Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smffmptf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smffmptf 46239
Description: A function measurable w.r.t. to a sigma-algebra, is actually a function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Jan-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
smffmptf.x β„²π‘₯πœ‘
smffmptf.a β„²π‘₯𝐴
smffmptf.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
smffmptf.b ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
smffmptf.m (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
Assertion
Ref Expression
smffmptf (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„)

Proof of Theorem smffmptf
StepHypRef Expression
1 smffmptf.s . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
2 smffmptf.m . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
3 eqid 2728 . . 3 dom (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) = dom (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)
41, 2, 3smff 46167 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):dom (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)βŸΆβ„)
5 smffmptf.x . . . . 5 β„²π‘₯πœ‘
6 smffmptf.a . . . . 5 β„²π‘₯𝐴
7 smffmptf.b . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
85, 6, 7dmmpt1 44692 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) = 𝐴)
98eqcomd 2734 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 = dom (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))
109feq2d 6713 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„ ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):dom (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)βŸΆβ„))
114, 10mpbird 256 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394  β„²wnf 1777   ∈ wcel 2098  β„²wnfc 2879   ↦ cmpt 5235  dom cdm 5682  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  β„cr 11147  SAlgcsalg 45743  SMblFncsmblfn 46130
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-er 8733  df-pm 8856  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-ioo 13370  df-ico 13372  df-smblfn 46131
This theorem is referenced by:  smffmpt  46240  smfdivdmmbl  46273
  Copyright terms: Public domain W3C validator