Theorem extep 34984

Description: Property of epsilon relation, see also extid 35012, extssr 35194 and the comment of df-ssr 35183. (Contributed by Peter Mazsa, 10-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
extep	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ([𝐴]◡ E = [𝐵]◡ E ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem extep

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eccnvep 34983	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → [𝐴]◡ E = 𝐴)
2		eccnvep 34983	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → [𝐵]◡ E = 𝐵)
3	1, 2	eqeqan12d 2788	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ([𝐴]◡ E = [𝐵]◡ E ↔ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   = wceq 1507   ∈ wcel 2050   E cep 5310  ^◡ccnv 5400  [cec 8081

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pr 5180

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-ral 3087  df-rex 3088  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-nul 4173  df-if 4345  df-sn 4436  df-pr 4438  df-op 4442  df-br 4924  df-opab 4986  df-eprel 5311  df-xp 5407  df-rel 5408  df-cnv 5409  df-dm 5411  df-rn 5412  df-res 5413  df-ima 5414  df-ec 8085

This theorem is referenced by: (None)