Theorem dmmptdff 43693

Description: The domain of the mapping operation, deduction form. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Dec-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
dmmptdff.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
dmmptdff.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐵
dmmptdff.a	⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
dmmptdff.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
dmmptdff	⊢ (𝜑 → dom 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem dmmptdff

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmmptdff.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
2	1	dmmpt 6228	. 2 ⊢ dom 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ V}
3		dmmptdff.x	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
4		dmmptdff.c	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝑉)
5	4	elexd 3493	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ V)
6	3, 5	ralrimia 3254	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ V)
7		dmmptdff.1	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
8	7	rabid2f 3463	. . 3 ⊢ (𝐵 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ V} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ V)
9	6, 8	sylibr 233	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ V})
10	2, 9	eqtr4id 2790	1 ⊢ (𝜑 → dom 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2106  Ⅎwnfc 2882  ∀wral 3060  {crab 3431  Vcvv 3473   ↦ cmpt 5224  dom cdm 5669

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ral 3061  df-rab 3432  df-v 3475  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4523  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682

This theorem is referenced by:  dmmptdf  43694  dmmpt1  43746  adddmmbl  45322  muldmmbl  45324  fsupdm2  45332  finfdm2  45336