Theorem dff12 6718

Description: Alternate definition of a one-to-one function. (Contributed by NM, 31-Dec-1996.)

Assertion

Ref	Expression
dff12	⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑦∃*𝑥 𝑥𝐹𝑦))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐹

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem dff12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-f1 6486	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ Fun ◡𝐹))
2		funcnv2 6549	. . 3 ⊢ (Fun ◡𝐹 ↔ ∀𝑦∃*𝑥 𝑥𝐹𝑦)
3	2	anbi2i 623	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ Fun ◡𝐹) ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑦∃*𝑥 𝑥𝐹𝑦))
4	1, 3	bitri 275	1 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑦∃*𝑥 𝑥𝐹𝑦))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1539  ∃*wmo 2533   class class class wbr 5091  ^◡ccnv 5615  Fun wfun 6475  ⟶wf 6477  –1-1→wf1 6478

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pr 5370

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-mo 2535  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3905  df-un 3907  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-br 5092  df-opab 5154  df-id 5511  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-fun 6483  df-f1 6486

This theorem is referenced by:  dff13  7188  fseqenlem2  9916  s4f1o  14825  2ndcdisj  23372  usgrexmplef  29238  phpreu  37650  sinnpoly  46928