Theorem edomidom 33935

Description: Every Euclidean domain is an integral domain. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Oct-2026.)

Hypothesis

Ref	Expression
edomidom.1	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ EDomn)

Assertion

Ref	Expression
edomidom	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ IDomn)

Proof of Theorem edomidom

Dummy variables 𝑞 𝑟 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		edomidom.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ EDomn)
2		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
3		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐷) = (0g‘𝐷)
4		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐷) = (+g‘𝐷)
5		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (.r‘𝐷) = (.r‘𝐷)
6		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ((EuclF‘𝐷) ↾ ((Base‘𝐷) ∖ {(0g‘𝐷)})) = ((EuclF‘𝐷) ↾ ((Base‘𝐷) ∖ {(0g‘𝐷)}))
7	2, 3, 4, 5, 6	isedom 33934	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ EDomn ↔ (𝐷 ∈ IDomn ∧ (((EuclF‘𝐷) ↾ ((Base‘𝐷) ∖ {(0g‘𝐷)})):((Base‘𝐷) ∖ {(0g‘𝐷)})⟶ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐷)∀𝑦 ∈ ((Base‘𝐷) ∖ {(0g‘𝐷)})∃𝑞 ∈ (Base‘𝐷)∃𝑟 ∈ (Base‘𝐷)(𝑥 = ((𝑦(.r‘𝐷)𝑞)(+g‘𝐷)𝑟) ∧ (𝑟 = (0g‘𝐷) ∨ (((EuclF‘𝐷) ↾ ((Base‘𝐷) ∖ {(0g‘𝐷)}))‘𝑟) < (((EuclF‘𝐷) ↾ ((Base‘𝐷) ∖ {(0g‘𝐷)}))‘𝑦))))))
8	7	simplbi 502	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ EDomn → 𝐷 ∈ IDomn)
9	1, 8	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ IDomn)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  ∃wrex 3090   ∖ cdif 4048  {csn 4588   class class class wbr 5106   ↾ cres 5658  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446   < clt 11373  ℕ₀cn0 12636  Basecbs 17419  +_gcplusg 17460  ._rcmulr 17461  0_gc0g 17642  IDomncidom 20978  EuclFceuf 33928  EDomncedom 33932

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pr 5396

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5172  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-fv 6569  df-ov 7449  df-edom 33933

This theorem is used by:  edompid  33941