Theorem s4f1o 14853

Description: A length 4 word with mutually different symbols is a one-to-one function onto the set of the symbols. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
s4f1o	⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → (((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → (𝐸 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ → 𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}))))

Proof of Theorem s4f1o

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oun2prg 14852	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → (((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩}):({0, 1} ∪ {2, 3})–1-1-onto→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷})))
2	1	imp 406	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷))) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩}):({0, 1} ∪ {2, 3})–1-1-onto→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}))
3	2	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷))) ∧ 𝐸 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩}):({0, 1} ∪ {2, 3})–1-1-onto→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}))
4		s4prop 14845	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩}))
5	4	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷))) → ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩}))
6	5	eqeq2d 2748	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷))) → (𝐸 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ↔ 𝐸 = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩})))
7	6	biimpa 476	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷))) ∧ 𝐸 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩) → 𝐸 = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩}))
8	7	eqcomd 2743	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷))) ∧ 𝐸 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩}) = 𝐸)
9	8	f1oeq1d 6777	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷))) ∧ 𝐸 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩) → (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩}):({0, 1} ∪ {2, 3})–1-1-onto→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) ↔ 𝐸:({0, 1} ∪ {2, 3})–1-1-onto→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷})))
10	3, 9	mpbid 232	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷))) ∧ 𝐸 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩) → 𝐸:({0, 1} ∪ {2, 3})–1-1-onto→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}))
11		dff1o5 6791	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸:({0, 1} ∪ {2, 3})–1-1-onto→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) ↔ (𝐸:({0, 1} ∪ {2, 3})–1-1→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) ∧ ran 𝐸 = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷})))
12		dff12 6737	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐸:({0, 1} ∪ {2, 3})–1-1→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) ↔ (𝐸:({0, 1} ∪ {2, 3})⟶({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) ∧ ∀𝑦∃*𝑥 𝑥𝐸𝑦))
13	12	bicomi 224	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐸:({0, 1} ∪ {2, 3})⟶({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) ∧ ∀𝑦∃*𝑥 𝑥𝐸𝑦) ↔ 𝐸:({0, 1} ∪ {2, 3})–1-1→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}))
14	13	anbi1i 625	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐸:({0, 1} ∪ {2, 3})⟶({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) ∧ ∀𝑦∃*𝑥 𝑥𝐸𝑦) ∧ ran 𝐸 = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷})) ↔ (𝐸:({0, 1} ∪ {2, 3})–1-1→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) ∧ ran 𝐸 = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷})))
15	11, 14	sylbb2 238	. . . . . 6 ⊢ (𝐸:({0, 1} ∪ {2, 3})–1-1-onto→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) → ((𝐸:({0, 1} ∪ {2, 3})⟶({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) ∧ ∀𝑦∃*𝑥 𝑥𝐸𝑦) ∧ ran 𝐸 = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷})))
16		ffdm 6699	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐸:({0, 1} ∪ {2, 3})⟶({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) → (𝐸:dom 𝐸⟶({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) ∧ dom 𝐸 ⊆ ({0, 1} ∪ {2, 3})))
17	16	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸:({0, 1} ∪ {2, 3})⟶({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) → 𝐸:dom 𝐸⟶({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}))
18	17	anim1i 616	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸:({0, 1} ∪ {2, 3})⟶({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) ∧ ∀𝑦∃*𝑥 𝑥𝐸𝑦) → (𝐸:dom 𝐸⟶({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) ∧ ∀𝑦∃*𝑥 𝑥𝐸𝑦))
19	18	anim1i 616	. . . . . 6 ⊢ (((𝐸:({0, 1} ∪ {2, 3})⟶({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) ∧ ∀𝑦∃*𝑥 𝑥𝐸𝑦) ∧ ran 𝐸 = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷})) → ((𝐸:dom 𝐸⟶({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) ∧ ∀𝑦∃*𝑥 𝑥𝐸𝑦) ∧ ran 𝐸 = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷})))
20	15, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐸:({0, 1} ∪ {2, 3})–1-1-onto→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) → ((𝐸:dom 𝐸⟶({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) ∧ ∀𝑦∃*𝑥 𝑥𝐸𝑦) ∧ ran 𝐸 = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷})))
21		dff12 6737	. . . . . 6 ⊢ (𝐸:dom 𝐸–1-1→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) ↔ (𝐸:dom 𝐸⟶({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) ∧ ∀𝑦∃*𝑥 𝑥𝐸𝑦))
22	21	anbi1i 625	. . . . 5 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) ∧ ran 𝐸 = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷})) ↔ ((𝐸:dom 𝐸⟶({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) ∧ ∀𝑦∃*𝑥 𝑥𝐸𝑦) ∧ ran 𝐸 = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷})))
23	20, 22	sylibr 234	. . . 4 ⊢ (𝐸:({0, 1} ∪ {2, 3})–1-1-onto→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) → (𝐸:dom 𝐸–1-1→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) ∧ ran 𝐸 = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷})))
24		dff1o5 6791	. . . 4 ⊢ (𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) ↔ (𝐸:dom 𝐸–1-1→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) ∧ ran 𝐸 = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷})))
25	23, 24	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝐸:({0, 1} ∪ {2, 3})–1-1-onto→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}) → 𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}))
26	10, 25	syl 17	. 2 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷))) ∧ 𝐸 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩) → 𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}))
27	26	exp31 419	1 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → (((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → (𝐸 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ → 𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087  ∀wal 1540   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃*wmo 2538   ≠ wne 2933   ∪ cun 3901   ⊆ wss 3903  {cpr 4584  ⟨cop 4588   class class class wbr 5100  dom cdm 5632  ran crn 5633  ⟶wf 6496  –1-1→wf1 6497  –1-1-onto→wf1o 6499  0cc0 11038  1c1 11039  2c2 12212  3c3 12213  ⟨“cs4 14778

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-hash 14266  df-word 14449  df-concat 14506  df-s1 14532  df-s2 14783  df-s3 14784  df-s4 14785

This theorem is referenced by:  usgrexmplef  29344  usgrexmpledg  29347  gpgprismgr4cycllem2  48456