Theorem s4f1o 14871

Description: A length 4 word with mutually different symbols is a one-to-one function onto the set of the symbols. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
s4f1o	⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → (((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → (𝐸 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ → 𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}))))

Proof of Theorem s4f1o

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oun2prg 14870	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → (((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩}):({0, 1} ∪ {2, 3})–1-1-onto→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷})))
2	1	imp 407	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷))) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩}):({0, 1} ∪ {2, 3})–1-1-onto→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}))
3	2	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷))) ∧ 𝐸 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩}):({0, 1} ∪ {2, 3})–1-1-onto→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}))
4		s4prop 14863	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩}))
5	4	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷))) → ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩}))
6	5	eqeq2d 2750	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷))) → (𝐸 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ↔ 𝐸 = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩})))
7	6	biimpa 477	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷))) ∧ 𝐸 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩) → 𝐸 = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩}))
8	7	eqcomd 2745	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷))) ∧ 𝐸 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩}) = 𝐸)
9	8	f1oeq1d 6762	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷))) ∧ 𝐸 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩) → (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩}):({0, 1} ∪ {2, 3})–1-1-onto→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) ↔ 𝐸:({0, 1} ∪ {2, 3})–1-1-onto→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷})))
10	3, 9	mpbid 233	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷))) ∧ 𝐸 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩) → 𝐸:({0, 1} ∪ {2, 3})–1-1-onto→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}))
11		dff1o5 6776	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸:({0, 1} ∪ {2, 3})–1-1-onto→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) ↔ (𝐸:({0, 1} ∪ {2, 3})–1-1→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) ∧ ran 𝐸 = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷})))
12		dff12 6722	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐸:({0, 1} ∪ {2, 3})–1-1→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) ↔ (𝐸:({0, 1} ∪ {2, 3})⟶({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) ∧ ∀𝑦∃*𝑥 𝑥𝐸𝑦))
13	12	bicomi 225	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐸:({0, 1} ∪ {2, 3})⟶({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) ∧ ∀𝑦∃*𝑥 𝑥𝐸𝑦) ↔ 𝐸:({0, 1} ∪ {2, 3})–1-1→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}))
14	13	anbi1i 630	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐸:({0, 1} ∪ {2, 3})⟶({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) ∧ ∀𝑦∃*𝑥 𝑥𝐸𝑦) ∧ ran 𝐸 = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷})) ↔ (𝐸:({0, 1} ∪ {2, 3})–1-1→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) ∧ ran 𝐸 = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷})))
15	11, 14	sylbb2 239	. . . . . 6 ⊢ (𝐸:({0, 1} ∪ {2, 3})–1-1-onto→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) → ((𝐸:({0, 1} ∪ {2, 3})⟶({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) ∧ ∀𝑦∃*𝑥 𝑥𝐸𝑦) ∧ ran 𝐸 = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷})))
16		ffdm 6684	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐸:({0, 1} ∪ {2, 3})⟶({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) → (𝐸:dom 𝐸⟶({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) ∧ dom 𝐸 ⊆ ({0, 1} ∪ {2, 3})))
17	16	simpld 495	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸:({0, 1} ∪ {2, 3})⟶({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) → 𝐸:dom 𝐸⟶({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}))
18	17	anim1i 621	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸:({0, 1} ∪ {2, 3})⟶({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) ∧ ∀𝑦∃*𝑥 𝑥𝐸𝑦) → (𝐸:dom 𝐸⟶({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) ∧ ∀𝑦∃*𝑥 𝑥𝐸𝑦))
19	18	anim1i 621	. . . . . 6 ⊢ (((𝐸:({0, 1} ∪ {2, 3})⟶({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) ∧ ∀𝑦∃*𝑥 𝑥𝐸𝑦) ∧ ran 𝐸 = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷})) → ((𝐸:dom 𝐸⟶({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) ∧ ∀𝑦∃*𝑥 𝑥𝐸𝑦) ∧ ran 𝐸 = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷})))
20	15, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐸:({0, 1} ∪ {2, 3})–1-1-onto→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) → ((𝐸:dom 𝐸⟶({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) ∧ ∀𝑦∃*𝑥 𝑥𝐸𝑦) ∧ ran 𝐸 = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷})))
21		dff12 6722	. . . . . 6 ⊢ (𝐸:dom 𝐸–1-1→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) ↔ (𝐸:dom 𝐸⟶({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) ∧ ∀𝑦∃*𝑥 𝑥𝐸𝑦))
22	21	anbi1i 630	. . . . 5 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) ∧ ran 𝐸 = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷})) ↔ ((𝐸:dom 𝐸⟶({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) ∧ ∀𝑦∃*𝑥 𝑥𝐸𝑦) ∧ ran 𝐸 = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷})))
23	20, 22	sylibr 235	. . . 4 ⊢ (𝐸:({0, 1} ∪ {2, 3})–1-1-onto→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) → (𝐸:dom 𝐸–1-1→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) ∧ ran 𝐸 = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷})))
24		dff1o5 6776	. . . 4 ⊢ (𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) ↔ (𝐸:dom 𝐸–1-1→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) ∧ ran 𝐸 = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷})))
25	23, 24	sylibr 235	. . 3 ⊢ (𝐸:({0, 1} ∪ {2, 3})–1-1-onto→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) → 𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}))
26	10, 25	syl 17	. 2 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷))) ∧ 𝐸 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩) → 𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}))
27	26	exp31 420	1 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → (((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → (𝐸 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ → 𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092  ∀wal 1545   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∃*wmo 2541   ≠ wne 2934   ∪ cun 3881   ⊆ wss 3883  {cpr 4557  ⟨cop 4561   class class class wbr 5072  dom cdm 5618  ran crn 5619  ⟶wf 6481  –1-1→wf1 6482  –1-1-onto→wf1o 6484  0cc0 11029  1c1 11030  2c2 12227  3c3 12228  ⟨“cs4 14796

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-hash 14284  df-word 14467  df-concat 14524  df-s1 14550  df-s2 14801  df-s3 14802  df-s4 14803

This theorem is referenced by:  usgrexmplef  29346  usgrexmpledg  29349  gpgprismgr4cycllem2  48587