Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smffmptf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smffmptf 46089
Description: A function measurable w.r.t. to a sigma-algebra, is actually a function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Jan-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
smffmptf.x β„²π‘₯πœ‘
smffmptf.a β„²π‘₯𝐴
smffmptf.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
smffmptf.b ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
smffmptf.m (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
Assertion
Ref Expression
smffmptf (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„)

Proof of Theorem smffmptf
StepHypRef Expression
1 smffmptf.s . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
2 smffmptf.m . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
3 eqid 2726 . . 3 dom (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) = dom (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)
41, 2, 3smff 46017 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):dom (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)βŸΆβ„)
5 smffmptf.x . . . . 5 β„²π‘₯πœ‘
6 smffmptf.a . . . . 5 β„²π‘₯𝐴
7 smffmptf.b . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
85, 6, 7dmmpt1 44542 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) = 𝐴)
98eqcomd 2732 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 = dom (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))
109feq2d 6697 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„ ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):dom (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)βŸΆβ„))
114, 10mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395  β„²wnf 1777   ∈ wcel 2098  β„²wnfc 2877   ↦ cmpt 5224  dom cdm 5669  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  β„cr 11111  SAlgcsalg 45593  SMblFncsmblfn 45980
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-er 8705  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-ioo 13334  df-ico 13336  df-smblfn 45981
This theorem is referenced by:  smffmpt  46090  smfdivdmmbl  46123
  Copyright terms: Public domain W3C validator