Theorem disjeccnvep 38885

Description: Property of the epsilon relation. (Contributed by Peter Mazsa, 27-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
disjeccnvep	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (([𝐴]◡ E ∩ [𝐵]◡ E ) = ∅ ↔ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅))

Proof of Theorem disjeccnvep

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eccnvep 38883	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → [𝐴]◡ E = 𝐴)
2		eccnvep 38883	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → [𝐵]◡ E = 𝐵)
3	1, 2	ineqan12d 4174	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ([𝐴]◡ E ∩ [𝐵]◡ E ) = (𝐴 ∩ 𝐵))
4	3	eqeq1d 2763	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (([𝐴]◡ E ∩ [𝐵]◡ E ) = ∅ ↔ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2141   ∩ cin 3903  ∅c0 4285   E cep 5560  ^◡ccnv 5660  [cec 8691

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-pr 5404

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-sb 2095  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-br 5109  df-opab 5173  df-eprel 5561  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-ec 8695

This theorem is referenced by:  disjecxrncnvep  39008