dvfsum2 - Metamath Proof Explorer

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Theorem dvfsum2 26026

Description: The reverse of dvfsumrlim 26023, when comparing a finite sum of increasing terms to an integral. In this case there is no point in stating the limit properties, because the terms of the sum aren't approaching zero, but there is nevertheless still a natural asymptotic statement that can be made. (Contributed by Mario Carneiro, 20-May-2016.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
dvfsum2.s	⊢ 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
dvfsum2.z	⊢ 𝑍 = (ℤ_≥‘𝑀)
dvfsum2.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
dvfsum2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
dvfsum2.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ^*)
dvfsum2.md	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
dvfsum2.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
dvfsum2.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
dvfsum2.b1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ 𝑉)
dvfsum2.b2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
dvfsum2.b3	⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵))
dvfsum2.c	⊢ (𝑥 = 𝑘 → 𝐵 = 𝐶)
dvfsum2.l	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)) → 𝐵 ≤ 𝐶)
dvfsum2.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶 − 𝐴))
dvfsum2.0	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑥)) → 0 ≤ 𝐵)
dvfsum2.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
dvfsum2.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑆)
dvfsum2.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 ≤ 𝑋)
dvfsum2.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
dvfsum2.5	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ 𝑈)
dvfsum2.e	⊢ (𝑥 = 𝑌 → 𝐵 = 𝐸)

**Assertion**
Ref	Expression
dvfsum2	⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋))) ≤ 𝐸)

Distinct variable groups: 𝐵,𝑘 𝑥,𝐶 𝑥,𝑘,𝐷 𝜑,𝑘,𝑥 𝑥,𝐸 𝑘,𝑀,𝑥 𝑆,𝑘,𝑥 𝑘,𝑋,𝑥 𝑘,𝑌,𝑥 𝑥,𝑇 𝑈,𝑘,𝑥 𝑥,𝑉 𝑥,𝑍 Allowed substitution hints: 𝐴(𝑥,𝑘) 𝐵(𝑥) 𝐶(𝑘) 𝑇(𝑘) 𝐸(𝑘) 𝐺(𝑥,𝑘) 𝑉(𝑘) 𝑍(𝑘)

Proof of Theorem dvfsum2 Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvfsum2.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑆)
2		fzfid 13933	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀...(⌊‘𝑌)) ∈ Fin)
3		dvfsum2.b2	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	ralrimiva 3132	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑍 𝐵 ∈ ℝ)
5		elfzuz 13472	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌)) → 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑀))
6		dvfsum2.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑍 = (ℤ_≥‘𝑀)
7	5, 6	eleqtrrdi 2851	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
8		dvfsum2.c	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → 𝐵 = 𝐶)
9	8	eleq1d 2825	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ 𝐶 ∈ ℝ))
10	9	rspccva 3566	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝑍 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐶 ∈ ℝ)
11	4, 7, 10	syl2an 602	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))) → 𝐶 ∈ ℝ)
12	2, 11	fsumrecl 15694	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 ∈ ℝ)
13		dvfsum2.a	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
14	13	ralrimiva 3132	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐴 ∈ ℝ)
15		nfcsb1v 3862	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴
16	15	nfel1 2918	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℝ
17		csbeq1a 3852	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → 𝐴 = ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)
18	17	eleq1d 2825	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℝ))
19	16, 18	rspc 3555	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑆 → (∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐴 ∈ ℝ → ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℝ))
20	1, 14, 19	sylc 65	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℝ)
21	12, 20	resubcld 11576	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) ∈ ℝ)
22		nfcv 2902	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝑌
23		nfcv 2902	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶
24		nfcv 2902	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥 −
25	23, 24, 15	nfov 7393	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)
26		fveq2 6834	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (⌊‘𝑥) = (⌊‘𝑌))
27	26	oveq2d 7379	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝑀...(⌊‘𝑥)) = (𝑀...(⌊‘𝑌)))
28	27	sumeq1d 15660	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶)
29	28, 17	oveq12d 7381	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶 − 𝐴) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))
30		dvfsum2.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶 − 𝐴))
31	22, 25, 29, 30	fvmptf 6964	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑆 ∧ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) ∈ ℝ) → (𝐺‘𝑌) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))
32	1, 21, 31	syl2anc 590	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑌) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))
33		dvfsum2.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
34		fzfid 13933	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀...(⌊‘𝑋)) ∈ Fin)
35		elfzuz 13472	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋)) → 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑀))
36	35, 6	eleqtrrdi 2851	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
37	4, 36, 10	syl2an 602	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))) → 𝐶 ∈ ℝ)
38	34, 37	fsumrecl 15694	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 ∈ ℝ)
39		nfcsb1v 3862	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴
40	39	nfel1 2918	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℝ
41		csbeq1a 3852	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝐴 = ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)
42	41	eleq1d 2825	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℝ))
43	40, 42	rspc 3555	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → (∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐴 ∈ ℝ → ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℝ))
44	33, 14, 43	sylc 65	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℝ)
45	38, 44	resubcld 11576	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) ∈ ℝ)
46		nfcv 2902	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝑋
47		nfcv 2902	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶
48	47, 24, 39	nfov 7393	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)
49		fveq2 6834	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (⌊‘𝑥) = (⌊‘𝑋))
50	49	oveq2d 7379	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑀...(⌊‘𝑥)) = (𝑀...(⌊‘𝑋)))
51	50	sumeq1d 15660	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶)
52	51, 41	oveq12d 7381	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶 − 𝐴) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴))
53	46, 48, 52, 30	fvmptf 6964	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑆 ∧ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) ∈ ℝ) → (𝐺‘𝑋) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴))
54	33, 45, 53	syl2anc 590	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴))
55	32, 54	oveq12d 7381	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋)) = ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) − (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)))
56	55	fveq2d 6838	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋))) = (abs‘((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) − (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴))))
57	21	recnd 11171	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) ∈ ℂ)
58	45	recnd 11171	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) ∈ ℂ)
59	57, 58	abssubd 15416	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) − (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴))) = (abs‘((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) − (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))))
60	56, 59	eqtrd 2775	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋))) = (abs‘((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) − (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))))
61		dvfsum2.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
62		ioossre 13358	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇(,)+∞) ⊆ ℝ
63	61, 62	eqsstri 3968	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 ⊆ ℝ
64	63	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℝ)
65		dvfsum2.b1	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ 𝑉)
66		dvfsum2.b3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵))
67	64, 13, 65, 66	dvmptrecl 26016	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ ℝ)
68	67	ralrimiva 3132	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐵 ∈ ℝ)
69		dvfsum2.e	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → 𝐵 = 𝐸)
70	69	eleq1d 2825	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ 𝐸 ∈ ℝ))
71	70	rspcv 3563	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑆 → (∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐵 ∈ ℝ → 𝐸 ∈ ℝ))
72	1, 68, 71	sylc 65	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
73	21, 72	resubcld 11576	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) − 𝐸) ∈ ℝ)
74	63, 33	sselid 3920	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
75		reflcl 13753	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (⌊‘𝑋) ∈ ℝ)
76	74, 75	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⌊‘𝑋) ∈ ℝ)
77	74, 76	resubcld 11576	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − (⌊‘𝑋)) ∈ ℝ)
78		nfv 1921	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑚 𝐵 ∈ ℝ
79		nfcsb1v 3862	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑚 / 𝑥⦌𝐵
80	79	nfel1 2918	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑚 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ
81		csbeq1a 3852	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑚 → 𝐵 = ⦋𝑚 / 𝑥⦌𝐵)
82	81	eleq1d 2825	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑚 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑚 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ))
83	78, 80, 82	cbvralw 3282	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐵 ∈ ℝ ↔ ∀𝑚 ∈ 𝑆 ⦋𝑚 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ)
84	68, 83	sylib 219	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ 𝑆 ⦋𝑚 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ)
85		csbeq1 3841	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑋 → ⦋𝑚 / 𝑥⦌𝐵 = ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
86	85	eleq1d 2825	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑋 → (⦋𝑚 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ))
87	86	rspcv 3563	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → (∀𝑚 ∈ 𝑆 ⦋𝑚 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ → ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ))
88	33, 84, 87	sylc 65	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ)
89	77, 88	remulcld 11173	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ∈ ℝ)
90	89, 45	readdcld 11172	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)) ∈ ℝ)
91	90, 88	resubcld 11576	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ∈ ℝ)
92	63, 1	sselid 3920	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
93		reflcl 13753	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ ℝ → (⌊‘𝑌) ∈ ℝ)
94	92, 93	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⌊‘𝑌) ∈ ℝ)
95	92, 94	resubcld 11576	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − (⌊‘𝑌)) ∈ ℝ)
96	95, 72	remulcld 11173	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) ∈ ℝ)
97	96, 21	readdcld 11172	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) ∈ ℝ)
98	97, 72	resubcld 11576	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) − 𝐸) ∈ ℝ)
99		fracge0 13761	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝑌 − (⌊‘𝑌)))
100	92, 99	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑌 − (⌊‘𝑌)))
101		dvfsum2.0	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑥)) → 0 ≤ 𝐵)
102	101	expr 457	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐷 ≤ 𝑥 → 0 ≤ 𝐵))
103	102	ralrimiva 3132	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐷 ≤ 𝑥 → 0 ≤ 𝐵))
104		dvfsum2.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
105		dvfsum2.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≤ 𝑋)
106		dvfsum2.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
107	104, 74, 92, 105, 106	letrd 11301	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≤ 𝑌)
108		breq2 5083	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝐷 ≤ 𝑥 ↔ 𝐷 ≤ 𝑌))
109	69	breq2d 5091	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (0 ≤ 𝐵 ↔ 0 ≤ 𝐸))
110	108, 109	imbi12d 345	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → ((𝐷 ≤ 𝑥 → 0 ≤ 𝐵) ↔ (𝐷 ≤ 𝑌 → 0 ≤ 𝐸)))
111	110	rspcv 3563	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑆 → (∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐷 ≤ 𝑥 → 0 ≤ 𝐵) → (𝐷 ≤ 𝑌 → 0 ≤ 𝐸)))
112	1, 103, 107, 111	syl3c 66	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐸)
113	95, 72, 100, 112	mulge0d 11725	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸))
114	21, 96	addge02d 11737	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) ↔ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) ≤ (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))))
115	113, 114	mpbid 233	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) ≤ (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)))
116	21, 97, 72, 115	lesub1dd 11764	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) − 𝐸) ≤ ((((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) − 𝐸))
117		dvfsum2.m	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
118		dvfsum2.md	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
119		dvfsum2.t	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
120	13	renegcld 11575	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → -𝐴 ∈ ℝ)
121	67	renegcld 11575	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → -𝐵 ∈ ℝ)
122	3	renegcld 11575	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → -𝐵 ∈ ℝ)
123		reelprrecn 11128	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
124	123	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
125	13	recnd 11171	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℂ)
126	124, 125, 65, 66	dvmptneg 25958	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ -𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ -𝐵))
127	8	negeqd 11385	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → -𝐵 = -𝐶)
128		dvfsum2.u	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ^*)
129		dvfsum2.l	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)) → 𝐵 ≤ 𝐶)
130	67	adantrr 723	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆)) → 𝐵 ∈ ℝ)
131	130	3adant3 1138	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)) → 𝐵 ∈ ℝ)
132		simp2r 1207	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)) → 𝑘 ∈ 𝑆)
133	68	3ad2ant1 1139	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐵 ∈ ℝ)
134	9	rspcv 3563	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑆 → (∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐵 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℝ))
135	132, 133, 134	sylc 65	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)) → 𝐶 ∈ ℝ)
136	131, 135	lenegd 11727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)) → (𝐵 ≤ 𝐶 ↔ -𝐶 ≤ -𝐵))
137	129, 136	mpbid 233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)) → -𝐶 ≤ -𝐵)
138		eqid 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴))) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))
139		dvfsum2.5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ 𝑈)
140	61, 6, 117, 104, 118, 119, 120, 121, 122, 126, 127, 128, 137, 138, 33, 1, 105, 106, 139	dvfsumlem3 26020	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑌) ≤ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑋) ∧ (((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑋) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌-𝐵) ≤ (((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑌) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌-𝐵)))
141	140	simprd 496	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑋) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌-𝐵) ≤ (((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑌) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌-𝐵))
142	77	recnd 11171	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − (⌊‘𝑋)) ∈ ℂ)
143	88	recnd 11171	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ)
144	142, 143	mulneg2d 11602	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) = -((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))
145	38	recnd 11171	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 ∈ ℂ)
146	44	recnd 11171	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ)
147	145, 146	neg2subd 11520	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (-Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴 − Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶))
148	37	recnd 11171	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))) → 𝐶 ∈ ℂ)
149	34, 148	fsumneg 15747	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))-𝐶 = -Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶)
150	149	oveq1d 7378	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))-𝐶 − -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) = (-Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴))
151	145, 146	negsubdi2d 11519	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → -(Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴 − Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶))
152	147, 150, 151	3eqtr4d 2785	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))-𝐶 − -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) = -(Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴))
153	144, 152	oveq12d 7381	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))-𝐶 − -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)) = (-((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + -(Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)))
154	89	recnd 11171	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ∈ ℂ)
155	154, 58	negdid 11516	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → -(((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)) = (-((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + -(Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)))
156	153, 155	eqtr4d 2778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))-𝐶 − -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)) = -(((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)))
157	90	renegcld 11575	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → -(((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)) ∈ ℝ)
158	156, 157	eqeltrd 2840	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))-𝐶 − -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)) ∈ ℝ)
159		nfcv 2902	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑋 − (⌊‘𝑋))
160		nfcv 2902	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥 ·
161		nfcsb1v 3862	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵
162	161	nfneg 11387	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥-⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵
163	159, 160, 162	nfov 7393	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
164		nfcv 2902	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥 +
165		nfcv 2902	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))-𝐶
166	39	nfneg 11387	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥-⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴
167	165, 24, 166	nfov 7393	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥(Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))-𝐶 − -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)
168	163, 164, 167	nfov 7393	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥(((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))-𝐶 − -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴))
169		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝑥 = 𝑋)
170	169, 49	oveq12d 7381	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 − (⌊‘𝑥)) = (𝑋 − (⌊‘𝑋)))
171		csbeq1a 3852	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝐵 = ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
172	171	negeqd 11385	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → -𝐵 = -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
173	170, 172	oveq12d 7381	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) = ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))
174	50	sumeq1d 15660	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))-𝐶)
175	41	negeqd 11385	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → -𝐴 = -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)
176	174, 175	oveq12d 7381	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))-𝐶 − -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴))
177	173, 176	oveq12d 7381	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)) = (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))-𝐶 − -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)))
178	46, 168, 177, 138	fvmptf 6964	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑆 ∧ (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))-𝐶 − -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)) ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑋) = (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))-𝐶 − -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)))
179	33, 158, 178	syl2anc 590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑋) = (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))-𝐶 − -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)))
180	179, 156	eqtrd 2775	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑋) = -(((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)))
181		csbnegg 11388	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → ⦋𝑋 / 𝑥⦌-𝐵 = -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
182	33, 181	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑋 / 𝑥⦌-𝐵 = -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
183	180, 182	oveq12d 7381	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑋) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌-𝐵) = (-(((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)) − -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))
184	95	recnd 11171	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − (⌊‘𝑌)) ∈ ℂ)
185	72	recnd 11171	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
186	184, 185	mulneg2d 11602	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · -𝐸) = -((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸))
187	12	recnd 11171	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 ∈ ℂ)
188	20	recnd 11171	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ)
189	187, 188	neg2subd 11520	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (-Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − -⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 − Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶))
190	11	recnd 11171	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))) → 𝐶 ∈ ℂ)
191	2, 190	fsumneg 15747	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))-𝐶 = -Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶)
192	191	oveq1d 7378	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))-𝐶 − -⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) = (-Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − -⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))
193	187, 188	negsubdi2d 11519	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → -(Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 − Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶))
194	189, 192, 193	3eqtr4d 2785	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))-𝐶 − -⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) = -(Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))
195	186, 194	oveq12d 7381	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · -𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))-𝐶 − -⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) = (-((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + -(Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)))
196	96	recnd 11171	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) ∈ ℂ)
197	196, 57	negdid 11516	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → -(((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) = (-((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + -(Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)))
198	195, 197	eqtr4d 2778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · -𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))-𝐶 − -⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) = -(((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)))
199	97	renegcld 11575	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → -(((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) ∈ ℝ)
200	198, 199	eqeltrd 2840	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · -𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))-𝐶 − -⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) ∈ ℝ)
201		nfcv 2902	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · -𝐸)
202		nfcv 2902	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))-𝐶
203	15	nfneg 11387	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥-⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴
204	202, 24, 203	nfov 7393	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥(Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))-𝐶 − -⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)
205	201, 164, 204	nfov 7393	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥(((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · -𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))-𝐶 − -⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))
206		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → 𝑥 = 𝑌)
207	206, 26	oveq12d 7381	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝑥 − (⌊‘𝑥)) = (𝑌 − (⌊‘𝑌)))
208	69	negeqd 11385	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → -𝐵 = -𝐸)
209	207, 208	oveq12d 7381	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → ((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) = ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · -𝐸))
210	27	sumeq1d 15660	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))-𝐶)
211	17	negeqd 11385	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → -𝐴 = -⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)
212	210, 211	oveq12d 7381	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))-𝐶 − -⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))
213	209, 212	oveq12d 7381	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)) = (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · -𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))-𝐶 − -⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)))
214	22, 205, 213, 138	fvmptf 6964	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑆 ∧ (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · -𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))-𝐶 − -⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑌) = (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · -𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))-𝐶 − -⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)))
215	1, 200, 214	syl2anc 590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑌) = (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · -𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))-𝐶 − -⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)))
216	215, 198	eqtrd 2775	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑌) = -(((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)))
217	208	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) → -𝐵 = -𝐸)
218	1, 217	csbied 3874	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑌 / 𝑥⦌-𝐵 = -𝐸)
219	216, 218	oveq12d 7381	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑌) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌-𝐵) = (-(((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) − -𝐸))
220	141, 183, 219	3brtr3d 5110	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (-(((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)) − -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ≤ (-(((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) − -𝐸))
221	90	recnd 11171	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)) ∈ ℂ)
222	221, 143	neg2subd 11520	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (-(((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)) − -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 − (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴))))
223	97	recnd 11171	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) ∈ ℂ)
224	223, 185	neg2subd 11520	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (-(((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) − -𝐸) = (𝐸 − (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))))
225	220, 222, 224	3brtr3d 5110	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 − (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴))) ≤ (𝐸 − (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))))
226	221, 143	negsubdi2d 11519	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 − (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴))))
227	223, 185	negsubdi2d 11519	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -((((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) − 𝐸) = (𝐸 − (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))))
228	225, 226, 227	3brtr4d 5111	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ≤ -((((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) − 𝐸))
229	98, 91	lenegd 11727	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) − 𝐸) ≤ ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ↔ -((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ≤ -((((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) − 𝐸)))
230	228, 229	mpbird 258	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) − 𝐸) ≤ ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))
231	73, 98, 91, 116, 230	letrd 11301	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) − 𝐸) ≤ ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))
232		1red 11143	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
233		nfv 1921	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐷 ≤ 𝑋
234		nfcv 2902	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥0
235		nfcv 2902	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥 ≤
236	234, 235, 161	nfbr 5126	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥0 ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵
237	233, 236	nfim 1903	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐷 ≤ 𝑋 → 0 ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
238		breq2 5083	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐷 ≤ 𝑥 ↔ 𝐷 ≤ 𝑋))
239	171	breq2d 5091	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (0 ≤ 𝐵 ↔ 0 ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))
240	238, 239	imbi12d 345	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐷 ≤ 𝑥 → 0 ≤ 𝐵) ↔ (𝐷 ≤ 𝑋 → 0 ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)))
241	237, 240	rspc 3555	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → (∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐷 ≤ 𝑥 → 0 ≤ 𝐵) → (𝐷 ≤ 𝑋 → 0 ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)))
242	33, 103, 105, 241	syl3c 66	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
243		fracle1 13760	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 − (⌊‘𝑋)) ≤ 1)
244	74, 243	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − (⌊‘𝑋)) ≤ 1)
245	77, 232, 88, 242, 244	lemul1ad 12093	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ≤ (1 · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))
246	143	mullidd 11161	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) = ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
247	245, 246	breqtrd 5105	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
248	89, 88, 45, 247	leadd1dd 11762	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)) ≤ (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)))
249	90, 88, 45	lesubadd2d 11747	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ≤ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) ↔ (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)) ≤ (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴))))
250	248, 249	mpbird 258	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ≤ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴))
251	73, 91, 45, 231, 250	letrd 11301	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) − 𝐸) ≤ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴))
252	21, 72	readdcld 11172	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) + 𝐸) ∈ ℝ)
253		fracge0 13761	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝑋 − (⌊‘𝑋)))
254	74, 253	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑋 − (⌊‘𝑋)))
255	77, 88, 254, 242	mulge0d 11725	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))
256	45, 89	addge02d 11737	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ↔ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) ≤ (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴))))
257	255, 256	mpbid 233	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) ≤ (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)))
258	140	simpld 495	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑌) ≤ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑋))
259	258, 216, 180	3brtr3d 5110	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -(((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) ≤ -(((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)))
260	90, 97	lenegd 11727	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)) ≤ (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) ↔ -(((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) ≤ -(((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴))))
261	259, 260	mpbird 258	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)) ≤ (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)))
262		fracle1 13760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ ℝ → (𝑌 − (⌊‘𝑌)) ≤ 1)
263	92, 262	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − (⌊‘𝑌)) ≤ 1)
264	95, 232, 72, 112, 263	lemul1ad 12093	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) ≤ (1 · 𝐸))
265	185	mullidd 11161	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐸) = 𝐸)
266	264, 265	breqtrd 5105	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) ≤ 𝐸)
267	96, 72, 21, 266	leadd1dd 11762	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) ≤ (𝐸 + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)))
268	185, 57	addcomd 11346	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸 + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) = ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) + 𝐸))
269	267, 268	breqtrd 5105	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) ≤ ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) + 𝐸))
270	90, 97, 252, 261, 269	letrd 11301	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)) ≤ ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) + 𝐸))
271	45, 90, 252, 257, 270	letrd 11301	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) ≤ ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) + 𝐸))
272	45, 21, 72	absdifled 15397	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) − (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))) ≤ 𝐸 ↔ (((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) − 𝐸) ≤ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) ∧ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) ≤ ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) + 𝐸))))
273	251, 271, 272	mpbir2and 719	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) − (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))) ≤ 𝐸)
274	60, 273	eqbrtrd 5101	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋))) ≤ 𝐸)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 396 ∧ w3a 1092 = wceq 1547 ∈ wcel 2119 ∀wral 3054 ⦋csb 3838 ⊆ wss 3890 {cpr 4564 class class class wbr 5079 ↦ cmpt 5160 ‘cfv 6492 (class class class)co 7363 ℂcc 11034 ℝcr 11035 0cc0 11036 1c1 11037 + caddc 11039 · cmul 11041 +∞cpnf 11174 ℝ^*cxr 11176 ≤ cle 11178 − cmin 11375 -cneg 11376 ℤcz 12522 ℤ_≥cuz 12786 (,)cioo 13296 ...cfz 13459 ⌊cfl 13747 abscabs 15194 Σcsu 15646 D cdv 25855

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1802 ax-4 1816 ax-5 1917 ax-6 1974 ax-7 2015 ax-8 2121 ax-9 2129 ax-10 2152 ax-11 2168 ax-12 2189 ax-ext 2712 ax-rep 5206 ax-sep 5225 ax-nul 5235 ax-pow 5301 ax-pr 5369 ax-un 7685 ax-inf2 9560 ax-cnex 11092 ax-resscn 11093 ax-1cn 11094 ax-icn 11095 ax-addcl 11096 ax-addrcl 11097 ax-mulcl 11098 ax-mulrcl 11099 ax-mulcom 11100 ax-addass 11101 ax-mulass 11102 ax-distr 11103 ax-i2m1 11104 ax-1ne0 11105 ax-1rid 11106 ax-rnegex 11107 ax-rrecex 11108 ax-cnre 11109 ax-pre-lttri 11110 ax-pre-lttrn 11111 ax-pre-ltadd 11112 ax-pre-mulgt0 11113 ax-pre-sup 11114 ax-addf 11115

This theorem depends on definitions: df-bi 208 df-an 397 df-or 854 df-3or 1093 df-3an 1094 df-tru 1550 df-fal 1560 df-ex 1787 df-nf 1791 df-sb 2074 df-mo 2543 df-eu 2573 df-clab 2719 df-cleq 2732 df-clel 2815 df-nfc 2889 df-ne 2936 df-nel 3040 df-ral 3055 df-rex 3065 df-rmo 3345 df-reu 3346 df-rab 3393 df-v 3434 df-sbc 3731 df-csb 3839 df-dif 3893 df-un 3895 df-in 3897 df-ss 3907 df-pss 3910 df-nul 4269 df-if 4462 df-pw 4538 df-sn 4563 df-pr 4565 df-tp 4567 df-op 4569 df-uni 4846 df-int 4885 df-iun 4930 df-iin 4931 df-br 5080 df-opab 5142 df-mpt 5161 df-tr 5187 df-id 5520 df-eprel 5525 df-po 5533 df-so 5534 df-fr 5578 df-se 5579 df-we 5580 df-xp 5631 df-rel 5632 df-cnv 5633 df-co 5634 df-dm 5635 df-rn 5636 df-res 5637 df-ima 5638 df-pred 6259 df-ord 6320 df-on 6321 df-lim 6322 df-suc 6323 df-iota 6448 df-fun 6494 df-fn 6495 df-f 6496 df-f1 6497 df-fo 6498 df-f1o 6499 df-fv 6500 df-isom 6501 df-riota 7320 df-ov 7366 df-oprab 7367 df-mpo 7368 df-of 7627 df-om 7814 df-1st 7938 df-2nd 7939 df-supp 8108 df-frecs 8228 df-wrecs 8259 df-recs 8308 df-rdg 8346 df-1o 8402 df-2o 8403 df-er 8640 df-map 8772 df-pm 8773 df-ixp 8843 df-en 8891 df-dom 8892 df-sdom 8893 df-fin 8894 df-fsupp 9272 df-fi 9321 df-sup 9352 df-inf 9353 df-oi 9422 df-card 9861 df-pnf 11179 df-mnf 11180 df-xr 11181 df-ltxr 11182 df-le 11183 df-sub 11377 df-neg 11378 df-div 11806 df-nn 12173 df-2 12242 df-3 12243 df-4 12244 df-5 12245 df-6 12246 df-7 12247 df-8 12248 df-9 12249 df-n0 12436 df-z 12523 df-dec 12643 df-uz 12787 df-q 12897 df-rp 12941 df-xneg 13061 df-xadd 13062 df-xmul 13063 df-ioo 13300 df-ico 13302 df-icc 13303 df-fz 13460 df-fzo 13607 df-fl 13749 df-seq 13962 df-exp 14022 df-hash 14291 df-cj 15059 df-re 15060 df-im 15061 df-sqrt 15195 df-abs 15196 df-clim 15448 df-sum 15647 df-struct 17115 df-sets 17132 df-slot 17150 df-ndx 17162 df-base 17178 df-ress 17199 df-plusg 17231 df-mulr 17232 df-starv 17233 df-sca 17234 df-vsca 17235 df-ip 17236 df-tset 17237 df-ple 17238 df-ds 17240 df-unif 17241 df-hom 17242 df-cco 17243 df-rest 17383 df-topn 17384 df-0g 17402 df-gsum 17403 df-topgen 17404 df-pt 17405 df-prds 17408 df-xrs 17464 df-qtop 17469 df-imas 17470 df-xps 17472 df-mre 17546 df-mrc 17547 df-acs 17549 df-mgm 18606 df-sgrp 18685 df-mnd 18701 df-submnd 18750 df-mulg 19042 df-cntz 19290 df-cmn 19755 df-psmet 21346 df-xmet 21347 df-met 21348 df-bl 21349 df-mopn 21350 df-fbas 21351 df-fg 21352 df-cnfld 21355 df-top 22884 df-topon 22901 df-topsp 22923 df-bases 22936 df-cld 23009 df-ntr 23010 df-cls 23011 df-nei 23088 df-lp 23126 df-perf 23127 df-cn 23217 df-cnp 23218 df-haus 23305 df-cmp 23377 df-tx 23552 df-hmeo 23745 df-fil 23836 df-fm 23928 df-flim 23929 df-flf 23930 df-xms 24310 df-ms 24311 df-tms 24312 df-cncf 24870 df-limc 25858 df-dv 25859

This theorem is referenced by: logfacbnd3 27211 log2sumbnd 27532

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