Theorem dmmptdff 44221

Description: The domain of the mapping operation, deduction form. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Dec-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
dmmptdff.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
dmmptdff.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐵
dmmptdff.a	⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
dmmptdff.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
dmmptdff	⊢ (𝜑 → dom 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem dmmptdff

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmmptdff.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
2	1	dmmpt 6239	. 2 ⊢ dom 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ V}
3		dmmptdff.x	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
4		dmmptdff.c	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝑉)
5	4	elexd 3494	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ V)
6	3, 5	ralrimia 3254	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ V)
7		dmmptdff.1	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
8	7	rabid2f 3462	. . 3 ⊢ (𝐵 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ V} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ V)
9	6, 8	sylibr 233	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ V})
10	2, 9	eqtr4id 2790	1 ⊢ (𝜑 → dom 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  Ⅎwnf 1784   ∈ wcel 2105  Ⅎwnfc 2882  ∀wral 3060  {crab 3431  Vcvv 3473   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5676

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ral 3061  df-rab 3432  df-v 3475  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689

This theorem is referenced by:  dmmptdf  44222  dmmpt1  44272  adddmmbl  45848  muldmmbl  45850  fsupdm2  45858  finfdm2  45862