Theorem extep 38239

Description: Property of epsilon relation, see also extid 38266, extssr 38465 and the comment of df-ssr 38454. (Contributed by Peter Mazsa, 10-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
extep	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ([𝐴]◡ E = [𝐵]◡ E ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem extep

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eccnvep 38238	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → [𝐴]◡ E = 𝐴)
2		eccnvep 38238	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → [𝐵]◡ E = 𝐵)
3	1, 2	eqeqan12d 2754	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ([𝐴]◡ E = [𝐵]◡ E ↔ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   E cep 5598  ^◡ccnv 5699  [cec 8761

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-br 5167  df-opab 5229  df-eprel 5599  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-ec 8765

This theorem is referenced by: (None)