Theorem dff12 6777

Description: Alternate definition of a one-to-one function. (Contributed by NM, 31-Dec-1996.)

Assertion

Ref	Expression
dff12	⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑦∃*𝑥 𝑥𝐹𝑦))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐹

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥, 𝑦)   𝐵(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem dff12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-f1 6545	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ Fun ◡𝐹))
2		funcnv2 6608	. . 3 ⊢ (Fun ◡𝐹 ↔ ∀𝑦∃*𝑥 𝑥𝐹𝑦)
3	2	anbi2i 635	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ Fun ◡𝐹) ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑦∃*𝑥 𝑥𝐹𝑦))
4	1, 3	bitri 278	1 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑦∃*𝑥 𝑥𝐹𝑦))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401  ∀wal 1568  ∃*wmo 2568   class class class wbr 5112  ^◡ccnv 5663  Fun wfun 6534  ⟶wf 6536  –1-1→wf1 6537

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2738  ax-sep 5260  ax-pr 5407

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-mo 2570  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4491  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-br 5113  df-opab 5177  df-id 5559  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-fun 6542  df-f1 6545

This theorem is used by:  dff13  7256  fseqenlem2  10020  s4f1o  14966  2ndcdisj  23628  usgrexmplef  29624  phpreu  38287  sinnpoly  47660