Theorem smffmptf 47379

Description: A function measurable w.r.t. to a sigma-algebra, is actually a function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
smffmptf.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
smffmptf.a	⊢ Ⅎ𝑥𝐴
smffmptf.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smffmptf.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
smffmptf.m	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))

Assertion

Ref	Expression
smffmptf	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℝ)

Proof of Theorem smffmptf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smffmptf.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
2		smffmptf.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
3		eqid 2763	. . 3 ⊢ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
4	1, 2, 3	smff 47307	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)⟶ℝ)
5		smffmptf.x	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
6		smffmptf.a	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
7		smffmptf.b	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
8	5, 6, 7	dmmpt1 45844	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
9	8	eqcomd 2769	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
10	9	feq2d 6676	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℝ ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)⟶ℝ))
11	4, 10	mpbird 259	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399  Ⅎwnf 1804   ∈ wcel 2143  Ⅎwnfc 2910   ↦ cmpt 5182  dom cdm 5648  ⟶wf 6518  ‘cfv 6522  ℝcr 11073  SAlgcsalg 46883  SMblFncsmblfn 47270

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7719  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-id 5543  df-po 5556  df-so 5557  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-f1 6527  df-fo 6528  df-f1o 6529  df-fv 6530  df-ov 7400  df-oprab 7401  df-mpo 7402  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-er 8679  df-pm 8812  df-en 8929  df-dom 8930  df-sdom 8931  df-pnf 11219  df-mnf 11220  df-xr 11221  df-ltxr 11222  df-le 11223  df-ioo 13354  df-ico 13356  df-smblfn 47271

This theorem is referenced by:  smffmpt  47380  smfdivdmmbl  47413