Theorem elqsn0 8788

Description: A quotient set does not contain the empty set. (Contributed by NM, 24-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
elqsn0	⊢ ((dom 𝑅 = 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴 / 𝑅)) → 𝐵 ≠ ∅)

Proof of Theorem elqsn0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2765	. 2 ⊢ (𝐴 / 𝑅) = (𝐴 / 𝑅)
2		neeq1 3022	. 2 ⊢ ([𝑥]𝑅 = 𝐵 → ([𝑥]𝑅 ≠ ∅ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
3		eleq2 2854	. . . 4 ⊢ (dom 𝑅 = 𝐴 → (𝑥 ∈ dom 𝑅 ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
4	3	biimpar 483	. . 3 ⊢ ((dom 𝑅 = 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ dom 𝑅)
5		ecdmn0 8753	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ dom 𝑅 ↔ [𝑥]𝑅 ≠ ∅)
6	4, 5	sylib 221	. 2 ⊢ ((dom 𝑅 = 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → [𝑥]𝑅 ≠ ∅)
7	1, 2, 6	ectocld 8786	1 ⊢ ((dom 𝑅 = 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴 / 𝑅)) → 𝐵 ≠ ∅)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∅c0 4286  dom cdm 5663  [cec 8698   / cqs 8699

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-pr 5406

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-br 5112  df-opab 5176  df-xp 5669  df-cnv 5671  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-ec 8702  df-qs 8706

This theorem is used by:  ecelqsdm  8789  0nsr  11081  sylow1lem3  19716  vitalilem5  25824  prtlem400  39704  prjspnn0  43414