Theorem s4f1o 14954

Description: A length 4 word with mutually different symbols is a one-to-one function onto the set of the symbols. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
s4f1o	⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → (((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → (𝐸 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ → 𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}))))

Proof of Theorem s4f1o

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oun2prg 14953	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → (((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩}):({0, 1} ∪ {2, 3})–1-1-onto→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷})))
2	1	imp 406	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷))) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩}):({0, 1} ∪ {2, 3})–1-1-onto→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}))
3	2	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷))) ∧ 𝐸 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩}):({0, 1} ∪ {2, 3})–1-1-onto→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}))
4		s4prop 14946	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩}))
5	4	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷))) → ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩}))
6	5	eqeq2d 2746	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷))) → (𝐸 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ↔ 𝐸 = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩})))
7	6	biimpa 476	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷))) ∧ 𝐸 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩) → 𝐸 = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩}))
8	7	eqcomd 2741	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷))) ∧ 𝐸 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩}) = 𝐸)
9	8	f1oeq1d 6844	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷))) ∧ 𝐸 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩) → (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩}):({0, 1} ∪ {2, 3})–1-1-onto→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) ↔ 𝐸:({0, 1} ∪ {2, 3})–1-1-onto→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷})))
10	3, 9	mpbid 232	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷))) ∧ 𝐸 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩) → 𝐸:({0, 1} ∪ {2, 3})–1-1-onto→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}))
11		dff1o5 6858	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸:({0, 1} ∪ {2, 3})–1-1-onto→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) ↔ (𝐸:({0, 1} ∪ {2, 3})–1-1→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) ∧ ran 𝐸 = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷})))
12		dff12 6804	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐸:({0, 1} ∪ {2, 3})–1-1→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) ↔ (𝐸:({0, 1} ∪ {2, 3})⟶({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) ∧ ∀𝑦∃*𝑥 𝑥𝐸𝑦))
13	12	bicomi 224	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐸:({0, 1} ∪ {2, 3})⟶({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) ∧ ∀𝑦∃*𝑥 𝑥𝐸𝑦) ↔ 𝐸:({0, 1} ∪ {2, 3})–1-1→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}))
14	13	anbi1i 624	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐸:({0, 1} ∪ {2, 3})⟶({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) ∧ ∀𝑦∃*𝑥 𝑥𝐸𝑦) ∧ ran 𝐸 = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷})) ↔ (𝐸:({0, 1} ∪ {2, 3})–1-1→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) ∧ ran 𝐸 = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷})))
15	11, 14	sylbb2 238	. . . . . 6 ⊢ (𝐸:({0, 1} ∪ {2, 3})–1-1-onto→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) → ((𝐸:({0, 1} ∪ {2, 3})⟶({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) ∧ ∀𝑦∃*𝑥 𝑥𝐸𝑦) ∧ ran 𝐸 = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷})))
16		ffdm 6766	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐸:({0, 1} ∪ {2, 3})⟶({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) → (𝐸:dom 𝐸⟶({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) ∧ dom 𝐸 ⊆ ({0, 1} ∪ {2, 3})))
17	16	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸:({0, 1} ∪ {2, 3})⟶({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) → 𝐸:dom 𝐸⟶({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}))
18	17	anim1i 615	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸:({0, 1} ∪ {2, 3})⟶({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) ∧ ∀𝑦∃*𝑥 𝑥𝐸𝑦) → (𝐸:dom 𝐸⟶({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) ∧ ∀𝑦∃*𝑥 𝑥𝐸𝑦))
19	18	anim1i 615	. . . . . 6 ⊢ (((𝐸:({0, 1} ∪ {2, 3})⟶({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) ∧ ∀𝑦∃*𝑥 𝑥𝐸𝑦) ∧ ran 𝐸 = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷})) → ((𝐸:dom 𝐸⟶({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) ∧ ∀𝑦∃*𝑥 𝑥𝐸𝑦) ∧ ran 𝐸 = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷})))
20	15, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐸:({0, 1} ∪ {2, 3})–1-1-onto→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) → ((𝐸:dom 𝐸⟶({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) ∧ ∀𝑦∃*𝑥 𝑥𝐸𝑦) ∧ ran 𝐸 = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷})))
21		dff12 6804	. . . . . 6 ⊢ (𝐸:dom 𝐸–1-1→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) ↔ (𝐸:dom 𝐸⟶({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) ∧ ∀𝑦∃*𝑥 𝑥𝐸𝑦))
22	21	anbi1i 624	. . . . 5 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) ∧ ran 𝐸 = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷})) ↔ ((𝐸:dom 𝐸⟶({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) ∧ ∀𝑦∃*𝑥 𝑥𝐸𝑦) ∧ ran 𝐸 = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷})))
23	20, 22	sylibr 234	. . . 4 ⊢ (𝐸:({0, 1} ∪ {2, 3})–1-1-onto→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) → (𝐸:dom 𝐸–1-1→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) ∧ ran 𝐸 = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷})))
24		dff1o5 6858	. . . 4 ⊢ (𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) ↔ (𝐸:dom 𝐸–1-1→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) ∧ ran 𝐸 = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷})))
25	23, 24	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝐸:({0, 1} ∪ {2, 3})–1-1-onto→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) → 𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}))
26	10, 25	syl 17	. 2 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷))) ∧ 𝐸 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩) → 𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}))
27	26	exp31 419	1 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → (((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → (𝐸 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ → 𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086  ∀wal 1535   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∃*wmo 2536   ≠ wne 2938   ∪ cun 3961   ⊆ wss 3963  {cpr 4633  ⟨cop 4637   class class class wbr 5148  dom cdm 5689  ran crn 5690  ⟶wf 6559  –1-1→wf1 6560  –1-1-onto→wf1o 6562  0cc0 11153  1c1 11154  2c2 12319  3c3 12320  ⟨“cs4 14879

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-hash 14367  df-word 14550  df-concat 14606  df-s1 14631  df-s2 14884  df-s3 14885  df-s4 14886

This theorem is referenced by:  usgrexmplef  29291  usgrexmpledg  29294