Theorem grpnnncan2 17828

Description: Cancellation law for group subtraction. (nnncan2 10610 analog.) (Contributed by NM, 15-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpnnncan2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpnnncan2.m	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpnnncan2	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 − 𝑍) − (𝑌 − 𝑍)) = (𝑋 − 𝑌))

Proof of Theorem grpnnncan2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 475	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ Grp)
2		simpr1 1249	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		simpr3 1253	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
4		grpnnncan2.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		grpnnncan2.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝐺)
6	4, 5	grpsubcl 17811	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑌 − 𝑍) ∈ 𝐵)
7	6	3adant3r1 1234	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑌 − 𝑍) ∈ 𝐵)
8		eqid 2799	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
9	4, 8, 5	grpsubsub4 17824	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 − 𝑍) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 − 𝑍) − (𝑌 − 𝑍)) = (𝑋 − ((𝑌 − 𝑍)(+g‘𝐺)𝑍)))
10	1, 2, 3, 7, 9	syl13anc 1492	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 − 𝑍) − (𝑌 − 𝑍)) = (𝑋 − ((𝑌 − 𝑍)(+g‘𝐺)𝑍)))
11	4, 8, 5	grpnpcan 17823	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ((𝑌 − 𝑍)(+g‘𝐺)𝑍) = 𝑌)
12	11	3adant3r1 1234	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑌 − 𝑍)(+g‘𝐺)𝑍) = 𝑌)
13	12	oveq2d 6894	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 − ((𝑌 − 𝑍)(+g‘𝐺)𝑍)) = (𝑋 − 𝑌))
14	10, 13	eqtrd 2833	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 − 𝑍) − (𝑌 − 𝑍)) = (𝑋 − 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 385   ∧ w3a 1108   = wceq 1653   ∈ wcel 2157  ‘cfv 6101  (class class class)co 6878  Basecbs 16184  +_gcplusg 16267  Grpcgrp 17738  -_gcsg 17740

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-id 5220  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-0g 16417  df-mgm 17557  df-sgrp 17599  df-mnd 17610  df-grp 17741  df-minusg 17742  df-sbg 17743

This theorem is referenced by:  2idlcpbl  19557  nrmmetd  22707  ttgcontlem1  26122