Theorem dvfsum2 26261

Description: The reverse of dvfsumrlim 26258, when comparing a finite sum of increasing terms to an integral. In this case there is no point in stating the limit properties, because the terms of the sum aren't approaching zero, but there is nevertheless still a natural asymptotic statement that can be made. (Contributed by Mario Carneiro, 20-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvfsum2.s	⊢ 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
dvfsum2.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
dvfsum2.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
dvfsum2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
dvfsum2.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ*)
dvfsum2.md	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
dvfsum2.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
dvfsum2.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
dvfsum2.b1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ 𝑉)
dvfsum2.b2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
dvfsum2.b3	⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵))
dvfsum2.c	⊢ (𝑥 = 𝑘 → 𝐵 = 𝐶)
dvfsum2.l	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)) → 𝐵 ≤ 𝐶)
dvfsum2.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶 − 𝐴))
dvfsum2.0	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑥)) → 0 ≤ 𝐵)
dvfsum2.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
dvfsum2.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑆)
dvfsum2.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 ≤ 𝑋)
dvfsum2.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
dvfsum2.5	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ 𝑈)
dvfsum2.e	⊢ (𝑥 = 𝑌 → 𝐵 = 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
dvfsum2	⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋))) ≤ 𝐸)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑥,𝐶   𝑥,𝑘,𝐷   𝜑,𝑘,𝑥   𝑥,𝐸   𝑘,𝑀,𝑥   𝑆,𝑘,𝑥   𝑘,𝑋,𝑥   𝑘,𝑌,𝑥   𝑥,𝑇   𝑈,𝑘,𝑥   𝑥,𝑉   𝑥,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥, 𝑘)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑘)   𝑇(𝑘)   𝐸(𝑘)   𝐺(𝑥, 𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem dvfsum2

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvfsum2.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑆)
2		fzfid 14037	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀...(⌊‘𝑌)) ∈ Fin)
3		dvfsum2.b2	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	ralrimiva 3154	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑍 𝐵 ∈ ℝ)
5		elfzuz 13574	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
6		dvfsum2.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
7	5, 6	eleqtrrdi 2871	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
8		dvfsum2.c	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → 𝐵 = 𝐶)
9	8	eleq1d 2845	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ 𝐶 ∈ ℝ))
10	9	rspccva 3575	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝑍 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐶 ∈ ℝ)
11	4, 7, 10	syl2an 608	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))) → 𝐶 ∈ ℝ)
12	2, 11	fsumrecl 15820	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 ∈ ℝ)
13		dvfsum2.a	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
14	13	ralrimiva 3154	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐴 ∈ ℝ)
15		nfcsb1v 3871	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴
16	15	nfel1 2938	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℝ
17		csbeq1a 3861	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → 𝐴 = ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)
18	17	eleq1d 2845	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℝ))
19	16, 18	rspc 3564	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑆 → (∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐴 ∈ ℝ → ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℝ))
20	1, 14, 19	sylc 66	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℝ)
21	12, 20	resubcld 11666	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) ∈ ℝ)
22		nfcv 2922	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝑌
23		nfcv 2922	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶
24		nfcv 2922	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥 −
25	23, 24, 15	nfov 7443	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)
26		fveq2 6878	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (⌊‘𝑥) = (⌊‘𝑌))
27	26	oveq2d 7429	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝑀...(⌊‘𝑥)) = (𝑀...(⌊‘𝑌)))
28	27	sumeq1d 15787	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶)
29	28, 17	oveq12d 7431	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶 − 𝐴) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))
30		dvfsum2.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶 − 𝐴))
31	22, 25, 29, 30	fvmptf 7008	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑆 ∧ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) ∈ ℝ) → (𝐺‘𝑌) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))
32	1, 21, 31	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑌) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))
33		dvfsum2.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
34		fzfid 14037	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀...(⌊‘𝑋)) ∈ Fin)
35		elfzuz 13574	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
36	35, 6	eleqtrrdi 2871	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
37	4, 36, 10	syl2an 608	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))) → 𝐶 ∈ ℝ)
38	34, 37	fsumrecl 15820	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 ∈ ℝ)
39		nfcsb1v 3871	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴
40	39	nfel1 2938	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℝ
41		csbeq1a 3861	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝐴 = ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)
42	41	eleq1d 2845	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℝ))
43	40, 42	rspc 3564	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → (∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐴 ∈ ℝ → ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℝ))
44	33, 14, 43	sylc 66	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℝ)
45	38, 44	resubcld 11666	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) ∈ ℝ)
46		nfcv 2922	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝑋
47		nfcv 2922	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶
48	47, 24, 39	nfov 7443	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)
49		fveq2 6878	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (⌊‘𝑥) = (⌊‘𝑋))
50	49	oveq2d 7429	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑀...(⌊‘𝑥)) = (𝑀...(⌊‘𝑋)))
51	50	sumeq1d 15787	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶)
52	51, 41	oveq12d 7431	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶 − 𝐴) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴))
53	46, 48, 52, 30	fvmptf 7008	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑆 ∧ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) ∈ ℝ) → (𝐺‘𝑋) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴))
54	33, 45, 53	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴))
55	32, 54	oveq12d 7431	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋)) = ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) − (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)))
56	55	fveq2d 6882	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋))) = (abs‘((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) − (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴))))
57	21	recnd 11261	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) ∈ ℂ)
58	45	recnd 11261	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) ∈ ℂ)
59	57, 58	abssubd 15543	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) − (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴))) = (abs‘((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) − (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))))
60	56, 59	eqtrd 2795	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋))) = (abs‘((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) − (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))))
61		dvfsum2.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
62		ioossre 13460	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇(,)+∞) ⊆ ℝ
63	61, 62	eqsstri 3977	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 ⊆ ℝ
64	63	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℝ)
65		dvfsum2.b1	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ 𝑉)
66		dvfsum2.b3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵))
67	64, 13, 65, 66	dvmptrecl 26251	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ ℝ)
68	67	ralrimiva 3154	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐵 ∈ ℝ)
69		dvfsum2.e	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → 𝐵 = 𝐸)
70	69	eleq1d 2845	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ 𝐸 ∈ ℝ))
71	70	rspcv 3572	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑆 → (∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐵 ∈ ℝ → 𝐸 ∈ ℝ))
72	1, 68, 71	sylc 66	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
73	21, 72	resubcld 11666	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) − 𝐸) ∈ ℝ)
74	63, 33	sselid 3929	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
75		reflcl 13857	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (⌊‘𝑋) ∈ ℝ)
76	74, 75	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⌊‘𝑋) ∈ ℝ)
77	74, 76	resubcld 11666	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − (⌊‘𝑋)) ∈ ℝ)
78		nfv 1947	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑚 𝐵 ∈ ℝ
79		nfcsb1v 3871	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑚 / 𝑥⦌𝐵
80	79	nfel1 2938	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑚 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ
81		csbeq1a 3861	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑚 → 𝐵 = ⦋𝑚 / 𝑥⦌𝐵)
82	81	eleq1d 2845	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑚 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑚 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ))
83	78, 80, 82	cbvralw 3304	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐵 ∈ ℝ ↔ ∀𝑚 ∈ 𝑆 ⦋𝑚 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ)
84	68, 83	sylib 221	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ 𝑆 ⦋𝑚 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ)
85		csbeq1 3850	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑋 → ⦋𝑚 / 𝑥⦌𝐵 = ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
86	85	eleq1d 2845	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑋 → (⦋𝑚 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ))
87	86	rspcv 3572	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → (∀𝑚 ∈ 𝑆 ⦋𝑚 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ → ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ))
88	33, 84, 87	sylc 66	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ)
89	77, 88	remulcld 11263	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ∈ ℝ)
90	89, 45	readdcld 11262	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)) ∈ ℝ)
91	90, 88	resubcld 11666	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ∈ ℝ)
92	63, 1	sselid 3929	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
93		reflcl 13857	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ ℝ → (⌊‘𝑌) ∈ ℝ)
94	92, 93	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⌊‘𝑌) ∈ ℝ)
95	92, 94	resubcld 11666	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − (⌊‘𝑌)) ∈ ℝ)
96	95, 72	remulcld 11263	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) ∈ ℝ)
97	96, 21	readdcld 11262	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) ∈ ℝ)
98	97, 72	resubcld 11666	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) − 𝐸) ∈ ℝ)
99		fracge0 13865	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝑌 − (⌊‘𝑌)))
100	92, 99	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑌 − (⌊‘𝑌)))
101		dvfsum2.0	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑥)) → 0 ≤ 𝐵)
102	101	expr 462	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐷 ≤ 𝑥 → 0 ≤ 𝐵))
103	102	ralrimiva 3154	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐷 ≤ 𝑥 → 0 ≤ 𝐵))
104		dvfsum2.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
105		dvfsum2.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≤ 𝑋)
106		dvfsum2.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
107	104, 74, 92, 105, 106	letrd 11391	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≤ 𝑌)
108		breq2 5107	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝐷 ≤ 𝑥 ↔ 𝐷 ≤ 𝑌))
109	69	breq2d 5115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (0 ≤ 𝐵 ↔ 0 ≤ 𝐸))
110	108, 109	imbi12d 347	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → ((𝐷 ≤ 𝑥 → 0 ≤ 𝐵) ↔ (𝐷 ≤ 𝑌 → 0 ≤ 𝐸)))
111	110	rspcv 3572	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑆 → (∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐷 ≤ 𝑥 → 0 ≤ 𝐵) → (𝐷 ≤ 𝑌 → 0 ≤ 𝐸)))
112	1, 103, 107, 111	syl3c 67	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐸)
113	95, 72, 100, 112	mulge0d 11815	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸))
114	21, 96	addge02d 11827	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) ↔ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) ≤ (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))))
115	113, 114	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) ≤ (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)))
116	21, 97, 72, 115	lesub1dd 11854	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) − 𝐸) ≤ ((((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) − 𝐸))
117		dvfsum2.m	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
118		dvfsum2.md	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
119		dvfsum2.t	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
120	13	renegcld 11665	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → -𝐴 ∈ ℝ)
121	67	renegcld 11665	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → -𝐵 ∈ ℝ)
122	3	renegcld 11665	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → -𝐵 ∈ ℝ)
123		reelprrecn 11216	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
124	123	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
125	13	recnd 11261	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℂ)
126	124, 125, 65, 66	dvmptneg 26193	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ -𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ -𝐵))
127	8	negeqd 11475	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → -𝐵 = -𝐶)
128		dvfsum2.u	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ*)
129		dvfsum2.l	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)) → 𝐵 ≤ 𝐶)
130	67	adantrr 730	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆)) → 𝐵 ∈ ℝ)
131	130	3adant3 1150	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)) → 𝐵 ∈ ℝ)
132		simp2r 1219	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)) → 𝑘 ∈ 𝑆)
133	68	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐵 ∈ ℝ)
134	9	rspcv 3572	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑆 → (∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐵 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℝ))
135	132, 133, 134	sylc 66	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)) → 𝐶 ∈ ℝ)
136	131, 135	lenegd 11817	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)) → (𝐵 ≤ 𝐶 ↔ -𝐶 ≤ -𝐵))
137	129, 136	mpbid 235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)) → -𝐶 ≤ -𝐵)
138		eqid 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴))) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))
139		dvfsum2.5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ 𝑈)
140	61, 6, 117, 104, 118, 119, 120, 121, 122, 126, 127, 128, 137, 138, 33, 1, 105, 106, 139	dvfsumlem3 26255	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑌) ≤ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑋) ∧ (((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑋) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌-𝐵) ≤ (((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑌) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌-𝐵)))
141	140	simprd 501	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑋) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌-𝐵) ≤ (((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑌) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌-𝐵))
142	77	recnd 11261	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − (⌊‘𝑋)) ∈ ℂ)
143	88	recnd 11261	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ)
144	142, 143	mulneg2d 11692	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) = -((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))
145	38	recnd 11261	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 ∈ ℂ)
146	44	recnd 11261	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ)
147	145, 146	neg2subd 11610	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (-Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴 − Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶))
148	37	recnd 11261	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))) → 𝐶 ∈ ℂ)
149	34, 148	fsumneg 15873	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))-𝐶 = -Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶)
150	149	oveq1d 7428	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))-𝐶 − -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) = (-Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴))
151	145, 146	negsubdi2d 11609	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → -(Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴 − Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶))
152	147, 150, 151	3eqtr4d 2805	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))-𝐶 − -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) = -(Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴))
153	144, 152	oveq12d 7431	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))-𝐶 − -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)) = (-((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + -(Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)))
154	89	recnd 11261	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ∈ ℂ)
155	154, 58	negdid 11606	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → -(((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)) = (-((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + -(Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)))
156	153, 155	eqtr4d 2798	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))-𝐶 − -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)) = -(((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)))
157	90	renegcld 11665	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → -(((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)) ∈ ℝ)
158	156, 157	eqeltrd 2860	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))-𝐶 − -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)) ∈ ℝ)
159		nfcv 2922	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑋 − (⌊‘𝑋))
160		nfcv 2922	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥 ·
161		nfcsb1v 3871	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵
162	161	nfneg 11477	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥-⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵
163	159, 160, 162	nfov 7443	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
164		nfcv 2922	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥 +
165		nfcv 2922	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))-𝐶
166	39	nfneg 11477	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥-⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴
167	165, 24, 166	nfov 7443	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥(Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))-𝐶 − -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)
168	163, 164, 167	nfov 7443	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥(((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))-𝐶 − -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴))
169		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝑥 = 𝑋)
170	169, 49	oveq12d 7431	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 − (⌊‘𝑥)) = (𝑋 − (⌊‘𝑋)))
171		csbeq1a 3861	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝐵 = ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
172	171	negeqd 11475	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → -𝐵 = -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
173	170, 172	oveq12d 7431	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) = ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))
174	50	sumeq1d 15787	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))-𝐶)
175	41	negeqd 11475	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → -𝐴 = -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)
176	174, 175	oveq12d 7431	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))-𝐶 − -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴))
177	173, 176	oveq12d 7431	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)) = (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))-𝐶 − -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)))
178	46, 168, 177, 138	fvmptf 7008	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑆 ∧ (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))-𝐶 − -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)) ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑋) = (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))-𝐶 − -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)))
179	33, 158, 178	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑋) = (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))-𝐶 − -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)))
180	179, 156	eqtrd 2795	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑋) = -(((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)))
181		csbnegg 11478	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → ⦋𝑋 / 𝑥⦌-𝐵 = -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
182	33, 181	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑋 / 𝑥⦌-𝐵 = -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
183	180, 182	oveq12d 7431	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑋) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌-𝐵) = (-(((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)) − -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))
184	95	recnd 11261	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − (⌊‘𝑌)) ∈ ℂ)
185	72	recnd 11261	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
186	184, 185	mulneg2d 11692	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · -𝐸) = -((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸))
187	12	recnd 11261	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 ∈ ℂ)
188	20	recnd 11261	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ)
189	187, 188	neg2subd 11610	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (-Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − -⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 − Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶))
190	11	recnd 11261	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))) → 𝐶 ∈ ℂ)
191	2, 190	fsumneg 15873	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))-𝐶 = -Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶)
192	191	oveq1d 7428	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))-𝐶 − -⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) = (-Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − -⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))
193	187, 188	negsubdi2d 11609	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → -(Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 − Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶))
194	189, 192, 193	3eqtr4d 2805	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))-𝐶 − -⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) = -(Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))
195	186, 194	oveq12d 7431	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · -𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))-𝐶 − -⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) = (-((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + -(Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)))
196	96	recnd 11261	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) ∈ ℂ)
197	196, 57	negdid 11606	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → -(((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) = (-((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + -(Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)))
198	195, 197	eqtr4d 2798	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · -𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))-𝐶 − -⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) = -(((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)))
199	97	renegcld 11665	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → -(((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) ∈ ℝ)
200	198, 199	eqeltrd 2860	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · -𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))-𝐶 − -⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) ∈ ℝ)
201		nfcv 2922	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · -𝐸)
202		nfcv 2922	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))-𝐶
203	15	nfneg 11477	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥-⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴
204	202, 24, 203	nfov 7443	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥(Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))-𝐶 − -⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)
205	201, 164, 204	nfov 7443	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥(((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · -𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))-𝐶 − -⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))
206		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → 𝑥 = 𝑌)
207	206, 26	oveq12d 7431	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝑥 − (⌊‘𝑥)) = (𝑌 − (⌊‘𝑌)))
208	69	negeqd 11475	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → -𝐵 = -𝐸)
209	207, 208	oveq12d 7431	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → ((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) = ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · -𝐸))
210	27	sumeq1d 15787	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))-𝐶)
211	17	negeqd 11475	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → -𝐴 = -⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)
212	210, 211	oveq12d 7431	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))-𝐶 − -⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))
213	209, 212	oveq12d 7431	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)) = (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · -𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))-𝐶 − -⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)))
214	22, 205, 213, 138	fvmptf 7008	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑆 ∧ (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · -𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))-𝐶 − -⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑌) = (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · -𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))-𝐶 − -⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)))
215	1, 200, 214	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑌) = (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · -𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))-𝐶 − -⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)))
216	215, 198	eqtrd 2795	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑌) = -(((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)))
217	208	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) → -𝐵 = -𝐸)
218	1, 217	csbied 3883	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑌 / 𝑥⦌-𝐵 = -𝐸)
219	216, 218	oveq12d 7431	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑌) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌-𝐵) = (-(((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) − -𝐸))
220	141, 183, 219	3brtr3d 5136	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (-(((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)) − -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ≤ (-(((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) − -𝐸))
221	90	recnd 11261	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)) ∈ ℂ)
222	221, 143	neg2subd 11610	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (-(((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)) − -⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 − (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴))))
223	97	recnd 11261	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) ∈ ℂ)
224	223, 185	neg2subd 11610	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (-(((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) − -𝐸) = (𝐸 − (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))))
225	220, 222, 224	3brtr3d 5136	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 − (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴))) ≤ (𝐸 − (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))))
226	221, 143	negsubdi2d 11609	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 − (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴))))
227	223, 185	negsubdi2d 11609	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -((((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) − 𝐸) = (𝐸 − (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))))
228	225, 226, 227	3brtr4d 5137	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ≤ -((((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) − 𝐸))
229	98, 91	lenegd 11817	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) − 𝐸) ≤ ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ↔ -((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ≤ -((((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) − 𝐸)))
230	228, 229	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) − 𝐸) ≤ ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))
231	73, 98, 91, 116, 230	letrd 11391	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) − 𝐸) ≤ ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))
232		1red 11233	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
233		nfv 1947	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐷 ≤ 𝑋
234		nfcv 2922	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥0
235		nfcv 2922	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥 ≤
236	234, 235, 161	nfbr 5152	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥0 ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵
237	233, 236	nfim 1929	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐷 ≤ 𝑋 → 0 ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
238		breq2 5107	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐷 ≤ 𝑥 ↔ 𝐷 ≤ 𝑋))
239	171	breq2d 5115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (0 ≤ 𝐵 ↔ 0 ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))
240	238, 239	imbi12d 347	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐷 ≤ 𝑥 → 0 ≤ 𝐵) ↔ (𝐷 ≤ 𝑋 → 0 ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)))
241	237, 240	rspc 3564	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → (∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐷 ≤ 𝑥 → 0 ≤ 𝐵) → (𝐷 ≤ 𝑋 → 0 ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)))
242	33, 103, 105, 241	syl3c 67	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
243		fracle1 13864	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 − (⌊‘𝑋)) ≤ 1)
244	74, 243	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − (⌊‘𝑋)) ≤ 1)
245	77, 232, 88, 242, 244	lemul1ad 12178	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ≤ (1 · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))
246	143	mullidd 11251	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) = ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
247	245, 246	breqtrd 5131	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
248	89, 88, 45, 247	leadd1dd 11852	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)) ≤ (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)))
249	90, 88, 45	lesubadd2d 11837	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ≤ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) ↔ (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)) ≤ (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴))))
250	248, 249	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ≤ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴))
251	73, 91, 45, 231, 250	letrd 11391	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) − 𝐸) ≤ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴))
252	21, 72	readdcld 11262	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) + 𝐸) ∈ ℝ)
253		fracge0 13865	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝑋 − (⌊‘𝑋)))
254	74, 253	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑋 − (⌊‘𝑋)))
255	77, 88, 254, 242	mulge0d 11815	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))
256	45, 89	addge02d 11827	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ↔ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) ≤ (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴))))
257	255, 256	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) ≤ (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)))
258	140	simpld 500	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑌) ≤ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · -𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))-𝐶 − -𝐴)))‘𝑋))
259	258, 216, 180	3brtr3d 5136	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -(((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) ≤ -(((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)))
260	90, 97	lenegd 11817	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)) ≤ (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) ↔ -(((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) ≤ -(((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴))))
261	259, 260	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)) ≤ (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)))
262		fracle1 13864	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ ℝ → (𝑌 − (⌊‘𝑌)) ≤ 1)
263	92, 262	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − (⌊‘𝑌)) ≤ 1)
264	95, 232, 72, 112, 263	lemul1ad 12178	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) ≤ (1 · 𝐸))
265	185	mullidd 11251	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐸) = 𝐸)
266	264, 265	breqtrd 5131	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) ≤ 𝐸)
267	96, 72, 21, 266	leadd1dd 11852	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) ≤ (𝐸 + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)))
268	185, 57	addcomd 11436	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸 + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) = ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) + 𝐸))
269	267, 268	breqtrd 5131	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝐸) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) ≤ ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) + 𝐸))
270	90, 97, 252, 261, 269	letrd 11391	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)) ≤ ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) + 𝐸))
271	45, 90, 252, 257, 270	letrd 11391	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) ≤ ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) + 𝐸))
272	45, 21, 72	absdifled 15524	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) − (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))) ≤ 𝐸 ↔ (((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) − 𝐸) ≤ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) ∧ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) ≤ ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) + 𝐸))))
273	251, 271, 272	mpbir2and 726	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) − (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))) ≤ 𝐸)
274	60, 273	eqbrtrd 5127	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋))) ≤ 𝐸)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  ⦋csb 3847   ⊆ wss 3899  {cpr 4586   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  ℂcc 11122  ℝcr 11123  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127   · cmul 11129  +∞cpnf 11264  ℝ^*cxr 11266   ≤ cle 11268   − cmin 11465  -cneg 11466  ℤcz 12615  ℤ_≥cuz 12887  (,)cioo 13398  ...cfz 13561  ⌊cfl 13851  abscabs 15321  Σcsu 15773   D cdv 26090

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-inf2 9620  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202  ax-addf 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7678  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12737  df-uz 12888  df-q 12998  df-rp 13043  df-xneg 13163  df-xadd 13164  df-xmul 13165  df-ioo 13402  df-ico 13404  df-icc 13405  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-fl 13853  df-seq 14066  df-exp 14126  df-hash 14395  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-clim 15575  df-sum 15774  df-struct 17239  df-sets 17256  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-ress 17323  df-plusg 17355  df-mulr 17356  df-starv 17357  df-sca 17358  df-vsca 17359  df-ip 17360  df-tset 17361  df-ple 17362  df-ds 17364  df-unif 17365  df-hom 17366  df-cco 17367  df-rest 17507  df-topn 17508  df-0g 17526  df-gsum 17527  df-topgen 17528  df-pt 17529  df-prds 17532  df-xrs 17588  df-qtop 17593  df-imas 17594  df-xps 17596  df-mre 17670  df-mrc 17671  df-acs 17673  df-mgm 18730  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-submnd 18892  df-mulg 19191  df-cntz 19444  df-cmn 19909  df-psmet 21577  df-xmet 21578  df-met 21579  df-bl 21580  df-mopn 21581  df-fbas 21582  df-fg 21583  df-cnfld 21586  df-top 23119  df-topon 23136  df-topsp 23158  df-bases 23171  df-cld 23244  df-ntr 23245  df-cls 23246  df-nei 23323  df-lp 23361  df-perf 23362  df-cn 23452  df-cnp 23453  df-haus 23540  df-cmp 23612  df-tx 23788  df-hmeo 23981  df-fil 24072  df-fm 24164  df-flim 24165  df-flf 24166  df-xms 24546  df-ms 24547  df-tms 24548  df-cncf 25106  df-limc 26093  df-dv 26094

This theorem is used by:  logfacbnd3  27459  log2sumbnd  27780