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Theorem phpreu 33706
Description: Theorem related to pigeonhole principle. (Contributed by Brendan Leahy, 21-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
phpreu ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) → (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶 ↔ ∀𝑥𝐴 ∃!𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑦)

Proof of Theorem phpreu
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝐶 → (𝑥𝐴𝐶𝐴))
21biimpac 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥𝐴𝑥 = 𝐶) → 𝐶𝐴)
3 rabid 3304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↔ (𝑦𝐵𝐶𝐴))
43simplbi2com 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐶𝐴 → (𝑦𝐵𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}))
52, 4syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥𝐴𝑥 = 𝐶) → (𝑦𝐵𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}))
65impancom 441 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥𝐴𝑦𝐵) → (𝑥 = 𝐶𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}))
76ancrd 543 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥𝐴𝑦𝐵) → (𝑥 = 𝐶 → (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ∧ 𝑥 = 𝐶)))
87expimpd 443 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝐴 → ((𝑦𝐵𝑥 = 𝐶) → (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ∧ 𝑥 = 𝐶)))
98reximdv2 3201 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝐴 → (∃𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶 → ∃𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}𝑥 = 𝐶))
109ralimia 3138 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶 → ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}𝑥 = 𝐶)
113simplbi 487 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} → 𝑦𝐵)
126pm4.71rd 554 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥𝐴𝑦𝐵) → (𝑥 = 𝐶 ↔ (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ∧ 𝑥 = 𝐶)))
13 df-mpt 4924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶) = {⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ∧ 𝑥 = 𝐶)}
1413breqi 4850 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥𝑦{⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ∧ 𝑥 = 𝐶)}𝑥)
15 df-br 4845 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦{⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ∧ 𝑥 = 𝐶)}𝑥 ↔ ⟨𝑦, 𝑥⟩ ∈ {⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ∧ 𝑥 = 𝐶)})
16 opabid 5177 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (⟨𝑦, 𝑥⟩ ∈ {⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ∧ 𝑥 = 𝐶)} ↔ (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ∧ 𝑥 = 𝐶))
1714, 15, 163bitri 288 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥 ↔ (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ∧ 𝑥 = 𝐶))
1812, 17syl6bbr 280 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥𝐴𝑦𝐵) → (𝑥 = 𝐶𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥))
1911, 18sylan2 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥𝐴𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}) → (𝑥 = 𝐶𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥))
2019rexbidva 3237 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝐴 → (∃𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}𝑥 = 𝐶 ↔ ∃𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥))
2120ralbiia 3167 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑥𝐴𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}𝑥 = 𝐶 ↔ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥)
22 breq2 4848 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 = 𝑥 → (𝑏(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑎𝑏(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥))
2322rexbidv 3240 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 = 𝑥 → (∃𝑏 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}𝑏(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑎 ↔ ∃𝑏 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}𝑏(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥))
24 nfcv 2948 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑏{𝑦𝐵𝐶𝐴}
25 nfrab1 3311 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑦{𝑦𝐵𝐶𝐴}
26 nfcv 2948 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑦𝑏
27 nfmpt1 4941 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)
28 nfcv 2948 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑦𝑥
2926, 27, 28nfbr 4891 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑦 𝑏(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥
30 nfv 2005 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑏 𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥
31 breq1 4847 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 = 𝑦 → (𝑏(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥))
3224, 25, 29, 30, 31cbvrexf 3355 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∃𝑏 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}𝑏(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥)
3323, 32syl6bb 278 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = 𝑥 → (∃𝑏 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}𝑏(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑎 ↔ ∃𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥))
3433cbvralv 3360 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑎𝐴𝑏 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}𝑏(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑎 ↔ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥)
3521, 34bitr4i 269 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑥𝐴𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}𝑥 = 𝐶 ↔ ∀𝑎𝐴𝑏 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}𝑏(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑎)
3610, 35sylib 209 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶 → ∀𝑎𝐴𝑏 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}𝑏(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑎)
37 nfv 2005 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑏(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ∧ 𝑥 = 𝐶)
3825nfcri 2942 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑦 𝑏 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}
39 nfcsb1v 3744 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑦𝑏 / 𝑦𝐶
4039nfeq2 2964 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑦 𝑥 = 𝑏 / 𝑦𝐶
4138, 40nfan 1990 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦(𝑏 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ∧ 𝑥 = 𝑏 / 𝑦𝐶)
42 eleq1 2873 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑏 → (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↔ 𝑏 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}))
43 csbeq1a 3737 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑏𝐶 = 𝑏 / 𝑦𝐶)
4443eqeq2d 2816 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑏 → (𝑥 = 𝐶𝑥 = 𝑏 / 𝑦𝐶))
4542, 44anbi12d 618 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑏 → ((𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ∧ 𝑥 = 𝐶) ↔ (𝑏 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ∧ 𝑥 = 𝑏 / 𝑦𝐶)))
4637, 41, 45cbvopab1 4917 . . . . . . . . . . . . 13 {⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ∧ 𝑥 = 𝐶)} = {⟨𝑏, 𝑥⟩ ∣ (𝑏 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ∧ 𝑥 = 𝑏 / 𝑦𝐶)}
47 df-mpt 4924 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝑏 / 𝑦𝐶) = {⟨𝑏, 𝑥⟩ ∣ (𝑏 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ∧ 𝑥 = 𝑏 / 𝑦𝐶)}
4846, 13, 473eqtr4i 2838 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶) = (𝑏 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝑏 / 𝑦𝐶)
49 nfcv 2948 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦𝐵
5039nfel1 2963 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦𝑏 / 𝑦𝐶𝐴
5143eleq1d 2870 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑏 → (𝐶𝐴𝑏 / 𝑦𝐶𝐴))
5226, 49, 50, 51elrabf 3555 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↔ (𝑏𝐵𝑏 / 𝑦𝐶𝐴))
5352simprbi 486 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} → 𝑏 / 𝑦𝐶𝐴)
5448, 53fmpti 6604 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶):{𝑦𝐵𝐶𝐴}⟶𝐴
5536, 54jctil 511 . . . . . . . . . 10 (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶 → ((𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶):{𝑦𝐵𝐶𝐴}⟶𝐴 ∧ ∀𝑎𝐴𝑏 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}𝑏(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑎))
56 dffo4 6597 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶):{𝑦𝐵𝐶𝐴}–onto𝐴 ↔ ((𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶):{𝑦𝐵𝐶𝐴}⟶𝐴 ∧ ∀𝑎𝐴𝑏 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}𝑏(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑎))
5755, 56sylibr 225 . . . . . . . . 9 (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶 → (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶):{𝑦𝐵𝐶𝐴}–onto𝐴)
5857adantl 469 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶) → (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶):{𝑦𝐵𝐶𝐴}–onto𝐴)
59 relen 8197 . . . . . . . . . . . . 13 Rel ≈
6059brrelex2i 5359 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝐵𝐵 ∈ V)
61 ssrab2 3884 . . . . . . . . . . . 12 {𝑦𝐵𝐶𝐴} ⊆ 𝐵
62 ssdomg 8238 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ V → ({𝑦𝐵𝐶𝐴} ⊆ 𝐵 → {𝑦𝐵𝐶𝐴} ≼ 𝐵))
6360, 61, 62mpisyl 21 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝐵 → {𝑦𝐵𝐶𝐴} ≼ 𝐵)
64 ensym 8241 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝐵𝐵𝐴)
65 domentr 8251 . . . . . . . . . . 11 (({𝑦𝐵𝐶𝐴} ≼ 𝐵𝐵𝐴) → {𝑦𝐵𝐶𝐴} ≼ 𝐴)
6663, 64, 65syl2anc 575 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝐵 → {𝑦𝐵𝐶𝐴} ≼ 𝐴)
6766ad2antlr 709 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶) → {𝑦𝐵𝐶𝐴} ≼ 𝐴)
68 enfi 8415 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝐵 → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐵 ∈ Fin))
6968biimpac 466 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ Fin)
70 rabfi 8424 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ Fin → {𝑦𝐵𝐶𝐴} ∈ Fin)
7169, 70syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) → {𝑦𝐵𝐶𝐴} ∈ Fin)
72 fodomfi 8478 . . . . . . . . . 10 (({𝑦𝐵𝐶𝐴} ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶):{𝑦𝐵𝐶𝐴}–onto𝐴) → 𝐴 ≼ {𝑦𝐵𝐶𝐴})
7371, 57, 72syl2an 585 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶) → 𝐴 ≼ {𝑦𝐵𝐶𝐴})
74 sbth 8319 . . . . . . . . 9 (({𝑦𝐵𝐶𝐴} ≼ 𝐴𝐴 ≼ {𝑦𝐵𝐶𝐴}) → {𝑦𝐵𝐶𝐴} ≈ 𝐴)
7567, 73, 74syl2anc 575 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶) → {𝑦𝐵𝐶𝐴} ≈ 𝐴)
76 simpll 774 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶) → 𝐴 ∈ Fin)
77 fofinf1o 8480 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶):{𝑦𝐵𝐶𝐴}–onto𝐴 ∧ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ≈ 𝐴𝐴 ∈ Fin) → (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶):{𝑦𝐵𝐶𝐴}–1-1-onto𝐴)
7858, 75, 76, 77syl3anc 1483 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶) → (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶):{𝑦𝐵𝐶𝐴}–1-1-onto𝐴)
79 f1of1 6352 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶):{𝑦𝐵𝐶𝐴}–1-1-onto𝐴 → (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶):{𝑦𝐵𝐶𝐴}–1-1𝐴)
8078, 79syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶) → (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶):{𝑦𝐵𝐶𝐴}–1-1𝐴)
81 dff12 6315 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶):{𝑦𝐵𝐶𝐴}–1-1𝐴 ↔ ((𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶):{𝑦𝐵𝐶𝐴}⟶𝐴 ∧ ∀𝑎∃*𝑏 𝑏(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑎))
8281simprbi 486 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶):{𝑦𝐵𝐶𝐴}–1-1𝐴 → ∀𝑎∃*𝑏 𝑏(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑎)
8322mobidv 2637 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝑥 → (∃*𝑏 𝑏(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑎 ↔ ∃*𝑏 𝑏(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥))
8429, 30, 31cbvmo 2669 . . . . . . . . 9 (∃*𝑏 𝑏(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥 ↔ ∃*𝑦 𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥)
8583, 84syl6bb 278 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑥 → (∃*𝑏 𝑏(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑎 ↔ ∃*𝑦 𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥))
8685cbvalvw 2136 . . . . . . 7 (∀𝑎∃*𝑏 𝑏(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑎 ↔ ∀𝑥∃*𝑦 𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥)
8782, 86sylib 209 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶):{𝑦𝐵𝐶𝐴}–1-1𝐴 → ∀𝑥∃*𝑦 𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥)
88 mormo 3347 . . . . . . 7 (∃*𝑦 𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥 → ∃*𝑦𝐵 𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥)
8988alimi 1896 . . . . . 6 (∀𝑥∃*𝑦 𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥 → ∀𝑥∃*𝑦𝐵 𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥)
90 alral 3116 . . . . . 6 (∀𝑥∃*𝑦𝐵 𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥 → ∀𝑥𝐴 ∃*𝑦𝐵 𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥)
9180, 87, 89, 904syl 19 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶) → ∀𝑥𝐴 ∃*𝑦𝐵 𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥)
9218rmobidva 3319 . . . . . 6 (𝑥𝐴 → (∃*𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶 ↔ ∃*𝑦𝐵 𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥))
9392ralbiia 3167 . . . . 5 (∀𝑥𝐴 ∃*𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶 ↔ ∀𝑥𝐴 ∃*𝑦𝐵 𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥)
9491, 93sylibr 225 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶) → ∀𝑥𝐴 ∃*𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶)
9594ex 399 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) → (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶 → ∀𝑥𝐴 ∃*𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶))
9695pm4.71d 553 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) → (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶 ↔ (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶 ∧ ∀𝑥𝐴 ∃*𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶)))
97 reu5 3348 . . . 4 (∃!𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶 ↔ (∃𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶 ∧ ∃*𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶))
9897ralbii 3168 . . 3 (∀𝑥𝐴 ∃!𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶 ↔ ∀𝑥𝐴 (∃𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶 ∧ ∃*𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶))
99 r19.26 3252 . . 3 (∀𝑥𝐴 (∃𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶 ∧ ∃*𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶) ↔ (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶 ∧ ∀𝑥𝐴 ∃*𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶))
10098, 99bitri 266 . 2 (∀𝑥𝐴 ∃!𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶 ↔ (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶 ∧ ∀𝑥𝐴 ∃*𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶))
10196, 100syl6bbr 280 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) → (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶 ↔ ∀𝑥𝐴 ∃!𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  wal 1635   = wceq 1637  wcel 2156  ∃*wmo 2631  wral 3096  wrex 3097  ∃!wreu 3098  ∃*wrmo 3099  {crab 3100  Vcvv 3391  csb 3728  wss 3769  cop 4376   class class class wbr 4844  {copab 4906  cmpt 4923  wf 6097  1-1wf1 6098  ontowfo 6099  1-1-ontowf1o 6100  cen 8189  cdom 8190  Fincfn 8192
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7179
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rmo 3104  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-om 7296  df-1o 7796  df-er 7979  df-en 8193  df-dom 8194  df-sdom 8195  df-fin 8196
This theorem is referenced by:  poimirlem25  33747  poimirlem26  33748
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