Theorem phpreu 37612

Description: Theorem related to pigeonhole principle. (Contributed by Brendan Leahy, 21-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
phpreu	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = 𝐶))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑦)

Proof of Theorem phpreu

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝐶 ∈ 𝐴))
2	1	biimpac 478	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 = 𝐶) → 𝐶 ∈ 𝐴)
3		rabid 3457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴} ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴))
4	3	simplbi2com 502	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴}))
5	2, 4	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 = 𝐶) → (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴}))
6	5	impancom 451	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 = 𝐶 → 𝑦 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴}))
7	6	ancrd 551	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 = 𝐶 → (𝑦 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴} ∧ 𝑥 = 𝐶)))
8	7	expimpd 453	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 = 𝐶) → (𝑦 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴} ∧ 𝑥 = 𝐶)))
9	8	reximdv2 3163	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = 𝐶 → ∃𝑦 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴}𝑥 = 𝐶))
10	9	ralimia 3079	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = 𝐶 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴}𝑥 = 𝐶)
11	3	simplbi 497	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴} → 𝑦 ∈ 𝐵)
12	6	pm4.71rd 562	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 = 𝐶 ↔ (𝑦 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴} ∧ 𝑥 = 𝐶)))
13		df-mpt 5225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴} ↦ 𝐶) = {⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ (𝑦 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴} ∧ 𝑥 = 𝐶)}
14	13	breqi 5148	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦(𝑦 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴} ↦ 𝐶)𝑥 ↔ 𝑦{⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ (𝑦 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴} ∧ 𝑥 = 𝐶)}𝑥)
15		df-br 5143	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦{⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ (𝑦 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴} ∧ 𝑥 = 𝐶)}𝑥 ↔ ⟨𝑦, 𝑥⟩ ∈ {⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ (𝑦 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴} ∧ 𝑥 = 𝐶)})
16		opabidw 5528	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (⟨𝑦, 𝑥⟩ ∈ {⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ (𝑦 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴} ∧ 𝑥 = 𝐶)} ↔ (𝑦 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴} ∧ 𝑥 = 𝐶))
17	14, 15, 16	3bitri 297	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦(𝑦 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴} ↦ 𝐶)𝑥 ↔ (𝑦 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴} ∧ 𝑥 = 𝐶))
18	12, 17	bitr4di 289	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 = 𝐶 ↔ 𝑦(𝑦 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴} ↦ 𝐶)𝑥))
19	11, 18	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴}) → (𝑥 = 𝐶 ↔ 𝑦(𝑦 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴} ↦ 𝐶)𝑥))
20	19	rexbidva 3176	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (∃𝑦 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴}𝑥 = 𝐶 ↔ ∃𝑦 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴}𝑦(𝑦 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴} ↦ 𝐶)𝑥))
21	20	ralbiia 3090	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴}𝑥 = 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴}𝑦(𝑦 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴} ↦ 𝐶)𝑥)
22		breq2 5146	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (𝑏(𝑦 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴} ↦ 𝐶)𝑎 ↔ 𝑏(𝑦 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴} ↦ 𝐶)𝑥))
23	22	rexbidv 3178	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (∃𝑏 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴}𝑏(𝑦 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴} ↦ 𝐶)𝑎 ↔ ∃𝑏 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴}𝑏(𝑦 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴} ↦ 𝐶)𝑥))
24		nfcv 2904	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑏{𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴}
25		nfrab1 3456	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑦{𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴}
26		nfcv 2904	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑦𝑏
27		nfmpt1 5249	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑦 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴} ↦ 𝐶)
28		nfcv 2904	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑦𝑥
29	26, 27, 28	nfbr 5189	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑏(𝑦 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴} ↦ 𝐶)𝑥
30		nfv 1913	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑏 𝑦(𝑦 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴} ↦ 𝐶)𝑥
31		breq1 5145	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 = 𝑦 → (𝑏(𝑦 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴} ↦ 𝐶)𝑥 ↔ 𝑦(𝑦 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴} ↦ 𝐶)𝑥))
32	24, 25, 29, 30, 31	cbvrexfw 3304	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∃𝑏 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴}𝑏(𝑦 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴} ↦ 𝐶)𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴}𝑦(𝑦 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴} ↦ 𝐶)𝑥)
33	23, 32	bitrdi 287	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (∃𝑏 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴}𝑏(𝑦 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴} ↦ 𝐶)𝑎 ↔ ∃𝑦 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴}𝑦(𝑦 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴} ↦ 𝐶)𝑥))
34	33	cbvralvw 3236	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴}𝑏(𝑦 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴} ↦ 𝐶)𝑎 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴}𝑦(𝑦 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴} ↦ 𝐶)𝑥)
35	21, 34	bitr4i 278	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴}𝑥 = 𝐶 ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴}𝑏(𝑦 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴} ↦ 𝐶)𝑎)
36	10, 35	sylib 218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = 𝐶 → ∀𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴}𝑏(𝑦 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴} ↦ 𝐶)𝑎)
37		nfv 1913	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑏(𝑦 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴} ∧ 𝑥 = 𝐶)
38	25	nfcri 2896	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑏 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴}
39		nfcsb1v 3922	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑦⦋𝑏 / 𝑦⦌𝐶
40	39	nfeq2 2922	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑥 = ⦋𝑏 / 𝑦⦌𝐶
41	38, 40	nfan 1898	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑏 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴} ∧ 𝑥 = ⦋𝑏 / 𝑦⦌𝐶)
42		eleq1 2828	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → (𝑦 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴} ↔ 𝑏 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴}))
43		csbeq1a 3912	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → 𝐶 = ⦋𝑏 / 𝑦⦌𝐶)
44	43	eqeq2d 2747	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → (𝑥 = 𝐶 ↔ 𝑥 = ⦋𝑏 / 𝑦⦌𝐶))
45	42, 44	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → ((𝑦 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴} ∧ 𝑥 = 𝐶) ↔ (𝑏 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴} ∧ 𝑥 = ⦋𝑏 / 𝑦⦌𝐶)))
46	37, 41, 45	cbvopab1 5216	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ (𝑦 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴} ∧ 𝑥 = 𝐶)} = {⟨𝑏, 𝑥⟩ ∣ (𝑏 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴} ∧ 𝑥 = ⦋𝑏 / 𝑦⦌𝐶)}
47		df-mpt 5225	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴} ↦ ⦋𝑏 / 𝑦⦌𝐶) = {⟨𝑏, 𝑥⟩ ∣ (𝑏 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴} ∧ 𝑥 = ⦋𝑏 / 𝑦⦌𝐶)}
48	46, 13, 47	3eqtr4i 2774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴} ↦ 𝐶) = (𝑏 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴} ↦ ⦋𝑏 / 𝑦⦌𝐶)
49		nfcv 2904	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑦𝐵
50	39	nfel1 2921	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑦⦋𝑏 / 𝑦⦌𝐶 ∈ 𝐴
51	43	eleq1d 2825	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → (𝐶 ∈ 𝐴 ↔ ⦋𝑏 / 𝑦⦌𝐶 ∈ 𝐴))
52	26, 49, 50, 51	elrabf 3687	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴} ↔ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ⦋𝑏 / 𝑦⦌𝐶 ∈ 𝐴))
53	52	simprbi 496	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴} → ⦋𝑏 / 𝑦⦌𝐶 ∈ 𝐴)
54	48, 53	fmpti 7131	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴} ↦ 𝐶):{𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴}⟶𝐴
55	36, 54	jctil 519	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = 𝐶 → ((𝑦 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴} ↦ 𝐶):{𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴}⟶𝐴 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴}𝑏(𝑦 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴} ↦ 𝐶)𝑎))
56		dffo4 7122	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴} ↦ 𝐶):{𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴}–onto→𝐴 ↔ ((𝑦 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴} ↦ 𝐶):{𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴}⟶𝐴 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴}𝑏(𝑦 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴} ↦ 𝐶)𝑎))
57	55, 56	sylibr 234	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = 𝐶 → (𝑦 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴} ↦ 𝐶):{𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴}–onto→𝐴)
58	57	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = 𝐶) → (𝑦 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴} ↦ 𝐶):{𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴}–onto→𝐴)
59		relen 8991	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Rel ≈
60	59	brrelex2i 5741	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ∈ V)
61		ssrab2 4079	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴} ⊆ 𝐵
62		ssdomg 9041	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ V → ({𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴} ⊆ 𝐵 → {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴} ≼ 𝐵))
63	60, 61, 62	mpisyl 21	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴} ≼ 𝐵)
64		ensym 9044	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≈ 𝐴)
65		domentr 9054	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (({𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴} ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐴) → {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴} ≼ 𝐴)
66	63, 64, 65	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴} ≼ 𝐴)
67	66	ad2antlr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = 𝐶) → {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴} ≼ 𝐴)
68		enfi 9228	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐵 ∈ Fin))
69	68	biimpac 478	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐵 ∈ Fin)
70		rabfi 9304	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴} ∈ Fin)
71	69, 70	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴} ∈ Fin)
72		fodomfi 9351	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴} ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴} ↦ 𝐶):{𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴}–onto→𝐴) → 𝐴 ≼ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴})
73	71, 57, 72	syl2an 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = 𝐶) → 𝐴 ≼ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴})
74		sbth 9134	. . . . . . . . 9 ⊢ (({𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴} ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴}) → {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴} ≈ 𝐴)
75	67, 73, 74	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = 𝐶) → {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴} ≈ 𝐴)
76		simpll 766	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = 𝐶) → 𝐴 ∈ Fin)
77		fofinf1o 9373	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴} ↦ 𝐶):{𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴}–onto→𝐴 ∧ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴} ≈ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝑦 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴} ↦ 𝐶):{𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴}–1-1-onto→𝐴)
78	58, 75, 76, 77	syl3anc 1372	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = 𝐶) → (𝑦 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴} ↦ 𝐶):{𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴}–1-1-onto→𝐴)
79		f1of1 6846	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴} ↦ 𝐶):{𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴}–1-1-onto→𝐴 → (𝑦 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴} ↦ 𝐶):{𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴}–1-1→𝐴)
80	78, 79	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = 𝐶) → (𝑦 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴} ↦ 𝐶):{𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴}–1-1→𝐴)
81		dff12 6802	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴} ↦ 𝐶):{𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴}–1-1→𝐴 ↔ ((𝑦 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴} ↦ 𝐶):{𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴}⟶𝐴 ∧ ∀𝑎∃*𝑏 𝑏(𝑦 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴} ↦ 𝐶)𝑎))
82	81	simprbi 496	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴} ↦ 𝐶):{𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴}–1-1→𝐴 → ∀𝑎∃*𝑏 𝑏(𝑦 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴} ↦ 𝐶)𝑎)
83	22	mobidv 2548	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (∃*𝑏 𝑏(𝑦 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴} ↦ 𝐶)𝑎 ↔ ∃*𝑏 𝑏(𝑦 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴} ↦ 𝐶)𝑥))
84	29, 30, 31	cbvmow 2602	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃*𝑏 𝑏(𝑦 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴} ↦ 𝐶)𝑥 ↔ ∃*𝑦 𝑦(𝑦 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴} ↦ 𝐶)𝑥)
85	83, 84	bitrdi 287	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (∃*𝑏 𝑏(𝑦 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴} ↦ 𝐶)𝑎 ↔ ∃*𝑦 𝑦(𝑦 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴} ↦ 𝐶)𝑥))
86	85	cbvalvw 2034	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑎∃*𝑏 𝑏(𝑦 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴} ↦ 𝐶)𝑎 ↔ ∀𝑥∃*𝑦 𝑦(𝑦 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴} ↦ 𝐶)𝑥)
87	82, 86	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴} ↦ 𝐶):{𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴}–1-1→𝐴 → ∀𝑥∃*𝑦 𝑦(𝑦 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴} ↦ 𝐶)𝑥)
88		mormo 3384	. . . . . . 7 ⊢ (∃*𝑦 𝑦(𝑦 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴} ↦ 𝐶)𝑥 → ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝑦(𝑦 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴} ↦ 𝐶)𝑥)
89	88	alimi 1810	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥∃*𝑦 𝑦(𝑦 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴} ↦ 𝐶)𝑥 → ∀𝑥∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝑦(𝑦 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴} ↦ 𝐶)𝑥)
90		alral 3074	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝑦(𝑦 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴} ↦ 𝐶)𝑥 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝑦(𝑦 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴} ↦ 𝐶)𝑥)
91	80, 87, 89, 90	4syl 19	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = 𝐶) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝑦(𝑦 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴} ↦ 𝐶)𝑥)
92	18	rmobidva 3394	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = 𝐶 ↔ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝑦(𝑦 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴} ↦ 𝐶)𝑥))
93	92	ralbiia 3090	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝑦(𝑦 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ 𝐴} ↦ 𝐶)𝑥)
94	91, 93	sylibr 234	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = 𝐶) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = 𝐶)
95	94	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = 𝐶 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = 𝐶))
96	95	pm4.71d 561	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = 𝐶 ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = 𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = 𝐶)))
97		reu5 3381	. . . 4 ⊢ (∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = 𝐶 ↔ (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = 𝐶 ∧ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = 𝐶))
98	97	ralbii 3092	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = 𝐶 ∧ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = 𝐶))
99		r19.26 3110	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = 𝐶 ∧ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = 𝐶) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = 𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = 𝐶))
100	98, 99	bitri 275	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = 𝐶 ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = 𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = 𝐶))
101	96, 100	bitr4di 289	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1537   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∃*wmo 2537  ∀wral 3060  ∃wrex 3069  ∃!wreu 3377  ∃*wrmo 3378  {crab 3435  Vcvv 3479  ⦋csb 3898   ⊆ wss 3950  ⟨cop 4631   class class class wbr 5142  {copab 5204   ↦ cmpt 5224  ⟶wf 6556  –1-1→wf1 6557  –onto→wfo 6558  –1-1-onto→wf1o 6559   ≈ cen 8983   ≼ cdom 8984  Fincfn 8986

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-om 7889  df-1o 8507  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990

This theorem is referenced by:  poimirlem25  37653  poimirlem26  37654