Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | dvfsum2.2 |
. . . . . 6
โข (๐ โ ๐ โ ๐) |
2 | | fzfid 13938 |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ (๐...(โโ๐)) โ Fin) |
3 | | dvfsum2.b2 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐) โ ๐ต โ โ) |
4 | 3 | ralrimiva 3147 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ โ๐ฅ โ ๐ ๐ต โ โ) |
5 | | elfzuz 13497 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ (๐...(โโ๐)) โ ๐ โ (โคโฅโ๐)) |
6 | | dvfsum2.z |
. . . . . . . . . 10
โข ๐ =
(โคโฅโ๐) |
7 | 5, 6 | eleqtrrdi 2845 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ (๐...(โโ๐)) โ ๐ โ ๐) |
8 | | dvfsum2.c |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ฅ = ๐ โ ๐ต = ๐ถ) |
9 | 8 | eleq1d 2819 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ฅ = ๐ โ (๐ต โ โ โ ๐ถ โ โ)) |
10 | 9 | rspccva 3612 |
. . . . . . . . 9
โข
((โ๐ฅ โ
๐ ๐ต โ โ โง ๐ โ ๐) โ ๐ถ โ โ) |
11 | 4, 7, 10 | syl2an 597 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ โง ๐ โ (๐...(โโ๐))) โ ๐ถ โ โ) |
12 | 2, 11 | fsumrecl 15680 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โ) |
13 | | dvfsum2.a |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐) โ ๐ด โ โ) |
14 | 13 | ralrimiva 3147 |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ โ๐ฅ โ ๐ ๐ด โ โ) |
15 | | nfcsb1v 3919 |
. . . . . . . . . 10
โข
โฒ๐ฅโฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด |
16 | 15 | nfel1 2920 |
. . . . . . . . 9
โข
โฒ๐ฅโฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด โ โ |
17 | | csbeq1a 3908 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ฅ = ๐ โ ๐ด = โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด) |
18 | 17 | eleq1d 2819 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ฅ = ๐ โ (๐ด โ โ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด โ โ)) |
19 | 16, 18 | rspc 3601 |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ ๐ โ (โ๐ฅ โ ๐ ๐ด โ โ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด โ โ)) |
20 | 1, 14, 19 | sylc 65 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด โ โ) |
21 | 12, 20 | resubcld 11642 |
. . . . . 6
โข (๐ โ (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด) โ โ) |
22 | | nfcv 2904 |
. . . . . . 7
โข
โฒ๐ฅ๐ |
23 | | nfcv 2904 |
. . . . . . . 8
โข
โฒ๐ฅฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ |
24 | | nfcv 2904 |
. . . . . . . 8
โข
โฒ๐ฅ
โ |
25 | 23, 24, 15 | nfov 7439 |
. . . . . . 7
โข
โฒ๐ฅ(ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด) |
26 | | fveq2 6892 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ฅ = ๐ โ (โโ๐ฅ) = (โโ๐)) |
27 | 26 | oveq2d 7425 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ฅ = ๐ โ (๐...(โโ๐ฅ)) = (๐...(โโ๐))) |
28 | 27 | sumeq1d 15647 |
. . . . . . . 8
โข (๐ฅ = ๐ โ ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐ฅ))๐ถ = ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ) |
29 | 28, 17 | oveq12d 7427 |
. . . . . . 7
โข (๐ฅ = ๐ โ (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐ฅ))๐ถ โ ๐ด) = (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด)) |
30 | | dvfsum2.g |
. . . . . . 7
โข ๐บ = (๐ฅ โ ๐ โฆ (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐ฅ))๐ถ โ ๐ด)) |
31 | 22, 25, 29, 30 | fvmptf 7020 |
. . . . . 6
โข ((๐ โ ๐ โง (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด) โ โ) โ (๐บโ๐) = (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด)) |
32 | 1, 21, 31 | syl2anc 585 |
. . . . 5
โข (๐ โ (๐บโ๐) = (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด)) |
33 | | dvfsum2.1 |
. . . . . 6
โข (๐ โ ๐ โ ๐) |
34 | | fzfid 13938 |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ (๐...(โโ๐)) โ Fin) |
35 | | elfzuz 13497 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ (๐...(โโ๐)) โ ๐ โ (โคโฅโ๐)) |
36 | 35, 6 | eleqtrrdi 2845 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ (๐...(โโ๐)) โ ๐ โ ๐) |
37 | 4, 36, 10 | syl2an 597 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ โง ๐ โ (๐...(โโ๐))) โ ๐ถ โ โ) |
38 | 34, 37 | fsumrecl 15680 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โ) |
39 | | nfcsb1v 3919 |
. . . . . . . . . 10
โข
โฒ๐ฅโฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด |
40 | 39 | nfel1 2920 |
. . . . . . . . 9
โข
โฒ๐ฅโฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด โ โ |
41 | | csbeq1a 3908 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ฅ = ๐ โ ๐ด = โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด) |
42 | 41 | eleq1d 2819 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ฅ = ๐ โ (๐ด โ โ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด โ โ)) |
43 | 40, 42 | rspc 3601 |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ ๐ โ (โ๐ฅ โ ๐ ๐ด โ โ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด โ โ)) |
44 | 33, 14, 43 | sylc 65 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด โ โ) |
45 | 38, 44 | resubcld 11642 |
. . . . . 6
โข (๐ โ (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด) โ โ) |
46 | | nfcv 2904 |
. . . . . . 7
โข
โฒ๐ฅ๐ |
47 | | nfcv 2904 |
. . . . . . . 8
โข
โฒ๐ฅฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ |
48 | 47, 24, 39 | nfov 7439 |
. . . . . . 7
โข
โฒ๐ฅ(ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด) |
49 | | fveq2 6892 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ฅ = ๐ โ (โโ๐ฅ) = (โโ๐)) |
50 | 49 | oveq2d 7425 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ฅ = ๐ โ (๐...(โโ๐ฅ)) = (๐...(โโ๐))) |
51 | 50 | sumeq1d 15647 |
. . . . . . . 8
โข (๐ฅ = ๐ โ ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐ฅ))๐ถ = ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ) |
52 | 51, 41 | oveq12d 7427 |
. . . . . . 7
โข (๐ฅ = ๐ โ (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐ฅ))๐ถ โ ๐ด) = (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด)) |
53 | 46, 48, 52, 30 | fvmptf 7020 |
. . . . . 6
โข ((๐ โ ๐ โง (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด) โ โ) โ (๐บโ๐) = (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด)) |
54 | 33, 45, 53 | syl2anc 585 |
. . . . 5
โข (๐ โ (๐บโ๐) = (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด)) |
55 | 32, 54 | oveq12d 7427 |
. . . 4
โข (๐ โ ((๐บโ๐) โ (๐บโ๐)) = ((ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด) โ (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด))) |
56 | 55 | fveq2d 6896 |
. . 3
โข (๐ โ (absโ((๐บโ๐) โ (๐บโ๐))) = (absโ((ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด) โ (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด)))) |
57 | 21 | recnd 11242 |
. . . 4
โข (๐ โ (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด) โ โ) |
58 | 45 | recnd 11242 |
. . . 4
โข (๐ โ (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด) โ โ) |
59 | 57, 58 | abssubd 15400 |
. . 3
โข (๐ โ (absโ((ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด) โ (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด))) = (absโ((ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด) โ (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด)))) |
60 | 56, 59 | eqtrd 2773 |
. 2
โข (๐ โ (absโ((๐บโ๐) โ (๐บโ๐))) = (absโ((ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด) โ (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด)))) |
61 | | dvfsum2.s |
. . . . . . . . . 10
โข ๐ = (๐(,)+โ) |
62 | | ioossre 13385 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐(,)+โ) โ
โ |
63 | 61, 62 | eqsstri 4017 |
. . . . . . . . 9
โข ๐ โ
โ |
64 | 63 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ ๐ โ โ) |
65 | | dvfsum2.b1 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐) โ ๐ต โ ๐) |
66 | | dvfsum2.b3 |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ (โ D (๐ฅ โ ๐ โฆ ๐ด)) = (๐ฅ โ ๐ โฆ ๐ต)) |
67 | 64, 13, 65, 66 | dvmptrecl 25541 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐) โ ๐ต โ โ) |
68 | 67 | ralrimiva 3147 |
. . . . . 6
โข (๐ โ โ๐ฅ โ ๐ ๐ต โ โ) |
69 | | dvfsum2.e |
. . . . . . . 8
โข (๐ฅ = ๐ โ ๐ต = ๐ธ) |
70 | 69 | eleq1d 2819 |
. . . . . . 7
โข (๐ฅ = ๐ โ (๐ต โ โ โ ๐ธ โ โ)) |
71 | 70 | rspcv 3609 |
. . . . . 6
โข (๐ โ ๐ โ (โ๐ฅ โ ๐ ๐ต โ โ โ ๐ธ โ โ)) |
72 | 1, 68, 71 | sylc 65 |
. . . . 5
โข (๐ โ ๐ธ โ โ) |
73 | 21, 72 | resubcld 11642 |
. . . 4
โข (๐ โ ((ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด) โ ๐ธ) โ โ) |
74 | 63, 33 | sselid 3981 |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ ๐ โ โ) |
75 | | reflcl 13761 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ โ โ
(โโ๐) โ
โ) |
76 | 74, 75 | syl 17 |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ (โโ๐) โ
โ) |
77 | 74, 76 | resubcld 11642 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ (๐ โ (โโ๐)) โ โ) |
78 | | nfv 1918 |
. . . . . . . . . 10
โข
โฒ๐ ๐ต โ โ |
79 | | nfcsb1v 3919 |
. . . . . . . . . . 11
โข
โฒ๐ฅโฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ต |
80 | 79 | nfel1 2920 |
. . . . . . . . . 10
โข
โฒ๐ฅโฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ต โ โ |
81 | | csbeq1a 3908 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ฅ = ๐ โ ๐ต = โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ต) |
82 | 81 | eleq1d 2819 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ฅ = ๐ โ (๐ต โ โ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ต โ โ)) |
83 | 78, 80, 82 | cbvralw 3304 |
. . . . . . . . 9
โข
(โ๐ฅ โ
๐ ๐ต โ โ โ โ๐ โ ๐ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ต โ โ) |
84 | 68, 83 | sylib 217 |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ โ๐ โ ๐ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ต โ โ) |
85 | | csbeq1 3897 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ = ๐ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ต = โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ต) |
86 | 85 | eleq1d 2819 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ = ๐ โ (โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ต โ โ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ต โ โ)) |
87 | 86 | rspcv 3609 |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ ๐ โ (โ๐ โ ๐ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ต โ โ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ต โ โ)) |
88 | 33, 84, 87 | sylc 65 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ต โ โ) |
89 | 77, 88 | remulcld 11244 |
. . . . . 6
โข (๐ โ ((๐ โ (โโ๐)) ยท โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ต) โ โ) |
90 | 89, 45 | readdcld 11243 |
. . . . 5
โข (๐ โ (((๐ โ (โโ๐)) ยท โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ต) + (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด)) โ โ) |
91 | 90, 88 | resubcld 11642 |
. . . 4
โข (๐ โ ((((๐ โ (โโ๐)) ยท โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ต) + (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด)) โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ต) โ โ) |
92 | 63, 1 | sselid 3981 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ ๐ โ โ) |
93 | | reflcl 13761 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ โ โ
(โโ๐) โ
โ) |
94 | 92, 93 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ (โโ๐) โ
โ) |
95 | 92, 94 | resubcld 11642 |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ (๐ โ (โโ๐)) โ โ) |
96 | 95, 72 | remulcld 11244 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ ((๐ โ (โโ๐)) ยท ๐ธ) โ โ) |
97 | 96, 21 | readdcld 11243 |
. . . . . 6
โข (๐ โ (((๐ โ (โโ๐)) ยท ๐ธ) + (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด)) โ โ) |
98 | 97, 72 | resubcld 11642 |
. . . . 5
โข (๐ โ ((((๐ โ (โโ๐)) ยท ๐ธ) + (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด)) โ ๐ธ) โ โ) |
99 | | fracge0 13769 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ โ โ 0 โค
(๐ โ
(โโ๐))) |
100 | 92, 99 | syl 17 |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ 0 โค (๐ โ (โโ๐))) |
101 | | dvfsum2.0 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((๐ โง (๐ฅ โ ๐ โง ๐ท โค ๐ฅ)) โ 0 โค ๐ต) |
102 | 101 | expr 458 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐) โ (๐ท โค ๐ฅ โ 0 โค ๐ต)) |
103 | 102 | ralrimiva 3147 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ โ๐ฅ โ ๐ (๐ท โค ๐ฅ โ 0 โค ๐ต)) |
104 | | dvfsum2.d |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ ๐ท โ โ) |
105 | | dvfsum2.3 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ ๐ท โค ๐) |
106 | | dvfsum2.4 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ ๐ โค ๐) |
107 | 104, 74, 92, 105, 106 | letrd 11371 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ ๐ท โค ๐) |
108 | | breq2 5153 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ฅ = ๐ โ (๐ท โค ๐ฅ โ ๐ท โค ๐)) |
109 | 69 | breq2d 5161 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ฅ = ๐ โ (0 โค ๐ต โ 0 โค ๐ธ)) |
110 | 108, 109 | imbi12d 345 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ฅ = ๐ โ ((๐ท โค ๐ฅ โ 0 โค ๐ต) โ (๐ท โค ๐ โ 0 โค ๐ธ))) |
111 | 110 | rspcv 3609 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ ๐ โ (โ๐ฅ โ ๐ (๐ท โค ๐ฅ โ 0 โค ๐ต) โ (๐ท โค ๐ โ 0 โค ๐ธ))) |
112 | 1, 103, 107, 111 | syl3c 66 |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ 0 โค ๐ธ) |
113 | 95, 72, 100, 112 | mulge0d 11791 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ 0 โค ((๐ โ (โโ๐)) ยท ๐ธ)) |
114 | 21, 96 | addge02d 11803 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ (0 โค ((๐ โ (โโ๐)) ยท ๐ธ) โ (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด) โค (((๐ โ (โโ๐)) ยท ๐ธ) + (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด)))) |
115 | 113, 114 | mpbid 231 |
. . . . . 6
โข (๐ โ (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด) โค (((๐ โ (โโ๐)) ยท ๐ธ) + (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด))) |
116 | 21, 97, 72, 115 | lesub1dd 11830 |
. . . . 5
โข (๐ โ ((ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด) โ ๐ธ) โค ((((๐ โ (โโ๐)) ยท ๐ธ) + (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด)) โ ๐ธ)) |
117 | | dvfsum2.m |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ โ ๐ โ โค) |
118 | | dvfsum2.md |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ โ ๐ โค (๐ท + 1)) |
119 | | dvfsum2.t |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ โ ๐ โ โ) |
120 | 13 | renegcld 11641 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐) โ -๐ด โ โ) |
121 | 67 | renegcld 11641 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐) โ -๐ต โ โ) |
122 | 3 | renegcld 11641 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐) โ -๐ต โ โ) |
123 | | reelprrecn 11202 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข โ
โ {โ, โ} |
124 | 123 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ โ โ โ {โ,
โ}) |
125 | 13 | recnd 11242 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐) โ ๐ด โ โ) |
126 | 124, 125,
65, 66 | dvmptneg 25483 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ โ (โ D (๐ฅ โ ๐ โฆ -๐ด)) = (๐ฅ โ ๐ โฆ -๐ต)) |
127 | 8 | negeqd 11454 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ฅ = ๐ โ -๐ต = -๐ถ) |
128 | | dvfsum2.u |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ โ ๐ โ
โ*) |
129 | | dvfsum2.l |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((๐ โง (๐ฅ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โง (๐ท โค ๐ฅ โง ๐ฅ โค ๐ โง ๐ โค ๐)) โ ๐ต โค ๐ถ) |
130 | 67 | adantrr 716 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข ((๐ โง (๐ฅ โ ๐ โง ๐ โ ๐)) โ ๐ต โ โ) |
131 | 130 | 3adant3 1133 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((๐ โง (๐ฅ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โง (๐ท โค ๐ฅ โง ๐ฅ โค ๐ โง ๐ โค ๐)) โ ๐ต โ โ) |
132 | | simp2r 1201 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข ((๐ โง (๐ฅ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โง (๐ท โค ๐ฅ โง ๐ฅ โค ๐ โง ๐ โค ๐)) โ ๐ โ ๐) |
133 | 68 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข ((๐ โง (๐ฅ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โง (๐ท โค ๐ฅ โง ๐ฅ โค ๐ โง ๐ โค ๐)) โ โ๐ฅ โ ๐ ๐ต โ โ) |
134 | 9 | rspcv 3609 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ โ ๐ โ (โ๐ฅ โ ๐ ๐ต โ โ โ ๐ถ โ โ)) |
135 | 132, 133,
134 | sylc 65 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((๐ โง (๐ฅ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โง (๐ท โค ๐ฅ โง ๐ฅ โค ๐ โง ๐ โค ๐)) โ ๐ถ โ โ) |
136 | 131, 135 | lenegd 11793 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((๐ โง (๐ฅ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โง (๐ท โค ๐ฅ โง ๐ฅ โค ๐ โง ๐ โค ๐)) โ (๐ต โค ๐ถ โ -๐ถ โค -๐ต)) |
137 | 129, 136 | mpbid 231 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((๐ โง (๐ฅ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โง (๐ท โค ๐ฅ โง ๐ฅ โค ๐ โง ๐ โค ๐)) โ -๐ถ โค -๐ต) |
138 | | eqid 2733 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ฅ โ ๐ โฆ (((๐ฅ โ (โโ๐ฅ)) ยท -๐ต) + (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐ฅ))-๐ถ โ -๐ด))) = (๐ฅ โ ๐ โฆ (((๐ฅ โ (โโ๐ฅ)) ยท -๐ต) + (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐ฅ))-๐ถ โ -๐ด))) |
139 | | dvfsum2.5 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ โ ๐ โค ๐) |
140 | 61, 6, 117, 104, 118, 119, 120, 121, 122, 126, 127, 128, 137, 138, 33, 1, 105, 106, 139 | dvfsumlem3 25545 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ (((๐ฅ โ ๐ โฆ (((๐ฅ โ (โโ๐ฅ)) ยท -๐ต) + (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐ฅ))-๐ถ โ -๐ด)))โ๐) โค ((๐ฅ โ ๐ โฆ (((๐ฅ โ (โโ๐ฅ)) ยท -๐ต) + (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐ฅ))-๐ถ โ -๐ด)))โ๐) โง (((๐ฅ โ ๐ โฆ (((๐ฅ โ (โโ๐ฅ)) ยท -๐ต) + (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐ฅ))-๐ถ โ -๐ด)))โ๐) โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ-๐ต) โค (((๐ฅ โ ๐ โฆ (((๐ฅ โ (โโ๐ฅ)) ยท -๐ต) + (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐ฅ))-๐ถ โ -๐ด)))โ๐) โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ-๐ต))) |
141 | 140 | simprd 497 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ (((๐ฅ โ ๐ โฆ (((๐ฅ โ (โโ๐ฅ)) ยท -๐ต) + (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐ฅ))-๐ถ โ -๐ด)))โ๐) โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ-๐ต) โค (((๐ฅ โ ๐ โฆ (((๐ฅ โ (โโ๐ฅ)) ยท -๐ต) + (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐ฅ))-๐ถ โ -๐ด)))โ๐) โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ-๐ต)) |
142 | 77 | recnd 11242 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข (๐ โ (๐ โ (โโ๐)) โ โ) |
143 | 88 | recnd 11242 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข (๐ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ต โ โ) |
144 | 142, 143 | mulneg2d 11668 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (๐ โ ((๐ โ (โโ๐)) ยท -โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ต) = -((๐ โ (โโ๐)) ยท โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ต)) |
145 | 38 | recnd 11242 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข (๐ โ ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โ) |
146 | 44 | recnd 11242 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข (๐ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด โ โ) |
147 | 145, 146 | neg2subd 11588 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข (๐ โ (-ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ -โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด) = (โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด โ ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ)) |
148 | 37 | recnd 11242 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข ((๐ โง ๐ โ (๐...(โโ๐))) โ ๐ถ โ โ) |
149 | 34, 148 | fsumneg 15733 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข (๐ โ ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))-๐ถ = -ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ) |
150 | 149 | oveq1d 7424 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข (๐ โ (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))-๐ถ โ -โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด) = (-ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ -โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด)) |
151 | 145, 146 | negsubdi2d 11587 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข (๐ โ -(ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด) = (โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด โ ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ)) |
152 | 147, 150,
151 | 3eqtr4d 2783 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (๐ โ (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))-๐ถ โ -โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด) = -(ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด)) |
153 | 144, 152 | oveq12d 7427 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ โ (((๐ โ (โโ๐)) ยท -โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ต) + (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))-๐ถ โ -โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด)) = (-((๐ โ (โโ๐)) ยท โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ต) + -(ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด))) |
154 | 89 | recnd 11242 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (๐ โ ((๐ โ (โโ๐)) ยท โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ต) โ โ) |
155 | 154, 58 | negdid 11584 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ โ -(((๐ โ (โโ๐)) ยท โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ต) + (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด)) = (-((๐ โ (โโ๐)) ยท โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ต) + -(ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด))) |
156 | 153, 155 | eqtr4d 2776 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ โ (((๐ โ (โโ๐)) ยท -โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ต) + (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))-๐ถ โ -โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด)) = -(((๐ โ (โโ๐)) ยท โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ต) + (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด))) |
157 | 90 | renegcld 11641 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ โ -(((๐ โ (โโ๐)) ยท โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ต) + (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด)) โ โ) |
158 | 156, 157 | eqeltrd 2834 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ โ (((๐ โ (โโ๐)) ยท -โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ต) + (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))-๐ถ โ -โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด)) โ โ) |
159 | | nfcv 2904 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข
โฒ๐ฅ(๐ โ (โโ๐)) |
160 | | nfcv 2904 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข
โฒ๐ฅ
ยท |
161 | | nfcsb1v 3919 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข
โฒ๐ฅโฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ต |
162 | 161 | nfneg 11456 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข
โฒ๐ฅ-โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ต |
163 | 159, 160,
162 | nfov 7439 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข
โฒ๐ฅ((๐ โ (โโ๐)) ยท -โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ต) |
164 | | nfcv 2904 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข
โฒ๐ฅ
+ |
165 | | nfcv 2904 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข
โฒ๐ฅฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))-๐ถ |
166 | 39 | nfneg 11456 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข
โฒ๐ฅ-โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด |
167 | 165, 24, 166 | nfov 7439 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข
โฒ๐ฅ(ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))-๐ถ โ -โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด) |
168 | 163, 164,
167 | nfov 7439 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข
โฒ๐ฅ(((๐ โ (โโ๐)) ยท -โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ต) + (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))-๐ถ โ -โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด)) |
169 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข (๐ฅ = ๐ โ ๐ฅ = ๐) |
170 | 169, 49 | oveq12d 7427 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (๐ฅ = ๐ โ (๐ฅ โ (โโ๐ฅ)) = (๐ โ (โโ๐))) |
171 | | csbeq1a 3908 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข (๐ฅ = ๐ โ ๐ต = โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ต) |
172 | 171 | negeqd 11454 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (๐ฅ = ๐ โ -๐ต = -โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ต) |
173 | 170, 172 | oveq12d 7427 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ฅ = ๐ โ ((๐ฅ โ (โโ๐ฅ)) ยท -๐ต) = ((๐ โ (โโ๐)) ยท -โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ต)) |
174 | 50 | sumeq1d 15647 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (๐ฅ = ๐ โ ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐ฅ))-๐ถ = ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))-๐ถ) |
175 | 41 | negeqd 11454 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (๐ฅ = ๐ โ -๐ด = -โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด) |
176 | 174, 175 | oveq12d 7427 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ฅ = ๐ โ (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐ฅ))-๐ถ โ -๐ด) = (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))-๐ถ โ -โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด)) |
177 | 173, 176 | oveq12d 7427 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ฅ = ๐ โ (((๐ฅ โ (โโ๐ฅ)) ยท -๐ต) + (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐ฅ))-๐ถ โ -๐ด)) = (((๐ โ (โโ๐)) ยท -โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ต) + (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))-๐ถ โ -โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด))) |
178 | 46, 168, 177, 138 | fvmptf 7020 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((๐ โ ๐ โง (((๐ โ (โโ๐)) ยท -โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ต) + (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))-๐ถ โ -โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด)) โ โ) โ ((๐ฅ โ ๐ โฆ (((๐ฅ โ (โโ๐ฅ)) ยท -๐ต) + (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐ฅ))-๐ถ โ -๐ด)))โ๐) = (((๐ โ (โโ๐)) ยท -โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ต) + (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))-๐ถ โ -โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด))) |
179 | 33, 158, 178 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ โ ((๐ฅ โ ๐ โฆ (((๐ฅ โ (โโ๐ฅ)) ยท -๐ต) + (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐ฅ))-๐ถ โ -๐ด)))โ๐) = (((๐ โ (โโ๐)) ยท -โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ต) + (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))-๐ถ โ -โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด))) |
180 | 179, 156 | eqtrd 2773 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ ((๐ฅ โ ๐ โฆ (((๐ฅ โ (โโ๐ฅ)) ยท -๐ต) + (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐ฅ))-๐ถ โ -๐ด)))โ๐) = -(((๐ โ (โโ๐)) ยท โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ต) + (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด))) |
181 | | csbnegg 11457 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ โ ๐ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ-๐ต = -โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ต) |
182 | 33, 181 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ-๐ต = -โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ต) |
183 | 180, 182 | oveq12d 7427 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ (((๐ฅ โ ๐ โฆ (((๐ฅ โ (โโ๐ฅ)) ยท -๐ต) + (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐ฅ))-๐ถ โ -๐ด)))โ๐) โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ-๐ต) = (-(((๐ โ (โโ๐)) ยท โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ต) + (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด)) โ -โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ต)) |
184 | 95 | recnd 11242 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข (๐ โ (๐ โ (โโ๐)) โ โ) |
185 | 72 | recnd 11242 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข (๐ โ ๐ธ โ โ) |
186 | 184, 185 | mulneg2d 11668 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (๐ โ ((๐ โ (โโ๐)) ยท -๐ธ) = -((๐ โ (โโ๐)) ยท ๐ธ)) |
187 | 12 | recnd 11242 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข (๐ โ ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โ) |
188 | 20 | recnd 11242 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข (๐ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด โ โ) |
189 | 187, 188 | neg2subd 11588 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข (๐ โ (-ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ -โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด) = (โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด โ ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ)) |
190 | 11 | recnd 11242 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข ((๐ โง ๐ โ (๐...(โโ๐))) โ ๐ถ โ โ) |
191 | 2, 190 | fsumneg 15733 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข (๐ โ ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))-๐ถ = -ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ) |
192 | 191 | oveq1d 7424 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข (๐ โ (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))-๐ถ โ -โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด) = (-ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ -โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด)) |
193 | 187, 188 | negsubdi2d 11587 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข (๐ โ -(ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด) = (โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด โ ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ)) |
194 | 189, 192,
193 | 3eqtr4d 2783 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (๐ โ (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))-๐ถ โ -โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด) = -(ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด)) |
195 | 186, 194 | oveq12d 7427 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ โ (((๐ โ (โโ๐)) ยท -๐ธ) + (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))-๐ถ โ -โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด)) = (-((๐ โ (โโ๐)) ยท ๐ธ) + -(ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด))) |
196 | 96 | recnd 11242 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (๐ โ ((๐ โ (โโ๐)) ยท ๐ธ) โ โ) |
197 | 196, 57 | negdid 11584 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ โ -(((๐ โ (โโ๐)) ยท ๐ธ) + (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด)) = (-((๐ โ (โโ๐)) ยท ๐ธ) + -(ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด))) |
198 | 195, 197 | eqtr4d 2776 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ โ (((๐ โ (โโ๐)) ยท -๐ธ) + (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))-๐ถ โ -โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด)) = -(((๐ โ (โโ๐)) ยท ๐ธ) + (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด))) |
199 | 97 | renegcld 11641 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ โ -(((๐ โ (โโ๐)) ยท ๐ธ) + (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด)) โ โ) |
200 | 198, 199 | eqeltrd 2834 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ โ (((๐ โ (โโ๐)) ยท -๐ธ) + (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))-๐ถ โ -โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด)) โ โ) |
201 | | nfcv 2904 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข
โฒ๐ฅ((๐ โ (โโ๐)) ยท -๐ธ) |
202 | | nfcv 2904 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข
โฒ๐ฅฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))-๐ถ |
203 | 15 | nfneg 11456 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข
โฒ๐ฅ-โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด |
204 | 202, 24, 203 | nfov 7439 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข
โฒ๐ฅ(ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))-๐ถ โ -โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด) |
205 | 201, 164,
204 | nfov 7439 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข
โฒ๐ฅ(((๐ โ (โโ๐)) ยท -๐ธ) + (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))-๐ถ โ -โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด)) |
206 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข (๐ฅ = ๐ โ ๐ฅ = ๐) |
207 | 206, 26 | oveq12d 7427 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (๐ฅ = ๐ โ (๐ฅ โ (โโ๐ฅ)) = (๐ โ (โโ๐))) |
208 | 69 | negeqd 11454 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (๐ฅ = ๐ โ -๐ต = -๐ธ) |
209 | 207, 208 | oveq12d 7427 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ฅ = ๐ โ ((๐ฅ โ (โโ๐ฅ)) ยท -๐ต) = ((๐ โ (โโ๐)) ยท -๐ธ)) |
210 | 27 | sumeq1d 15647 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (๐ฅ = ๐ โ ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐ฅ))-๐ถ = ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))-๐ถ) |
211 | 17 | negeqd 11454 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (๐ฅ = ๐ โ -๐ด = -โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด) |
212 | 210, 211 | oveq12d 7427 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ฅ = ๐ โ (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐ฅ))-๐ถ โ -๐ด) = (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))-๐ถ โ -โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด)) |
213 | 209, 212 | oveq12d 7427 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ฅ = ๐ โ (((๐ฅ โ (โโ๐ฅ)) ยท -๐ต) + (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐ฅ))-๐ถ โ -๐ด)) = (((๐ โ (โโ๐)) ยท -๐ธ) + (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))-๐ถ โ -โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด))) |
214 | 22, 205, 213, 138 | fvmptf 7020 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((๐ โ ๐ โง (((๐ โ (โโ๐)) ยท -๐ธ) + (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))-๐ถ โ -โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด)) โ โ) โ ((๐ฅ โ ๐ โฆ (((๐ฅ โ (โโ๐ฅ)) ยท -๐ต) + (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐ฅ))-๐ถ โ -๐ด)))โ๐) = (((๐ โ (โโ๐)) ยท -๐ธ) + (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))-๐ถ โ -โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด))) |
215 | 1, 200, 214 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ โ ((๐ฅ โ ๐ โฆ (((๐ฅ โ (โโ๐ฅ)) ยท -๐ต) + (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐ฅ))-๐ถ โ -๐ด)))โ๐) = (((๐ โ (โโ๐)) ยท -๐ธ) + (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))-๐ถ โ -โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด))) |
216 | 215, 198 | eqtrd 2773 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ ((๐ฅ โ ๐ โฆ (((๐ฅ โ (โโ๐ฅ)) ยท -๐ต) + (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐ฅ))-๐ถ โ -๐ด)))โ๐) = -(((๐ โ (โโ๐)) ยท ๐ธ) + (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด))) |
217 | 208 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((๐ โง ๐ฅ = ๐) โ -๐ต = -๐ธ) |
218 | 1, 217 | csbied 3932 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ-๐ต = -๐ธ) |
219 | 216, 218 | oveq12d 7427 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ (((๐ฅ โ ๐ โฆ (((๐ฅ โ (โโ๐ฅ)) ยท -๐ต) + (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐ฅ))-๐ถ โ -๐ด)))โ๐) โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ-๐ต) = (-(((๐ โ (โโ๐)) ยท ๐ธ) + (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด)) โ -๐ธ)) |
220 | 141, 183,
219 | 3brtr3d 5180 |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ (-(((๐ โ (โโ๐)) ยท โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ต) + (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด)) โ -โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ต) โค (-(((๐ โ (โโ๐)) ยท ๐ธ) + (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด)) โ -๐ธ)) |
221 | 90 | recnd 11242 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ (((๐ โ (โโ๐)) ยท โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ต) + (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด)) โ โ) |
222 | 221, 143 | neg2subd 11588 |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ (-(((๐ โ (โโ๐)) ยท โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ต) + (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด)) โ -โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ต) = (โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ต โ (((๐ โ (โโ๐)) ยท โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ต) + (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด)))) |
223 | 97 | recnd 11242 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ (((๐ โ (โโ๐)) ยท ๐ธ) + (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด)) โ โ) |
224 | 223, 185 | neg2subd 11588 |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ (-(((๐ โ (โโ๐)) ยท ๐ธ) + (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด)) โ -๐ธ) = (๐ธ โ (((๐ โ (โโ๐)) ยท ๐ธ) + (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด)))) |
225 | 220, 222,
224 | 3brtr3d 5180 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ (โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ต โ (((๐ โ (โโ๐)) ยท โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ต) + (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด))) โค (๐ธ โ (((๐ โ (โโ๐)) ยท ๐ธ) + (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด)))) |
226 | 221, 143 | negsubdi2d 11587 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ -((((๐ โ (โโ๐)) ยท โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ต) + (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด)) โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ต) = (โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ต โ (((๐ โ (โโ๐)) ยท โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ต) + (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด)))) |
227 | 223, 185 | negsubdi2d 11587 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ -((((๐ โ (โโ๐)) ยท ๐ธ) + (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด)) โ ๐ธ) = (๐ธ โ (((๐ โ (โโ๐)) ยท ๐ธ) + (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด)))) |
228 | 225, 226,
227 | 3brtr4d 5181 |
. . . . . 6
โข (๐ โ -((((๐ โ (โโ๐)) ยท โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ต) + (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด)) โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ต) โค -((((๐ โ (โโ๐)) ยท ๐ธ) + (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด)) โ ๐ธ)) |
229 | 98, 91 | lenegd 11793 |
. . . . . 6
โข (๐ โ (((((๐ โ (โโ๐)) ยท ๐ธ) + (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด)) โ ๐ธ) โค ((((๐ โ (โโ๐)) ยท โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ต) + (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด)) โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ต) โ -((((๐ โ (โโ๐)) ยท โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ต) + (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด)) โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ต) โค -((((๐ โ (โโ๐)) ยท ๐ธ) + (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด)) โ ๐ธ))) |
230 | 228, 229 | mpbird 257 |
. . . . 5
โข (๐ โ ((((๐ โ (โโ๐)) ยท ๐ธ) + (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด)) โ ๐ธ) โค ((((๐ โ (โโ๐)) ยท โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ต) + (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด)) โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ต)) |
231 | 73, 98, 91, 116, 230 | letrd 11371 |
. . . 4
โข (๐ โ ((ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด) โ ๐ธ) โค ((((๐ โ (โโ๐)) ยท โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ต) + (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด)) โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ต)) |
232 | | 1red 11215 |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ 1 โ
โ) |
233 | | nfv 1918 |
. . . . . . . . . . 11
โข
โฒ๐ฅ ๐ท โค ๐ |
234 | | nfcv 2904 |
. . . . . . . . . . . 12
โข
โฒ๐ฅ0 |
235 | | nfcv 2904 |
. . . . . . . . . . . 12
โข
โฒ๐ฅ
โค |
236 | 234, 235,
161 | nfbr 5196 |
. . . . . . . . . . 11
โข
โฒ๐ฅ0 โค
โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ต |
237 | 233, 236 | nfim 1900 |
. . . . . . . . . 10
โข
โฒ๐ฅ(๐ท โค ๐ โ 0 โค โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ต) |
238 | | breq2 5153 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ฅ = ๐ โ (๐ท โค ๐ฅ โ ๐ท โค ๐)) |
239 | 171 | breq2d 5161 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ฅ = ๐ โ (0 โค ๐ต โ 0 โค โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ต)) |
240 | 238, 239 | imbi12d 345 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ฅ = ๐ โ ((๐ท โค ๐ฅ โ 0 โค ๐ต) โ (๐ท โค ๐ โ 0 โค โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ต))) |
241 | 237, 240 | rspc 3601 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ ๐ โ (โ๐ฅ โ ๐ (๐ท โค ๐ฅ โ 0 โค ๐ต) โ (๐ท โค ๐ โ 0 โค โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ต))) |
242 | 33, 103, 105, 241 | syl3c 66 |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ 0 โค
โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ต) |
243 | | fracle1 13768 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ โ โ (๐ โ (โโ๐)) โค 1) |
244 | 74, 243 | syl 17 |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ (๐ โ (โโ๐)) โค 1) |
245 | 77, 232, 88, 242, 244 | lemul1ad 12153 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ ((๐ โ (โโ๐)) ยท โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ต) โค (1 ยท โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ต)) |
246 | 143 | mullidd 11232 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ (1 ยท
โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ต) = โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ต) |
247 | 245, 246 | breqtrd 5175 |
. . . . . 6
โข (๐ โ ((๐ โ (โโ๐)) ยท โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ต) โค โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ต) |
248 | 89, 88, 45, 247 | leadd1dd 11828 |
. . . . 5
โข (๐ โ (((๐ โ (โโ๐)) ยท โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ต) + (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด)) โค (โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ต + (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด))) |
249 | 90, 88, 45 | lesubadd2d 11813 |
. . . . 5
โข (๐ โ (((((๐ โ (โโ๐)) ยท โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ต) + (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด)) โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ต) โค (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด) โ (((๐ โ (โโ๐)) ยท โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ต) + (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด)) โค (โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ต + (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด)))) |
250 | 248, 249 | mpbird 257 |
. . . 4
โข (๐ โ ((((๐ โ (โโ๐)) ยท โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ต) + (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด)) โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ต) โค (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด)) |
251 | 73, 91, 45, 231, 250 | letrd 11371 |
. . 3
โข (๐ โ ((ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด) โ ๐ธ) โค (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด)) |
252 | 21, 72 | readdcld 11243 |
. . . 4
โข (๐ โ ((ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด) + ๐ธ) โ โ) |
253 | | fracge0 13769 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ โ โ 0 โค
(๐ โ
(โโ๐))) |
254 | 74, 253 | syl 17 |
. . . . . 6
โข (๐ โ 0 โค (๐ โ (โโ๐))) |
255 | 77, 88, 254, 242 | mulge0d 11791 |
. . . . 5
โข (๐ โ 0 โค ((๐ โ (โโ๐)) ยท โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ต)) |
256 | 45, 89 | addge02d 11803 |
. . . . 5
โข (๐ โ (0 โค ((๐ โ (โโ๐)) ยท โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ต) โ (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด) โค (((๐ โ (โโ๐)) ยท โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ต) + (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด)))) |
257 | 255, 256 | mpbid 231 |
. . . 4
โข (๐ โ (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด) โค (((๐ โ (โโ๐)) ยท โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ต) + (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด))) |
258 | 140 | simpld 496 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ ((๐ฅ โ ๐ โฆ (((๐ฅ โ (โโ๐ฅ)) ยท -๐ต) + (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐ฅ))-๐ถ โ -๐ด)))โ๐) โค ((๐ฅ โ ๐ โฆ (((๐ฅ โ (โโ๐ฅ)) ยท -๐ต) + (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐ฅ))-๐ถ โ -๐ด)))โ๐)) |
259 | 258, 216,
180 | 3brtr3d 5180 |
. . . . . 6
โข (๐ โ -(((๐ โ (โโ๐)) ยท ๐ธ) + (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด)) โค -(((๐ โ (โโ๐)) ยท โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ต) + (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด))) |
260 | 90, 97 | lenegd 11793 |
. . . . . 6
โข (๐ โ ((((๐ โ (โโ๐)) ยท โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ต) + (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด)) โค (((๐ โ (โโ๐)) ยท ๐ธ) + (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด)) โ -(((๐ โ (โโ๐)) ยท ๐ธ) + (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด)) โค -(((๐ โ (โโ๐)) ยท โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ต) + (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด)))) |
261 | 259, 260 | mpbird 257 |
. . . . 5
โข (๐ โ (((๐ โ (โโ๐)) ยท โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ต) + (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด)) โค (((๐ โ (โโ๐)) ยท ๐ธ) + (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด))) |
262 | | fracle1 13768 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ โ โ (๐ โ (โโ๐)) โค 1) |
263 | 92, 262 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ (๐ โ (โโ๐)) โค 1) |
264 | 95, 232, 72, 112, 263 | lemul1ad 12153 |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ ((๐ โ (โโ๐)) ยท ๐ธ) โค (1 ยท ๐ธ)) |
265 | 185 | mullidd 11232 |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ (1 ยท ๐ธ) = ๐ธ) |
266 | 264, 265 | breqtrd 5175 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ ((๐ โ (โโ๐)) ยท ๐ธ) โค ๐ธ) |
267 | 96, 72, 21, 266 | leadd1dd 11828 |
. . . . . 6
โข (๐ โ (((๐ โ (โโ๐)) ยท ๐ธ) + (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด)) โค (๐ธ + (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด))) |
268 | 185, 57 | addcomd 11416 |
. . . . . 6
โข (๐ โ (๐ธ + (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด)) = ((ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด) + ๐ธ)) |
269 | 267, 268 | breqtrd 5175 |
. . . . 5
โข (๐ โ (((๐ โ (โโ๐)) ยท ๐ธ) + (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด)) โค ((ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด) + ๐ธ)) |
270 | 90, 97, 252, 261, 269 | letrd 11371 |
. . . 4
โข (๐ โ (((๐ โ (โโ๐)) ยท โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ต) + (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด)) โค ((ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด) + ๐ธ)) |
271 | 45, 90, 252, 257, 270 | letrd 11371 |
. . 3
โข (๐ โ (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด) โค ((ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด) + ๐ธ)) |
272 | 45, 21, 72 | absdifled 15381 |
. . 3
โข (๐ โ ((absโ((ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด) โ (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด))) โค ๐ธ โ (((ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด) โ ๐ธ) โค (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด) โง (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด) โค ((ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด) + ๐ธ)))) |
273 | 251, 271,
272 | mpbir2and 712 |
. 2
โข (๐ โ (absโ((ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด) โ (ฮฃ๐ โ (๐...(โโ๐))๐ถ โ โฆ๐ / ๐ฅโฆ๐ด))) โค ๐ธ) |
274 | 60, 273 | eqbrtrd 5171 |
1
โข (๐ โ (absโ((๐บโ๐) โ (๐บโ๐))) โค ๐ธ) |