Theorem dmmpt1 46105

Description: The domain of the mapping operation, deduction form. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
dmmpt1.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
dmmpt1.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐵
dmmpt1.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
dmmpt1	⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = 𝐵)

Proof of Theorem dmmpt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmmpt1.x	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		dmmpt1.1	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
3		eqid 2762	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
4		dmmpt1.c	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝑉)
5	1, 2, 3, 4	dmmptdff 46061	1 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2145  Ⅎwnfc 2909   ↦ cmpt 5190  dom cdm 5659

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-pr 5402

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ral 3079  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672

This theorem is used by:  smffmptf  47640