Theorem elqsn0 8708

Description: A quotient set does not contain the empty set. (Contributed by NM, 24-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
elqsn0	⊢ ((dom 𝑅 = 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴 / 𝑅)) → 𝐵 ≠ ∅)

Proof of Theorem elqsn0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. 2 ⊢ (𝐴 / 𝑅) = (𝐴 / 𝑅)
2		neeq1 2990	. 2 ⊢ ([𝑥]𝑅 = 𝐵 → ([𝑥]𝑅 ≠ ∅ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
3		eleq2 2820	. . . 4 ⊢ (dom 𝑅 = 𝐴 → (𝑥 ∈ dom 𝑅 ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
4	3	biimpar 477	. . 3 ⊢ ((dom 𝑅 = 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ dom 𝑅)
5		ecdmn0 8674	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ dom 𝑅 ↔ [𝑥]𝑅 ≠ ∅)
6	4, 5	sylib 218	. 2 ⊢ ((dom 𝑅 = 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → [𝑥]𝑅 ≠ ∅)
7	1, 2, 6	ectocld 8706	1 ⊢ ((dom 𝑅 = 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴 / 𝑅)) → 𝐵 ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∅c0 4280  dom cdm 5614  [cec 8620   / cqs 8621

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-br 5090  df-opab 5152  df-xp 5620  df-cnv 5622  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-ec 8624  df-qs 8628

This theorem is referenced by:  ecelqsdm  8709  0nsr  10970  sylow1lem3  19512  vitalilem5  25540  prtlem400  38917  prjspnn0  42663