MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usgrexmplef Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem usgrexmplef 29291
Description: Lemma for usgrexmpl 29295. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Aug-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
usgrexmplef.v 𝑉 = (0...4)
usgrexmplef.e 𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 0} {0, 3}”⟩
Assertion
Ref Expression
usgrexmplef 𝐸:dom 𝐸1-1→{𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑒) = 2}
Distinct variable groups:   𝑒,𝐸   𝑒,𝑉

Proof of Theorem usgrexmplef
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 usgrexmpldifpr 29290 . . 3 (({0, 1} ≠ {1, 2} ∧ {0, 1} ≠ {2, 0} ∧ {0, 1} ≠ {0, 3}) ∧ ({1, 2} ≠ {2, 0} ∧ {1, 2} ≠ {0, 3} ∧ {2, 0} ≠ {0, 3}))
2 usgrexmplef.e . . 3 𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 0} {0, 3}”⟩
3 prex 5443 . . . 4 {0, 1} ∈ V
4 prex 5443 . . . 4 {1, 2} ∈ V
5 prex 5443 . . . 4 {2, 0} ∈ V
6 prex 5443 . . . 4 {0, 3} ∈ V
7 s4f1o 14954 . . . 4 ((({0, 1} ∈ V ∧ {1, 2} ∈ V) ∧ ({2, 0} ∈ V ∧ {0, 3} ∈ V)) → ((({0, 1} ≠ {1, 2} ∧ {0, 1} ≠ {2, 0} ∧ {0, 1} ≠ {0, 3}) ∧ ({1, 2} ≠ {2, 0} ∧ {1, 2} ≠ {0, 3} ∧ {2, 0} ≠ {0, 3})) → (𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 0} {0, 3}”⟩ → 𝐸:dom 𝐸1-1-onto→({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}}))))
83, 4, 5, 6, 7mp4an 693 . . 3 ((({0, 1} ≠ {1, 2} ∧ {0, 1} ≠ {2, 0} ∧ {0, 1} ≠ {0, 3}) ∧ ({1, 2} ≠ {2, 0} ∧ {1, 2} ≠ {0, 3} ∧ {2, 0} ≠ {0, 3})) → (𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 0} {0, 3}”⟩ → 𝐸:dom 𝐸1-1-onto→({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}})))
91, 2, 8mp2 9 . 2 𝐸:dom 𝐸1-1-onto→({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}})
10 f1of1 6848 . 2 (𝐸:dom 𝐸1-1-onto→({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}}) → 𝐸:dom 𝐸1-1→({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}}))
11 id 22 . . . . . . 7 (ran 𝐸 ⊆ ({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}}) → ran 𝐸 ⊆ ({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}}))
12 vex 3482 . . . . . . . . . . . 12 𝑝 ∈ V
1312elpr 4655 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ {{0, 1}, {1, 2}} ↔ (𝑝 = {0, 1} ∨ 𝑝 = {1, 2}))
14 0nn0 12539 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℕ0
15 4nn0 12543 . . . . . . . . . . . . . . . 16 4 ∈ ℕ0
16 0re 11261 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ∈ ℝ
17 4re 12348 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4 ∈ ℝ
18 4pos 12371 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 < 4
1916, 17, 18ltleii 11382 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ≤ 4
20 elfz2nn0 13655 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 ∈ (0...4) ↔ (0 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ 4))
2114, 15, 19, 20mpbir3an 1340 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ (0...4)
22 usgrexmplef.v . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑉 = (0...4)
2321, 22eleqtrri 2838 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ 𝑉
24 1nn0 12540 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℕ0
25 1re 11259 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℝ
26 1lt4 12440 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 < 4
2725, 17, 26ltleii 11382 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ≤ 4
28 elfz2nn0 13655 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 ∈ (0...4) ↔ (1 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 4))
2924, 15, 27, 28mpbir3an 1340 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ (0...4)
3029, 22eleqtrri 2838 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ 𝑉
31 prelpwi 5458 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉) → {0, 1} ∈ 𝒫 𝑉)
32 eleq1 2827 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝 = {0, 1} → (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ↔ {0, 1} ∈ 𝒫 𝑉))
3331, 32syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉) → (𝑝 = {0, 1} → 𝑝 ∈ 𝒫 𝑉))
3423, 30, 33mp2an 692 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 = {0, 1} → 𝑝 ∈ 𝒫 𝑉)
35 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝 = {0, 1} → (♯‘𝑝) = (♯‘{0, 1}))
36 prhash2ex 14435 . . . . . . . . . . . . . 14 (♯‘{0, 1}) = 2
3735, 36eqtrdi 2791 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 = {0, 1} → (♯‘𝑝) = 2)
3834, 37jca 511 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 = {0, 1} → (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑝) = 2))
39 2nn0 12541 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℕ0
40 2re 12338 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℝ
41 2lt4 12439 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 < 4
4240, 17, 41ltleii 11382 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ≤ 4
43 elfz2nn0 13655 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 ∈ (0...4) ↔ (2 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 4))
4439, 15, 42, 43mpbir3an 1340 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ (0...4)
4544, 22eleqtrri 2838 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ 𝑉
46 prelpwi 5458 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ 𝑉) → {1, 2} ∈ 𝒫 𝑉)
47 eleq1 2827 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝 = {1, 2} → (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ↔ {1, 2} ∈ 𝒫 𝑉))
4846, 47syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ 𝑉) → (𝑝 = {1, 2} → 𝑝 ∈ 𝒫 𝑉))
4930, 45, 48mp2an 692 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 = {1, 2} → 𝑝 ∈ 𝒫 𝑉)
50 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝 = {1, 2} → (♯‘𝑝) = (♯‘{1, 2}))
51 1ne2 12472 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ≠ 2
52 1nn 12275 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℕ
53 2nn 12337 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℕ
54 hashprg 14431 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → (1 ≠ 2 ↔ (♯‘{1, 2}) = 2))
5552, 53, 54mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 ≠ 2 ↔ (♯‘{1, 2}) = 2)
5651, 55mpbi 230 . . . . . . . . . . . . . 14 (♯‘{1, 2}) = 2
5750, 56eqtrdi 2791 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 = {1, 2} → (♯‘𝑝) = 2)
5849, 57jca 511 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 = {1, 2} → (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑝) = 2))
5938, 58jaoi 857 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 = {0, 1} ∨ 𝑝 = {1, 2}) → (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑝) = 2))
6013, 59sylbi 217 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ {{0, 1}, {1, 2}} → (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑝) = 2))
6112elpr 4655 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ {{2, 0}, {0, 3}} ↔ (𝑝 = {2, 0} ∨ 𝑝 = {0, 3}))
62 prelpwi 5458 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ 𝑉 ∧ 0 ∈ 𝑉) → {2, 0} ∈ 𝒫 𝑉)
63 eleq1 2827 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝 = {2, 0} → (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ↔ {2, 0} ∈ 𝒫 𝑉))
6462, 63syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ 𝑉 ∧ 0 ∈ 𝑉) → (𝑝 = {2, 0} → 𝑝 ∈ 𝒫 𝑉))
6545, 23, 64mp2an 692 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 = {2, 0} → 𝑝 ∈ 𝒫 𝑉)
66 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝 = {2, 0} → (♯‘𝑝) = (♯‘{2, 0}))
67 2ne0 12368 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ≠ 0
68 2z 12647 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℤ
69 0z 12622 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℤ
70 hashprg 14431 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (2 ≠ 0 ↔ (♯‘{2, 0}) = 2))
7168, 69, 70mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 ≠ 0 ↔ (♯‘{2, 0}) = 2)
7267, 71mpbi 230 . . . . . . . . . . . . . 14 (♯‘{2, 0}) = 2
7366, 72eqtrdi 2791 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 = {2, 0} → (♯‘𝑝) = 2)
7465, 73jca 511 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 = {2, 0} → (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑝) = 2))
75 3nn0 12542 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 ∈ ℕ0
76 3re 12344 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 ∈ ℝ
77 3lt4 12438 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 < 4
7876, 17, 77ltleii 11382 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 ≤ 4
79 elfz2nn0 13655 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (3 ∈ (0...4) ↔ (3 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0 ∧ 3 ≤ 4))
8075, 15, 78, 79mpbir3an 1340 . . . . . . . . . . . . . . 15 3 ∈ (0...4)
8180, 22eleqtrri 2838 . . . . . . . . . . . . . 14 3 ∈ 𝑉
82 prelpwi 5458 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ 𝑉 ∧ 3 ∈ 𝑉) → {0, 3} ∈ 𝒫 𝑉)
83 eleq1 2827 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝 = {0, 3} → (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ↔ {0, 3} ∈ 𝒫 𝑉))
8482, 83syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ 𝑉 ∧ 3 ∈ 𝑉) → (𝑝 = {0, 3} → 𝑝 ∈ 𝒫 𝑉))
8523, 81, 84mp2an 692 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 = {0, 3} → 𝑝 ∈ 𝒫 𝑉)
86 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝 = {0, 3} → (♯‘𝑝) = (♯‘{0, 3}))
87 3ne0 12370 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 ≠ 0
8887necomi 2993 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ≠ 3
89 3z 12648 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 ∈ ℤ
90 hashprg 14431 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (0 ≠ 3 ↔ (♯‘{0, 3}) = 2))
9169, 89, 90mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 ≠ 3 ↔ (♯‘{0, 3}) = 2)
9288, 91mpbi 230 . . . . . . . . . . . . . 14 (♯‘{0, 3}) = 2
9386, 92eqtrdi 2791 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 = {0, 3} → (♯‘𝑝) = 2)
9485, 93jca 511 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 = {0, 3} → (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑝) = 2))
9574, 94jaoi 857 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 = {2, 0} ∨ 𝑝 = {0, 3}) → (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑝) = 2))
9661, 95sylbi 217 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ {{2, 0}, {0, 3}} → (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑝) = 2))
9760, 96jaoi 857 . . . . . . . . 9 ((𝑝 ∈ {{0, 1}, {1, 2}} ∨ 𝑝 ∈ {{2, 0}, {0, 3}}) → (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑝) = 2))
98 elun 4163 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ ({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}}) ↔ (𝑝 ∈ {{0, 1}, {1, 2}} ∨ 𝑝 ∈ {{2, 0}, {0, 3}}))
99 fveqeq2 6916 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = 𝑝 → ((♯‘𝑒) = 2 ↔ (♯‘𝑝) = 2))
10099elrab 3695 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑒) = 2} ↔ (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑝) = 2))
10197, 98, 1003imtr4i 292 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ ({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}}) → 𝑝 ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑒) = 2})
102101ssriv 3999 . . . . . . 7 ({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}}) ⊆ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑒) = 2}
10311, 102sstrdi 4008 . . . . . 6 (ran 𝐸 ⊆ ({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}}) → ran 𝐸 ⊆ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑒) = 2})
104103anim2i 617 . . . . 5 ((𝐸 Fn dom 𝐸 ∧ ran 𝐸 ⊆ ({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}})) → (𝐸 Fn dom 𝐸 ∧ ran 𝐸 ⊆ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑒) = 2}))
105 df-f 6567 . . . . 5 (𝐸:dom 𝐸⟶({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}}) ↔ (𝐸 Fn dom 𝐸 ∧ ran 𝐸 ⊆ ({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}})))
106 df-f 6567 . . . . 5 (𝐸:dom 𝐸⟶{𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑒) = 2} ↔ (𝐸 Fn dom 𝐸 ∧ ran 𝐸 ⊆ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑒) = 2}))
107104, 105, 1063imtr4i 292 . . . 4 (𝐸:dom 𝐸⟶({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}}) → 𝐸:dom 𝐸⟶{𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑒) = 2})
108107anim1i 615 . . 3 ((𝐸:dom 𝐸⟶({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}}) ∧ ∀𝑥∃*𝑦 𝑦𝐸𝑥) → (𝐸:dom 𝐸⟶{𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑒) = 2} ∧ ∀𝑥∃*𝑦 𝑦𝐸𝑥))
109 dff12 6804 . . 3 (𝐸:dom 𝐸1-1→({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}}) ↔ (𝐸:dom 𝐸⟶({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}}) ∧ ∀𝑥∃*𝑦 𝑦𝐸𝑥))
110 dff12 6804 . . 3 (𝐸:dom 𝐸1-1→{𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑒) = 2} ↔ (𝐸:dom 𝐸⟶{𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑒) = 2} ∧ ∀𝑥∃*𝑦 𝑦𝐸𝑥))
111108, 109, 1103imtr4i 292 . 2 (𝐸:dom 𝐸1-1→({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}}) → 𝐸:dom 𝐸1-1→{𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑒) = 2})
1129, 10, 111mp2b 10 1 𝐸:dom 𝐸1-1→{𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑒) = 2}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086  wal 1535   = wceq 1537  wcel 2106  ∃*wmo 2536  wne 2938  {crab 3433  Vcvv 3478  cun 3961  wss 3963  𝒫 cpw 4605  {cpr 4633   class class class wbr 5148  dom cdm 5689  ran crn 5690   Fn wfn 6558  wf 6559  1-1wf1 6560  1-1-ontowf1o 6562  cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153  1c1 11154  cle 11294  cn 12264  2c2 12319  3c3 12320  4c4 12321  0cn0 12524  cz 12611  ...cfz 13544  chash 14366  ⟨“cs4 14879
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-oadd 8509  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-hash 14367  df-word 14550  df-concat 14606  df-s1 14631  df-s2 14884  df-s3 14885  df-s4 14886
This theorem is referenced by:  usgrexmpl  29295
  Copyright terms: Public domain W3C validator