Theorem smffmptf 46841

Description: A function measurable w.r.t. to a sigma-algebra, is actually a function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
smffmptf.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
smffmptf.a	⊢ Ⅎ𝑥𝐴
smffmptf.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smffmptf.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
smffmptf.m	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))

Assertion

Ref	Expression
smffmptf	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℝ)

Proof of Theorem smffmptf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smffmptf.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
2		smffmptf.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
3		eqid 2731	. . 3 ⊢ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
4	1, 2, 3	smff 46769	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)⟶ℝ)
5		smffmptf.x	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
6		smffmptf.a	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
7		smffmptf.b	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
8	5, 6, 7	dmmpt1 45304	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
9	8	eqcomd 2737	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
10	9	feq2d 6635	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℝ ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)⟶ℝ))
11	4, 10	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395  Ⅎwnf 1784   ∈ wcel 2111  Ⅎwnfc 2879   ↦ cmpt 5172  dom cdm 5616  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  ℝcr 11002  SAlgcsalg 46345  SMblFncsmblfn 46732

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-po 5524  df-so 5525  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-er 8622  df-pm 8753  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-ioo 13246  df-ico 13248  df-smblfn 46733

This theorem is referenced by:  smffmpt  46842  smfdivdmmbl  46875