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Theorem 2ndcdisj 22823
Description: Any disjoint family of open sets in a second-countable space is countable. (The sets are required to be nonempty because otherwise there could be many empty sets in the family.) (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.) (Revised by NM, 17-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
2ndcdisj ((𝐽 ∈ 2ndΟ‰ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ (𝐽 βˆ– {βˆ…}) ∧ βˆ€π‘¦βˆƒ*π‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ 𝐴 β‰Ό Ο‰)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐴   𝑦,𝐡   π‘₯,𝐽
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯)   𝐽(𝑦)

Proof of Theorem 2ndcdisj
Dummy variables 𝑓 𝑏 𝑀 𝑧 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 is2ndc 22813 . . 3 (𝐽 ∈ 2ndΟ‰ ↔ βˆƒπ‘ ∈ TopBases (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽))
2 omex 9584 . . . . . . 7 Ο‰ ∈ V
32brdom 8903 . . . . . 6 (𝑏 β‰Ό Ο‰ ↔ βˆƒπ‘“ 𝑓:𝑏–1-1β†’Ο‰)
4 ssrab2 4038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (β—‘π‘“β€˜π‘›) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…})} βŠ† ran 𝑓
5 f1f 6739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑓:𝑏–1-1β†’Ο‰ β†’ 𝑓:π‘βŸΆΟ‰)
65frnd 6677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑓:𝑏–1-1β†’Ο‰ β†’ ran 𝑓 βŠ† Ο‰)
76adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏–1-1β†’Ο‰) β†’ ran 𝑓 βŠ† Ο‰)
84, 7sstrid 3956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏–1-1β†’Ο‰) β†’ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (β—‘π‘“β€˜π‘›) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…})} βŠ† Ο‰)
98adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏–1-1β†’Ο‰) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ ((topGenβ€˜π‘) βˆ– {βˆ…}))) β†’ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (β—‘π‘“β€˜π‘›) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…})} βŠ† Ο‰)
10 eldifsn 4748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐡 ∈ ((topGenβ€˜π‘) βˆ– {βˆ…}) ↔ (𝐡 ∈ (topGenβ€˜π‘) ∧ 𝐡 β‰  βˆ…))
11 n0 4307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐡 β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘¦ 𝑦 ∈ 𝐡)
12 tg2 22331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐡 ∈ (topGenβ€˜π‘) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑏 (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝐡))
13 omsson 7807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Ο‰ βŠ† On
148, 13sstrdi 3957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏–1-1β†’Ο‰) β†’ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (β—‘π‘“β€˜π‘›) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…})} βŠ† On)
1514ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏–1-1β†’Ο‰) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝐡))) β†’ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (β—‘π‘“β€˜π‘›) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…})} βŠ† On)
16 f1fn 6740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑓:𝑏–1-1β†’Ο‰ β†’ 𝑓 Fn 𝑏)
1716ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏–1-1β†’Ο‰) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝐡))) β†’ 𝑓 Fn 𝑏)
18 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏–1-1β†’Ο‰) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝐡))) β†’ 𝑧 ∈ 𝑏)
19 fnfvelrn 7032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑓 Fn 𝑏 ∧ 𝑧 ∈ 𝑏) β†’ (π‘“β€˜π‘§) ∈ ran 𝑓)
2017, 18, 19syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏–1-1β†’Ο‰) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝐡))) β†’ (π‘“β€˜π‘§) ∈ ran 𝑓)
21 f1f1orn 6796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑓:𝑏–1-1β†’Ο‰ β†’ 𝑓:𝑏–1-1-ontoβ†’ran 𝑓)
2221ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏–1-1β†’Ο‰) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝐡))) β†’ 𝑓:𝑏–1-1-ontoβ†’ran 𝑓)
23 f1ocnvfv1 7223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑓:𝑏–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 ∧ 𝑧 ∈ 𝑏) β†’ (β—‘π‘“β€˜(π‘“β€˜π‘§)) = 𝑧)
2422, 18, 23syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏–1-1β†’Ο‰) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝐡))) β†’ (β—‘π‘“β€˜(π‘“β€˜π‘§)) = 𝑧)
25 simprrr 781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏–1-1β†’Ο‰) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝐡))) β†’ 𝑧 βŠ† 𝐡)
26 velpw 4566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑧 ∈ 𝒫 𝐡 ↔ 𝑧 βŠ† 𝐡)
2725, 26sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏–1-1β†’Ο‰) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝐡))) β†’ 𝑧 ∈ 𝒫 𝐡)
28 simprrl 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏–1-1β†’Ο‰) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝐡))) β†’ 𝑦 ∈ 𝑧)
2928ne0d 4296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏–1-1β†’Ο‰) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝐡))) β†’ 𝑧 β‰  βˆ…)
30 eldifsn 4748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑧 ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…}) ↔ (𝑧 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  βˆ…))
3127, 29, 30sylanbrc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏–1-1β†’Ο‰) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝐡))) β†’ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…}))
3224, 31eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏–1-1β†’Ο‰) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝐡))) β†’ (β—‘π‘“β€˜(π‘“β€˜π‘§)) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…}))
33 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑛 = (π‘“β€˜π‘§) β†’ (β—‘π‘“β€˜π‘›) = (β—‘π‘“β€˜(π‘“β€˜π‘§)))
3433eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑛 = (π‘“β€˜π‘§) β†’ ((β—‘π‘“β€˜π‘›) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…}) ↔ (β—‘π‘“β€˜(π‘“β€˜π‘§)) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…})))
3534rspcev 3580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((π‘“β€˜π‘§) ∈ ran 𝑓 ∧ (β—‘π‘“β€˜(π‘“β€˜π‘§)) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…})) β†’ βˆƒπ‘› ∈ ran 𝑓(β—‘π‘“β€˜π‘›) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…}))
3620, 32, 35syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏–1-1β†’Ο‰) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝐡))) β†’ βˆƒπ‘› ∈ ran 𝑓(β—‘π‘“β€˜π‘›) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…}))
37 rabn0 4346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ({𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (β—‘π‘“β€˜π‘›) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…})} β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘› ∈ ran 𝑓(β—‘π‘“β€˜π‘›) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…}))
3836, 37sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏–1-1β†’Ο‰) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝐡))) β†’ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (β—‘π‘“β€˜π‘›) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…})} β‰  βˆ…)
39 onint 7726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (({𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (β—‘π‘“β€˜π‘›) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…})} βŠ† On ∧ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (β—‘π‘“β€˜π‘›) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…})} β‰  βˆ…) β†’ ∩ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (β—‘π‘“β€˜π‘›) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…})} ∈ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (β—‘π‘“β€˜π‘›) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…})})
4015, 38, 39syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏–1-1β†’Ο‰) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝐡))) β†’ ∩ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (β—‘π‘“β€˜π‘›) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…})} ∈ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (β—‘π‘“β€˜π‘›) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…})})
4140rexlimdvaa 3150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏–1-1β†’Ο‰) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝑏 (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝐡) β†’ ∩ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (β—‘π‘“β€˜π‘›) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…})} ∈ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (β—‘π‘“β€˜π‘›) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…})}))
4212, 41syl5 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏–1-1β†’Ο‰) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((𝐡 ∈ (topGenβ€˜π‘) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ ∩ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (β—‘π‘“β€˜π‘›) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…})} ∈ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (β—‘π‘“β€˜π‘›) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…})}))
4342expdimp 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏–1-1β†’Ο‰) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝐡 ∈ (topGenβ€˜π‘)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 β†’ ∩ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (β—‘π‘“β€˜π‘›) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…})} ∈ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (β—‘π‘“β€˜π‘›) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…})}))
4443exlimdv 1937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏–1-1β†’Ο‰) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝐡 ∈ (topGenβ€˜π‘)) β†’ (βˆƒπ‘¦ 𝑦 ∈ 𝐡 β†’ ∩ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (β—‘π‘“β€˜π‘›) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…})} ∈ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (β—‘π‘“β€˜π‘›) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…})}))
4511, 44biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏–1-1β†’Ο‰) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝐡 ∈ (topGenβ€˜π‘)) β†’ (𝐡 β‰  βˆ… β†’ ∩ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (β—‘π‘“β€˜π‘›) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…})} ∈ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (β—‘π‘“β€˜π‘›) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…})}))
4645expimpd 455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏–1-1β†’Ο‰) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((𝐡 ∈ (topGenβ€˜π‘) ∧ 𝐡 β‰  βˆ…) β†’ ∩ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (β—‘π‘“β€˜π‘›) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…})} ∈ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (β—‘π‘“β€˜π‘›) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…})}))
4710, 46biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏–1-1β†’Ο‰) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝐡 ∈ ((topGenβ€˜π‘) βˆ– {βˆ…}) β†’ ∩ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (β—‘π‘“β€˜π‘›) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…})} ∈ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (β—‘π‘“β€˜π‘›) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…})}))
4847impr 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏–1-1β†’Ο‰) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ ((topGenβ€˜π‘) βˆ– {βˆ…}))) β†’ ∩ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (β—‘π‘“β€˜π‘›) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…})} ∈ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (β—‘π‘“β€˜π‘›) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…})})
499, 48sseldd 3946 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏–1-1β†’Ο‰) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ ((topGenβ€˜π‘) βˆ– {βˆ…}))) β†’ ∩ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (β—‘π‘“β€˜π‘›) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…})} ∈ Ο‰)
5049expr 458 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏–1-1β†’Ο‰) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝐡 ∈ ((topGenβ€˜π‘) βˆ– {βˆ…}) β†’ ∩ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (β—‘π‘“β€˜π‘›) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…})} ∈ Ο‰))
5150ralimdva 3161 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏–1-1β†’Ο‰) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ ((topGenβ€˜π‘) βˆ– {βˆ…}) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ∩ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (β—‘π‘“β€˜π‘›) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…})} ∈ Ο‰))
5251imp 408 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏–1-1β†’Ο‰) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ ((topGenβ€˜π‘) βˆ– {βˆ…})) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ∩ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (β—‘π‘“β€˜π‘›) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…})} ∈ Ο‰)
5352adantrr 716 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏–1-1β†’Ο‰) ∧ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ ((topGenβ€˜π‘) βˆ– {βˆ…}) ∧ βˆ€π‘¦βˆƒ*π‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ∩ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (β—‘π‘“β€˜π‘›) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…})} ∈ Ο‰)
54 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (β—‘π‘“β€˜π‘›) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…})}) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (β—‘π‘“β€˜π‘›) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…})})
5554fmpt 7059 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ∩ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (β—‘π‘“β€˜π‘›) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…})} ∈ Ο‰ ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (β—‘π‘“β€˜π‘›) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…})}):π΄βŸΆΟ‰)
5653, 55sylib 217 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏–1-1β†’Ο‰) ∧ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ ((topGenβ€˜π‘) βˆ– {βˆ…}) ∧ βˆ€π‘¦βˆƒ*π‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (β—‘π‘“β€˜π‘›) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…})}):π΄βŸΆΟ‰)
57 neeq1 3003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((β—‘π‘“β€˜π‘§) = if((β—‘π‘“β€˜π‘§) β‰  βˆ…, (β—‘π‘“β€˜π‘§), 1o) β†’ ((β—‘π‘“β€˜π‘§) β‰  βˆ… ↔ if((β—‘π‘“β€˜π‘§) β‰  βˆ…, (β—‘π‘“β€˜π‘§), 1o) β‰  βˆ…))
58 neeq1 3003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1o = if((β—‘π‘“β€˜π‘§) β‰  βˆ…, (β—‘π‘“β€˜π‘§), 1o) β†’ (1o β‰  βˆ… ↔ if((β—‘π‘“β€˜π‘§) β‰  βˆ…, (β—‘π‘“β€˜π‘§), 1o) β‰  βˆ…))
59 1n0 8435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1o β‰  βˆ…
6057, 58, 59elimhyp 4552 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 if((β—‘π‘“β€˜π‘§) β‰  βˆ…, (β—‘π‘“β€˜π‘§), 1o) β‰  βˆ…
61 n0 4307 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (if((β—‘π‘“β€˜π‘§) β‰  βˆ…, (β—‘π‘“β€˜π‘§), 1o) β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘¦ 𝑦 ∈ if((β—‘π‘“β€˜π‘§) β‰  βˆ…, (β—‘π‘“β€˜π‘§), 1o))
6260, 61mpbi 229 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 βˆƒπ‘¦ 𝑦 ∈ if((β—‘π‘“β€˜π‘§) β‰  βˆ…, (β—‘π‘“β€˜π‘§), 1o)
63 19.29r 1878 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((βˆƒπ‘¦ 𝑦 ∈ if((β—‘π‘“β€˜π‘§) β‰  βˆ…, (β—‘π‘“β€˜π‘§), 1o) ∧ βˆ€π‘¦βˆƒ*π‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ βˆƒπ‘¦(𝑦 ∈ if((β—‘π‘“β€˜π‘§) β‰  βˆ…, (β—‘π‘“β€˜π‘§), 1o) ∧ βˆƒ*π‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 ∈ 𝐡))
6462, 63mpan 689 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (βˆ€π‘¦βˆƒ*π‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 ∈ 𝐡 β†’ βˆƒπ‘¦(𝑦 ∈ if((β—‘π‘“β€˜π‘§) β‰  βˆ…, (β—‘π‘“β€˜π‘§), 1o) ∧ βˆƒ*π‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 ∈ 𝐡))
65 eleq1 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑧 = ∩ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (β—‘π‘“β€˜π‘›) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…})} β†’ (𝑧 ∈ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (β—‘π‘“β€˜π‘›) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…})} ↔ ∩ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (β—‘π‘“β€˜π‘›) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…})} ∈ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (β—‘π‘“β€˜π‘›) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…})}))
6648, 65syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏–1-1β†’Ο‰) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ ((topGenβ€˜π‘) βˆ– {βˆ…}))) β†’ (𝑧 = ∩ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (β—‘π‘“β€˜π‘›) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…})} β†’ 𝑧 ∈ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (β—‘π‘“β€˜π‘›) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…})}))
6766imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏–1-1β†’Ο‰) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ ((topGenβ€˜π‘) βˆ– {βˆ…}))) ∧ 𝑧 = ∩ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (β—‘π‘“β€˜π‘›) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…})}) β†’ 𝑧 ∈ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (β—‘π‘“β€˜π‘›) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…})})
68 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑛 = 𝑧 β†’ (β—‘π‘“β€˜π‘›) = (β—‘π‘“β€˜π‘§))
6968eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑛 = 𝑧 β†’ ((β—‘π‘“β€˜π‘›) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…}) ↔ (β—‘π‘“β€˜π‘§) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…})))
7069elrab 3646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑧 ∈ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (β—‘π‘“β€˜π‘›) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…})} ↔ (𝑧 ∈ ran 𝑓 ∧ (β—‘π‘“β€˜π‘§) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…})))
7170simprbi 498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑧 ∈ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (β—‘π‘“β€˜π‘›) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…})} β†’ (β—‘π‘“β€˜π‘§) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…}))
7267, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏–1-1β†’Ο‰) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ ((topGenβ€˜π‘) βˆ– {βˆ…}))) ∧ 𝑧 = ∩ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (β—‘π‘“β€˜π‘›) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…})}) β†’ (β—‘π‘“β€˜π‘§) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…}))
73 eldifsn 4748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((β—‘π‘“β€˜π‘§) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…}) ↔ ((β—‘π‘“β€˜π‘§) ∈ 𝒫 𝐡 ∧ (β—‘π‘“β€˜π‘§) β‰  βˆ…))
7472, 73sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏–1-1β†’Ο‰) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ ((topGenβ€˜π‘) βˆ– {βˆ…}))) ∧ 𝑧 = ∩ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (β—‘π‘“β€˜π‘›) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…})}) β†’ ((β—‘π‘“β€˜π‘§) ∈ 𝒫 𝐡 ∧ (β—‘π‘“β€˜π‘§) β‰  βˆ…))
7574simprd 497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏–1-1β†’Ο‰) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ ((topGenβ€˜π‘) βˆ– {βˆ…}))) ∧ 𝑧 = ∩ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (β—‘π‘“β€˜π‘›) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…})}) β†’ (β—‘π‘“β€˜π‘§) β‰  βˆ…)
7675iftrued 4495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏–1-1β†’Ο‰) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ ((topGenβ€˜π‘) βˆ– {βˆ…}))) ∧ 𝑧 = ∩ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (β—‘π‘“β€˜π‘›) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…})}) β†’ if((β—‘π‘“β€˜π‘§) β‰  βˆ…, (β—‘π‘“β€˜π‘§), 1o) = (β—‘π‘“β€˜π‘§))
7774simpld 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏–1-1β†’Ο‰) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ ((topGenβ€˜π‘) βˆ– {βˆ…}))) ∧ 𝑧 = ∩ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (β—‘π‘“β€˜π‘›) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…})}) β†’ (β—‘π‘“β€˜π‘§) ∈ 𝒫 𝐡)
7877elpwid 4570 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏–1-1β†’Ο‰) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ ((topGenβ€˜π‘) βˆ– {βˆ…}))) ∧ 𝑧 = ∩ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (β—‘π‘“β€˜π‘›) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…})}) β†’ (β—‘π‘“β€˜π‘§) βŠ† 𝐡)
7976, 78eqsstrd 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏–1-1β†’Ο‰) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ ((topGenβ€˜π‘) βˆ– {βˆ…}))) ∧ 𝑧 = ∩ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (β—‘π‘“β€˜π‘›) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…})}) β†’ if((β—‘π‘“β€˜π‘§) β‰  βˆ…, (β—‘π‘“β€˜π‘§), 1o) βŠ† 𝐡)
8079sseld 3944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏–1-1β†’Ο‰) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ ((topGenβ€˜π‘) βˆ– {βˆ…}))) ∧ 𝑧 = ∩ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (β—‘π‘“β€˜π‘›) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…})}) β†’ (𝑦 ∈ if((β—‘π‘“β€˜π‘§) β‰  βˆ…, (β—‘π‘“β€˜π‘§), 1o) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡))
8180exp31 421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏–1-1β†’Ο‰) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ ((topGenβ€˜π‘) βˆ– {βˆ…})) β†’ (𝑧 = ∩ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (β—‘π‘“β€˜π‘›) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…})} β†’ (𝑦 ∈ if((β—‘π‘“β€˜π‘§) β‰  βˆ…, (β—‘π‘“β€˜π‘§), 1o) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡))))
8281com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏–1-1β†’Ο‰) β†’ (𝑧 = ∩ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (β—‘π‘“β€˜π‘›) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…})} β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ ((topGenβ€˜π‘) βˆ– {βˆ…})) β†’ (𝑦 ∈ if((β—‘π‘“β€˜π‘§) β‰  βˆ…, (β—‘π‘“β€˜π‘§), 1o) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡))))
8382exp4a 433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏–1-1β†’Ο‰) β†’ (𝑧 = ∩ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (β—‘π‘“β€˜π‘›) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…})} β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (𝐡 ∈ ((topGenβ€˜π‘) βˆ– {βˆ…}) β†’ (𝑦 ∈ if((β—‘π‘“β€˜π‘§) β‰  βˆ…, (β—‘π‘“β€˜π‘§), 1o) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)))))
8483com25 99 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏–1-1β†’Ο‰) β†’ (𝑦 ∈ if((β—‘π‘“β€˜π‘§) β‰  βˆ…, (β—‘π‘“β€˜π‘§), 1o) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (𝐡 ∈ ((topGenβ€˜π‘) βˆ– {βˆ…}) β†’ (𝑧 = ∩ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (β—‘π‘“β€˜π‘›) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…})} β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)))))
8584imp31 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏–1-1β†’Ο‰) ∧ 𝑦 ∈ if((β—‘π‘“β€˜π‘§) β‰  βˆ…, (β—‘π‘“β€˜π‘§), 1o)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝐡 ∈ ((topGenβ€˜π‘) βˆ– {βˆ…}) β†’ (𝑧 = ∩ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (β—‘π‘“β€˜π‘›) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…})} β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)))
8685ralimdva 3161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏–1-1β†’Ο‰) ∧ 𝑦 ∈ if((β—‘π‘“β€˜π‘§) β‰  βˆ…, (β—‘π‘“β€˜π‘§), 1o)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ ((topGenβ€˜π‘) βˆ– {βˆ…}) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑧 = ∩ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (β—‘π‘“β€˜π‘›) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…})} β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)))
8786imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏–1-1β†’Ο‰) ∧ 𝑦 ∈ if((β—‘π‘“β€˜π‘§) β‰  βˆ…, (β—‘π‘“β€˜π‘§), 1o)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ ((topGenβ€˜π‘) βˆ– {βˆ…})) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑧 = ∩ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (β—‘π‘“β€˜π‘›) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…})} β†’ 𝑦 ∈ 𝐡))
8887an32s 651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏–1-1β†’Ο‰) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ ((topGenβ€˜π‘) βˆ– {βˆ…})) ∧ 𝑦 ∈ if((β—‘π‘“β€˜π‘§) β‰  βˆ…, (β—‘π‘“β€˜π‘§), 1o)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑧 = ∩ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (β—‘π‘“β€˜π‘›) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…})} β†’ 𝑦 ∈ 𝐡))
89 rmoim 3699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑧 = ∩ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (β—‘π‘“β€˜π‘›) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…})} β†’ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (βˆƒ*π‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 ∈ 𝐡 β†’ βˆƒ*π‘₯ ∈ 𝐴 𝑧 = ∩ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (β—‘π‘“β€˜π‘›) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…})}))
9088, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏–1-1β†’Ο‰) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ ((topGenβ€˜π‘) βˆ– {βˆ…})) ∧ 𝑦 ∈ if((β—‘π‘“β€˜π‘§) β‰  βˆ…, (β—‘π‘“β€˜π‘§), 1o)) β†’ (βˆƒ*π‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 ∈ 𝐡 β†’ βˆƒ*π‘₯ ∈ 𝐴 𝑧 = ∩ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (β—‘π‘“β€˜π‘›) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…})}))
9190expimpd 455 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏–1-1β†’Ο‰) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ ((topGenβ€˜π‘) βˆ– {βˆ…})) β†’ ((𝑦 ∈ if((β—‘π‘“β€˜π‘§) β‰  βˆ…, (β—‘π‘“β€˜π‘§), 1o) ∧ βˆƒ*π‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ βˆƒ*π‘₯ ∈ 𝐴 𝑧 = ∩ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (β—‘π‘“β€˜π‘›) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…})}))
9291exlimdv 1937 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏–1-1β†’Ο‰) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ ((topGenβ€˜π‘) βˆ– {βˆ…})) β†’ (βˆƒπ‘¦(𝑦 ∈ if((β—‘π‘“β€˜π‘§) β‰  βˆ…, (β—‘π‘“β€˜π‘§), 1o) ∧ βˆƒ*π‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ βˆƒ*π‘₯ ∈ 𝐴 𝑧 = ∩ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (β—‘π‘“β€˜π‘›) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…})}))
9364, 92syl5 34 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏–1-1β†’Ο‰) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ ((topGenβ€˜π‘) βˆ– {βˆ…})) β†’ (βˆ€π‘¦βˆƒ*π‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 ∈ 𝐡 β†’ βˆƒ*π‘₯ ∈ 𝐴 𝑧 = ∩ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (β—‘π‘“β€˜π‘›) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…})}))
9493impr 456 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏–1-1β†’Ο‰) ∧ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ ((topGenβ€˜π‘) βˆ– {βˆ…}) ∧ βˆ€π‘¦βˆƒ*π‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ βˆƒ*π‘₯ ∈ 𝐴 𝑧 = ∩ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (β—‘π‘“β€˜π‘›) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…})})
95 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 β„²π‘₯𝑀
96 nfmpt1 5214 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 β„²π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (β—‘π‘“β€˜π‘›) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…})})
97 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 β„²π‘₯𝑧
9895, 96, 97nfbr 5153 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„²π‘₯ 𝑀(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (β—‘π‘“β€˜π‘›) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…})})𝑧
99 nfv 1918 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Ⅎ𝑀(π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 = ∩ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (β—‘π‘“β€˜π‘›) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…})})
100 breq1 5109 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 = π‘₯ β†’ (𝑀(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (β—‘π‘“β€˜π‘›) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…})})𝑧 ↔ π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (β—‘π‘“β€˜π‘›) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…})})𝑧))
101 df-br 5107 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (β—‘π‘“β€˜π‘›) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…})})𝑧 ↔ ⟨π‘₯, π‘§βŸ© ∈ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (β—‘π‘“β€˜π‘›) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…})}))
102 df-mpt 5190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (β—‘π‘“β€˜π‘›) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…})}) = {⟨π‘₯, π‘§βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 = ∩ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (β—‘π‘“β€˜π‘›) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…})})}
103102eleq2i 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (⟨π‘₯, π‘§βŸ© ∈ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (β—‘π‘“β€˜π‘›) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…})}) ↔ ⟨π‘₯, π‘§βŸ© ∈ {⟨π‘₯, π‘§βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 = ∩ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (β—‘π‘“β€˜π‘›) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…})})})
104 opabidw 5482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (⟨π‘₯, π‘§βŸ© ∈ {⟨π‘₯, π‘§βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 = ∩ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (β—‘π‘“β€˜π‘›) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…})})} ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 = ∩ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (β—‘π‘“β€˜π‘›) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…})}))
105101, 103, 1043bitri 297 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (β—‘π‘“β€˜π‘›) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…})})𝑧 ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 = ∩ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (β—‘π‘“β€˜π‘›) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…})}))
106100, 105bitrdi 287 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 = π‘₯ β†’ (𝑀(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (β—‘π‘“β€˜π‘›) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…})})𝑧 ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 = ∩ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (β—‘π‘“β€˜π‘›) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…})})))
10798, 99, 106cbvmow 2598 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆƒ*𝑀 𝑀(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (β—‘π‘“β€˜π‘›) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…})})𝑧 ↔ βˆƒ*π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 = ∩ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (β—‘π‘“β€˜π‘›) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…})}))
108 df-rmo 3352 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆƒ*π‘₯ ∈ 𝐴 𝑧 = ∩ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (β—‘π‘“β€˜π‘›) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…})} ↔ βˆƒ*π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 = ∩ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (β—‘π‘“β€˜π‘›) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…})}))
109107, 108bitr4i 278 . . . . . . . . . . . . . 14 (βˆƒ*𝑀 𝑀(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (β—‘π‘“β€˜π‘›) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…})})𝑧 ↔ βˆƒ*π‘₯ ∈ 𝐴 𝑧 = ∩ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (β—‘π‘“β€˜π‘›) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…})})
11094, 109sylibr 233 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏–1-1β†’Ο‰) ∧ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ ((topGenβ€˜π‘) βˆ– {βˆ…}) ∧ βˆ€π‘¦βˆƒ*π‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ βˆƒ*𝑀 𝑀(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (β—‘π‘“β€˜π‘›) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…})})𝑧)
111110alrimiv 1931 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏–1-1β†’Ο‰) ∧ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ ((topGenβ€˜π‘) βˆ– {βˆ…}) ∧ βˆ€π‘¦βˆƒ*π‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ βˆ€π‘§βˆƒ*𝑀 𝑀(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (β—‘π‘“β€˜π‘›) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…})})𝑧)
112 dff12 6738 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (β—‘π‘“β€˜π‘›) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…})}):𝐴–1-1β†’Ο‰ ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (β—‘π‘“β€˜π‘›) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…})}):π΄βŸΆΟ‰ ∧ βˆ€π‘§βˆƒ*𝑀 𝑀(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (β—‘π‘“β€˜π‘›) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…})})𝑧))
11356, 111, 112sylanbrc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏–1-1β†’Ο‰) ∧ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ ((topGenβ€˜π‘) βˆ– {βˆ…}) ∧ βˆ€π‘¦βˆƒ*π‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (β—‘π‘“β€˜π‘›) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…})}):𝐴–1-1β†’Ο‰)
114 f1domg 8915 . . . . . . . . . . 11 (Ο‰ ∈ V β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ∩ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (β—‘π‘“β€˜π‘›) ∈ (𝒫 𝐡 βˆ– {βˆ…})}):𝐴–1-1β†’Ο‰ β†’ 𝐴 β‰Ό Ο‰))
1152, 113, 114mpsyl 68 . . . . . . . . . 10 (((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏–1-1β†’Ο‰) ∧ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ ((topGenβ€˜π‘) βˆ– {βˆ…}) ∧ βˆ€π‘¦βˆƒ*π‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐴 β‰Ό Ο‰)
116115ex 414 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏–1-1β†’Ο‰) β†’ ((βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ ((topGenβ€˜π‘) βˆ– {βˆ…}) ∧ βˆ€π‘¦βˆƒ*π‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ 𝐴 β‰Ό Ο‰))
117 difeq1 4076 . . . . . . . . . . . . 13 ((topGenβ€˜π‘) = 𝐽 β†’ ((topGenβ€˜π‘) βˆ– {βˆ…}) = (𝐽 βˆ– {βˆ…}))
118117eleq2d 2820 . . . . . . . . . . . 12 ((topGenβ€˜π‘) = 𝐽 β†’ (𝐡 ∈ ((topGenβ€˜π‘) βˆ– {βˆ…}) ↔ 𝐡 ∈ (𝐽 βˆ– {βˆ…})))
119118ralbidv 3171 . . . . . . . . . . 11 ((topGenβ€˜π‘) = 𝐽 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ ((topGenβ€˜π‘) βˆ– {βˆ…}) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ (𝐽 βˆ– {βˆ…})))
120119anbi1d 631 . . . . . . . . . 10 ((topGenβ€˜π‘) = 𝐽 β†’ ((βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ ((topGenβ€˜π‘) βˆ– {βˆ…}) ∧ βˆ€π‘¦βˆƒ*π‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 ∈ 𝐡) ↔ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ (𝐽 βˆ– {βˆ…}) ∧ βˆ€π‘¦βˆƒ*π‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 ∈ 𝐡)))
121120imbi1d 342 . . . . . . . . 9 ((topGenβ€˜π‘) = 𝐽 β†’ (((βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ ((topGenβ€˜π‘) βˆ– {βˆ…}) ∧ βˆ€π‘¦βˆƒ*π‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ 𝐴 β‰Ό Ο‰) ↔ ((βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ (𝐽 βˆ– {βˆ…}) ∧ βˆ€π‘¦βˆƒ*π‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ 𝐴 β‰Ό Ο‰)))
122116, 121syl5ibcom 244 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏–1-1β†’Ο‰) β†’ ((topGenβ€˜π‘) = 𝐽 β†’ ((βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ (𝐽 βˆ– {βˆ…}) ∧ βˆ€π‘¦βˆƒ*π‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ 𝐴 β‰Ό Ο‰)))
123122ex 414 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ TopBases β†’ (𝑓:𝑏–1-1β†’Ο‰ β†’ ((topGenβ€˜π‘) = 𝐽 β†’ ((βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ (𝐽 βˆ– {βˆ…}) ∧ βˆ€π‘¦βˆƒ*π‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ 𝐴 β‰Ό Ο‰))))
124123exlimdv 1937 . . . . . 6 (𝑏 ∈ TopBases β†’ (βˆƒπ‘“ 𝑓:𝑏–1-1β†’Ο‰ β†’ ((topGenβ€˜π‘) = 𝐽 β†’ ((βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ (𝐽 βˆ– {βˆ…}) ∧ βˆ€π‘¦βˆƒ*π‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ 𝐴 β‰Ό Ο‰))))
1253, 124biimtrid 241 . . . . 5 (𝑏 ∈ TopBases β†’ (𝑏 β‰Ό Ο‰ β†’ ((topGenβ€˜π‘) = 𝐽 β†’ ((βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ (𝐽 βˆ– {βˆ…}) ∧ βˆ€π‘¦βˆƒ*π‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ 𝐴 β‰Ό Ο‰))))
126125impd 412 . . . 4 (𝑏 ∈ TopBases β†’ ((𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽) β†’ ((βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ (𝐽 βˆ– {βˆ…}) ∧ βˆ€π‘¦βˆƒ*π‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ 𝐴 β‰Ό Ο‰)))
127126rexlimiv 3142 . . 3 (βˆƒπ‘ ∈ TopBases (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽) β†’ ((βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ (𝐽 βˆ– {βˆ…}) ∧ βˆ€π‘¦βˆƒ*π‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ 𝐴 β‰Ό Ο‰))
1281, 127sylbi 216 . 2 (𝐽 ∈ 2ndΟ‰ β†’ ((βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ (𝐽 βˆ– {βˆ…}) ∧ βˆ€π‘¦βˆƒ*π‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ 𝐴 β‰Ό Ο‰))
1291283impib 1117 1 ((𝐽 ∈ 2ndΟ‰ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ (𝐽 βˆ– {βˆ…}) ∧ βˆ€π‘¦βˆƒ*π‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ 𝐴 β‰Ό Ο‰)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088  βˆ€wal 1540   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107  βˆƒ*wmo 2533   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  βˆƒ*wrmo 3351  {crab 3406  Vcvv 3444   βˆ– cdif 3908   βŠ† wss 3911  βˆ…c0 4283  ifcif 4487  π’« cpw 4561  {csn 4587  βŸ¨cop 4593  βˆ© cint 4908   class class class wbr 5106  {copab 5168   ↦ cmpt 5189  β—‘ccnv 5633  ran crn 5635  Oncon0 6318   Fn wfn 6492  βŸΆwf 6493  β€“1-1β†’wf1 6494  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6496  β€˜cfv 6497  Ο‰com 7803  1oc1o 8406   β‰Ό cdom 8884  topGenctg 17324  TopBasesctb 22311  2ndΟ‰c2ndc 22805
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-om 7804  df-1o 8413  df-dom 8888  df-topgen 17330  df-2ndc 22807
This theorem is referenced by:  2ndcdisj2  22824
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