Theorem elpredg 6322

Description: Membership in a predecessor class. (Contributed by Scott Fenton, 17-Apr-2011.) (Proof shortened by BJ, 16-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
elpredg	⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ↔ 𝑌𝑅𝑋))

Proof of Theorem elpredg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpredgg 6321	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ↔ (𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌𝑅𝑋)))
2		ibar 527	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐴 → (𝑌𝑅𝑋 ↔ (𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌𝑅𝑋)))
3	2	bicomd 222	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐴 → ((𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌𝑅𝑋) ↔ 𝑌𝑅𝑋))
4	3	adantl 480	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → ((𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌𝑅𝑋) ↔ 𝑌𝑅𝑋))
5	1, 4	bitrd 278	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ↔ 𝑌𝑅𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5150  Predcpred 6307

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pr 5431

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-sb 2060  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rab 3429  df-v 3473  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4325  df-if 4531  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-br 5151  df-opab 5213  df-xp 5686  df-cnv 5688  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308

This theorem is referenced by:  predpoirr  6342  predfrirr  6343  wfrlem10OLD  8343  wsuclem  35426  wsuclb  35429