Theorem s4f1o 14282

Description: A length 4 word with mutually different symbols is a one-to-one function onto the set of the symbols. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
s4f1o	⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → (((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → (𝐸 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ → 𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}))))

Proof of Theorem s4f1o

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oun2prg 14281	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → (((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩}):({0, 1} ∪ {2, 3})–1-1-onto→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷})))
2	1	imp 409	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷))) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩}):({0, 1} ∪ {2, 3})–1-1-onto→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}))
3	2	adantr 483	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷))) ∧ 𝐸 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩}):({0, 1} ∪ {2, 3})–1-1-onto→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}))
4		s4prop 14274	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩}))
5	4	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷))) → ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩}))
6	5	eqeq2d 2834	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷))) → (𝐸 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ↔ 𝐸 = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩})))
7	6	biimpa 479	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷))) ∧ 𝐸 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩) → 𝐸 = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩}))
8	7	eqcomd 2829	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷))) ∧ 𝐸 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩}) = 𝐸)
9		eqidd 2824	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷))) ∧ 𝐸 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩) → ({0, 1} ∪ {2, 3}) = ({0, 1} ∪ {2, 3}))
10		eqidd 2824	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷))) ∧ 𝐸 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩) → ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}))
11	8, 9, 10	f1oeq123d 6612	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷))) ∧ 𝐸 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩) → (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩}):({0, 1} ∪ {2, 3})–1-1-onto→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) ↔ 𝐸:({0, 1} ∪ {2, 3})–1-1-onto→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷})))
12	3, 11	mpbid 234	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷))) ∧ 𝐸 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩) → 𝐸:({0, 1} ∪ {2, 3})–1-1-onto→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}))
13		dff1o5 6626	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸:({0, 1} ∪ {2, 3})–1-1-onto→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) ↔ (𝐸:({0, 1} ∪ {2, 3})–1-1→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) ∧ ran 𝐸 = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷})))
14		dff12 6576	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐸:({0, 1} ∪ {2, 3})–1-1→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) ↔ (𝐸:({0, 1} ∪ {2, 3})⟶({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) ∧ ∀𝑦∃*𝑥 𝑥𝐸𝑦))
15	14	bicomi 226	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐸:({0, 1} ∪ {2, 3})⟶({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) ∧ ∀𝑦∃*𝑥 𝑥𝐸𝑦) ↔ 𝐸:({0, 1} ∪ {2, 3})–1-1→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}))
16	15	anbi1i 625	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐸:({0, 1} ∪ {2, 3})⟶({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) ∧ ∀𝑦∃*𝑥 𝑥𝐸𝑦) ∧ ran 𝐸 = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷})) ↔ (𝐸:({0, 1} ∪ {2, 3})–1-1→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) ∧ ran 𝐸 = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷})))
17	13, 16	sylbb2 240	. . . . . 6 ⊢ (𝐸:({0, 1} ∪ {2, 3})–1-1-onto→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) → ((𝐸:({0, 1} ∪ {2, 3})⟶({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) ∧ ∀𝑦∃*𝑥 𝑥𝐸𝑦) ∧ ran 𝐸 = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷})))
18		ffdm 6538	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐸:({0, 1} ∪ {2, 3})⟶({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) → (𝐸:dom 𝐸⟶({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) ∧ dom 𝐸 ⊆ ({0, 1} ∪ {2, 3})))
19	18	simpld 497	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸:({0, 1} ∪ {2, 3})⟶({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) → 𝐸:dom 𝐸⟶({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}))
20	19	anim1i 616	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸:({0, 1} ∪ {2, 3})⟶({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) ∧ ∀𝑦∃*𝑥 𝑥𝐸𝑦) → (𝐸:dom 𝐸⟶({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) ∧ ∀𝑦∃*𝑥 𝑥𝐸𝑦))
21	20	anim1i 616	. . . . . 6 ⊢ (((𝐸:({0, 1} ∪ {2, 3})⟶({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) ∧ ∀𝑦∃*𝑥 𝑥𝐸𝑦) ∧ ran 𝐸 = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷})) → ((𝐸:dom 𝐸⟶({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) ∧ ∀𝑦∃*𝑥 𝑥𝐸𝑦) ∧ ran 𝐸 = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷})))
22	17, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐸:({0, 1} ∪ {2, 3})–1-1-onto→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) → ((𝐸:dom 𝐸⟶({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) ∧ ∀𝑦∃*𝑥 𝑥𝐸𝑦) ∧ ran 𝐸 = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷})))
23		dff12 6576	. . . . . 6 ⊢ (𝐸:dom 𝐸–1-1→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) ↔ (𝐸:dom 𝐸⟶({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) ∧ ∀𝑦∃*𝑥 𝑥𝐸𝑦))
24	23	anbi1i 625	. . . . 5 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) ∧ ran 𝐸 = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷})) ↔ ((𝐸:dom 𝐸⟶({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) ∧ ∀𝑦∃*𝑥 𝑥𝐸𝑦) ∧ ran 𝐸 = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷})))
25	22, 24	sylibr 236	. . . 4 ⊢ (𝐸:({0, 1} ∪ {2, 3})–1-1-onto→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) → (𝐸:dom 𝐸–1-1→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) ∧ ran 𝐸 = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷})))
26		dff1o5 6626	. . . 4 ⊢ (𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) ↔ (𝐸:dom 𝐸–1-1→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) ∧ ran 𝐸 = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷})))
27	25, 26	sylibr 236	. . 3 ⊢ (𝐸:({0, 1} ∪ {2, 3})–1-1-onto→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) → 𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}))
28	12, 27	syl 17	. 2 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷))) ∧ 𝐸 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩) → 𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}))
29	28	exp31 422	1 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → (((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → (𝐸 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ → 𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083  ∀wal 1535   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∃*wmo 2620   ≠ wne 3018   ∪ cun 3936   ⊆ wss 3938  {cpr 4571  ⟨cop 4575   class class class wbr 5068  dom cdm 5557  ran crn 5558  ⟶wf 6353  –1-1→wf1 6354  –1-1-onto→wf1o 6356  0cc0 10539  1c1 10540  2c2 11695  3c3 11696  ⟨“cs4 14207

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-oadd 8108  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-card 9370  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-hash 13694  df-word 13865  df-concat 13925  df-s1 13952  df-s2 14212  df-s3 14213  df-s4 14214

This theorem is referenced by:  usgrexmplef  27043  usgrexmpledg  27046