MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fseqenlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fseqenlem2 10020
Description: Lemma for fseqen 10022. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fseqenlem.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
fseqenlem.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐴)
fseqenlem.f (πœ‘ β†’ 𝐹:(𝐴 Γ— 𝐴)–1-1-onto→𝐴)
fseqenlem.g 𝐺 = seqΟ‰((𝑛 ∈ V, 𝑓 ∈ V ↦ (π‘₯ ∈ (𝐴 ↑m suc 𝑛) ↦ ((π‘“β€˜(π‘₯ β†Ύ 𝑛))𝐹(π‘₯β€˜π‘›)))), {βŸ¨βˆ…, 𝐡⟩})
fseqenlem.k 𝐾 = (𝑦 ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ Ο‰ (𝐴 ↑m π‘˜) ↦ ⟨dom 𝑦, ((πΊβ€˜dom 𝑦)β€˜π‘¦)⟩)
Assertion
Ref Expression
fseqenlem2 (πœ‘ β†’ 𝐾:βˆͺ π‘˜ ∈ Ο‰ (𝐴 ↑m π‘˜)–1-1β†’(Ο‰ Γ— 𝐴))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐡   𝑓,𝑛,π‘₯,𝐹   𝑦,π‘˜,𝐺   𝑓,π‘˜,𝑦,𝐴,𝑛,π‘₯   πœ‘,π‘˜,𝑛,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑓)   𝐡(π‘₯,𝑓,π‘˜,𝑛)   𝐹(𝑦,π‘˜)   𝐺(π‘₯,𝑓,𝑛)   𝐾(π‘₯,𝑦,𝑓,π‘˜,𝑛)   𝑉(π‘₯,𝑦,𝑓,π‘˜,𝑛)

Proof of Theorem fseqenlem2
Dummy variables 𝑧 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eliun 5002 . . . . 5 (𝑦 ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ Ο‰ (𝐴 ↑m π‘˜) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ Ο‰ 𝑦 ∈ (𝐴 ↑m π‘˜))
2 elmapi 8843 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (𝐴 ↑m π‘˜) β†’ 𝑦:π‘˜βŸΆπ΄)
32ad2antll 728 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ Ο‰ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ↑m π‘˜))) β†’ 𝑦:π‘˜βŸΆπ΄)
43fdmd 6729 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ Ο‰ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ↑m π‘˜))) β†’ dom 𝑦 = π‘˜)
5 simprl 770 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ Ο‰ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ↑m π‘˜))) β†’ π‘˜ ∈ Ο‰)
64, 5eqeltrd 2834 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ Ο‰ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ↑m π‘˜))) β†’ dom 𝑦 ∈ Ο‰)
74fveq2d 6896 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ Ο‰ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ↑m π‘˜))) β†’ (πΊβ€˜dom 𝑦) = (πΊβ€˜π‘˜))
87fveq1d 6894 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ Ο‰ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ↑m π‘˜))) β†’ ((πΊβ€˜dom 𝑦)β€˜π‘¦) = ((πΊβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦))
9 fseqenlem.a . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
10 fseqenlem.b . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐴)
11 fseqenlem.f . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐹:(𝐴 Γ— 𝐴)–1-1-onto→𝐴)
12 fseqenlem.g . . . . . . . . . . . 12 𝐺 = seqΟ‰((𝑛 ∈ V, 𝑓 ∈ V ↦ (π‘₯ ∈ (𝐴 ↑m suc 𝑛) ↦ ((π‘“β€˜(π‘₯ β†Ύ 𝑛))𝐹(π‘₯β€˜π‘›)))), {βŸ¨βˆ…, 𝐡⟩})
139, 10, 11, 12fseqenlem1 10019 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ Ο‰) β†’ (πΊβ€˜π‘˜):(𝐴 ↑m π‘˜)–1-1→𝐴)
1413adantrr 716 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ Ο‰ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ↑m π‘˜))) β†’ (πΊβ€˜π‘˜):(𝐴 ↑m π‘˜)–1-1→𝐴)
15 f1f 6788 . . . . . . . . . 10 ((πΊβ€˜π‘˜):(𝐴 ↑m π‘˜)–1-1→𝐴 β†’ (πΊβ€˜π‘˜):(𝐴 ↑m π‘˜)⟢𝐴)
1614, 15syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ Ο‰ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ↑m π‘˜))) β†’ (πΊβ€˜π‘˜):(𝐴 ↑m π‘˜)⟢𝐴)
17 simprr 772 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ Ο‰ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ↑m π‘˜))) β†’ 𝑦 ∈ (𝐴 ↑m π‘˜))
1816, 17ffvelcdmd 7088 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ Ο‰ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ↑m π‘˜))) β†’ ((πΊβ€˜π‘˜)β€˜π‘¦) ∈ 𝐴)
198, 18eqeltrd 2834 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ Ο‰ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ↑m π‘˜))) β†’ ((πΊβ€˜dom 𝑦)β€˜π‘¦) ∈ 𝐴)
206, 19opelxpd 5716 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ Ο‰ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ↑m π‘˜))) β†’ ⟨dom 𝑦, ((πΊβ€˜dom 𝑦)β€˜π‘¦)⟩ ∈ (Ο‰ Γ— 𝐴))
2120rexlimdvaa 3157 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ Ο‰ 𝑦 ∈ (𝐴 ↑m π‘˜) β†’ ⟨dom 𝑦, ((πΊβ€˜dom 𝑦)β€˜π‘¦)⟩ ∈ (Ο‰ Γ— 𝐴)))
221, 21biimtrid 241 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ Ο‰ (𝐴 ↑m π‘˜) β†’ ⟨dom 𝑦, ((πΊβ€˜dom 𝑦)β€˜π‘¦)⟩ ∈ (Ο‰ Γ— 𝐴)))
2322imp 408 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ Ο‰ (𝐴 ↑m π‘˜)) β†’ ⟨dom 𝑦, ((πΊβ€˜dom 𝑦)β€˜π‘¦)⟩ ∈ (Ο‰ Γ— 𝐴))
24 fseqenlem.k . . 3 𝐾 = (𝑦 ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ Ο‰ (𝐴 ↑m π‘˜) ↦ ⟨dom 𝑦, ((πΊβ€˜dom 𝑦)β€˜π‘¦)⟩)
2523, 24fmptd 7114 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐾:βˆͺ π‘˜ ∈ Ο‰ (𝐴 ↑m π‘˜)⟢(Ο‰ Γ— 𝐴))
26 ffun 6721 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾:βˆͺ π‘˜ ∈ Ο‰ (𝐴 ↑m π‘˜)⟢(Ο‰ Γ— 𝐴) β†’ Fun 𝐾)
27 funbrfv2b 6950 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Fun 𝐾 β†’ (𝑧𝐾𝑀 ↔ (𝑧 ∈ dom 𝐾 ∧ (πΎβ€˜π‘§) = 𝑀)))
2825, 26, 273syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝑧𝐾𝑀 ↔ (𝑧 ∈ dom 𝐾 ∧ (πΎβ€˜π‘§) = 𝑀)))
2928simplbda 501 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑧𝐾𝑀) β†’ (πΎβ€˜π‘§) = 𝑀)
3028simprbda 500 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑧𝐾𝑀) β†’ 𝑧 ∈ dom 𝐾)
3125fdmd 6729 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ dom 𝐾 = βˆͺ π‘˜ ∈ Ο‰ (𝐴 ↑m π‘˜))
3231adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑧𝐾𝑀) β†’ dom 𝐾 = βˆͺ π‘˜ ∈ Ο‰ (𝐴 ↑m π‘˜))
3330, 32eleqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑧𝐾𝑀) β†’ 𝑧 ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ Ο‰ (𝐴 ↑m π‘˜))
34 dmeq 5904 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑧 β†’ dom 𝑦 = dom 𝑧)
3534fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 𝑧 β†’ (πΊβ€˜dom 𝑦) = (πΊβ€˜dom 𝑧))
36 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 𝑧 β†’ 𝑦 = 𝑧)
3735, 36fveq12d 6899 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑧 β†’ ((πΊβ€˜dom 𝑦)β€˜π‘¦) = ((πΊβ€˜dom 𝑧)β€˜π‘§))
3834, 37opeq12d 4882 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑧 β†’ ⟨dom 𝑦, ((πΊβ€˜dom 𝑦)β€˜π‘¦)⟩ = ⟨dom 𝑧, ((πΊβ€˜dom 𝑧)β€˜π‘§)⟩)
39 opex 5465 . . . . . . . . . . . . . . 15 ⟨dom 𝑧, ((πΊβ€˜dom 𝑧)β€˜π‘§)⟩ ∈ V
4038, 24, 39fvmpt 6999 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ Ο‰ (𝐴 ↑m π‘˜) β†’ (πΎβ€˜π‘§) = ⟨dom 𝑧, ((πΊβ€˜dom 𝑧)β€˜π‘§)⟩)
4133, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑧𝐾𝑀) β†’ (πΎβ€˜π‘§) = ⟨dom 𝑧, ((πΊβ€˜dom 𝑧)β€˜π‘§)⟩)
4229, 41eqtr3d 2775 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑧𝐾𝑀) β†’ 𝑀 = ⟨dom 𝑧, ((πΊβ€˜dom 𝑧)β€˜π‘§)⟩)
4342fveq2d 6896 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧𝐾𝑀) β†’ (1st β€˜π‘€) = (1st β€˜βŸ¨dom 𝑧, ((πΊβ€˜dom 𝑧)β€˜π‘§)⟩))
44 vex 3479 . . . . . . . . . . . . 13 𝑧 ∈ V
4544dmex 7902 . . . . . . . . . . . 12 dom 𝑧 ∈ V
46 fvex 6905 . . . . . . . . . . . 12 ((πΊβ€˜dom 𝑧)β€˜π‘§) ∈ V
4745, 46op1st 7983 . . . . . . . . . . 11 (1st β€˜βŸ¨dom 𝑧, ((πΊβ€˜dom 𝑧)β€˜π‘§)⟩) = dom 𝑧
4843, 47eqtrdi 2789 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧𝐾𝑀) β†’ (1st β€˜π‘€) = dom 𝑧)
4948fveq2d 6896 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧𝐾𝑀) β†’ (πΊβ€˜(1st β€˜π‘€)) = (πΊβ€˜dom 𝑧))
5049cnveqd 5876 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧𝐾𝑀) β†’ β—‘(πΊβ€˜(1st β€˜π‘€)) = β—‘(πΊβ€˜dom 𝑧))
5142fveq2d 6896 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧𝐾𝑀) β†’ (2nd β€˜π‘€) = (2nd β€˜βŸ¨dom 𝑧, ((πΊβ€˜dom 𝑧)β€˜π‘§)⟩))
5245, 46op2nd 7984 . . . . . . . . 9 (2nd β€˜βŸ¨dom 𝑧, ((πΊβ€˜dom 𝑧)β€˜π‘§)⟩) = ((πΊβ€˜dom 𝑧)β€˜π‘§)
5351, 52eqtrdi 2789 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧𝐾𝑀) β†’ (2nd β€˜π‘€) = ((πΊβ€˜dom 𝑧)β€˜π‘§))
5450, 53fveq12d 6899 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧𝐾𝑀) β†’ (β—‘(πΊβ€˜(1st β€˜π‘€))β€˜(2nd β€˜π‘€)) = (β—‘(πΊβ€˜dom 𝑧)β€˜((πΊβ€˜dom 𝑧)β€˜π‘§)))
55 eliun 5002 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ Ο‰ (𝐴 ↑m π‘˜) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ Ο‰ 𝑧 ∈ (𝐴 ↑m π‘˜))
56 elmapi 8843 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ (𝐴 ↑m π‘˜) β†’ 𝑧:π‘˜βŸΆπ΄)
5756adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘˜ ∈ Ο‰ ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ↑m π‘˜)) β†’ 𝑧:π‘˜βŸΆπ΄)
5857fdmd 6729 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘˜ ∈ Ο‰ ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ↑m π‘˜)) β†’ dom 𝑧 = π‘˜)
59 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘˜ ∈ Ο‰ ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ↑m π‘˜)) β†’ π‘˜ ∈ Ο‰)
6058, 59eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘˜ ∈ Ο‰ ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ↑m π‘˜)) β†’ dom 𝑧 ∈ Ο‰)
61 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘˜ ∈ Ο‰ ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ↑m π‘˜)) β†’ 𝑧 ∈ (𝐴 ↑m π‘˜))
6258oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘˜ ∈ Ο‰ ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ↑m π‘˜)) β†’ (𝐴 ↑m dom 𝑧) = (𝐴 ↑m π‘˜))
6361, 62eleqtrrd 2837 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘˜ ∈ Ο‰ ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ↑m π‘˜)) β†’ 𝑧 ∈ (𝐴 ↑m dom 𝑧))
6460, 63jca 513 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘˜ ∈ Ο‰ ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ↑m π‘˜)) β†’ (dom 𝑧 ∈ Ο‰ ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ↑m dom 𝑧)))
6564rexlimiva 3148 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆƒπ‘˜ ∈ Ο‰ 𝑧 ∈ (𝐴 ↑m π‘˜) β†’ (dom 𝑧 ∈ Ο‰ ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ↑m dom 𝑧)))
6655, 65sylbi 216 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ Ο‰ (𝐴 ↑m π‘˜) β†’ (dom 𝑧 ∈ Ο‰ ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ↑m dom 𝑧)))
6733, 66syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧𝐾𝑀) β†’ (dom 𝑧 ∈ Ο‰ ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ↑m dom 𝑧)))
6867simpld 496 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧𝐾𝑀) β†’ dom 𝑧 ∈ Ο‰)
699, 10, 11, 12fseqenlem1 10019 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ dom 𝑧 ∈ Ο‰) β†’ (πΊβ€˜dom 𝑧):(𝐴 ↑m dom 𝑧)–1-1→𝐴)
7068, 69syldan 592 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧𝐾𝑀) β†’ (πΊβ€˜dom 𝑧):(𝐴 ↑m dom 𝑧)–1-1→𝐴)
71 f1f1orn 6845 . . . . . . . . 9 ((πΊβ€˜dom 𝑧):(𝐴 ↑m dom 𝑧)–1-1→𝐴 β†’ (πΊβ€˜dom 𝑧):(𝐴 ↑m dom 𝑧)–1-1-ontoβ†’ran (πΊβ€˜dom 𝑧))
7270, 71syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧𝐾𝑀) β†’ (πΊβ€˜dom 𝑧):(𝐴 ↑m dom 𝑧)–1-1-ontoβ†’ran (πΊβ€˜dom 𝑧))
7367simprd 497 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧𝐾𝑀) β†’ 𝑧 ∈ (𝐴 ↑m dom 𝑧))
74 f1ocnvfv1 7274 . . . . . . . 8 (((πΊβ€˜dom 𝑧):(𝐴 ↑m dom 𝑧)–1-1-ontoβ†’ran (πΊβ€˜dom 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ↑m dom 𝑧)) β†’ (β—‘(πΊβ€˜dom 𝑧)β€˜((πΊβ€˜dom 𝑧)β€˜π‘§)) = 𝑧)
7572, 73, 74syl2anc 585 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧𝐾𝑀) β†’ (β—‘(πΊβ€˜dom 𝑧)β€˜((πΊβ€˜dom 𝑧)β€˜π‘§)) = 𝑧)
7654, 75eqtr2d 2774 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧𝐾𝑀) β†’ 𝑧 = (β—‘(πΊβ€˜(1st β€˜π‘€))β€˜(2nd β€˜π‘€)))
7776ex 414 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑧𝐾𝑀 β†’ 𝑧 = (β—‘(πΊβ€˜(1st β€˜π‘€))β€˜(2nd β€˜π‘€))))
7877alrimiv 1931 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘§(𝑧𝐾𝑀 β†’ 𝑧 = (β—‘(πΊβ€˜(1st β€˜π‘€))β€˜(2nd β€˜π‘€))))
79 mo2icl 3711 . . . 4 (βˆ€π‘§(𝑧𝐾𝑀 β†’ 𝑧 = (β—‘(πΊβ€˜(1st β€˜π‘€))β€˜(2nd β€˜π‘€))) β†’ βˆƒ*𝑧 𝑧𝐾𝑀)
8078, 79syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒ*𝑧 𝑧𝐾𝑀)
8180alrimiv 1931 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘€βˆƒ*𝑧 𝑧𝐾𝑀)
82 dff12 6787 . 2 (𝐾:βˆͺ π‘˜ ∈ Ο‰ (𝐴 ↑m π‘˜)–1-1β†’(Ο‰ Γ— 𝐴) ↔ (𝐾:βˆͺ π‘˜ ∈ Ο‰ (𝐴 ↑m π‘˜)⟢(Ο‰ Γ— 𝐴) ∧ βˆ€π‘€βˆƒ*𝑧 𝑧𝐾𝑀))
8325, 81, 82sylanbrc 584 1 (πœ‘ β†’ 𝐾:βˆͺ π‘˜ ∈ Ο‰ (𝐴 ↑m π‘˜)–1-1β†’(Ο‰ Γ— 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397  βˆ€wal 1540   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒ*wmo 2533  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475  βˆ…c0 4323  {csn 4629  βŸ¨cop 4635  βˆͺ ciun 4998   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   Γ— cxp 5675  β—‘ccnv 5676  dom cdm 5677  ran crn 5678   β†Ύ cres 5679  suc csuc 6367  Fun wfun 6538  βŸΆwf 6540  β€“1-1β†’wf1 6541  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6543  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∈ cmpo 7411  Ο‰com 7855  1st c1st 7973  2nd c2nd 7974  seqΟ‰cseqom 8447   ↑m cmap 8820
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-seqom 8448  df-1o 8466  df-map 8822
This theorem is referenced by:  fseqen  10022  pwfseqlem5  10658
  Copyright terms: Public domain W3C validator