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Theorem 2ndcdisj 22070
Description: Any disjoint family of open sets in a second-countable space is countable. (The sets are required to be nonempty because otherwise there could be many empty sets in the family.) (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.) (Revised by NM, 17-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
2ndcdisj ((𝐽 ∈ 2ndω ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝐽 ∖ {∅}) ∧ ∀𝑦∃*𝑥𝐴 𝑦𝐵) → 𝐴 ≼ ω)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝑥,𝐽
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐽(𝑦)

Proof of Theorem 2ndcdisj
Dummy variables 𝑓 𝑏 𝑤 𝑧 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 is2ndc 22060 . . 3 (𝐽 ∈ 2ndω ↔ ∃𝑏 ∈ TopBases (𝑏 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑏) = 𝐽))
2 omex 9105 . . . . . . 7 ω ∈ V
32brdom 8519 . . . . . 6 (𝑏 ≼ ω ↔ ∃𝑓 𝑓:𝑏1-1→ω)
4 ssrab2 4042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})} ⊆ ran 𝑓
5 f1f 6567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑓:𝑏1-1→ω → 𝑓:𝑏⟶ω)
65frnd 6512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑓:𝑏1-1→ω → ran 𝑓 ⊆ ω)
76adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) → ran 𝑓 ⊆ ω)
84, 7sstrid 3964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) → {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})} ⊆ ω)
98adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) ∧ (𝑥𝐴𝐵 ∈ ((topGen‘𝑏) ∖ {∅}))) → {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})} ⊆ ω)
10 eldifsn 4704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐵 ∈ ((topGen‘𝑏) ∖ {∅}) ↔ (𝐵 ∈ (topGen‘𝑏) ∧ 𝐵 ≠ ∅))
11 n0 4293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦𝐵)
12 tg2 21579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐵 ∈ (topGen‘𝑏) ∧ 𝑦𝐵) → ∃𝑧𝑏 (𝑦𝑧𝑧𝐵))
13 omsson 7580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ω ⊆ On
148, 13sstrdi 3965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) → {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})} ⊆ On)
1514ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (𝑧𝑏 ∧ (𝑦𝑧𝑧𝐵))) → {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})} ⊆ On)
16 f1fn 6568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑓:𝑏1-1→ω → 𝑓 Fn 𝑏)
1716ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (𝑧𝑏 ∧ (𝑦𝑧𝑧𝐵))) → 𝑓 Fn 𝑏)
18 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (𝑧𝑏 ∧ (𝑦𝑧𝑧𝐵))) → 𝑧𝑏)
19 fnfvelrn 6841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑓 Fn 𝑏𝑧𝑏) → (𝑓𝑧) ∈ ran 𝑓)
2017, 18, 19syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (𝑧𝑏 ∧ (𝑦𝑧𝑧𝐵))) → (𝑓𝑧) ∈ ran 𝑓)
21 f1f1orn 6619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑓:𝑏1-1→ω → 𝑓:𝑏1-1-onto→ran 𝑓)
2221ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (𝑧𝑏 ∧ (𝑦𝑧𝑧𝐵))) → 𝑓:𝑏1-1-onto→ran 𝑓)
23 f1ocnvfv1 7027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑓:𝑏1-1-onto→ran 𝑓𝑧𝑏) → (𝑓‘(𝑓𝑧)) = 𝑧)
2422, 18, 23syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (𝑧𝑏 ∧ (𝑦𝑧𝑧𝐵))) → (𝑓‘(𝑓𝑧)) = 𝑧)
25 simprrr 781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (𝑧𝑏 ∧ (𝑦𝑧𝑧𝐵))) → 𝑧𝐵)
26 velpw 4527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑧 ∈ 𝒫 𝐵𝑧𝐵)
2725, 26sylibr 237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (𝑧𝑏 ∧ (𝑦𝑧𝑧𝐵))) → 𝑧 ∈ 𝒫 𝐵)
28 simprrl 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (𝑧𝑏 ∧ (𝑦𝑧𝑧𝐵))) → 𝑦𝑧)
2928ne0d 4284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (𝑧𝑏 ∧ (𝑦𝑧𝑧𝐵))) → 𝑧 ≠ ∅)
30 eldifsn 4704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅}) ↔ (𝑧 ∈ 𝒫 𝐵𝑧 ≠ ∅))
3127, 29, 30sylanbrc 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (𝑧𝑏 ∧ (𝑦𝑧𝑧𝐵))) → 𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅}))
3224, 31eqeltrd 2916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (𝑧𝑏 ∧ (𝑦𝑧𝑧𝐵))) → (𝑓‘(𝑓𝑧)) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅}))
33 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑛 = (𝑓𝑧) → (𝑓𝑛) = (𝑓‘(𝑓𝑧)))
3433eleq1d 2900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑛 = (𝑓𝑧) → ((𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅}) ↔ (𝑓‘(𝑓𝑧)) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})))
3534rspcev 3609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑓𝑧) ∈ ran 𝑓 ∧ (𝑓‘(𝑓𝑧)) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})) → ∃𝑛 ∈ ran 𝑓(𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅}))
3620, 32, 35syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (𝑧𝑏 ∧ (𝑦𝑧𝑧𝐵))) → ∃𝑛 ∈ ran 𝑓(𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅}))
37 rabn0 4322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ({𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})} ≠ ∅ ↔ ∃𝑛 ∈ ran 𝑓(𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅}))
3836, 37sylibr 237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (𝑧𝑏 ∧ (𝑦𝑧𝑧𝐵))) → {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})} ≠ ∅)
39 onint 7506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (({𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})} ⊆ On ∧ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})} ≠ ∅) → {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})} ∈ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})})
4015, 38, 39syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (𝑧𝑏 ∧ (𝑦𝑧𝑧𝐵))) → {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})} ∈ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})})
4140rexlimdvaa 3277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) ∧ 𝑥𝐴) → (∃𝑧𝑏 (𝑦𝑧𝑧𝐵) → {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})} ∈ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})}))
4212, 41syl5 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐵 ∈ (topGen‘𝑏) ∧ 𝑦𝐵) → {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})} ∈ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})}))
4342expdimp 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝐵 ∈ (topGen‘𝑏)) → (𝑦𝐵 {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})} ∈ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})}))
4443exlimdv 1935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝐵 ∈ (topGen‘𝑏)) → (∃𝑦 𝑦𝐵 {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})} ∈ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})}))
4511, 44syl5bi 245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝐵 ∈ (topGen‘𝑏)) → (𝐵 ≠ ∅ → {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})} ∈ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})}))
4645expimpd 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐵 ∈ (topGen‘𝑏) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})} ∈ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})}))
4710, 46syl5bi 245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐵 ∈ ((topGen‘𝑏) ∖ {∅}) → {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})} ∈ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})}))
4847impr 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) ∧ (𝑥𝐴𝐵 ∈ ((topGen‘𝑏) ∖ {∅}))) → {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})} ∈ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})})
499, 48sseldd 3954 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) ∧ (𝑥𝐴𝐵 ∈ ((topGen‘𝑏) ∖ {∅}))) → {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})} ∈ ω)
5049expr 460 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐵 ∈ ((topGen‘𝑏) ∖ {∅}) → {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})} ∈ ω))
5150ralimdva 3172 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) → (∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ((topGen‘𝑏) ∖ {∅}) → ∀𝑥𝐴 {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})} ∈ ω))
5251imp 410 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ((topGen‘𝑏) ∖ {∅})) → ∀𝑥𝐴 {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})} ∈ ω)
5352adantrr 716 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) ∧ (∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ((topGen‘𝑏) ∖ {∅}) ∧ ∀𝑦∃*𝑥𝐴 𝑦𝐵)) → ∀𝑥𝐴 {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})} ∈ ω)
54 eqid 2824 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝐴 {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})}) = (𝑥𝐴 {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})})
5554fmpt 6867 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑥𝐴 {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})} ∈ ω ↔ (𝑥𝐴 {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})}):𝐴⟶ω)
5653, 55sylib 221 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) ∧ (∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ((topGen‘𝑏) ∖ {∅}) ∧ ∀𝑦∃*𝑥𝐴 𝑦𝐵)) → (𝑥𝐴 {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})}):𝐴⟶ω)
57 neeq1 3076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑓𝑧) = if((𝑓𝑧) ≠ ∅, (𝑓𝑧), 1o) → ((𝑓𝑧) ≠ ∅ ↔ if((𝑓𝑧) ≠ ∅, (𝑓𝑧), 1o) ≠ ∅))
58 neeq1 3076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1o = if((𝑓𝑧) ≠ ∅, (𝑓𝑧), 1o) → (1o ≠ ∅ ↔ if((𝑓𝑧) ≠ ∅, (𝑓𝑧), 1o) ≠ ∅))
59 1n0 8117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1o ≠ ∅
6057, 58, 59elimhyp 4513 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 if((𝑓𝑧) ≠ ∅, (𝑓𝑧), 1o) ≠ ∅
61 n0 4293 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (if((𝑓𝑧) ≠ ∅, (𝑓𝑧), 1o) ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ if((𝑓𝑧) ≠ ∅, (𝑓𝑧), 1o))
6260, 61mpbi 233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑦 𝑦 ∈ if((𝑓𝑧) ≠ ∅, (𝑓𝑧), 1o)
63 19.29r 1876 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((∃𝑦 𝑦 ∈ if((𝑓𝑧) ≠ ∅, (𝑓𝑧), 1o) ∧ ∀𝑦∃*𝑥𝐴 𝑦𝐵) → ∃𝑦(𝑦 ∈ if((𝑓𝑧) ≠ ∅, (𝑓𝑧), 1o) ∧ ∃*𝑥𝐴 𝑦𝐵))
6462, 63mpan 689 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑦∃*𝑥𝐴 𝑦𝐵 → ∃𝑦(𝑦 ∈ if((𝑓𝑧) ≠ ∅, (𝑓𝑧), 1o) ∧ ∃*𝑥𝐴 𝑦𝐵))
65 eleq1 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑧 = {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})} → (𝑧 ∈ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})} ↔ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})} ∈ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})}))
6648, 65syl5ibrcom 250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) ∧ (𝑥𝐴𝐵 ∈ ((topGen‘𝑏) ∖ {∅}))) → (𝑧 = {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})} → 𝑧 ∈ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})}))
6766imp 410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) ∧ (𝑥𝐴𝐵 ∈ ((topGen‘𝑏) ∖ {∅}))) ∧ 𝑧 = {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})}) → 𝑧 ∈ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})})
68 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑛 = 𝑧 → (𝑓𝑛) = (𝑓𝑧))
6968eleq1d 2900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑛 = 𝑧 → ((𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅}) ↔ (𝑓𝑧) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})))
7069elrab 3666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑧 ∈ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})} ↔ (𝑧 ∈ ran 𝑓 ∧ (𝑓𝑧) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})))
7170simprbi 500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑧 ∈ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})} → (𝑓𝑧) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅}))
7267, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) ∧ (𝑥𝐴𝐵 ∈ ((topGen‘𝑏) ∖ {∅}))) ∧ 𝑧 = {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})}) → (𝑓𝑧) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅}))
73 eldifsn 4704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑓𝑧) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅}) ↔ ((𝑓𝑧) ∈ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑓𝑧) ≠ ∅))
7472, 73sylib 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) ∧ (𝑥𝐴𝐵 ∈ ((topGen‘𝑏) ∖ {∅}))) ∧ 𝑧 = {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})}) → ((𝑓𝑧) ∈ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑓𝑧) ≠ ∅))
7574simprd 499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) ∧ (𝑥𝐴𝐵 ∈ ((topGen‘𝑏) ∖ {∅}))) ∧ 𝑧 = {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})}) → (𝑓𝑧) ≠ ∅)
7675iftrued 4458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) ∧ (𝑥𝐴𝐵 ∈ ((topGen‘𝑏) ∖ {∅}))) ∧ 𝑧 = {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})}) → if((𝑓𝑧) ≠ ∅, (𝑓𝑧), 1o) = (𝑓𝑧))
7774simpld 498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) ∧ (𝑥𝐴𝐵 ∈ ((topGen‘𝑏) ∖ {∅}))) ∧ 𝑧 = {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})}) → (𝑓𝑧) ∈ 𝒫 𝐵)
7877elpwid 4533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) ∧ (𝑥𝐴𝐵 ∈ ((topGen‘𝑏) ∖ {∅}))) ∧ 𝑧 = {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})}) → (𝑓𝑧) ⊆ 𝐵)
7976, 78eqsstrd 3991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) ∧ (𝑥𝐴𝐵 ∈ ((topGen‘𝑏) ∖ {∅}))) ∧ 𝑧 = {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})}) → if((𝑓𝑧) ≠ ∅, (𝑓𝑧), 1o) ⊆ 𝐵)
8079sseld 3952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) ∧ (𝑥𝐴𝐵 ∈ ((topGen‘𝑏) ∖ {∅}))) ∧ 𝑧 = {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})}) → (𝑦 ∈ if((𝑓𝑧) ≠ ∅, (𝑓𝑧), 1o) → 𝑦𝐵))
8180exp31 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) → ((𝑥𝐴𝐵 ∈ ((topGen‘𝑏) ∖ {∅})) → (𝑧 = {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})} → (𝑦 ∈ if((𝑓𝑧) ≠ ∅, (𝑓𝑧), 1o) → 𝑦𝐵))))
8281com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) → (𝑧 = {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})} → ((𝑥𝐴𝐵 ∈ ((topGen‘𝑏) ∖ {∅})) → (𝑦 ∈ if((𝑓𝑧) ≠ ∅, (𝑓𝑧), 1o) → 𝑦𝐵))))
8382exp4a 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) → (𝑧 = {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})} → (𝑥𝐴 → (𝐵 ∈ ((topGen‘𝑏) ∖ {∅}) → (𝑦 ∈ if((𝑓𝑧) ≠ ∅, (𝑓𝑧), 1o) → 𝑦𝐵)))))
8483com25 99 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) → (𝑦 ∈ if((𝑓𝑧) ≠ ∅, (𝑓𝑧), 1o) → (𝑥𝐴 → (𝐵 ∈ ((topGen‘𝑏) ∖ {∅}) → (𝑧 = {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})} → 𝑦𝐵)))))
8584imp31 421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) ∧ 𝑦 ∈ if((𝑓𝑧) ≠ ∅, (𝑓𝑧), 1o)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐵 ∈ ((topGen‘𝑏) ∖ {∅}) → (𝑧 = {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})} → 𝑦𝐵)))
8685ralimdva 3172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) ∧ 𝑦 ∈ if((𝑓𝑧) ≠ ∅, (𝑓𝑧), 1o)) → (∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ((topGen‘𝑏) ∖ {∅}) → ∀𝑥𝐴 (𝑧 = {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})} → 𝑦𝐵)))
8786imp 410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) ∧ 𝑦 ∈ if((𝑓𝑧) ≠ ∅, (𝑓𝑧), 1o)) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ((topGen‘𝑏) ∖ {∅})) → ∀𝑥𝐴 (𝑧 = {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})} → 𝑦𝐵))
8887an32s 651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ((topGen‘𝑏) ∖ {∅})) ∧ 𝑦 ∈ if((𝑓𝑧) ≠ ∅, (𝑓𝑧), 1o)) → ∀𝑥𝐴 (𝑧 = {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})} → 𝑦𝐵))
89 rmoim 3717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∀𝑥𝐴 (𝑧 = {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})} → 𝑦𝐵) → (∃*𝑥𝐴 𝑦𝐵 → ∃*𝑥𝐴 𝑧 = {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})}))
9088, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ((topGen‘𝑏) ∖ {∅})) ∧ 𝑦 ∈ if((𝑓𝑧) ≠ ∅, (𝑓𝑧), 1o)) → (∃*𝑥𝐴 𝑦𝐵 → ∃*𝑥𝐴 𝑧 = {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})}))
9190expimpd 457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ((topGen‘𝑏) ∖ {∅})) → ((𝑦 ∈ if((𝑓𝑧) ≠ ∅, (𝑓𝑧), 1o) ∧ ∃*𝑥𝐴 𝑦𝐵) → ∃*𝑥𝐴 𝑧 = {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})}))
9291exlimdv 1935 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ((topGen‘𝑏) ∖ {∅})) → (∃𝑦(𝑦 ∈ if((𝑓𝑧) ≠ ∅, (𝑓𝑧), 1o) ∧ ∃*𝑥𝐴 𝑦𝐵) → ∃*𝑥𝐴 𝑧 = {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})}))
9364, 92syl5 34 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ((topGen‘𝑏) ∖ {∅})) → (∀𝑦∃*𝑥𝐴 𝑦𝐵 → ∃*𝑥𝐴 𝑧 = {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})}))
9493impr 458 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) ∧ (∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ((topGen‘𝑏) ∖ {∅}) ∧ ∀𝑦∃*𝑥𝐴 𝑦𝐵)) → ∃*𝑥𝐴 𝑧 = {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})})
95 nfcv 2982 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥𝑤
96 nfmpt1 5151 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥(𝑥𝐴 {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})})
97 nfcv 2982 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥𝑧
9895, 96, 97nfbr 5100 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥 𝑤(𝑥𝐴 {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})})𝑧
99 nfv 1916 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑤(𝑥𝐴𝑧 = {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})})
100 breq1 5056 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤(𝑥𝐴 {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})})𝑧𝑥(𝑥𝐴 {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})})𝑧))
101 df-br 5054 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥(𝑥𝐴 {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})})𝑧 ↔ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ (𝑥𝐴 {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})}))
102 df-mpt 5134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥𝐴 {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})}) = {⟨𝑥, 𝑧⟩ ∣ (𝑥𝐴𝑧 = {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})})}
103102eleq2i 2907 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ (𝑥𝐴 {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})}) ↔ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ {⟨𝑥, 𝑧⟩ ∣ (𝑥𝐴𝑧 = {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})})})
104 opabidw 5400 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ {⟨𝑥, 𝑧⟩ ∣ (𝑥𝐴𝑧 = {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})})} ↔ (𝑥𝐴𝑧 = {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})}))
105101, 103, 1043bitri 300 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥(𝑥𝐴 {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})})𝑧 ↔ (𝑥𝐴𝑧 = {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})}))
106100, 105syl6bb 290 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤(𝑥𝐴 {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})})𝑧 ↔ (𝑥𝐴𝑧 = {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})})))
10798, 99, 106cbvmow 2689 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∃*𝑤 𝑤(𝑥𝐴 {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})})𝑧 ↔ ∃*𝑥(𝑥𝐴𝑧 = {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})}))
108 df-rmo 3141 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∃*𝑥𝐴 𝑧 = {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})} ↔ ∃*𝑥(𝑥𝐴𝑧 = {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})}))
109107, 108bitr4i 281 . . . . . . . . . . . . . 14 (∃*𝑤 𝑤(𝑥𝐴 {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})})𝑧 ↔ ∃*𝑥𝐴 𝑧 = {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})})
11094, 109sylibr 237 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) ∧ (∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ((topGen‘𝑏) ∖ {∅}) ∧ ∀𝑦∃*𝑥𝐴 𝑦𝐵)) → ∃*𝑤 𝑤(𝑥𝐴 {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})})𝑧)
111110alrimiv 1929 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) ∧ (∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ((topGen‘𝑏) ∖ {∅}) ∧ ∀𝑦∃*𝑥𝐴 𝑦𝐵)) → ∀𝑧∃*𝑤 𝑤(𝑥𝐴 {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})})𝑧)
112 dff12 6566 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝐴 {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})}):𝐴1-1→ω ↔ ((𝑥𝐴 {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})}):𝐴⟶ω ∧ ∀𝑧∃*𝑤 𝑤(𝑥𝐴 {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})})𝑧))
11356, 111, 112sylanbrc 586 . . . . . . . . . . 11 (((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) ∧ (∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ((topGen‘𝑏) ∖ {∅}) ∧ ∀𝑦∃*𝑥𝐴 𝑦𝐵)) → (𝑥𝐴 {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})}):𝐴1-1→ω)
114 f1domg 8527 . . . . . . . . . . 11 (ω ∈ V → ((𝑥𝐴 {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})}):𝐴1-1→ω → 𝐴 ≼ ω))
1152, 113, 114mpsyl 68 . . . . . . . . . 10 (((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) ∧ (∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ((topGen‘𝑏) ∖ {∅}) ∧ ∀𝑦∃*𝑥𝐴 𝑦𝐵)) → 𝐴 ≼ ω)
116115ex 416 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) → ((∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ((topGen‘𝑏) ∖ {∅}) ∧ ∀𝑦∃*𝑥𝐴 𝑦𝐵) → 𝐴 ≼ ω))
117 difeq1 4078 . . . . . . . . . . . . 13 ((topGen‘𝑏) = 𝐽 → ((topGen‘𝑏) ∖ {∅}) = (𝐽 ∖ {∅}))
118117eleq2d 2901 . . . . . . . . . . . 12 ((topGen‘𝑏) = 𝐽 → (𝐵 ∈ ((topGen‘𝑏) ∖ {∅}) ↔ 𝐵 ∈ (𝐽 ∖ {∅})))
119118ralbidv 3192 . . . . . . . . . . 11 ((topGen‘𝑏) = 𝐽 → (∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ((topGen‘𝑏) ∖ {∅}) ↔ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝐽 ∖ {∅})))
120119anbi1d 632 . . . . . . . . . 10 ((topGen‘𝑏) = 𝐽 → ((∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ((topGen‘𝑏) ∖ {∅}) ∧ ∀𝑦∃*𝑥𝐴 𝑦𝐵) ↔ (∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝐽 ∖ {∅}) ∧ ∀𝑦∃*𝑥𝐴 𝑦𝐵)))
121120imbi1d 345 . . . . . . . . 9 ((topGen‘𝑏) = 𝐽 → (((∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ((topGen‘𝑏) ∖ {∅}) ∧ ∀𝑦∃*𝑥𝐴 𝑦𝐵) → 𝐴 ≼ ω) ↔ ((∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝐽 ∖ {∅}) ∧ ∀𝑦∃*𝑥𝐴 𝑦𝐵) → 𝐴 ≼ ω)))
122116, 121syl5ibcom 248 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) → ((topGen‘𝑏) = 𝐽 → ((∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝐽 ∖ {∅}) ∧ ∀𝑦∃*𝑥𝐴 𝑦𝐵) → 𝐴 ≼ ω)))
123122ex 416 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ TopBases → (𝑓:𝑏1-1→ω → ((topGen‘𝑏) = 𝐽 → ((∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝐽 ∖ {∅}) ∧ ∀𝑦∃*𝑥𝐴 𝑦𝐵) → 𝐴 ≼ ω))))
124123exlimdv 1935 . . . . . 6 (𝑏 ∈ TopBases → (∃𝑓 𝑓:𝑏1-1→ω → ((topGen‘𝑏) = 𝐽 → ((∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝐽 ∖ {∅}) ∧ ∀𝑦∃*𝑥𝐴 𝑦𝐵) → 𝐴 ≼ ω))))
1253, 124syl5bi 245 . . . . 5 (𝑏 ∈ TopBases → (𝑏 ≼ ω → ((topGen‘𝑏) = 𝐽 → ((∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝐽 ∖ {∅}) ∧ ∀𝑦∃*𝑥𝐴 𝑦𝐵) → 𝐴 ≼ ω))))
126125impd 414 . . . 4 (𝑏 ∈ TopBases → ((𝑏 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑏) = 𝐽) → ((∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝐽 ∖ {∅}) ∧ ∀𝑦∃*𝑥𝐴 𝑦𝐵) → 𝐴 ≼ ω)))
127126rexlimiv 3272 . . 3 (∃𝑏 ∈ TopBases (𝑏 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑏) = 𝐽) → ((∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝐽 ∖ {∅}) ∧ ∀𝑦∃*𝑥𝐴 𝑦𝐵) → 𝐴 ≼ ω))
1281, 127sylbi 220 . 2 (𝐽 ∈ 2ndω → ((∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝐽 ∖ {∅}) ∧ ∀𝑦∃*𝑥𝐴 𝑦𝐵) → 𝐴 ≼ ω))
1291283impib 1113 1 ((𝐽 ∈ 2ndω ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝐽 ∖ {∅}) ∧ ∀𝑦∃*𝑥𝐴 𝑦𝐵) → 𝐴 ≼ ω)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1084  wal 1536   = wceq 1538  wex 1781  wcel 2115  ∃*wmo 2622  wne 3014  wral 3133  wrex 3134  ∃*wrmo 3136  {crab 3137  Vcvv 3480  cdif 3916  wss 3919  c0 4276  ifcif 4450  𝒫 cpw 4522  {csn 4550  cop 4556   cint 4862   class class class wbr 5053  {copab 5115  cmpt 5133  ccnv 5542  ran crn 5544  Oncon0 6180   Fn wfn 6340  wf 6341  1-1wf1 6342  1-1-ontowf1o 6344  cfv 6345  ωcom 7576  1oc1o 8093  cdom 8505  topGenctg 16713  TopBasesctb 21559  2ndωc2ndc 22052
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7457  ax-inf2 9103
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-ord 6183  df-on 6184  df-lim 6185  df-suc 6186  df-iota 6304  df-fun 6347  df-fn 6348  df-f 6349  df-f1 6350  df-fo 6351  df-f1o 6352  df-fv 6353  df-om 7577  df-1o 8100  df-dom 8509  df-topgen 16719  df-2ndc 22054
This theorem is referenced by:  2ndcdisj2  22071
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