Theorem elqsn0 8533

Description: A quotient set does not contain the empty set. (Contributed by NM, 24-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
elqsn0	⊢ ((dom 𝑅 = 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴 / 𝑅)) → 𝐵 ≠ ∅)

Proof of Theorem elqsn0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. 2 ⊢ (𝐴 / 𝑅) = (𝐴 / 𝑅)
2		neeq1 3005	. 2 ⊢ ([𝑥]𝑅 = 𝐵 → ([𝑥]𝑅 ≠ ∅ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
3		eleq2 2827	. . . 4 ⊢ (dom 𝑅 = 𝐴 → (𝑥 ∈ dom 𝑅 ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
4	3	biimpar 477	. . 3 ⊢ ((dom 𝑅 = 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ dom 𝑅)
5		ecdmn0 8503	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ dom 𝑅 ↔ [𝑥]𝑅 ≠ ∅)
6	4, 5	sylib 217	. 2 ⊢ ((dom 𝑅 = 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → [𝑥]𝑅 ≠ ∅)
7	1, 2, 6	ectocld 8531	1 ⊢ ((dom 𝑅 = 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴 / 𝑅)) → 𝐵 ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∅c0 4253  dom cdm 5580  [cec 8454   / cqs 8455

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-br 5071  df-opab 5133  df-xp 5586  df-cnv 5588  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-ec 8458  df-qs 8462

This theorem is referenced by:  ecelqsdm  8534  0nsr  10766  sylow1lem3  19120  vitalilem5  24681  prtlem400  36811