Theorem funcnv2 6545

Description: A simpler equivalence for single-rooted (see funcnv 6546). (Contributed by NM, 9-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
funcnv2	⊢ (Fun ◡𝐴 ↔ ∀𝑦∃*𝑥 𝑥𝐴𝑦)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem funcnv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 6050	. . 3 ⊢ Rel ◡𝐴
2		dffun6 6488	. . 3 ⊢ (Fun ◡𝐴 ↔ (Rel ◡𝐴 ∧ ∀𝑦∃*𝑥 𝑦◡𝐴𝑥))
3	1, 2	mpbiran 709	. 2 ⊢ (Fun ◡𝐴 ↔ ∀𝑦∃*𝑥 𝑦◡𝐴𝑥)
4		vex 3438	. . . . 5 ⊢ 𝑦 ∈ V
5		vex 3438	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
6	4, 5	brcnv 5820	. . . 4 ⊢ (𝑦◡𝐴𝑥 ↔ 𝑥𝐴𝑦)
7	6	mobii 2542	. . 3 ⊢ (∃*𝑥 𝑦◡𝐴𝑥 ↔ ∃*𝑥 𝑥𝐴𝑦)
8	7	albii 1820	. 2 ⊢ (∀𝑦∃*𝑥 𝑦◡𝐴𝑥 ↔ ∀𝑦∃*𝑥 𝑥𝐴𝑦)
9	3, 8	bitri 275	1 ⊢ (Fun ◡𝐴 ↔ ∀𝑦∃*𝑥 𝑥𝐴𝑦)

Syntax hints:   ↔ wb 206  ∀wal 1539  ∃*wmo 2532   class class class wbr 5089  ^◡ccnv 5613  Rel wrel 5619  Fun wfun 6471

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-ext 2702  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2067  df-mo 2534  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3394  df-v 3436  df-dif 3903  df-un 3905  df-ss 3917  df-nul 4282  df-if 4474  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-br 5090  df-opab 5152  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-fun 6479

This theorem is referenced by:  funcnv  6546  fun2cnv  6548  fun11  6551  dff12  6714  1stconst  8025  2ndconst  8026