MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fseqenlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fseqenlem2 9968
Description: Lemma for fseqen 9970. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fseqenlem.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
fseqenlem.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐴)
fseqenlem.f (πœ‘ β†’ 𝐹:(𝐴 Γ— 𝐴)–1-1-onto→𝐴)
fseqenlem.g 𝐺 = seqΟ‰((𝑛 ∈ V, 𝑓 ∈ V ↦ (π‘₯ ∈ (𝐴 ↑m suc 𝑛) ↦ ((π‘“β€˜(π‘₯ β†Ύ 𝑛))𝐹(π‘₯β€˜π‘›)))), {βŸ¨βˆ…, 𝐡⟩})
fseqenlem.k 𝐾 = (𝑦 ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ Ο‰ (𝐴 ↑m π‘˜) ↦ ⟨dom 𝑦, ((πΊβ€˜dom 𝑦)β€˜π‘¦)⟩)
Assertion
Ref Expression
fseqenlem2 (πœ‘ β†’ 𝐾:βˆͺ π‘˜ ∈ Ο‰ (𝐴 ↑m π‘˜)–1-1β†’(Ο‰ Γ— 𝐴))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐡   𝑓,𝑛,π‘₯,𝐹   𝑦,π‘˜,𝐺   𝑓,π‘˜,𝑦,𝐴,𝑛,π‘₯   πœ‘,π‘˜,𝑛,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑓)   𝐡(π‘₯,𝑓,π‘˜,𝑛)   𝐹(𝑦,π‘˜)   𝐺(π‘₯,𝑓,𝑛)   𝐾(π‘₯,𝑦,𝑓,π‘˜,𝑛)   𝑉(π‘₯,𝑦,𝑓,π‘˜,𝑛)

Proof of Theorem fseqenlem2
Dummy variables 𝑧 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eliun 4963 . . . . 5 (𝑦 ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ Ο‰ (𝐴 ↑m π‘˜) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ Ο‰ 𝑦 ∈ (𝐴 ↑m π‘˜))
2 elmapi 8794 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (𝐴 ↑m π‘˜) β†’ 𝑦:π‘˜βŸΆπ΄)
32ad2antll 728 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ Ο‰ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ↑m π‘˜))) β†’ 𝑦:π‘˜βŸΆπ΄)
43fdmd 6684 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ Ο‰ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ↑m π‘˜))) β†’ dom 𝑦 = π‘˜)
5 simprl 770 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ Ο‰ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ↑m π‘˜))) β†’ π‘˜ ∈ Ο‰)
64, 5eqeltrd 2838 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ Ο‰ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ↑m π‘˜))) β†’ dom 𝑦 ∈ Ο‰)
74fveq2d 6851 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ Ο‰ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ↑m π‘˜))) β†’ (πΊβ€˜dom 𝑦) = (πΊβ€˜π‘˜))
87fveq1d 6849 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ Ο‰ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ↑m π‘˜))) β†’ ((πΊβ€˜dom 𝑦)β€˜π‘¦) = ((πΊβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦))
9 fseqenlem.a . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
10 fseqenlem.b . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐴)
11 fseqenlem.f . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐹:(𝐴 Γ— 𝐴)–1-1-onto→𝐴)
12 fseqenlem.g . . . . . . . . . . . 12 𝐺 = seqΟ‰((𝑛 ∈ V, 𝑓 ∈ V ↦ (π‘₯ ∈ (𝐴 ↑m suc 𝑛) ↦ ((π‘“β€˜(π‘₯ β†Ύ 𝑛))𝐹(π‘₯β€˜π‘›)))), {βŸ¨βˆ…, 𝐡⟩})
139, 10, 11, 12fseqenlem1 9967 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ Ο‰) β†’ (πΊβ€˜π‘˜):(𝐴 ↑m π‘˜)–1-1→𝐴)
1413adantrr 716 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ Ο‰ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ↑m π‘˜))) β†’ (πΊβ€˜π‘˜):(𝐴 ↑m π‘˜)–1-1→𝐴)
15 f1f 6743 . . . . . . . . . 10 ((πΊβ€˜π‘˜):(𝐴 ↑m π‘˜)–1-1→𝐴 β†’ (πΊβ€˜π‘˜):(𝐴 ↑m π‘˜)⟢𝐴)
1614, 15syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ Ο‰ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ↑m π‘˜))) β†’ (πΊβ€˜π‘˜):(𝐴 ↑m π‘˜)⟢𝐴)
17 simprr 772 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ Ο‰ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ↑m π‘˜))) β†’ 𝑦 ∈ (𝐴 ↑m π‘˜))
1816, 17ffvelcdmd 7041 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ Ο‰ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ↑m π‘˜))) β†’ ((πΊβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦) ∈ 𝐴)
198, 18eqeltrd 2838 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ Ο‰ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ↑m π‘˜))) β†’ ((πΊβ€˜dom 𝑦)β€˜π‘¦) ∈ 𝐴)
206, 19opelxpd 5676 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ Ο‰ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ↑m π‘˜))) β†’ ⟨dom 𝑦, ((πΊβ€˜dom 𝑦)β€˜π‘¦)⟩ ∈ (Ο‰ Γ— 𝐴))
2120rexlimdvaa 3154 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ Ο‰ 𝑦 ∈ (𝐴 ↑m π‘˜) β†’ ⟨dom 𝑦, ((πΊβ€˜dom 𝑦)β€˜π‘¦)⟩ ∈ (Ο‰ Γ— 𝐴)))
221, 21biimtrid 241 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ Ο‰ (𝐴 ↑m π‘˜) β†’ ⟨dom 𝑦, ((πΊβ€˜dom 𝑦)β€˜π‘¦)⟩ ∈ (Ο‰ Γ— 𝐴)))
2322imp 408 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ Ο‰ (𝐴 ↑m π‘˜)) β†’ ⟨dom 𝑦, ((πΊβ€˜dom 𝑦)β€˜π‘¦)⟩ ∈ (Ο‰ Γ— 𝐴))
24 fseqenlem.k . . 3 𝐾 = (𝑦 ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ Ο‰ (𝐴 ↑m π‘˜) ↦ ⟨dom 𝑦, ((πΊβ€˜dom 𝑦)β€˜π‘¦)⟩)
2523, 24fmptd 7067 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐾:βˆͺ π‘˜ ∈ Ο‰ (𝐴 ↑m π‘˜)⟢(Ο‰ Γ— 𝐴))
26 ffun 6676 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾:βˆͺ π‘˜ ∈ Ο‰ (𝐴 ↑m π‘˜)⟢(Ο‰ Γ— 𝐴) β†’ Fun 𝐾)
27 funbrfv2b 6905 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Fun 𝐾 β†’ (𝑧𝐾𝑀 ↔ (𝑧 ∈ dom 𝐾 ∧ (πΎβ€˜π‘§) = 𝑀)))
2825, 26, 273syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝑧𝐾𝑀 ↔ (𝑧 ∈ dom 𝐾 ∧ (πΎβ€˜π‘§) = 𝑀)))
2928simplbda 501 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑧𝐾𝑀) β†’ (πΎβ€˜π‘§) = 𝑀)
3028simprbda 500 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑧𝐾𝑀) β†’ 𝑧 ∈ dom 𝐾)
3125fdmd 6684 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ dom 𝐾 = βˆͺ π‘˜ ∈ Ο‰ (𝐴 ↑m π‘˜))
3231adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑧𝐾𝑀) β†’ dom 𝐾 = βˆͺ π‘˜ ∈ Ο‰ (𝐴 ↑m π‘˜))
3330, 32eleqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑧𝐾𝑀) β†’ 𝑧 ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ Ο‰ (𝐴 ↑m π‘˜))
34 dmeq 5864 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑧 β†’ dom 𝑦 = dom 𝑧)
3534fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 𝑧 β†’ (πΊβ€˜dom 𝑦) = (πΊβ€˜dom 𝑧))
36 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 𝑧 β†’ 𝑦 = 𝑧)
3735, 36fveq12d 6854 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑧 β†’ ((πΊβ€˜dom 𝑦)β€˜π‘¦) = ((πΊβ€˜dom 𝑧)β€˜π‘§))
3834, 37opeq12d 4843 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑧 β†’ ⟨dom 𝑦, ((πΊβ€˜dom 𝑦)β€˜π‘¦)⟩ = ⟨dom 𝑧, ((πΊβ€˜dom 𝑧)β€˜π‘§)⟩)
39 opex 5426 . . . . . . . . . . . . . . 15 ⟨dom 𝑧, ((πΊβ€˜dom 𝑧)β€˜π‘§)⟩ ∈ V
4038, 24, 39fvmpt 6953 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ Ο‰ (𝐴 ↑m π‘˜) β†’ (πΎβ€˜π‘§) = ⟨dom 𝑧, ((πΊβ€˜dom 𝑧)β€˜π‘§)⟩)
4133, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑧𝐾𝑀) β†’ (πΎβ€˜π‘§) = ⟨dom 𝑧, ((πΊβ€˜dom 𝑧)β€˜π‘§)⟩)
4229, 41eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑧𝐾𝑀) β†’ 𝑀 = ⟨dom 𝑧, ((πΊβ€˜dom 𝑧)β€˜π‘§)⟩)
4342fveq2d 6851 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧𝐾𝑀) β†’ (1st β€˜π‘€) = (1st β€˜βŸ¨dom 𝑧, ((πΊβ€˜dom 𝑧)β€˜π‘§)⟩))
44 vex 3452 . . . . . . . . . . . . 13 𝑧 ∈ V
4544dmex 7853 . . . . . . . . . . . 12 dom 𝑧 ∈ V
46 fvex 6860 . . . . . . . . . . . 12 ((πΊβ€˜dom 𝑧)β€˜π‘§) ∈ V
4745, 46op1st 7934 . . . . . . . . . . 11 (1st β€˜βŸ¨dom 𝑧, ((πΊβ€˜dom 𝑧)β€˜π‘§)⟩) = dom 𝑧
4843, 47eqtrdi 2793 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧𝐾𝑀) β†’ (1st β€˜π‘€) = dom 𝑧)
4948fveq2d 6851 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧𝐾𝑀) β†’ (πΊβ€˜(1st β€˜π‘€)) = (πΊβ€˜dom 𝑧))
5049cnveqd 5836 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧𝐾𝑀) β†’ β—‘(πΊβ€˜(1st β€˜π‘€)) = β—‘(πΊβ€˜dom 𝑧))
5142fveq2d 6851 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧𝐾𝑀) β†’ (2nd β€˜π‘€) = (2nd β€˜βŸ¨dom 𝑧, ((πΊβ€˜dom 𝑧)β€˜π‘§)⟩))
5245, 46op2nd 7935 . . . . . . . . 9 (2nd β€˜βŸ¨dom 𝑧, ((πΊβ€˜dom 𝑧)β€˜π‘§)⟩) = ((πΊβ€˜dom 𝑧)β€˜π‘§)
5351, 52eqtrdi 2793 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧𝐾𝑀) β†’ (2nd β€˜π‘€) = ((πΊβ€˜dom 𝑧)β€˜π‘§))
5450, 53fveq12d 6854 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧𝐾𝑀) β†’ (β—‘(πΊβ€˜(1st β€˜π‘€))β€˜(2nd β€˜π‘€)) = (β—‘(πΊβ€˜dom 𝑧)β€˜((πΊβ€˜dom 𝑧)β€˜π‘§)))
55 eliun 4963 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ Ο‰ (𝐴 ↑m π‘˜) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ Ο‰ 𝑧 ∈ (𝐴 ↑m π‘˜))
56 elmapi 8794 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ (𝐴 ↑m π‘˜) β†’ 𝑧:π‘˜βŸΆπ΄)
5756adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘˜ ∈ Ο‰ ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ↑m π‘˜)) β†’ 𝑧:π‘˜βŸΆπ΄)
5857fdmd 6684 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘˜ ∈ Ο‰ ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ↑m π‘˜)) β†’ dom 𝑧 = π‘˜)
59 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘˜ ∈ Ο‰ ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ↑m π‘˜)) β†’ π‘˜ ∈ Ο‰)
6058, 59eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘˜ ∈ Ο‰ ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ↑m π‘˜)) β†’ dom 𝑧 ∈ Ο‰)
61 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘˜ ∈ Ο‰ ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ↑m π‘˜)) β†’ 𝑧 ∈ (𝐴 ↑m π‘˜))
6258oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘˜ ∈ Ο‰ ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ↑m π‘˜)) β†’ (𝐴 ↑m dom 𝑧) = (𝐴 ↑m π‘˜))
6361, 62eleqtrrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘˜ ∈ Ο‰ ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ↑m π‘˜)) β†’ 𝑧 ∈ (𝐴 ↑m dom 𝑧))
6460, 63jca 513 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘˜ ∈ Ο‰ ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ↑m π‘˜)) β†’ (dom 𝑧 ∈ Ο‰ ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ↑m dom 𝑧)))
6564rexlimiva 3145 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆƒπ‘˜ ∈ Ο‰ 𝑧 ∈ (𝐴 ↑m π‘˜) β†’ (dom 𝑧 ∈ Ο‰ ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ↑m dom 𝑧)))
6655, 65sylbi 216 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ Ο‰ (𝐴 ↑m π‘˜) β†’ (dom 𝑧 ∈ Ο‰ ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ↑m dom 𝑧)))
6733, 66syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧𝐾𝑀) β†’ (dom 𝑧 ∈ Ο‰ ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ↑m dom 𝑧)))
6867simpld 496 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧𝐾𝑀) β†’ dom 𝑧 ∈ Ο‰)
699, 10, 11, 12fseqenlem1 9967 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ dom 𝑧 ∈ Ο‰) β†’ (πΊβ€˜dom 𝑧):(𝐴 ↑m dom 𝑧)–1-1→𝐴)
7068, 69syldan 592 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧𝐾𝑀) β†’ (πΊβ€˜dom 𝑧):(𝐴 ↑m dom 𝑧)–1-1→𝐴)
71 f1f1orn 6800 . . . . . . . . 9 ((πΊβ€˜dom 𝑧):(𝐴 ↑m dom 𝑧)–1-1→𝐴 β†’ (πΊβ€˜dom 𝑧):(𝐴 ↑m dom 𝑧)–1-1-ontoβ†’ran (πΊβ€˜dom 𝑧))
7270, 71syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧𝐾𝑀) β†’ (πΊβ€˜dom 𝑧):(𝐴 ↑m dom 𝑧)–1-1-ontoβ†’ran (πΊβ€˜dom 𝑧))
7367simprd 497 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧𝐾𝑀) β†’ 𝑧 ∈ (𝐴 ↑m dom 𝑧))
74 f1ocnvfv1 7227 . . . . . . . 8 (((πΊβ€˜dom 𝑧):(𝐴 ↑m dom 𝑧)–1-1-ontoβ†’ran (πΊβ€˜dom 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ↑m dom 𝑧)) β†’ (β—‘(πΊβ€˜dom 𝑧)β€˜((πΊβ€˜dom 𝑧)β€˜π‘§)) = 𝑧)
7572, 73, 74syl2anc 585 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧𝐾𝑀) β†’ (β—‘(πΊβ€˜dom 𝑧)β€˜((πΊβ€˜dom 𝑧)β€˜π‘§)) = 𝑧)
7654, 75eqtr2d 2778 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧𝐾𝑀) β†’ 𝑧 = (β—‘(πΊβ€˜(1st β€˜π‘€))β€˜(2nd β€˜π‘€)))
7776ex 414 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑧𝐾𝑀 β†’ 𝑧 = (β—‘(πΊβ€˜(1st β€˜π‘€))β€˜(2nd β€˜π‘€))))
7877alrimiv 1931 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘§(𝑧𝐾𝑀 β†’ 𝑧 = (β—‘(πΊβ€˜(1st β€˜π‘€))β€˜(2nd β€˜π‘€))))
79 mo2icl 3677 . . . 4 (βˆ€π‘§(𝑧𝐾𝑀 β†’ 𝑧 = (β—‘(πΊβ€˜(1st β€˜π‘€))β€˜(2nd β€˜π‘€))) β†’ βˆƒ*𝑧 𝑧𝐾𝑀)
8078, 79syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒ*𝑧 𝑧𝐾𝑀)
8180alrimiv 1931 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘€βˆƒ*𝑧 𝑧𝐾𝑀)
82 dff12 6742 . 2 (𝐾:βˆͺ π‘˜ ∈ Ο‰ (𝐴 ↑m π‘˜)–1-1β†’(Ο‰ Γ— 𝐴) ↔ (𝐾:βˆͺ π‘˜ ∈ Ο‰ (𝐴 ↑m π‘˜)⟢(Ο‰ Γ— 𝐴) ∧ βˆ€π‘€βˆƒ*𝑧 𝑧𝐾𝑀))
8325, 81, 82sylanbrc 584 1 (πœ‘ β†’ 𝐾:βˆͺ π‘˜ ∈ Ο‰ (𝐴 ↑m π‘˜)–1-1β†’(Ο‰ Γ— 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397  βˆ€wal 1540   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒ*wmo 2537  βˆƒwrex 3074  Vcvv 3448  βˆ…c0 4287  {csn 4591  βŸ¨cop 4597  βˆͺ ciun 4959   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193   Γ— cxp 5636  β—‘ccnv 5637  dom cdm 5638  ran crn 5639   β†Ύ cres 5640  suc csuc 6324  Fun wfun 6495  βŸΆwf 6497  β€“1-1β†’wf1 6498  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6500  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ∈ cmpo 7364  Ο‰com 7807  1st c1st 7924  2nd c2nd 7925  seqΟ‰cseqom 8398   ↑m cmap 8772
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-seqom 8399  df-1o 8417  df-map 8774
This theorem is referenced by:  fseqen  9970  pwfseqlem5  10606
  Copyright terms: Public domain W3C validator