Theorem extep 37139

Description: Property of epsilon relation, see also extid 37167, extssr 37367 and the comment of df-ssr 37356. (Contributed by Peter Mazsa, 10-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
extep	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ([𝐴]◡ E = [𝐵]◡ E ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem extep

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eccnvep 37138	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → [𝐴]◡ E = 𝐴)
2		eccnvep 37138	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → [𝐵]◡ E = 𝐵)
3	1, 2	eqeqan12d 2746	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ([𝐴]◡ E = [𝐵]◡ E ↔ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   E cep 5578  ^◡ccnv 5674  [cec 8697

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-br 5148  df-opab 5210  df-eprel 5579  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-ec 8701

This theorem is referenced by: (None)