Theorem disjeccnvep 38269

Description: Property of the epsilon relation. (Contributed by Peter Mazsa, 27-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
disjeccnvep	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (([𝐴]◡ E ∩ [𝐵]◡ E ) = ∅ ↔ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅))

Proof of Theorem disjeccnvep

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eccnvep 38267	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → [𝐴]◡ E = 𝐴)
2		eccnvep 38267	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → [𝐵]◡ E = 𝐵)
3	1, 2	ineqan12d 4193	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ([𝐴]◡ E ∩ [𝐵]◡ E ) = (𝐴 ∩ 𝐵))
4	3	eqeq1d 2732	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (([𝐴]◡ E ∩ [𝐵]◡ E ) = ∅ ↔ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∩ cin 3921  ∅c0 4304   E cep 5545  ^◡ccnv 5645  [cec 8680

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5259  ax-nul 5269  ax-pr 5395

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-ne 2928  df-ral 3047  df-rex 3056  df-rab 3412  df-v 3457  df-dif 3925  df-un 3927  df-in 3929  df-ss 3939  df-nul 4305  df-if 4497  df-sn 4598  df-pr 4600  df-op 4604  df-br 5116  df-opab 5178  df-eprel 5546  df-xp 5652  df-rel 5653  df-cnv 5654  df-dm 5656  df-rn 5657  df-res 5658  df-ima 5659  df-ec 8684

This theorem is referenced by:  disjecxrncnvep  38375