MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usgrexmplef Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem usgrexmplef 27033
Description: Lemma for usgrexmpl 27037. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Aug-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
usgrexmplef.v 𝑉 = (0...4)
usgrexmplef.e 𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 0} {0, 3}”⟩
Assertion
Ref Expression
usgrexmplef 𝐸:dom 𝐸1-1→{𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑒) = 2}
Distinct variable groups:   𝑒,𝐸   𝑒,𝑉

Proof of Theorem usgrexmplef
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 usgrexmpldifpr 27032 . . 3 (({0, 1} ≠ {1, 2} ∧ {0, 1} ≠ {2, 0} ∧ {0, 1} ≠ {0, 3}) ∧ ({1, 2} ≠ {2, 0} ∧ {1, 2} ≠ {0, 3} ∧ {2, 0} ≠ {0, 3}))
2 usgrexmplef.e . . 3 𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 0} {0, 3}”⟩
3 prex 5323 . . . 4 {0, 1} ∈ V
4 prex 5323 . . . 4 {1, 2} ∈ V
5 prex 5323 . . . 4 {2, 0} ∈ V
6 prex 5323 . . . 4 {0, 3} ∈ V
7 s4f1o 14272 . . . 4 ((({0, 1} ∈ V ∧ {1, 2} ∈ V) ∧ ({2, 0} ∈ V ∧ {0, 3} ∈ V)) → ((({0, 1} ≠ {1, 2} ∧ {0, 1} ≠ {2, 0} ∧ {0, 1} ≠ {0, 3}) ∧ ({1, 2} ≠ {2, 0} ∧ {1, 2} ≠ {0, 3} ∧ {2, 0} ≠ {0, 3})) → (𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 0} {0, 3}”⟩ → 𝐸:dom 𝐸1-1-onto→({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}}))))
83, 4, 5, 6, 7mp4an 691 . . 3 ((({0, 1} ≠ {1, 2} ∧ {0, 1} ≠ {2, 0} ∧ {0, 1} ≠ {0, 3}) ∧ ({1, 2} ≠ {2, 0} ∧ {1, 2} ≠ {0, 3} ∧ {2, 0} ≠ {0, 3})) → (𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 0} {0, 3}”⟩ → 𝐸:dom 𝐸1-1-onto→({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}})))
91, 2, 8mp2 9 . 2 𝐸:dom 𝐸1-1-onto→({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}})
10 f1of1 6607 . 2 (𝐸:dom 𝐸1-1-onto→({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}}) → 𝐸:dom 𝐸1-1→({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}}))
11 id 22 . . . . . . 7 (ran 𝐸 ⊆ ({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}}) → ran 𝐸 ⊆ ({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}}))
12 vex 3496 . . . . . . . . . . . 12 𝑝 ∈ V
1312elpr 4582 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ {{0, 1}, {1, 2}} ↔ (𝑝 = {0, 1} ∨ 𝑝 = {1, 2}))
14 0nn0 11904 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℕ0
15 4nn0 11908 . . . . . . . . . . . . . . . 16 4 ∈ ℕ0
16 0re 10635 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ∈ ℝ
17 4re 11713 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4 ∈ ℝ
18 4pos 11736 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 < 4
1916, 17, 18ltleii 10755 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ≤ 4
20 elfz2nn0 12990 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 ∈ (0...4) ↔ (0 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ 4))
2114, 15, 19, 20mpbir3an 1336 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ (0...4)
22 usgrexmplef.v . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑉 = (0...4)
2321, 22eleqtrri 2910 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ 𝑉
24 1nn0 11905 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℕ0
25 1re 10633 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℝ
26 1lt4 11805 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 < 4
2725, 17, 26ltleii 10755 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ≤ 4
28 elfz2nn0 12990 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 ∈ (0...4) ↔ (1 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 4))
2924, 15, 27, 28mpbir3an 1336 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ (0...4)
3029, 22eleqtrri 2910 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ 𝑉
31 prelpwi 5330 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉) → {0, 1} ∈ 𝒫 𝑉)
32 eleq1 2898 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝 = {0, 1} → (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ↔ {0, 1} ∈ 𝒫 𝑉))
3331, 32syl5ibrcom 249 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉) → (𝑝 = {0, 1} → 𝑝 ∈ 𝒫 𝑉))
3423, 30, 33mp2an 690 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 = {0, 1} → 𝑝 ∈ 𝒫 𝑉)
35 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝 = {0, 1} → (♯‘𝑝) = (♯‘{0, 1}))
36 prhash2ex 13752 . . . . . . . . . . . . . 14 (♯‘{0, 1}) = 2
3735, 36syl6eq 2870 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 = {0, 1} → (♯‘𝑝) = 2)
3834, 37jca 514 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 = {0, 1} → (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑝) = 2))
39 2nn0 11906 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℕ0
40 2re 11703 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℝ
41 2lt4 11804 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 < 4
4240, 17, 41ltleii 10755 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ≤ 4
43 elfz2nn0 12990 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 ∈ (0...4) ↔ (2 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 4))
4439, 15, 42, 43mpbir3an 1336 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ (0...4)
4544, 22eleqtrri 2910 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ 𝑉
46 prelpwi 5330 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ 𝑉) → {1, 2} ∈ 𝒫 𝑉)
47 eleq1 2898 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝 = {1, 2} → (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ↔ {1, 2} ∈ 𝒫 𝑉))
4846, 47syl5ibrcom 249 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ 𝑉) → (𝑝 = {1, 2} → 𝑝 ∈ 𝒫 𝑉))
4930, 45, 48mp2an 690 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 = {1, 2} → 𝑝 ∈ 𝒫 𝑉)
50 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝 = {1, 2} → (♯‘𝑝) = (♯‘{1, 2}))
51 1ne2 11837 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ≠ 2
52 1nn 11641 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℕ
53 2nn 11702 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℕ
54 hashprg 13748 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → (1 ≠ 2 ↔ (♯‘{1, 2}) = 2))
5552, 53, 54mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 ≠ 2 ↔ (♯‘{1, 2}) = 2)
5651, 55mpbi 232 . . . . . . . . . . . . . 14 (♯‘{1, 2}) = 2
5750, 56syl6eq 2870 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 = {1, 2} → (♯‘𝑝) = 2)
5849, 57jca 514 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 = {1, 2} → (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑝) = 2))
5938, 58jaoi 853 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 = {0, 1} ∨ 𝑝 = {1, 2}) → (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑝) = 2))
6013, 59sylbi 219 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ {{0, 1}, {1, 2}} → (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑝) = 2))
6112elpr 4582 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ {{2, 0}, {0, 3}} ↔ (𝑝 = {2, 0} ∨ 𝑝 = {0, 3}))
62 prelpwi 5330 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ 𝑉 ∧ 0 ∈ 𝑉) → {2, 0} ∈ 𝒫 𝑉)
63 eleq1 2898 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝 = {2, 0} → (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ↔ {2, 0} ∈ 𝒫 𝑉))
6462, 63syl5ibrcom 249 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ 𝑉 ∧ 0 ∈ 𝑉) → (𝑝 = {2, 0} → 𝑝 ∈ 𝒫 𝑉))
6545, 23, 64mp2an 690 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 = {2, 0} → 𝑝 ∈ 𝒫 𝑉)
66 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝 = {2, 0} → (♯‘𝑝) = (♯‘{2, 0}))
67 2ne0 11733 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ≠ 0
68 2z 12006 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℤ
69 0z 11984 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℤ
70 hashprg 13748 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (2 ≠ 0 ↔ (♯‘{2, 0}) = 2))
7168, 69, 70mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 ≠ 0 ↔ (♯‘{2, 0}) = 2)
7267, 71mpbi 232 . . . . . . . . . . . . . 14 (♯‘{2, 0}) = 2
7366, 72syl6eq 2870 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 = {2, 0} → (♯‘𝑝) = 2)
7465, 73jca 514 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 = {2, 0} → (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑝) = 2))
75 3nn0 11907 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 ∈ ℕ0
76 3re 11709 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 ∈ ℝ
77 3lt4 11803 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 < 4
7876, 17, 77ltleii 10755 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 ≤ 4
79 elfz2nn0 12990 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (3 ∈ (0...4) ↔ (3 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0 ∧ 3 ≤ 4))
8075, 15, 78, 79mpbir3an 1336 . . . . . . . . . . . . . . 15 3 ∈ (0...4)
8180, 22eleqtrri 2910 . . . . . . . . . . . . . 14 3 ∈ 𝑉
82 prelpwi 5330 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ 𝑉 ∧ 3 ∈ 𝑉) → {0, 3} ∈ 𝒫 𝑉)
83 eleq1 2898 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝 = {0, 3} → (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ↔ {0, 3} ∈ 𝒫 𝑉))
8482, 83syl5ibrcom 249 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ 𝑉 ∧ 3 ∈ 𝑉) → (𝑝 = {0, 3} → 𝑝 ∈ 𝒫 𝑉))
8523, 81, 84mp2an 690 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 = {0, 3} → 𝑝 ∈ 𝒫 𝑉)
86 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝 = {0, 3} → (♯‘𝑝) = (♯‘{0, 3}))
87 3ne0 11735 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 ≠ 0
8887necomi 3068 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ≠ 3
89 3z 12007 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 ∈ ℤ
90 hashprg 13748 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (0 ≠ 3 ↔ (♯‘{0, 3}) = 2))
9169, 89, 90mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 ≠ 3 ↔ (♯‘{0, 3}) = 2)
9288, 91mpbi 232 . . . . . . . . . . . . . 14 (♯‘{0, 3}) = 2
9386, 92syl6eq 2870 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 = {0, 3} → (♯‘𝑝) = 2)
9485, 93jca 514 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 = {0, 3} → (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑝) = 2))
9574, 94jaoi 853 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 = {2, 0} ∨ 𝑝 = {0, 3}) → (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑝) = 2))
9661, 95sylbi 219 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ {{2, 0}, {0, 3}} → (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑝) = 2))
9760, 96jaoi 853 . . . . . . . . 9 ((𝑝 ∈ {{0, 1}, {1, 2}} ∨ 𝑝 ∈ {{2, 0}, {0, 3}}) → (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑝) = 2))
98 elun 4123 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ ({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}}) ↔ (𝑝 ∈ {{0, 1}, {1, 2}} ∨ 𝑝 ∈ {{2, 0}, {0, 3}}))
99 fveqeq2 6672 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = 𝑝 → ((♯‘𝑒) = 2 ↔ (♯‘𝑝) = 2))
10099elrab 3678 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑒) = 2} ↔ (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑝) = 2))
10197, 98, 1003imtr4i 294 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ ({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}}) → 𝑝 ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑒) = 2})
102101ssriv 3969 . . . . . . 7 ({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}}) ⊆ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑒) = 2}
10311, 102sstrdi 3977 . . . . . 6 (ran 𝐸 ⊆ ({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}}) → ran 𝐸 ⊆ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑒) = 2})
104103anim2i 618 . . . . 5 ((𝐸 Fn dom 𝐸 ∧ ran 𝐸 ⊆ ({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}})) → (𝐸 Fn dom 𝐸 ∧ ran 𝐸 ⊆ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑒) = 2}))
105 df-f 6352 . . . . 5 (𝐸:dom 𝐸⟶({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}}) ↔ (𝐸 Fn dom 𝐸 ∧ ran 𝐸 ⊆ ({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}})))
106 df-f 6352 . . . . 5 (𝐸:dom 𝐸⟶{𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑒) = 2} ↔ (𝐸 Fn dom 𝐸 ∧ ran 𝐸 ⊆ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑒) = 2}))
107104, 105, 1063imtr4i 294 . . . 4 (𝐸:dom 𝐸⟶({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}}) → 𝐸:dom 𝐸⟶{𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑒) = 2})
108107anim1i 616 . . 3 ((𝐸:dom 𝐸⟶({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}}) ∧ ∀𝑥∃*𝑦 𝑦𝐸𝑥) → (𝐸:dom 𝐸⟶{𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑒) = 2} ∧ ∀𝑥∃*𝑦 𝑦𝐸𝑥))
109 dff12 6567 . . 3 (𝐸:dom 𝐸1-1→({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}}) ↔ (𝐸:dom 𝐸⟶({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}}) ∧ ∀𝑥∃*𝑦 𝑦𝐸𝑥))
110 dff12 6567 . . 3 (𝐸:dom 𝐸1-1→{𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑒) = 2} ↔ (𝐸:dom 𝐸⟶{𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑒) = 2} ∧ ∀𝑥∃*𝑦 𝑦𝐸𝑥))
111108, 109, 1103imtr4i 294 . 2 (𝐸:dom 𝐸1-1→({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}}) → 𝐸:dom 𝐸1-1→{𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑒) = 2})
1129, 10, 111mp2b 10 1 𝐸:dom 𝐸1-1→{𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑒) = 2}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398  wo 843  w3a 1082  wal 1529   = wceq 1531  wcel 2108  ∃*wmo 2614  wne 3014  {crab 3140  Vcvv 3493  cun 3932  wss 3934  𝒫 cpw 4537  {cpr 4561   class class class wbr 5057  dom cdm 5548  ran crn 5549   Fn wfn 6343  wf 6344  1-1wf1 6345  1-1-ontowf1o 6347  cfv 6348  (class class class)co 7148  0cc0 10529  1c1 10530  cle 10668  cn 11630  2c2 11684  3c3 11685  4c4 11686  0cn0 11889  cz 11973  ...cfz 12884  chash 13682  ⟨“cs4 14197
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-dju 9322  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12885  df-fzo 13026  df-hash 13683  df-word 13854  df-concat 13915  df-s1 13942  df-s2 14202  df-s3 14203  df-s4 14204
This theorem is referenced by:  usgrexmpl  27037
  Copyright terms: Public domain W3C validator