Theorem elpredg 6320

Description: Membership in a predecessor class. (Contributed by Scott Fenton, 17-Apr-2011.) (Proof shortened by BJ, 16-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
elpredg	⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ↔ 𝑌𝑅𝑋))

Proof of Theorem elpredg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpredgg 6319	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ↔ (𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌𝑅𝑋)))
2		ibar 538	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐴 → (𝑌𝑅𝑋 ↔ (𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌𝑅𝑋)))
3	2	bicomd 226	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐴 → ((𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌𝑅𝑋) ↔ 𝑌𝑅𝑋))
4	3	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → ((𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌𝑅𝑋) ↔ 𝑌𝑅𝑋))
5	1, 4	bitrd 282	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ↔ 𝑌𝑅𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5111  Predcpred 6305

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-pr 5406

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-br 5112  df-opab 5176  df-xp 5669  df-cnv 5671  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306

This theorem is used by:  predpoirr  6338  predfrirr  6339  wsuclem  36354  wsuclb  36357  dfpre2  39186