Theorem dfgrp3lem 19127

Description: Lemma for dfgrp3 19128. (Contributed by AV, 28-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dfgrp3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
dfgrp3.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
dfgrp3lem	⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) → ∃𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐵 ((𝑢 + 𝑎) = 𝑎 ∧ ∃𝑖 ∈ 𝐵 (𝑖 + 𝑎) = 𝑢))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑎,𝑖,𝑙,𝑟,𝑢,𝑥,𝑦   𝐺,𝑎,𝑖,𝑙,𝑟,𝑢,𝑥,𝑦   + ,𝑎,𝑖,𝑙,𝑟,𝑢,𝑥,𝑦

Proof of Theorem dfgrp3lem

Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1155	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) → 𝐵 ≠ ∅)
2		n0 4307	. . 3 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐵)
3	1, 2	sylib 221	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) → ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐵)
4		oveq2 7424	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑙 + 𝑥) = (𝑙 + 𝑤))
5	4	eqeq1d 2767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ((𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ↔ (𝑙 + 𝑤) = 𝑦))
6	5	rexbidv 3191	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ↔ ∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑤) = 𝑦))
7		oveq1 7423	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑥 + 𝑟) = (𝑤 + 𝑟))
8	7	eqeq1d 2767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ((𝑥 + 𝑟) = 𝑦 ↔ (𝑤 + 𝑟) = 𝑦))
9	8	rexbidv 3191	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑤 + 𝑟) = 𝑦))
10	6, 9	anbi12d 644	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ((∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦) ↔ (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑤) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑤 + 𝑟) = 𝑦)))
11	10	ralbidv 3190	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑤) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑤 + 𝑟) = 𝑦)))
12	11	rspcv 3579	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑤) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑤 + 𝑟) = 𝑦)))
13		eqeq2 2777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → ((𝑙 + 𝑤) = 𝑦 ↔ (𝑙 + 𝑤) = 𝑤))
14	13	rexbidv 3191	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑤) = 𝑦 ↔ ∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑤) = 𝑤))
15		eqeq2 2777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → ((𝑤 + 𝑟) = 𝑦 ↔ (𝑤 + 𝑟) = 𝑤))
16	15	rexbidv 3191	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑤 + 𝑟) = 𝑦 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑤 + 𝑟) = 𝑤))
17	14, 16	anbi12d 644	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → ((∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑤) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑤 + 𝑟) = 𝑦) ↔ (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑤) = 𝑤 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑤 + 𝑟) = 𝑤)))
18	17	rspcva 3581	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑤) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑤 + 𝑟) = 𝑦)) → (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑤) = 𝑤 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑤 + 𝑟) = 𝑤))
19		oveq1 7423	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑙 = 𝑢 → (𝑙 + 𝑤) = (𝑢 + 𝑤))
20	19	eqeq1d 2767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑙 = 𝑢 → ((𝑙 + 𝑤) = 𝑤 ↔ (𝑢 + 𝑤) = 𝑤))
21	20	cbvrexvw 3246	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑤) = 𝑤 ↔ ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑢 + 𝑤) = 𝑤)
22	21	birani 509	. . . . . . . 8 ⊢ ((∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑤) = 𝑤 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑤 + 𝑟) = 𝑤) → ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑢 + 𝑤) = 𝑤)
23	18, 22	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑤) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑤 + 𝑟) = 𝑦)) → ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑢 + 𝑤) = 𝑤)
24	23	ex 418	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐵 → (∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑤) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑤 + 𝑟) = 𝑦) → ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑢 + 𝑤) = 𝑤))
25	12, 24	syldc 49	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦) → (𝑤 ∈ 𝐵 → ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑢 + 𝑤) = 𝑤))
26	25	3ad2ant3 1153	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) → (𝑤 ∈ 𝐵 → ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑢 + 𝑤) = 𝑤))
27	26	imp 412	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑢 + 𝑤) = 𝑤)
28		eqeq2 2777	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → ((𝑙 + 𝑤) = 𝑦 ↔ (𝑙 + 𝑤) = 𝑎))
29	28	rexbidv 3191	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑤) = 𝑦 ↔ ∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑤) = 𝑎))
30		eqeq2 2777	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → ((𝑤 + 𝑟) = 𝑦 ↔ (𝑤 + 𝑟) = 𝑎))
31	30	rexbidv 3191	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → (∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑤 + 𝑟) = 𝑦 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑤 + 𝑟) = 𝑎))
32	29, 31	anbi12d 644	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → ((∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑤) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑤 + 𝑟) = 𝑦) ↔ (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑤) = 𝑎 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑤 + 𝑟) = 𝑎)))
33	10, 32	rspc2va 3595	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) → (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑤) = 𝑎 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑤 + 𝑟) = 𝑎))
34	33	simprd 501	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) → ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑤 + 𝑟) = 𝑎)
35	34	expcom 419	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦) → ((𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑤 + 𝑟) = 𝑎))
36	35	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) → ((𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑤 + 𝑟) = 𝑎))
37	36	impl 461	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ Smgrp ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑤 + 𝑟) = 𝑎)
38	37	ad2ant2r 760	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐺 ∈ Smgrp ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ (𝑢 + 𝑤) = 𝑤)) → ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑤 + 𝑟) = 𝑎)
39		oveq2 7424	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 = 𝑧 → (𝑤 + 𝑟) = (𝑤 + 𝑧))
40	39	eqeq1d 2767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = 𝑧 → ((𝑤 + 𝑟) = 𝑎 ↔ (𝑤 + 𝑧) = 𝑎))
41	40	cbvrexvw 3246	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑤 + 𝑟) = 𝑎 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑤 + 𝑧) = 𝑎)
42		simpll1 1231	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐺 ∈ Smgrp ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ Smgrp)
43	42	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐺 ∈ Smgrp ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑢 + 𝑤) = 𝑤 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ Smgrp)
44		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐺 ∈ Smgrp ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑢 + 𝑤) = 𝑤 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑢 ∈ 𝐵)
45		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐺 ∈ Smgrp ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑢 + 𝑤) = 𝑤 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑤 ∈ 𝐵)
46		simprr 785	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐺 ∈ Smgrp ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑢 + 𝑤) = 𝑤 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑧 ∈ 𝐵)
47		dfgrp3.b	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
48		dfgrp3.p	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ + = (+g‘𝐺)
49	47, 48	sgrpass 18804	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑢 + 𝑤) + 𝑧) = (𝑢 + (𝑤 + 𝑧)))
50	43, 44, 45, 46, 49	syl13anc 1399	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐺 ∈ Smgrp ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑢 + 𝑤) = 𝑤 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑢 + 𝑤) + 𝑧) = (𝑢 + (𝑤 + 𝑧)))
51		simprl 783	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐺 ∈ Smgrp ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑢 + 𝑤) = 𝑤 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑢 + 𝑤) = 𝑤)
52	51	oveq1d 7431	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐺 ∈ Smgrp ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑢 + 𝑤) = 𝑤 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑢 + 𝑤) + 𝑧) = (𝑤 + 𝑧))
53	50, 52	eqtr3d 2802	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐺 ∈ Smgrp ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑢 + 𝑤) = 𝑤 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑢 + (𝑤 + 𝑧)) = (𝑤 + 𝑧))
54	53	anassrs 473	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐺 ∈ Smgrp ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑢 + 𝑤) = 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑢 + (𝑤 + 𝑧)) = (𝑤 + 𝑧))
55		oveq2 7424	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑤 + 𝑧) = 𝑎 → (𝑢 + (𝑤 + 𝑧)) = (𝑢 + 𝑎))
56		id 23	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑤 + 𝑧) = 𝑎 → (𝑤 + 𝑧) = 𝑎)
57	55, 56	eqeq12d 2781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑤 + 𝑧) = 𝑎 → ((𝑢 + (𝑤 + 𝑧)) = (𝑤 + 𝑧) ↔ (𝑢 + 𝑎) = 𝑎))
58	54, 57	syl5ibcom 248	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐺 ∈ Smgrp ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑢 + 𝑤) = 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((𝑤 + 𝑧) = 𝑎 → (𝑢 + 𝑎) = 𝑎))
59	58	rexlimdva 3168	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐺 ∈ Smgrp ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑢 + 𝑤) = 𝑤) → (∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑤 + 𝑧) = 𝑎 → (𝑢 + 𝑎) = 𝑎))
60	41, 59	biimtrid 245	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐺 ∈ Smgrp ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑢 + 𝑤) = 𝑤) → (∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑤 + 𝑟) = 𝑎 → (𝑢 + 𝑎) = 𝑎))
61	60	adantrl 729	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐺 ∈ Smgrp ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ (𝑢 + 𝑤) = 𝑤)) → (∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑤 + 𝑟) = 𝑎 → (𝑢 + 𝑎) = 𝑎))
62	38, 61	mpd 16	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐺 ∈ Smgrp ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ (𝑢 + 𝑤) = 𝑤)) → (𝑢 + 𝑎) = 𝑎)
63		oveq2 7424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝑙 + 𝑥) = (𝑙 + 𝑎))
64	63	eqeq1d 2767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → ((𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ↔ (𝑙 + 𝑎) = 𝑦))
65	64	rexbidv 3191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ↔ ∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑎) = 𝑦))
66		oveq1 7423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝑥 + 𝑟) = (𝑎 + 𝑟))
67	66	eqeq1d 2767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → ((𝑥 + 𝑟) = 𝑦 ↔ (𝑎 + 𝑟) = 𝑦))
68	67	rexbidv 3191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑎 + 𝑟) = 𝑦))
69	65, 68	anbi12d 644	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → ((∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦) ↔ (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑎) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑎 + 𝑟) = 𝑦)))
70		eqeq2 2777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 = 𝑢 → ((𝑙 + 𝑎) = 𝑦 ↔ (𝑙 + 𝑎) = 𝑢))
71	70	rexbidv 3191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 = 𝑢 → (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑎) = 𝑦 ↔ ∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑎) = 𝑢))
72		eqeq2 2777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 = 𝑢 → ((𝑎 + 𝑟) = 𝑦 ↔ (𝑎 + 𝑟) = 𝑢))
73	72	rexbidv 3191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 = 𝑢 → (∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑎 + 𝑟) = 𝑦 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑎 + 𝑟) = 𝑢))
74	71, 73	anbi12d 644	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = 𝑢 → ((∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑎) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑎 + 𝑟) = 𝑦) ↔ (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑎) = 𝑢 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑎 + 𝑟) = 𝑢)))
75	69, 74	rspc2va 3595	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) → (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑎) = 𝑢 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑎 + 𝑟) = 𝑢))
76	75	simpld 500	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) → ∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑎) = 𝑢)
77	76	ex 418	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦) → ∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑎) = 𝑢))
78	77	ancoms 464	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦) → ∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑎) = 𝑢))
79	78	com12 33	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦) → ((𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑎) = 𝑢))
80	79	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) → ((𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑎) = 𝑢))
81	80	impl 461	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ Smgrp ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑎) = 𝑢)
82		oveq1 7423	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑙 = 𝑖 → (𝑙 + 𝑎) = (𝑖 + 𝑎))
83	82	eqeq1d 2767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑙 = 𝑖 → ((𝑙 + 𝑎) = 𝑢 ↔ (𝑖 + 𝑎) = 𝑢))
84	83	cbvrexvw 3246	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑎) = 𝑢 ↔ ∃𝑖 ∈ 𝐵 (𝑖 + 𝑎) = 𝑢)
85	81, 84	sylib 221	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ Smgrp ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ∃𝑖 ∈ 𝐵 (𝑖 + 𝑎) = 𝑢)
86	85	adantllr 732	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐺 ∈ Smgrp ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ∃𝑖 ∈ 𝐵 (𝑖 + 𝑎) = 𝑢)
87	86	adantrr 730	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐺 ∈ Smgrp ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ (𝑢 + 𝑤) = 𝑤)) → ∃𝑖 ∈ 𝐵 (𝑖 + 𝑎) = 𝑢)
88	62, 87	jca 521	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐺 ∈ Smgrp ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ (𝑢 + 𝑤) = 𝑤)) → ((𝑢 + 𝑎) = 𝑎 ∧ ∃𝑖 ∈ 𝐵 (𝑖 + 𝑎) = 𝑢))
89	88	expr 462	. . . . 5 ⊢ (((((𝐺 ∈ Smgrp ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ((𝑢 + 𝑤) = 𝑤 → ((𝑢 + 𝑎) = 𝑎 ∧ ∃𝑖 ∈ 𝐵 (𝑖 + 𝑎) = 𝑢)))
90	89	ralrimdva 3167	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ Smgrp ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → ((𝑢 + 𝑤) = 𝑤 → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ((𝑢 + 𝑎) = 𝑎 ∧ ∃𝑖 ∈ 𝐵 (𝑖 + 𝑎) = 𝑢)))
91	90	reximdva 3180	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → (∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑢 + 𝑤) = 𝑤 → ∃𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐵 ((𝑢 + 𝑎) = 𝑎 ∧ ∃𝑖 ∈ 𝐵 (𝑖 + 𝑎) = 𝑢)))
92	27, 91	mpd 16	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → ∃𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐵 ((𝑢 + 𝑎) = 𝑎 ∧ ∃𝑖 ∈ 𝐵 (𝑖 + 𝑎) = 𝑢))
93	3, 92	exlimddv 1968	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) → ∃𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐵 ((𝑢 + 𝑎) = 𝑎 ∧ ∃𝑖 ∈ 𝐵 (𝑖 + 𝑎) = 𝑢))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∀wral 3081  ∃wrex 3091  ∅c0 4286  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  Basecbs 17286  +_gcplusg 17327  Smgrpcsgrp 18797

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2737  ax-nul 5271

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-dif 3909  df-un 3911  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-iota 6496  df-fv 6548  df-ov 7419  df-sgrp 18798

This theorem is used by:  dfgrp3  19128