Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dmmptdff Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dmmptdff 43693
Description: The domain of the mapping operation, deduction form. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Dec-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
dmmptdff.x 𝑥𝜑
dmmptdff.1 𝑥𝐵
dmmptdff.a 𝐴 = (𝑥𝐵𝐶)
dmmptdff.c ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐶𝑉)
Assertion
Ref Expression
dmmptdff (𝜑 → dom 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem dmmptdff
StepHypRef Expression
1 dmmptdff.a . . 3 𝐴 = (𝑥𝐵𝐶)
21dmmpt 6228 . 2 dom 𝐴 = {𝑥𝐵𝐶 ∈ V}
3 dmmptdff.x . . . 4 𝑥𝜑
4 dmmptdff.c . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐶𝑉)
54elexd 3493 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐶 ∈ V)
63, 5ralrimia 3254 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐵 𝐶 ∈ V)
7 dmmptdff.1 . . . 4 𝑥𝐵
87rabid2f 3463 . . 3 (𝐵 = {𝑥𝐵𝐶 ∈ V} ↔ ∀𝑥𝐵 𝐶 ∈ V)
96, 8sylibr 233 . 2 (𝜑𝐵 = {𝑥𝐵𝐶 ∈ V})
102, 9eqtr4id 2790 1 (𝜑 → dom 𝐴 = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wnf 1785  wcel 2106  wnfc 2882  wral 3060  {crab 3431  Vcvv 3473  cmpt 5224  dom cdm 5669
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ral 3061  df-rab 3432  df-v 3475  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4523  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682
This theorem is referenced by:  dmmptdf  43694  dmmpt1  43746  adddmmbl  45322  muldmmbl  45324  fsupdm2  45332  finfdm2  45336
  Copyright terms: Public domain W3C validator