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Theorem phpreu 36091
Description: Theorem related to pigeonhole principle. (Contributed by Brendan Leahy, 21-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
phpreu ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) → (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶 ↔ ∀𝑥𝐴 ∃!𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑦)

Proof of Theorem phpreu
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝐶 → (𝑥𝐴𝐶𝐴))
21biimpac 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥𝐴𝑥 = 𝐶) → 𝐶𝐴)
3 rabid 3430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↔ (𝑦𝐵𝐶𝐴))
43simplbi2com 504 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐶𝐴 → (𝑦𝐵𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}))
52, 4syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥𝐴𝑥 = 𝐶) → (𝑦𝐵𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}))
65impancom 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥𝐴𝑦𝐵) → (𝑥 = 𝐶𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}))
76ancrd 553 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥𝐴𝑦𝐵) → (𝑥 = 𝐶 → (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ∧ 𝑥 = 𝐶)))
87expimpd 455 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝐴 → ((𝑦𝐵𝑥 = 𝐶) → (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ∧ 𝑥 = 𝐶)))
98reximdv2 3162 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝐴 → (∃𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶 → ∃𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}𝑥 = 𝐶))
109ralimia 3084 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶 → ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}𝑥 = 𝐶)
113simplbi 499 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} → 𝑦𝐵)
126pm4.71rd 564 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥𝐴𝑦𝐵) → (𝑥 = 𝐶 ↔ (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ∧ 𝑥 = 𝐶)))
13 df-mpt 5194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶) = {⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ∧ 𝑥 = 𝐶)}
1413breqi 5116 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥𝑦{⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ∧ 𝑥 = 𝐶)}𝑥)
15 df-br 5111 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦{⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ∧ 𝑥 = 𝐶)}𝑥 ↔ ⟨𝑦, 𝑥⟩ ∈ {⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ∧ 𝑥 = 𝐶)})
16 opabidw 5486 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (⟨𝑦, 𝑥⟩ ∈ {⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ∧ 𝑥 = 𝐶)} ↔ (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ∧ 𝑥 = 𝐶))
1714, 15, 163bitri 297 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥 ↔ (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ∧ 𝑥 = 𝐶))
1812, 17bitr4di 289 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥𝐴𝑦𝐵) → (𝑥 = 𝐶𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥))
1911, 18sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥𝐴𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}) → (𝑥 = 𝐶𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥))
2019rexbidva 3174 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝐴 → (∃𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}𝑥 = 𝐶 ↔ ∃𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥))
2120ralbiia 3095 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑥𝐴𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}𝑥 = 𝐶 ↔ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥)
22 breq2 5114 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 = 𝑥 → (𝑏(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑎𝑏(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥))
2322rexbidv 3176 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 = 𝑥 → (∃𝑏 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}𝑏(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑎 ↔ ∃𝑏 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}𝑏(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥))
24 nfcv 2908 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑏{𝑦𝐵𝐶𝐴}
25 nfrab1 3429 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑦{𝑦𝐵𝐶𝐴}
26 nfcv 2908 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑦𝑏
27 nfmpt1 5218 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)
28 nfcv 2908 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑦𝑥
2926, 27, 28nfbr 5157 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑦 𝑏(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥
30 nfv 1918 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑏 𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥
31 breq1 5113 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 = 𝑦 → (𝑏(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥))
3224, 25, 29, 30, 31cbvrexfw 3291 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∃𝑏 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}𝑏(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥)
3323, 32bitrdi 287 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = 𝑥 → (∃𝑏 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}𝑏(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑎 ↔ ∃𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥))
3433cbvralvw 3228 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑎𝐴𝑏 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}𝑏(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑎 ↔ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥)
3521, 34bitr4i 278 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑥𝐴𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}𝑥 = 𝐶 ↔ ∀𝑎𝐴𝑏 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}𝑏(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑎)
3610, 35sylib 217 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶 → ∀𝑎𝐴𝑏 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}𝑏(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑎)
37 nfv 1918 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑏(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ∧ 𝑥 = 𝐶)
3825nfcri 2895 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑦 𝑏 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}
39 nfcsb1v 3885 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑦𝑏 / 𝑦𝐶
4039nfeq2 2925 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑦 𝑥 = 𝑏 / 𝑦𝐶
4138, 40nfan 1903 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦(𝑏 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ∧ 𝑥 = 𝑏 / 𝑦𝐶)
42 eleq1 2826 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑏 → (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↔ 𝑏 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}))
43 csbeq1a 3874 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑏𝐶 = 𝑏 / 𝑦𝐶)
4443eqeq2d 2748 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑏 → (𝑥 = 𝐶𝑥 = 𝑏 / 𝑦𝐶))
4542, 44anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑏 → ((𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ∧ 𝑥 = 𝐶) ↔ (𝑏 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ∧ 𝑥 = 𝑏 / 𝑦𝐶)))
4637, 41, 45cbvopab1 5185 . . . . . . . . . . . . 13 {⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ∧ 𝑥 = 𝐶)} = {⟨𝑏, 𝑥⟩ ∣ (𝑏 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ∧ 𝑥 = 𝑏 / 𝑦𝐶)}
47 df-mpt 5194 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝑏 / 𝑦𝐶) = {⟨𝑏, 𝑥⟩ ∣ (𝑏 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ∧ 𝑥 = 𝑏 / 𝑦𝐶)}
4846, 13, 473eqtr4i 2775 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶) = (𝑏 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝑏 / 𝑦𝐶)
49 nfcv 2908 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦𝐵
5039nfel1 2924 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦𝑏 / 𝑦𝐶𝐴
5143eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑏 → (𝐶𝐴𝑏 / 𝑦𝐶𝐴))
5226, 49, 50, 51elrabf 3646 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↔ (𝑏𝐵𝑏 / 𝑦𝐶𝐴))
5352simprbi 498 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} → 𝑏 / 𝑦𝐶𝐴)
5448, 53fmpti 7065 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶):{𝑦𝐵𝐶𝐴}⟶𝐴
5536, 54jctil 521 . . . . . . . . . 10 (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶 → ((𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶):{𝑦𝐵𝐶𝐴}⟶𝐴 ∧ ∀𝑎𝐴𝑏 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}𝑏(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑎))
56 dffo4 7058 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶):{𝑦𝐵𝐶𝐴}–onto𝐴 ↔ ((𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶):{𝑦𝐵𝐶𝐴}⟶𝐴 ∧ ∀𝑎𝐴𝑏 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}𝑏(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑎))
5755, 56sylibr 233 . . . . . . . . 9 (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶 → (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶):{𝑦𝐵𝐶𝐴}–onto𝐴)
5857adantl 483 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶) → (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶):{𝑦𝐵𝐶𝐴}–onto𝐴)
59 relen 8895 . . . . . . . . . . . . 13 Rel ≈
6059brrelex2i 5694 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝐵𝐵 ∈ V)
61 ssrab2 4042 . . . . . . . . . . . 12 {𝑦𝐵𝐶𝐴} ⊆ 𝐵
62 ssdomg 8947 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ V → ({𝑦𝐵𝐶𝐴} ⊆ 𝐵 → {𝑦𝐵𝐶𝐴} ≼ 𝐵))
6360, 61, 62mpisyl 21 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝐵 → {𝑦𝐵𝐶𝐴} ≼ 𝐵)
64 ensym 8950 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝐵𝐵𝐴)
65 domentr 8960 . . . . . . . . . . 11 (({𝑦𝐵𝐶𝐴} ≼ 𝐵𝐵𝐴) → {𝑦𝐵𝐶𝐴} ≼ 𝐴)
6663, 64, 65syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝐵 → {𝑦𝐵𝐶𝐴} ≼ 𝐴)
6766ad2antlr 726 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶) → {𝑦𝐵𝐶𝐴} ≼ 𝐴)
68 enfi 9141 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝐵 → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐵 ∈ Fin))
6968biimpac 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ Fin)
70 rabfi 9220 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ Fin → {𝑦𝐵𝐶𝐴} ∈ Fin)
7169, 70syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) → {𝑦𝐵𝐶𝐴} ∈ Fin)
72 fodomfi 9276 . . . . . . . . . 10 (({𝑦𝐵𝐶𝐴} ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶):{𝑦𝐵𝐶𝐴}–onto𝐴) → 𝐴 ≼ {𝑦𝐵𝐶𝐴})
7371, 57, 72syl2an 597 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶) → 𝐴 ≼ {𝑦𝐵𝐶𝐴})
74 sbth 9044 . . . . . . . . 9 (({𝑦𝐵𝐶𝐴} ≼ 𝐴𝐴 ≼ {𝑦𝐵𝐶𝐴}) → {𝑦𝐵𝐶𝐴} ≈ 𝐴)
7567, 73, 74syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶) → {𝑦𝐵𝐶𝐴} ≈ 𝐴)
76 simpll 766 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶) → 𝐴 ∈ Fin)
77 fofinf1o 9278 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶):{𝑦𝐵𝐶𝐴}–onto𝐴 ∧ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ≈ 𝐴𝐴 ∈ Fin) → (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶):{𝑦𝐵𝐶𝐴}–1-1-onto𝐴)
7858, 75, 76, 77syl3anc 1372 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶) → (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶):{𝑦𝐵𝐶𝐴}–1-1-onto𝐴)
79 f1of1 6788 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶):{𝑦𝐵𝐶𝐴}–1-1-onto𝐴 → (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶):{𝑦𝐵𝐶𝐴}–1-1𝐴)
8078, 79syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶) → (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶):{𝑦𝐵𝐶𝐴}–1-1𝐴)
81 dff12 6742 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶):{𝑦𝐵𝐶𝐴}–1-1𝐴 ↔ ((𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶):{𝑦𝐵𝐶𝐴}⟶𝐴 ∧ ∀𝑎∃*𝑏 𝑏(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑎))
8281simprbi 498 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶):{𝑦𝐵𝐶𝐴}–1-1𝐴 → ∀𝑎∃*𝑏 𝑏(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑎)
8322mobidv 2548 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝑥 → (∃*𝑏 𝑏(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑎 ↔ ∃*𝑏 𝑏(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥))
8429, 30, 31cbvmow 2602 . . . . . . . . 9 (∃*𝑏 𝑏(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥 ↔ ∃*𝑦 𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥)
8583, 84bitrdi 287 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑥 → (∃*𝑏 𝑏(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑎 ↔ ∃*𝑦 𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥))
8685cbvalvw 2040 . . . . . . 7 (∀𝑎∃*𝑏 𝑏(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑎 ↔ ∀𝑥∃*𝑦 𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥)
8782, 86sylib 217 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶):{𝑦𝐵𝐶𝐴}–1-1𝐴 → ∀𝑥∃*𝑦 𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥)
88 mormo 3361 . . . . . . 7 (∃*𝑦 𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥 → ∃*𝑦𝐵 𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥)
8988alimi 1814 . . . . . 6 (∀𝑥∃*𝑦 𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥 → ∀𝑥∃*𝑦𝐵 𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥)
90 alral 3079 . . . . . 6 (∀𝑥∃*𝑦𝐵 𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥 → ∀𝑥𝐴 ∃*𝑦𝐵 𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥)
9180, 87, 89, 904syl 19 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶) → ∀𝑥𝐴 ∃*𝑦𝐵 𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥)
9218rmobidva 3371 . . . . . 6 (𝑥𝐴 → (∃*𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶 ↔ ∃*𝑦𝐵 𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥))
9392ralbiia 3095 . . . . 5 (∀𝑥𝐴 ∃*𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶 ↔ ∀𝑥𝐴 ∃*𝑦𝐵 𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥)
9491, 93sylibr 233 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶) → ∀𝑥𝐴 ∃*𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶)
9594ex 414 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) → (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶 → ∀𝑥𝐴 ∃*𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶))
9695pm4.71d 563 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) → (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶 ↔ (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶 ∧ ∀𝑥𝐴 ∃*𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶)))
97 reu5 3358 . . . 4 (∃!𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶 ↔ (∃𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶 ∧ ∃*𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶))
9897ralbii 3097 . . 3 (∀𝑥𝐴 ∃!𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶 ↔ ∀𝑥𝐴 (∃𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶 ∧ ∃*𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶))
99 r19.26 3115 . . 3 (∀𝑥𝐴 (∃𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶 ∧ ∃*𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶) ↔ (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶 ∧ ∀𝑥𝐴 ∃*𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶))
10098, 99bitri 275 . 2 (∀𝑥𝐴 ∃!𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶 ↔ (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶 ∧ ∀𝑥𝐴 ∃*𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶))
10196, 100bitr4di 289 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) → (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶 ↔ ∀𝑥𝐴 ∃!𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  wal 1540   = wceq 1542  wcel 2107  ∃*wmo 2537  wral 3065  wrex 3074  ∃!wreu 3354  ∃*wrmo 3355  {crab 3410  Vcvv 3448  csb 3860  wss 3915  cop 4597   class class class wbr 5110  {copab 5172  cmpt 5193  wf 6497  1-1wf1 6498  ontowfo 6499  1-1-ontowf1o 6500  cen 8887  cdom 8888  Fincfn 8890
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-om 7808  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894
This theorem is referenced by:  poimirlem25  36132  poimirlem26  36133
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