Theorem dfgrp3lem 18673

Description: Lemma for dfgrp3 18674. (Contributed by AV, 28-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dfgrp3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
dfgrp3.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
dfgrp3lem	⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) → ∃𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐵 ((𝑢 + 𝑎) = 𝑎 ∧ ∃𝑖 ∈ 𝐵 (𝑖 + 𝑎) = 𝑢))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑎,𝑖,𝑙,𝑟,𝑢,𝑥,𝑦   𝐺,𝑎,𝑖,𝑙,𝑟,𝑢,𝑥,𝑦   + ,𝑎,𝑖,𝑙,𝑟,𝑢,𝑥,𝑦

Proof of Theorem dfgrp3lem

Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1136	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) → 𝐵 ≠ ∅)
2		n0 4280	. . 3 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐵)
3	1, 2	sylib 217	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) → ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐵)
4		oveq2 7283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑙 + 𝑥) = (𝑙 + 𝑤))
5	4	eqeq1d 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ((𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ↔ (𝑙 + 𝑤) = 𝑦))
6	5	rexbidv 3226	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ↔ ∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑤) = 𝑦))
7		oveq1 7282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑥 + 𝑟) = (𝑤 + 𝑟))
8	7	eqeq1d 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ((𝑥 + 𝑟) = 𝑦 ↔ (𝑤 + 𝑟) = 𝑦))
9	8	rexbidv 3226	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑤 + 𝑟) = 𝑦))
10	6, 9	anbi12d 631	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ((∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦) ↔ (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑤) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑤 + 𝑟) = 𝑦)))
11	10	ralbidv 3112	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑤) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑤 + 𝑟) = 𝑦)))
12	11	rspcv 3557	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑤) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑤 + 𝑟) = 𝑦)))
13		eqeq2 2750	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → ((𝑙 + 𝑤) = 𝑦 ↔ (𝑙 + 𝑤) = 𝑤))
14	13	rexbidv 3226	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑤) = 𝑦 ↔ ∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑤) = 𝑤))
15		eqeq2 2750	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → ((𝑤 + 𝑟) = 𝑦 ↔ (𝑤 + 𝑟) = 𝑤))
16	15	rexbidv 3226	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑤 + 𝑟) = 𝑦 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑤 + 𝑟) = 𝑤))
17	14, 16	anbi12d 631	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → ((∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑤) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑤 + 𝑟) = 𝑦) ↔ (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑤) = 𝑤 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑤 + 𝑟) = 𝑤)))
18	17	rspcva 3559	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑤) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑤 + 𝑟) = 𝑦)) → (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑤) = 𝑤 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑤 + 𝑟) = 𝑤))
19		oveq1 7282	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑙 = 𝑢 → (𝑙 + 𝑤) = (𝑢 + 𝑤))
20	19	eqeq1d 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑙 = 𝑢 → ((𝑙 + 𝑤) = 𝑤 ↔ (𝑢 + 𝑤) = 𝑤))
21	20	cbvrexvw 3384	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑤) = 𝑤 ↔ ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑢 + 𝑤) = 𝑤)
22	21	biimpi 215	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑤) = 𝑤 → ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑢 + 𝑤) = 𝑤)
23	22	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑤) = 𝑤 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑤 + 𝑟) = 𝑤) → ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑢 + 𝑤) = 𝑤)
24	18, 23	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑤) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑤 + 𝑟) = 𝑦)) → ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑢 + 𝑤) = 𝑤)
25	24	ex 413	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐵 → (∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑤) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑤 + 𝑟) = 𝑦) → ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑢 + 𝑤) = 𝑤))
26	12, 25	syldc 48	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦) → (𝑤 ∈ 𝐵 → ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑢 + 𝑤) = 𝑤))
27	26	3ad2ant3 1134	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) → (𝑤 ∈ 𝐵 → ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑢 + 𝑤) = 𝑤))
28	27	imp 407	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑢 + 𝑤) = 𝑤)
29		eqeq2 2750	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → ((𝑙 + 𝑤) = 𝑦 ↔ (𝑙 + 𝑤) = 𝑎))
30	29	rexbidv 3226	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑤) = 𝑦 ↔ ∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑤) = 𝑎))
31		eqeq2 2750	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → ((𝑤 + 𝑟) = 𝑦 ↔ (𝑤 + 𝑟) = 𝑎))
32	31	rexbidv 3226	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → (∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑤 + 𝑟) = 𝑦 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑤 + 𝑟) = 𝑎))
33	30, 32	anbi12d 631	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → ((∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑤) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑤 + 𝑟) = 𝑦) ↔ (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑤) = 𝑎 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑤 + 𝑟) = 𝑎)))
34	10, 33	rspc2va 3571	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) → (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑤) = 𝑎 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑤 + 𝑟) = 𝑎))
35	34	simprd 496	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) → ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑤 + 𝑟) = 𝑎)
36	35	expcom 414	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦) → ((𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑤 + 𝑟) = 𝑎))
37	36	3ad2ant3 1134	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) → ((𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑤 + 𝑟) = 𝑎))
38	37	impl 456	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ Smgrp ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑤 + 𝑟) = 𝑎)
39	38	ad2ant2r 744	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐺 ∈ Smgrp ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ (𝑢 + 𝑤) = 𝑤)) → ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑤 + 𝑟) = 𝑎)
40		oveq2 7283	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 = 𝑧 → (𝑤 + 𝑟) = (𝑤 + 𝑧))
41	40	eqeq1d 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = 𝑧 → ((𝑤 + 𝑟) = 𝑎 ↔ (𝑤 + 𝑧) = 𝑎))
42	41	cbvrexvw 3384	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑤 + 𝑟) = 𝑎 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑤 + 𝑧) = 𝑎)
43		simpll1 1211	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐺 ∈ Smgrp ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ Smgrp)
44	43	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐺 ∈ Smgrp ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑢 + 𝑤) = 𝑤 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ Smgrp)
45		simplr 766	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐺 ∈ Smgrp ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑢 + 𝑤) = 𝑤 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑢 ∈ 𝐵)
46		simpllr 773	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐺 ∈ Smgrp ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑢 + 𝑤) = 𝑤 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑤 ∈ 𝐵)
47		simprr 770	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐺 ∈ Smgrp ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑢 + 𝑤) = 𝑤 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑧 ∈ 𝐵)
48		dfgrp3.b	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
49		dfgrp3.p	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ + = (+g‘𝐺)
50	48, 49	sgrpass 18381	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑢 + 𝑤) + 𝑧) = (𝑢 + (𝑤 + 𝑧)))
51	44, 45, 46, 47, 50	syl13anc 1371	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐺 ∈ Smgrp ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑢 + 𝑤) = 𝑤 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑢 + 𝑤) + 𝑧) = (𝑢 + (𝑤 + 𝑧)))
52		simprl 768	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐺 ∈ Smgrp ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑢 + 𝑤) = 𝑤 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑢 + 𝑤) = 𝑤)
53	52	oveq1d 7290	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐺 ∈ Smgrp ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑢 + 𝑤) = 𝑤 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑢 + 𝑤) + 𝑧) = (𝑤 + 𝑧))
54	51, 53	eqtr3d 2780	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐺 ∈ Smgrp ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑢 + 𝑤) = 𝑤 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑢 + (𝑤 + 𝑧)) = (𝑤 + 𝑧))
55	54	anassrs 468	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐺 ∈ Smgrp ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑢 + 𝑤) = 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑢 + (𝑤 + 𝑧)) = (𝑤 + 𝑧))
56		oveq2 7283	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑤 + 𝑧) = 𝑎 → (𝑢 + (𝑤 + 𝑧)) = (𝑢 + 𝑎))
57		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑤 + 𝑧) = 𝑎 → (𝑤 + 𝑧) = 𝑎)
58	56, 57	eqeq12d 2754	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑤 + 𝑧) = 𝑎 → ((𝑢 + (𝑤 + 𝑧)) = (𝑤 + 𝑧) ↔ (𝑢 + 𝑎) = 𝑎))
59	55, 58	syl5ibcom 244	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐺 ∈ Smgrp ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑢 + 𝑤) = 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((𝑤 + 𝑧) = 𝑎 → (𝑢 + 𝑎) = 𝑎))
60	59	rexlimdva 3213	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐺 ∈ Smgrp ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑢 + 𝑤) = 𝑤) → (∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑤 + 𝑧) = 𝑎 → (𝑢 + 𝑎) = 𝑎))
61	42, 60	syl5bi 241	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐺 ∈ Smgrp ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑢 + 𝑤) = 𝑤) → (∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑤 + 𝑟) = 𝑎 → (𝑢 + 𝑎) = 𝑎))
62	61	adantrl 713	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐺 ∈ Smgrp ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ (𝑢 + 𝑤) = 𝑤)) → (∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑤 + 𝑟) = 𝑎 → (𝑢 + 𝑎) = 𝑎))
63	39, 62	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐺 ∈ Smgrp ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ (𝑢 + 𝑤) = 𝑤)) → (𝑢 + 𝑎) = 𝑎)
64		oveq2 7283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝑙 + 𝑥) = (𝑙 + 𝑎))
65	64	eqeq1d 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → ((𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ↔ (𝑙 + 𝑎) = 𝑦))
66	65	rexbidv 3226	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ↔ ∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑎) = 𝑦))
67		oveq1 7282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝑥 + 𝑟) = (𝑎 + 𝑟))
68	67	eqeq1d 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → ((𝑥 + 𝑟) = 𝑦 ↔ (𝑎 + 𝑟) = 𝑦))
69	68	rexbidv 3226	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑎 + 𝑟) = 𝑦))
70	66, 69	anbi12d 631	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → ((∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦) ↔ (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑎) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑎 + 𝑟) = 𝑦)))
71		eqeq2 2750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 = 𝑢 → ((𝑙 + 𝑎) = 𝑦 ↔ (𝑙 + 𝑎) = 𝑢))
72	71	rexbidv 3226	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 = 𝑢 → (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑎) = 𝑦 ↔ ∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑎) = 𝑢))
73		eqeq2 2750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 = 𝑢 → ((𝑎 + 𝑟) = 𝑦 ↔ (𝑎 + 𝑟) = 𝑢))
74	73	rexbidv 3226	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 = 𝑢 → (∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑎 + 𝑟) = 𝑦 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑎 + 𝑟) = 𝑢))
75	72, 74	anbi12d 631	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = 𝑢 → ((∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑎) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑎 + 𝑟) = 𝑦) ↔ (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑎) = 𝑢 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑎 + 𝑟) = 𝑢)))
76	70, 75	rspc2va 3571	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) → (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑎) = 𝑢 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑎 + 𝑟) = 𝑢))
77	76	simpld 495	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) → ∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑎) = 𝑢)
78	77	ex 413	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦) → ∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑎) = 𝑢))
79	78	ancoms 459	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦) → ∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑎) = 𝑢))
80	79	com12 32	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦) → ((𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑎) = 𝑢))
81	80	3ad2ant3 1134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) → ((𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑎) = 𝑢))
82	81	impl 456	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ Smgrp ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑎) = 𝑢)
83		oveq1 7282	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑙 = 𝑖 → (𝑙 + 𝑎) = (𝑖 + 𝑎))
84	83	eqeq1d 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑙 = 𝑖 → ((𝑙 + 𝑎) = 𝑢 ↔ (𝑖 + 𝑎) = 𝑢))
85	84	cbvrexvw 3384	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑎) = 𝑢 ↔ ∃𝑖 ∈ 𝐵 (𝑖 + 𝑎) = 𝑢)
86	82, 85	sylib 217	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ Smgrp ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ∃𝑖 ∈ 𝐵 (𝑖 + 𝑎) = 𝑢)
87	86	adantllr 716	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐺 ∈ Smgrp ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ∃𝑖 ∈ 𝐵 (𝑖 + 𝑎) = 𝑢)
88	87	adantrr 714	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐺 ∈ Smgrp ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ (𝑢 + 𝑤) = 𝑤)) → ∃𝑖 ∈ 𝐵 (𝑖 + 𝑎) = 𝑢)
89	63, 88	jca 512	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐺 ∈ Smgrp ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ (𝑢 + 𝑤) = 𝑤)) → ((𝑢 + 𝑎) = 𝑎 ∧ ∃𝑖 ∈ 𝐵 (𝑖 + 𝑎) = 𝑢))
90	89	expr 457	. . . . 5 ⊢ (((((𝐺 ∈ Smgrp ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ((𝑢 + 𝑤) = 𝑤 → ((𝑢 + 𝑎) = 𝑎 ∧ ∃𝑖 ∈ 𝐵 (𝑖 + 𝑎) = 𝑢)))
91	90	ralrimdva 3106	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ Smgrp ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → ((𝑢 + 𝑤) = 𝑤 → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ((𝑢 + 𝑎) = 𝑎 ∧ ∃𝑖 ∈ 𝐵 (𝑖 + 𝑎) = 𝑢)))
92	91	reximdva 3203	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → (∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑢 + 𝑤) = 𝑤 → ∃𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐵 ((𝑢 + 𝑎) = 𝑎 ∧ ∃𝑖 ∈ 𝐵 (𝑖 + 𝑎) = 𝑢)))
93	28, 92	mpd 15	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → ∃𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐵 ((𝑢 + 𝑎) = 𝑎 ∧ ∃𝑖 ∈ 𝐵 (𝑖 + 𝑎) = 𝑢))
94	3, 93	exlimddv 1938	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) → ∃𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐵 ((𝑢 + 𝑎) = 𝑎 ∧ ∃𝑖 ∈ 𝐵 (𝑖 + 𝑎) = 𝑢))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539  ∃wex 1782   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  ∃wrex 3065  ∅c0 4256  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  +_gcplusg 16962  Smgrpcsgrp 18374

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-nul 5230

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-iota 6391  df-fv 6441  df-ov 7278  df-sgrp 18375

This theorem is referenced by:  dfgrp3  18674