Theorem dmmpt1 46373

Description: The domain of the mapping operation, deduction form. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
dmmpt1.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
dmmpt1.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐵
dmmpt1.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
dmmpt1	⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = 𝐵)

Proof of Theorem dmmpt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmmpt1.x	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		dmmpt1.1	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
3		eqid 2760	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
4		dmmpt1.c	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝑉)
5	1, 2, 3, 4	dmmptdff 46329	1 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569  Ⅎwnf 1815   ∈ wcel 2144  Ⅎwnfc 2907   ↦ cmpt 5185  dom cdm 5650

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ral 3077  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663

This theorem is used by:  smffmptf  47907