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Theorem phpreu 33727
Description: Theorem related to pigeonhole principle. (Contributed by Brendan Leahy, 21-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
phpreu ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) → (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶 ↔ ∀𝑥𝐴 ∃!𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑦)

Proof of Theorem phpreu
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝐶 → (𝑥𝐴𝐶𝐴))
21biimpac 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥𝐴𝑥 = 𝐶) → 𝐶𝐴)
3 rabid 3264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↔ (𝑦𝐵𝐶𝐴))
43simplbi2com 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐶𝐴 → (𝑦𝐵𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}))
52, 4syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥𝐴𝑥 = 𝐶) → (𝑦𝐵𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}))
65impancom 439 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥𝐴𝑦𝐵) → (𝑥 = 𝐶𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}))
76ancrd 535 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥𝐴𝑦𝐵) → (𝑥 = 𝐶 → (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ∧ 𝑥 = 𝐶)))
87expimpd 441 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝐴 → ((𝑦𝐵𝑥 = 𝐶) → (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ∧ 𝑥 = 𝐶)))
98reximdv2 3162 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝐴 → (∃𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶 → ∃𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}𝑥 = 𝐶))
109ralimia 3099 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶 → ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}𝑥 = 𝐶)
113simplbi 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} → 𝑦𝐵)
126pm4.71rd 546 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥𝐴𝑦𝐵) → (𝑥 = 𝐶 ↔ (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ∧ 𝑥 = 𝐶)))
13 df-mpt 4865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶) = {⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ∧ 𝑥 = 𝐶)}
1413breqi 4793 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥𝑦{⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ∧ 𝑥 = 𝐶)}𝑥)
15 df-br 4788 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦{⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ∧ 𝑥 = 𝐶)}𝑥 ↔ ⟨𝑦, 𝑥⟩ ∈ {⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ∧ 𝑥 = 𝐶)})
16 opabid 5116 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (⟨𝑦, 𝑥⟩ ∈ {⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ∧ 𝑥 = 𝐶)} ↔ (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ∧ 𝑥 = 𝐶))
1714, 15, 163bitri 286 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥 ↔ (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ∧ 𝑥 = 𝐶))
1812, 17syl6bbr 278 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥𝐴𝑦𝐵) → (𝑥 = 𝐶𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥))
1911, 18sylan2 574 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥𝐴𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}) → (𝑥 = 𝐶𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥))
2019rexbidva 3197 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝐴 → (∃𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}𝑥 = 𝐶 ↔ ∃𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥))
2120ralbiia 3128 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑥𝐴𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}𝑥 = 𝐶 ↔ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥)
22 breq2 4791 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 = 𝑥 → (𝑏(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑎𝑏(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥))
2322rexbidv 3200 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 = 𝑥 → (∃𝑏 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}𝑏(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑎 ↔ ∃𝑏 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}𝑏(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥))
24 nfcv 2913 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑏{𝑦𝐵𝐶𝐴}
25 nfrab1 3271 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑦{𝑦𝐵𝐶𝐴}
26 nfcv 2913 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑦𝑏
27 nfmpt1 4882 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)
28 nfcv 2913 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑦𝑥
2926, 27, 28nfbr 4834 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑦 𝑏(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥
30 nfv 1995 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑏 𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥
31 breq1 4790 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 = 𝑦 → (𝑏(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥))
3224, 25, 29, 30, 31cbvrexf 3315 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∃𝑏 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}𝑏(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥)
3323, 32syl6bb 276 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = 𝑥 → (∃𝑏 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}𝑏(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑎 ↔ ∃𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥))
3433cbvralv 3320 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑎𝐴𝑏 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}𝑏(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑎 ↔ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥)
3521, 34bitr4i 267 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑥𝐴𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}𝑥 = 𝐶 ↔ ∀𝑎𝐴𝑏 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}𝑏(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑎)
3610, 35sylib 208 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶 → ∀𝑎𝐴𝑏 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}𝑏(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑎)
37 nfv 1995 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑏(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ∧ 𝑥 = 𝐶)
3825nfcri 2907 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑦 𝑏 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}
39 nfcsb1v 3699 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑦𝑏 / 𝑦𝐶
4039nfeq2 2929 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑦 𝑥 = 𝑏 / 𝑦𝐶
4138, 40nfan 1980 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦(𝑏 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ∧ 𝑥 = 𝑏 / 𝑦𝐶)
42 eleq1 2838 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑏 → (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↔ 𝑏 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}))
43 csbeq1a 3692 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑏𝐶 = 𝑏 / 𝑦𝐶)
4443eqeq2d 2781 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑏 → (𝑥 = 𝐶𝑥 = 𝑏 / 𝑦𝐶))
4542, 44anbi12d 610 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑏 → ((𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ∧ 𝑥 = 𝐶) ↔ (𝑏 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ∧ 𝑥 = 𝑏 / 𝑦𝐶)))
4637, 41, 45cbvopab1 4858 . . . . . . . . . . . . 13 {⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ∧ 𝑥 = 𝐶)} = {⟨𝑏, 𝑥⟩ ∣ (𝑏 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ∧ 𝑥 = 𝑏 / 𝑦𝐶)}
47 df-mpt 4865 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝑏 / 𝑦𝐶) = {⟨𝑏, 𝑥⟩ ∣ (𝑏 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ∧ 𝑥 = 𝑏 / 𝑦𝐶)}
4846, 13, 473eqtr4i 2803 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶) = (𝑏 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝑏 / 𝑦𝐶)
49 nfcv 2913 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦𝐵
5039nfel1 2928 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦𝑏 / 𝑦𝐶𝐴
5143eleq1d 2835 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑏 → (𝐶𝐴𝑏 / 𝑦𝐶𝐴))
5226, 49, 50, 51elrabf 3512 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↔ (𝑏𝐵𝑏 / 𝑦𝐶𝐴))
5352simprbi 480 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} → 𝑏 / 𝑦𝐶𝐴)
5448, 53fmpti 6526 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶):{𝑦𝐵𝐶𝐴}⟶𝐴
5536, 54jctil 505 . . . . . . . . . 10 (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶 → ((𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶):{𝑦𝐵𝐶𝐴}⟶𝐴 ∧ ∀𝑎𝐴𝑏 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}𝑏(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑎))
56 dffo4 6519 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶):{𝑦𝐵𝐶𝐴}–onto𝐴 ↔ ((𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶):{𝑦𝐵𝐶𝐴}⟶𝐴 ∧ ∀𝑎𝐴𝑏 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}𝑏(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑎))
5755, 56sylibr 224 . . . . . . . . 9 (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶 → (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶):{𝑦𝐵𝐶𝐴}–onto𝐴)
5857adantl 467 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶) → (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶):{𝑦𝐵𝐶𝐴}–onto𝐴)
59 relen 8115 . . . . . . . . . . . . 13 Rel ≈
6059brrelex2i 5300 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝐵𝐵 ∈ V)
61 ssrab2 3837 . . . . . . . . . . . 12 {𝑦𝐵𝐶𝐴} ⊆ 𝐵
62 ssdomg 8156 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ V → ({𝑦𝐵𝐶𝐴} ⊆ 𝐵 → {𝑦𝐵𝐶𝐴} ≼ 𝐵))
6360, 61, 62mpisyl 21 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝐵 → {𝑦𝐵𝐶𝐴} ≼ 𝐵)
64 ensym 8159 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝐵𝐵𝐴)
65 domentr 8169 . . . . . . . . . . 11 (({𝑦𝐵𝐶𝐴} ≼ 𝐵𝐵𝐴) → {𝑦𝐵𝐶𝐴} ≼ 𝐴)
6663, 64, 65syl2anc 567 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝐵 → {𝑦𝐵𝐶𝐴} ≼ 𝐴)
6766ad2antlr 700 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶) → {𝑦𝐵𝐶𝐴} ≼ 𝐴)
68 enfi 8333 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝐵 → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐵 ∈ Fin))
6968biimpac 464 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ Fin)
70 rabfi 8342 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ Fin → {𝑦𝐵𝐶𝐴} ∈ Fin)
7169, 70syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) → {𝑦𝐵𝐶𝐴} ∈ Fin)
72 fodomfi 8396 . . . . . . . . . 10 (({𝑦𝐵𝐶𝐴} ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶):{𝑦𝐵𝐶𝐴}–onto𝐴) → 𝐴 ≼ {𝑦𝐵𝐶𝐴})
7371, 57, 72syl2an 577 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶) → 𝐴 ≼ {𝑦𝐵𝐶𝐴})
74 sbth 8237 . . . . . . . . 9 (({𝑦𝐵𝐶𝐴} ≼ 𝐴𝐴 ≼ {𝑦𝐵𝐶𝐴}) → {𝑦𝐵𝐶𝐴} ≈ 𝐴)
7567, 73, 74syl2anc 567 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶) → {𝑦𝐵𝐶𝐴} ≈ 𝐴)
76 simpll 744 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶) → 𝐴 ∈ Fin)
77 fofinf1o 8398 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶):{𝑦𝐵𝐶𝐴}–onto𝐴 ∧ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ≈ 𝐴𝐴 ∈ Fin) → (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶):{𝑦𝐵𝐶𝐴}–1-1-onto𝐴)
7858, 75, 76, 77syl3anc 1476 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶) → (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶):{𝑦𝐵𝐶𝐴}–1-1-onto𝐴)
79 f1of1 6278 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶):{𝑦𝐵𝐶𝐴}–1-1-onto𝐴 → (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶):{𝑦𝐵𝐶𝐴}–1-1𝐴)
8078, 79syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶) → (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶):{𝑦𝐵𝐶𝐴}–1-1𝐴)
81 dff12 6241 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶):{𝑦𝐵𝐶𝐴}–1-1𝐴 ↔ ((𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶):{𝑦𝐵𝐶𝐴}⟶𝐴 ∧ ∀𝑎∃*𝑏 𝑏(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑎))
8281simprbi 480 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶):{𝑦𝐵𝐶𝐴}–1-1𝐴 → ∀𝑎∃*𝑏 𝑏(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑎)
8322mobidv 2639 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝑥 → (∃*𝑏 𝑏(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑎 ↔ ∃*𝑏 𝑏(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥))
8429, 30, 31cbvmo 2655 . . . . . . . . 9 (∃*𝑏 𝑏(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥 ↔ ∃*𝑦 𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥)
8583, 84syl6bb 276 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑥 → (∃*𝑏 𝑏(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑎 ↔ ∃*𝑦 𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥))
8685cbvalvw 2125 . . . . . . 7 (∀𝑎∃*𝑏 𝑏(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑎 ↔ ∀𝑥∃*𝑦 𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥)
8782, 86sylib 208 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶):{𝑦𝐵𝐶𝐴}–1-1𝐴 → ∀𝑥∃*𝑦 𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥)
88 mormo 3307 . . . . . . 7 (∃*𝑦 𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥 → ∃*𝑦𝐵 𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥)
8988alimi 1887 . . . . . 6 (∀𝑥∃*𝑦 𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥 → ∀𝑥∃*𝑦𝐵 𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥)
90 alral 3077 . . . . . 6 (∀𝑥∃*𝑦𝐵 𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥 → ∀𝑥𝐴 ∃*𝑦𝐵 𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥)
9180, 87, 89, 904syl 19 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶) → ∀𝑥𝐴 ∃*𝑦𝐵 𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥)
9218rmobidva 3279 . . . . . 6 (𝑥𝐴 → (∃*𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶 ↔ ∃*𝑦𝐵 𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥))
9392ralbiia 3128 . . . . 5 (∀𝑥𝐴 ∃*𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶 ↔ ∀𝑥𝐴 ∃*𝑦𝐵 𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥)
9491, 93sylibr 224 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶) → ∀𝑥𝐴 ∃*𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶)
9594ex 397 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) → (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶 → ∀𝑥𝐴 ∃*𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶))
9695pm4.71d 545 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) → (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶 ↔ (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶 ∧ ∀𝑥𝐴 ∃*𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶)))
97 reu5 3308 . . . 4 (∃!𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶 ↔ (∃𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶 ∧ ∃*𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶))
9897ralbii 3129 . . 3 (∀𝑥𝐴 ∃!𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶 ↔ ∀𝑥𝐴 (∃𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶 ∧ ∃*𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶))
99 r19.26 3212 . . 3 (∀𝑥𝐴 (∃𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶 ∧ ∃*𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶) ↔ (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶 ∧ ∀𝑥𝐴 ∃*𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶))
10098, 99bitri 264 . 2 (∀𝑥𝐴 ∃!𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶 ↔ (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶 ∧ ∀𝑥𝐴 ∃*𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶))
10196, 100syl6bbr 278 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) → (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶 ↔ ∀𝑥𝐴 ∃!𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  wal 1629   = wceq 1631  wcel 2145  ∃*wmo 2619  wral 3061  wrex 3062  ∃!wreu 3063  ∃*wrmo 3064  {crab 3065  Vcvv 3351  csb 3683  wss 3724  cop 4323   class class class wbr 4787  {copab 4847  cmpt 4864  wf 6028  1-1wf1 6029  ontowfo 6030  1-1-ontowf1o 6031  cen 8107  cdom 8108  Fincfn 8110
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7097
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 829  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3589  df-csb 3684  df-dif 3727  df-un 3729  df-in 3731  df-ss 3738  df-pss 3740  df-nul 4065  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-ord 5870  df-on 5871  df-lim 5872  df-suc 5873  df-iota 5995  df-fun 6034  df-fn 6035  df-f 6036  df-f1 6037  df-fo 6038  df-f1o 6039  df-fv 6040  df-om 7214  df-1o 7714  df-er 7897  df-en 8111  df-dom 8112  df-sdom 8113  df-fin 8114
This theorem is referenced by:  poimirlem25  33768  poimirlem26  33769
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