Theorem dmmpt1 43973

Description: The domain of the mapping operation, deduction form. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
dmmpt1.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
dmmpt1.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐵
dmmpt1.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
dmmpt1	⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = 𝐵)

Proof of Theorem dmmpt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmmpt1.x	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		dmmpt1.1	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
3		eqid 2733	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
4		dmmpt1.c	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝑉)
5	1, 2, 3, 4	dmmptdff 43922	1 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542  Ⅎwnf 1786   ∈ wcel 2107  Ⅎwnfc 2884   ↦ cmpt 5232  dom cdm 5677

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ral 3063  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690

This theorem is referenced by:  smffmptf  45520