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Theorem phpreu 35013
Description: Theorem related to pigeonhole principle. (Contributed by Brendan Leahy, 21-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
phpreu ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) → (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶 ↔ ∀𝑥𝐴 ∃!𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑦)

Proof of Theorem phpreu
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝐶 → (𝑥𝐴𝐶𝐴))
21biimpac 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥𝐴𝑥 = 𝐶) → 𝐶𝐴)
3 rabid 3369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↔ (𝑦𝐵𝐶𝐴))
43simplbi2com 506 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐶𝐴 → (𝑦𝐵𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}))
52, 4syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥𝐴𝑥 = 𝐶) → (𝑦𝐵𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}))
65impancom 455 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥𝐴𝑦𝐵) → (𝑥 = 𝐶𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}))
76ancrd 555 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥𝐴𝑦𝐵) → (𝑥 = 𝐶 → (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ∧ 𝑥 = 𝐶)))
87expimpd 457 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝐴 → ((𝑦𝐵𝑥 = 𝐶) → (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ∧ 𝑥 = 𝐶)))
98reximdv2 3263 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝐴 → (∃𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶 → ∃𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}𝑥 = 𝐶))
109ralimia 3153 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶 → ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}𝑥 = 𝐶)
113simplbi 501 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} → 𝑦𝐵)
126pm4.71rd 566 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥𝐴𝑦𝐵) → (𝑥 = 𝐶 ↔ (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ∧ 𝑥 = 𝐶)))
13 df-mpt 5134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶) = {⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ∧ 𝑥 = 𝐶)}
1413breqi 5059 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥𝑦{⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ∧ 𝑥 = 𝐶)}𝑥)
15 df-br 5054 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦{⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ∧ 𝑥 = 𝐶)}𝑥 ↔ ⟨𝑦, 𝑥⟩ ∈ {⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ∧ 𝑥 = 𝐶)})
16 opabidw 5400 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (⟨𝑦, 𝑥⟩ ∈ {⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ∧ 𝑥 = 𝐶)} ↔ (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ∧ 𝑥 = 𝐶))
1714, 15, 163bitri 300 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥 ↔ (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ∧ 𝑥 = 𝐶))
1812, 17syl6bbr 292 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥𝐴𝑦𝐵) → (𝑥 = 𝐶𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥))
1911, 18sylan2 595 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥𝐴𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}) → (𝑥 = 𝐶𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥))
2019rexbidva 3288 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝐴 → (∃𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}𝑥 = 𝐶 ↔ ∃𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥))
2120ralbiia 3159 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑥𝐴𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}𝑥 = 𝐶 ↔ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥)
22 breq2 5057 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 = 𝑥 → (𝑏(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑎𝑏(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥))
2322rexbidv 3289 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 = 𝑥 → (∃𝑏 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}𝑏(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑎 ↔ ∃𝑏 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}𝑏(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥))
24 nfcv 2982 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑏{𝑦𝐵𝐶𝐴}
25 nfrab1 3375 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑦{𝑦𝐵𝐶𝐴}
26 nfcv 2982 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑦𝑏
27 nfmpt1 5151 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)
28 nfcv 2982 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑦𝑥
2926, 27, 28nfbr 5100 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑦 𝑏(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥
30 nfv 1916 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑏 𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥
31 breq1 5056 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 = 𝑦 → (𝑏(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥))
3224, 25, 29, 30, 31cbvrexfw 3422 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∃𝑏 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}𝑏(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥)
3323, 32syl6bb 290 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = 𝑥 → (∃𝑏 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}𝑏(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑎 ↔ ∃𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥))
3433cbvralvw 3434 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑎𝐴𝑏 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}𝑏(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑎 ↔ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥)
3521, 34bitr4i 281 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑥𝐴𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}𝑥 = 𝐶 ↔ ∀𝑎𝐴𝑏 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}𝑏(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑎)
3610, 35sylib 221 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶 → ∀𝑎𝐴𝑏 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}𝑏(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑎)
37 nfv 1916 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑏(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ∧ 𝑥 = 𝐶)
3825nfcri 2969 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑦 𝑏 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}
39 nfcsb1v 3890 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑦𝑏 / 𝑦𝐶
4039nfeq2 2999 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑦 𝑥 = 𝑏 / 𝑦𝐶
4138, 40nfan 1901 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦(𝑏 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ∧ 𝑥 = 𝑏 / 𝑦𝐶)
42 eleq1 2903 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑏 → (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↔ 𝑏 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}))
43 csbeq1a 3880 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑏𝐶 = 𝑏 / 𝑦𝐶)
4443eqeq2d 2835 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑏 → (𝑥 = 𝐶𝑥 = 𝑏 / 𝑦𝐶))
4542, 44anbi12d 633 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑏 → ((𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ∧ 𝑥 = 𝐶) ↔ (𝑏 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ∧ 𝑥 = 𝑏 / 𝑦𝐶)))
4637, 41, 45cbvopab1 5126 . . . . . . . . . . . . 13 {⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ∧ 𝑥 = 𝐶)} = {⟨𝑏, 𝑥⟩ ∣ (𝑏 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ∧ 𝑥 = 𝑏 / 𝑦𝐶)}
47 df-mpt 5134 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝑏 / 𝑦𝐶) = {⟨𝑏, 𝑥⟩ ∣ (𝑏 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ∧ 𝑥 = 𝑏 / 𝑦𝐶)}
4846, 13, 473eqtr4i 2857 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶) = (𝑏 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝑏 / 𝑦𝐶)
49 nfcv 2982 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦𝐵
5039nfel1 2998 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦𝑏 / 𝑦𝐶𝐴
5143eleq1d 2900 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑏 → (𝐶𝐴𝑏 / 𝑦𝐶𝐴))
5226, 49, 50, 51elrabf 3662 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↔ (𝑏𝐵𝑏 / 𝑦𝐶𝐴))
5352simprbi 500 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} → 𝑏 / 𝑦𝐶𝐴)
5448, 53fmpti 6869 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶):{𝑦𝐵𝐶𝐴}⟶𝐴
5536, 54jctil 523 . . . . . . . . . 10 (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶 → ((𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶):{𝑦𝐵𝐶𝐴}⟶𝐴 ∧ ∀𝑎𝐴𝑏 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}𝑏(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑎))
56 dffo4 6862 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶):{𝑦𝐵𝐶𝐴}–onto𝐴 ↔ ((𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶):{𝑦𝐵𝐶𝐴}⟶𝐴 ∧ ∀𝑎𝐴𝑏 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}𝑏(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑎))
5755, 56sylibr 237 . . . . . . . . 9 (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶 → (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶):{𝑦𝐵𝐶𝐴}–onto𝐴)
5857adantl 485 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶) → (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶):{𝑦𝐵𝐶𝐴}–onto𝐴)
59 relen 8512 . . . . . . . . . . . . 13 Rel ≈
6059brrelex2i 5597 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝐵𝐵 ∈ V)
61 ssrab2 4042 . . . . . . . . . . . 12 {𝑦𝐵𝐶𝐴} ⊆ 𝐵
62 ssdomg 8553 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ V → ({𝑦𝐵𝐶𝐴} ⊆ 𝐵 → {𝑦𝐵𝐶𝐴} ≼ 𝐵))
6360, 61, 62mpisyl 21 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝐵 → {𝑦𝐵𝐶𝐴} ≼ 𝐵)
64 ensym 8556 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝐵𝐵𝐴)
65 domentr 8566 . . . . . . . . . . 11 (({𝑦𝐵𝐶𝐴} ≼ 𝐵𝐵𝐴) → {𝑦𝐵𝐶𝐴} ≼ 𝐴)
6663, 64, 65syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝐵 → {𝑦𝐵𝐶𝐴} ≼ 𝐴)
6766ad2antlr 726 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶) → {𝑦𝐵𝐶𝐴} ≼ 𝐴)
68 enfi 8733 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝐵 → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐵 ∈ Fin))
6968biimpac 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ Fin)
70 rabfi 8742 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ Fin → {𝑦𝐵𝐶𝐴} ∈ Fin)
7169, 70syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) → {𝑦𝐵𝐶𝐴} ∈ Fin)
72 fodomfi 8796 . . . . . . . . . 10 (({𝑦𝐵𝐶𝐴} ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶):{𝑦𝐵𝐶𝐴}–onto𝐴) → 𝐴 ≼ {𝑦𝐵𝐶𝐴})
7371, 57, 72syl2an 598 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶) → 𝐴 ≼ {𝑦𝐵𝐶𝐴})
74 sbth 8636 . . . . . . . . 9 (({𝑦𝐵𝐶𝐴} ≼ 𝐴𝐴 ≼ {𝑦𝐵𝐶𝐴}) → {𝑦𝐵𝐶𝐴} ≈ 𝐴)
7567, 73, 74syl2anc 587 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶) → {𝑦𝐵𝐶𝐴} ≈ 𝐴)
76 simpll 766 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶) → 𝐴 ∈ Fin)
77 fofinf1o 8798 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶):{𝑦𝐵𝐶𝐴}–onto𝐴 ∧ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ≈ 𝐴𝐴 ∈ Fin) → (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶):{𝑦𝐵𝐶𝐴}–1-1-onto𝐴)
7858, 75, 76, 77syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶) → (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶):{𝑦𝐵𝐶𝐴}–1-1-onto𝐴)
79 f1of1 6607 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶):{𝑦𝐵𝐶𝐴}–1-1-onto𝐴 → (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶):{𝑦𝐵𝐶𝐴}–1-1𝐴)
8078, 79syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶) → (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶):{𝑦𝐵𝐶𝐴}–1-1𝐴)
81 dff12 6566 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶):{𝑦𝐵𝐶𝐴}–1-1𝐴 ↔ ((𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶):{𝑦𝐵𝐶𝐴}⟶𝐴 ∧ ∀𝑎∃*𝑏 𝑏(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑎))
8281simprbi 500 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶):{𝑦𝐵𝐶𝐴}–1-1𝐴 → ∀𝑎∃*𝑏 𝑏(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑎)
8322mobidv 2634 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝑥 → (∃*𝑏 𝑏(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑎 ↔ ∃*𝑏 𝑏(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥))
8429, 30, 31cbvmow 2689 . . . . . . . . 9 (∃*𝑏 𝑏(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥 ↔ ∃*𝑦 𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥)
8583, 84syl6bb 290 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑥 → (∃*𝑏 𝑏(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑎 ↔ ∃*𝑦 𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥))
8685cbvalvw 2044 . . . . . . 7 (∀𝑎∃*𝑏 𝑏(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑎 ↔ ∀𝑥∃*𝑦 𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥)
8782, 86sylib 221 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶):{𝑦𝐵𝐶𝐴}–1-1𝐴 → ∀𝑥∃*𝑦 𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥)
88 mormo 3412 . . . . . . 7 (∃*𝑦 𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥 → ∃*𝑦𝐵 𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥)
8988alimi 1813 . . . . . 6 (∀𝑥∃*𝑦 𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥 → ∀𝑥∃*𝑦𝐵 𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥)
90 alral 3149 . . . . . 6 (∀𝑥∃*𝑦𝐵 𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥 → ∀𝑥𝐴 ∃*𝑦𝐵 𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥)
9180, 87, 89, 904syl 19 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶) → ∀𝑥𝐴 ∃*𝑦𝐵 𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥)
9218rmobidva 3384 . . . . . 6 (𝑥𝐴 → (∃*𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶 ↔ ∃*𝑦𝐵 𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥))
9392ralbiia 3159 . . . . 5 (∀𝑥𝐴 ∃*𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶 ↔ ∀𝑥𝐴 ∃*𝑦𝐵 𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥)
9491, 93sylibr 237 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶) → ∀𝑥𝐴 ∃*𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶)
9594ex 416 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) → (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶 → ∀𝑥𝐴 ∃*𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶))
9695pm4.71d 565 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) → (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶 ↔ (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶 ∧ ∀𝑥𝐴 ∃*𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶)))
97 reu5 3413 . . . 4 (∃!𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶 ↔ (∃𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶 ∧ ∃*𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶))
9897ralbii 3160 . . 3 (∀𝑥𝐴 ∃!𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶 ↔ ∀𝑥𝐴 (∃𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶 ∧ ∃*𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶))
99 r19.26 3165 . . 3 (∀𝑥𝐴 (∃𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶 ∧ ∃*𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶) ↔ (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶 ∧ ∀𝑥𝐴 ∃*𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶))
10098, 99bitri 278 . 2 (∀𝑥𝐴 ∃!𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶 ↔ (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶 ∧ ∀𝑥𝐴 ∃*𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶))
10196, 100syl6bbr 292 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) → (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶 ↔ ∀𝑥𝐴 ∃!𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  wal 1536   = wceq 1538  wcel 2115  ∃*wmo 2622  wral 3133  wrex 3134  ∃!wreu 3135  ∃*wrmo 3136  {crab 3137  Vcvv 3480  csb 3866  wss 3919  cop 4556   class class class wbr 5053  {copab 5115  cmpt 5133  wf 6341  1-1wf1 6342  ontowfo 6343  1-1-ontowf1o 6344  cen 8504  cdom 8505  Fincfn 8507
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7457
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-ord 6183  df-on 6184  df-lim 6185  df-suc 6186  df-iota 6304  df-fun 6347  df-fn 6348  df-f 6349  df-f1 6350  df-fo 6351  df-f1o 6352  df-fv 6353  df-om 7577  df-1o 8100  df-er 8287  df-en 8508  df-dom 8509  df-sdom 8510  df-fin 8511
This theorem is referenced by:  poimirlem25  35054  poimirlem26  35055
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