem3 25995	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑌) ≤ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑋) ∧ (((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑋) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌-𝐵) ≤ (((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑌) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌-𝐵)))
141	140	simprd 495	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑋) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌-𝐵) ≤ (((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑌) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌-𝐵))
142	77	recnd 11173	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − (⌊‘𝑋)) ∈ ℂ)
143	88	recnd 11173	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ)
144	142, 143	mulneg2d 11604	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) = -((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))
145	38	recnd 11173	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 ∈ ℂ)
146	44	recnd 11173	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ)
147	145, 146	neg2subd 11522	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (-Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴 − Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶))
148	37	recnd 11173	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))) → 𝐶 ∈ ℂ)
149	34, 148	fsumneg 15749	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))-𝐶 = -Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶)
150	149	oveq1d 7382	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))-𝐶 − -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) = (-Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴))
151	145, 146	negsubdi2d 11521	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → -(Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴 − Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶))
152	147, 150, 151	3eqtr4d 2781	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))-𝐶 − -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) = -(Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴))
153	144, 152	oveq12d 7385	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))-𝐶 − -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)) = (-((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + -(Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)))
154	89	recnd 11173	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ∈ ℂ)
155	154, 58	negdid 11518	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → -(((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)) = (-((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + -(Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)))
156	153, 155	eqtr4d 2774	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))-𝐶 − -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)) = -(((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)))
157	90	renegcld 11577	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → -(((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)) ∈ ℝ)
158	156, 157	eqeltrd 2836	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))-𝐶 − -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)) ∈ ℝ)
159		nfcv 2898	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑋 − (⌊‘𝑋))
160		nfcv 2898	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥 ·
161		nfcsb1v 3861	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵
162	161	nfneg 11389	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥-⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵
163	159, 160, 162	nfov 7397	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
164		nfcv 2898	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥 +
165		nfcv 2898	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))-𝐶
166	39	nfneg 11389	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥-⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴
167	165, 24, 166	nfov 7397	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥(Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))-𝐶 − -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)
168	163, 164, 167	nfov 7397	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥(((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))-𝐶 − -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴))
169		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝑥 = 𝑋)
170	169, 49	oveq12d 7385	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 − (⌊‘𝑥)) = (𝑋 − (⌊‘𝑋)))
171		csbeq1a 3851	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝐵 = ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
172	171	negeqd 11387	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → -𝐵 = -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
173	170, 172	oveq12d 7385	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) = ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))
174	50	sumeq1d 15662	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))-𝐶)
175	41	negeqd 11387	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → -𝐴 = -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)
176	174, 175	oveq12d 7385	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))-𝐶 − -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴))
177	173, 176	oveq12d 7385	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)) = (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))-𝐶 − -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)))
178	46, 168, 177, 138	fvmptf 6969	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑆 ∧ (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))-𝐶 − -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)) ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑋) = (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))-𝐶 − -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)))
179	33, 158, 178	syl2anc 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑋) = (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))-𝐶 − -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)))
180	179, 156	eqtrd 2771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑋) = -(((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)))
181		csbnegg 11390	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → ⦋𝑋 / 𝑥⦌-𝐵 = -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
182	33, 181	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑋 / 𝑥⦌-𝐵 = -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
183	180, 182	oveq12d 7385	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑋) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌-𝐵) = (-(((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)) − -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))
184	95	recnd 11173	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − (⌊‘𝑌)) ∈ ℂ)
185	72	recnd 11173	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
186	184, 185	mulneg2d 11604	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · -𝐸) = -((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸))
187	12	recnd 11173	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 ∈ ℂ)
188	20	recnd 11173	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ)
189	187, 188	neg2subd 11522	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (-Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − -⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 − Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶))
190	11	recnd 11173	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))) → 𝐶 ∈ ℂ)
191	2, 190	fsumneg 15749	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))-𝐶 = -Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶)
192	191	oveq1d 7382	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))-𝐶 − -⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) = (-Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − -⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))
193	187, 188	negsubdi2d 11521	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → -(Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 − Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶))
194	189, 192, 193	3eqtr4d 2781	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))-𝐶 − -⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) = -(Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))
195	186, 194	oveq12d 7385	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · -𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))-𝐶 − -⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) = (-((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + -(Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)))
196	96	recnd 11173	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) ∈ ℂ)
197	196, 57	negdid 11518	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → -(((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) = (-((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + -(Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)))
198	195, 197	eqtr4d 2774	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · -𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))-𝐶 − -⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) = -(((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)))
199	97	renegcld 11577	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → -(((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) ∈ ℝ)
200	198, 199	eqeltrd 2836	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · -𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))-𝐶 − -⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) ∈ ℝ)
201		nfcv 2898	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · -𝐸)
202		nfcv 2898	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))-𝐶
203	15	nfneg 11389	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥-⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴
204	202, 24, 203	nfov 7397	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥(Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))-𝐶 − -⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)
205	201, 164, 204	nfov 7397	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥(((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · -𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))-𝐶 − -⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))
206		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → 𝑥 = 𝑌)
207	206, 26	oveq12d 7385	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝑥 − (⌊‘𝑥)) = (𝑌 − (⌊‘𝑌)))
208	69	negeqd 11387	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → -𝐵 = -𝐸)
209	207, 208	oveq12d 7385	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → ((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) = ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · -𝐸))
210	27	sumeq1d 15662	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))-𝐶)
211	17	negeqd 11387	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → -𝐴 = -⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)
212	210, 211	oveq12d 7385	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))-𝐶 − -⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))
213	209, 212	oveq12d 7385	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)) = (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · -𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))-𝐶 − -⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)))
214	22, 205, 213, 138	fvmptf 6969	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑆 ∧ (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · -𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))-𝐶 − -⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑌) = (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · -𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))-𝐶 − -⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)))
215	1, 200, 214	syl2anc 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑌) = (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · -𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))-𝐶 − -⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)))
216	215, 198	eqtrd 2771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑌) = -(((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)))
217	208	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) → -𝐵 = -𝐸)
218	1, 217	csbied 3873	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑌 / 𝑥⦌-𝐵 = -𝐸)
219	216, 218	oveq12d 7385	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑌) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌-𝐵) = (-(((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) − -𝐸))
220	141, 183, 219	3brtr3d 5116	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (-(((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)) − -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ≤ (-(((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) − -𝐸))
221	90	recnd 11173	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)) ∈ ℂ)
222	221, 143	neg2subd 11522	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (-(((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)) − -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 − (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴))))
223	97	recnd 11173	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) ∈ ℂ)
224	223, 185	neg2subd 11522	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (-(((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) − -𝐸) = (𝐸 − (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))))
225	220, 222, 224	3brtr3d 5116	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 − (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴))) ≤ (𝐸 − (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))))
226	221, 143	negsubdi2d 11521	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 − (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴))))
227	223, 185	negsubdi2d 11521	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -((((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) − 𝐸) = (𝐸 − (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))))
228	225, 226, 227	3brtr4d 5117	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ≤ -((((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) − 𝐸))
229	98, 91	lenegd 11729	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) − 𝐸) ≤ ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ↔ -((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ≤ -((((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) − 𝐸)))
230	228, 229	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) − 𝐸) ≤ ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))
231	73, 98, 91, 116, 230	letrd 11303	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) − 𝐸) ≤ ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))
232		1red 11145	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
233		nfv 1916	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐷 ≤ 𝑋
234		nfcv 2898	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥0
235		nfcv 2898	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥 ≤
236	234, 235, 161	nfbr 5132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥0 ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵
237	233, 236	nfim 1898	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐷 ≤ 𝑋 → 0 ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
238		breq2 5089	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐷 ≤ 𝑥 ↔ 𝐷 ≤ 𝑋))
239	171	breq2d 5097	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (0 ≤ 𝐵 ↔ 0 ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))
240	238, 239	imbi12d 344	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐷 ≤ 𝑥 → 0 ≤ 𝐵) ↔ (𝐷 ≤ 𝑋 → 0 ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)))
241	237, 240	rspc 3552	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → (∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐷 ≤ 𝑥 → 0 ≤ 𝐵) → (𝐷 ≤ 𝑋 → 0 ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)))
242	33, 103, 105, 241	syl3c 66	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
243		fracle1 13762	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 − (⌊‘𝑋)) ≤ 1)
244	74, 243	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − (⌊‘𝑋)) ≤ 1)
245	77, 232, 88, 242, 244	lemul1ad 12095	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ≤ (1 · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))
246	143	mullidd 11163	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) = ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
247	245, 246	breqtrd 5111	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
248	89, 88, 45, 247	leadd1dd 11764	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)) ≤ (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)))
249	90, 88, 45	lesubadd2d 11749	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ≤ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) ↔ (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)) ≤ (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴))))
250	248, 249	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ≤ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴))
251	73, 91, 45, 231, 250	letrd 11303	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) − 𝐸) ≤ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴))
252	21, 72	readdcld 11174	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) + 𝐸) ∈ ℝ)
253		fracge0 13763	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝑋 − (⌊‘𝑋)))
254	74, 253	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑋 − (⌊‘𝑋)))
255	77, 88, 254, 242	mulge0d 11727	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))
256	45, 89	addge02d 11739	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ↔ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) ≤ (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴))))
257	255, 256	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) ≤ (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)))
258	140	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑌) ≤ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑋))
259	258, 216, 180	3brtr3d 5116	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -(((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) ≤ -(((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)))
260	90, 97	lenegd 11729	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)) ≤ (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) ↔ -(((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) ≤ -(((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴))))
261	259, 260	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)) ≤ (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)))
262		fracle1 13762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ ℝ → (𝑌 − (⌊‘𝑌)) ≤ 1)
263	92, 262	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − (⌊‘𝑌)) ≤ 1)
264	95, 232, 72, 112, 263	lemul1ad 12095	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) ≤ (1 · 𝐸))
265	185	mullidd 11163	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐸) = 𝐸)
266	264, 265	breqtrd 5111	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) ≤ 𝐸)
267	96, 72, 21, 266	leadd1dd 11764	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) ≤ (𝐸 + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)))
268	185, 57	addcomd 11348	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸 + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) = ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) + 𝐸))
269	267, 268	breqtrd 5111	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) ≤ ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) + 𝐸))
270	90, 97, 252, 261, 269	letrd 11303	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)) ≤ ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) + 𝐸))
271	45, 90, 252, 257, 270	letrd 11303	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) ≤ ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) + 𝐸))
272	45, 21, 72	absdifled 15399	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) − (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))) ≤ 𝐸 ↔ (((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) − 𝐸) ≤ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) ∧ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) ≤ ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) + 𝐸))))
273	251, 271, 272	mpbir2and 714	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) − (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))) ≤ 𝐸)
274	60, 273	eqbrtrd 5107	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋))) ≤ 𝐸)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 395 ∧ w3a 1087 = wceq 1542 ∈ wcel 2114 ∀wral 3051 ⦋csb 3837 ⊆ wss 3889 {cpr 4569 class class class wbr 5085 ↦ cmpt 5166 ‘cfv 6498 (class class class)co 7367 ℂcc 11036 ℝcr 11037 0cc0 11038 1c1 11039 + caddc 11041 · cmul 11043 +∞cpnf 11176 ℝ^*cxr 11178 ≤ cle 11180 − cmin 11377 -cneg 11378 ℤcz 12524 ℤ_≥cuz 12788 (,)cioo 13298 ...cfz 13461 ⌊cfl 13749 abscabs 15196 Σcsu 15648 D cdv 25830

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1912 ax-6 1969 ax-7 2010 ax-8 2116 ax-9 2124 ax-10 2147 ax-11 2163 ax-12 2185 ax-ext 2708 ax-rep 5212 ax-sep 5231 ax-nul 5241 ax-pow 5307 ax-pr 5375 ax-un 7689 ax-inf2 9562 ax-cnex 11094 ax-resscn 11095 ax-1cn 11096 ax-icn 11097 ax-addcl 11098 ax-addrcl 11099 ax-mulcl 11100 ax-mulrcl 11101 ax-mulcom 11102 ax-addass 11103 ax-mulass 11104 ax-distr 11105 ax-i2m1 11106 ax-1ne0 11107 ax-1rid 11108 ax-rnegex 11109 ax-rrecex 11110 ax-cnre 11111 ax-pre-lttri 11112 ax-pre-lttrn 11113 ax-pre-ltadd 11114 ax-pre-mulgt0 11115 ax-pre-sup 11116 ax-addf 11117

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 849 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2069 df-mo 2539 df-eu 2569 df-clab 2715 df-cleq 2728 df-clel 2811 df-nfc 2885 df-ne 2933 df-nel 3037 df-ral 3052 df-rex 3062 df-rmo 3342 df-reu 3343 df-rab 3390 df-v 3431 df-sbc 3729 df-csb 3838 df-dif 3892 df-un 3894 df-in 3896 df-ss 3906 df-pss 3909 df-nul 4274 df-if 4467 df-pw 4543 df-sn 4568 df-pr 4570 df-tp 4572 df-op 4574 df-uni 4851 df-int 4890 df-iun 4935 df-iin 4936 df-br 5086 df-opab 5148 df-mpt 5167 df-tr 5193 df-id 5526 df-eprel 5531 df-po 5539 df-so 5540 df-fr 5584 df-se 5585 df-we 5586 df-xp 5637 df-rel 5638 df-cnv 5639 df-co 5640 df-dm 5641 df-rn 5642 df-res 5643 df-ima 5644 df-pred 6265 df-ord 6326 df-on 6327 df-lim 6328 df-suc 6329 df-iota 6454 df-fun 6500 df-fn 6501 df-f 6502 df-f1 6503 df-fo 6504 df-f1o 6505 df-fv 6506 df-isom 6507 df-riota 7324 df-ov 7370 df-oprab 7371 df-mpo 7372 df-of 7631 df-om 7818 df-1st 7942 df-2nd 7943 df-supp 8111 df-frecs 8231 df-wrecs 8262 df-recs 8311 df-rdg 8349 df-1o 8405 df-2o 8406 df-er 8643 df-map 8775 df-pm 8776 df-ixp 8846 df-en 8894 df-dom 8895 df-sdom 8896 df-fin 8897 df-fsupp 9275 df-fi 9324 df-sup 9355 df-inf 9356 df-oi 9425 df-card 9863 df-pnf 11181 df-mnf 11182 df-xr 11183 df-ltxr 11184 df-le 11185 df-sub 11379 df-neg 11380 df-div 11808 df-nn 12175 df-2 12244 df-3 12245 df-4 12246 df-5 12247 df-6 12248 df-7 12249 df-8 12250 df-9 12251 df-n0 12438 df-z 12525 df-dec 12645 df-uz 12789 df-q 12899 df-rp 12943 df-xneg 13063 df-xadd 13064 df-xmul 13065 df-ioo 13302 df-ico 13304 df-icc 13305 df-fz 13462 df-fzo 13609 df-fl 13751 df-seq 13964 df-exp 14024 df-hash 14293 df-cj 15061 df-re 15062 df-im 15063 df-sqrt 15197 df-abs 15198 df-clim 15450 df-sum 15649 df-struct 17117 df-sets 17134 df-slot 17152 df-ndx 17164 df-base 17180 df-ress 17201 df-plusg 17233 df-mulr 17234 df-starv 17235 df-sca 17236 df-vsca 17237 df-ip 17238 df-tset 17239 df-ple 17240 df-ds 17242 df-unif 17243 df-hom 17244 df-cco 17245 df-rest 17385 df-topn 17386 df-0g 17404 df-gsum 17405 df-topgen 17406 df-pt 17407 df-prds 17410 df-xrs 17466 df-qtop 17471 df-imas 17472 df-xps 17474 df-mre 17548 df-mrc 17549 df-acs 17551 df-mgm 18608 df-sgrp 18687 df-mnd 18703 df-submnd 18752 df-mulg 19044 df-cntz 19292 df-cmn 19757 df-psmet 21344 df-xmet 21345 df-met 21346 df-bl 21347 df-mopn 21348 df-fbas 21349 df-fg 21350 df-cnfld 21353 df-top 22859 df-topon 22876 df-topsp 22898 df-bases 22911 df-cld 22984 df-ntr 22985 df-cls 22986 df-nei 23063 df-lp 23101 df-perf 23102 df-cn 23192 df-cnp 23193 df-haus 23280 df-cmp 23352 df-tx 23527 df-hmeo 23720 df-fil 23811 df-fm 23903 df-flim 23904 df-flf 23905 df-xms 24285 df-ms 24286 df-tms 24287 df-cncf 24845 df-limc 25833 df-dv 25834

This theorem is referenced by: logfacbnd3 27186 log2sumbnd 27507

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