Theorem elqsn0 8733

Description: A quotient set does not contain the empty set. (Contributed by NM, 24-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
elqsn0	⊢ ((dom 𝑅 = 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴 / 𝑅)) → 𝐵 ≠ ∅)

Proof of Theorem elqsn0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. 2 ⊢ (𝐴 / 𝑅) = (𝐴 / 𝑅)
2		neeq1 2995	. 2 ⊢ ([𝑥]𝑅 = 𝐵 → ([𝑥]𝑅 ≠ ∅ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
3		eleq2 2826	. . . 4 ⊢ (dom 𝑅 = 𝐴 → (𝑥 ∈ dom 𝑅 ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
4	3	biimpar 477	. . 3 ⊢ ((dom 𝑅 = 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ dom 𝑅)
5		ecdmn0 8698	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ dom 𝑅 ↔ [𝑥]𝑅 ≠ ∅)
6	4, 5	sylib 218	. 2 ⊢ ((dom 𝑅 = 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → [𝑥]𝑅 ≠ ∅)
7	1, 2, 6	ectocld 8731	1 ⊢ ((dom 𝑅 = 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴 / 𝑅)) → 𝐵 ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∅c0 4287  dom cdm 5632  [cec 8643   / cqs 8644

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-pr 5379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-br 5101  df-opab 5163  df-xp 5638  df-cnv 5640  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-ec 8647  df-qs 8651

This theorem is referenced by:  ecelqsdm  8734  0nsr  11002  sylow1lem3  19541  vitalilem5  25581  prtlem400  39246  prjspnn0  42980