Theorem edompid 33941

Description: Every Euclidean domain is a PID. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Oct-2026.)

Hypothesis

Ref	Expression
edompid.1	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ EDomn)

Assertion

Ref	Expression
edompid	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ PID)

Proof of Theorem edompid

Dummy variables 𝑔 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		edompid.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ EDomn)
2	1	edomidom 33935	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ IDomn)
3	2	idomringd 21012	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Ring)
4		sneq 4594	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 = (0g‘𝐷) → {𝑔} = {(0g‘𝐷)})
5	4	fveq2d 6915	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 = (0g‘𝐷) → ((RSpan‘𝐷)‘{𝑔}) = ((RSpan‘𝐷)‘{(0g‘𝐷)}))
6	5	eqeq2d 2774	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = (0g‘𝐷) → (𝑖 = ((RSpan‘𝐷)‘{𝑔}) ↔ 𝑖 = ((RSpan‘𝐷)‘{(0g‘𝐷)})))
7		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
8		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝐷) = (0g‘𝐷)
9	3	ringgrpd 20502	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Grp)
10	9	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝐷)) ∧ 𝑖 = {(0g‘𝐷)}) → 𝐷 ∈ Grp)
11	7, 8, 10	grpidcld 33676	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝐷)) ∧ 𝑖 = {(0g‘𝐷)}) → (0g‘𝐷) ∈ (Base‘𝐷))
12		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝐷)) ∧ 𝑖 = {(0g‘𝐷)}) → 𝑖 = {(0g‘𝐷)})
13		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (RSpan‘𝐷) = (RSpan‘𝐷)
14	13, 8	rsp0 21554	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐷 ∈ Ring → ((RSpan‘𝐷)‘{(0g‘𝐷)}) = {(0g‘𝐷)})
15	3, 14	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘𝐷)‘{(0g‘𝐷)}) = {(0g‘𝐷)})
16	15	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝐷)) ∧ 𝑖 = {(0g‘𝐷)}) → ((RSpan‘𝐷)‘{(0g‘𝐷)}) = {(0g‘𝐷)})
17	12, 16	eqtr4d 2801	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝐷)) ∧ 𝑖 = {(0g‘𝐷)}) → 𝑖 = ((RSpan‘𝐷)‘{(0g‘𝐷)}))
18	6, 11, 17	rspcedvdw 3583	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝐷)) ∧ 𝑖 = {(0g‘𝐷)}) → ∃𝑔 ∈ (Base‘𝐷)𝑖 = ((RSpan‘𝐷)‘{𝑔}))
19		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (EuclF‘𝐷) = (EuclF‘𝐷)
20		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ inf(((EuclF‘𝐷) “ (𝑖 ∖ {(0g‘𝐷)})), ℕ0, < ) = inf(((EuclF‘𝐷) “ (𝑖 ∖ {(0g‘𝐷)})), ℕ0, < )
21	1	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝐷)) ∧ 𝑖 ≠ {(0g‘𝐷)}) → 𝐷 ∈ EDomn)
22		simplr 781	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝐷)) ∧ 𝑖 ≠ {(0g‘𝐷)}) → 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝐷))
23		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝐷)) ∧ 𝑖 ≠ {(0g‘𝐷)}) → 𝑖 ≠ {(0g‘𝐷)})
24	7, 8, 13, 19, 20, 21, 22, 23	edompidlem 33940	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝐷)) ∧ 𝑖 ≠ {(0g‘𝐷)}) → ∃𝑔 ∈ (Base‘𝐷)𝑖 = ((RSpan‘𝐷)‘{𝑔}))
25	18, 24	pm2.61dane 3046	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝐷)) → ∃𝑔 ∈ (Base‘𝐷)𝑖 = ((RSpan‘𝐷)‘{𝑔}))
26		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (LPIdeal‘𝐷) = (LPIdeal‘𝐷)
27	26, 13, 7	islpidl 21682	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ Ring → (𝑖 ∈ (LPIdeal‘𝐷) ↔ ∃𝑔 ∈ (Base‘𝐷)𝑖 = ((RSpan‘𝐷)‘{𝑔})))
28	3, 27	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (LPIdeal‘𝐷) ↔ ∃𝑔 ∈ (Base‘𝐷)𝑖 = ((RSpan‘𝐷)‘{𝑔})))
29	28	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝐷)) → (𝑖 ∈ (LPIdeal‘𝐷) ↔ ∃𝑔 ∈ (Base‘𝐷)𝑖 = ((RSpan‘𝐷)‘{𝑔})))
30	25, 29	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝐷)) → 𝑖 ∈ (LPIdeal‘𝐷))
31	30	ex 418	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝐷) → 𝑖 ∈ (LPIdeal‘𝐷)))
32	31	ssrdv 3919	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (LIdeal‘𝐷) ⊆ (LPIdeal‘𝐷))
33		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (LIdeal‘𝐷) = (LIdeal‘𝐷)
34	26, 33	islpir2 21687	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ LPIR ↔ (𝐷 ∈ Ring ∧ (LIdeal‘𝐷) ⊆ (LPIdeal‘𝐷)))
35	3, 32, 34	sylanbrc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ LPIR)
36	2, 35	elind 4100	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (IDomn ∩ LPIR))
37		df-pid 21694	. 2 ⊢ PID = (IDomn ∩ LPIR)
38	36, 37	eleqtrrdi 2875	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ PID)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∃wrex 3090   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048   ∩ cin 4092  {csn 4588   “ cima 5659  ‘cfv 6561  infcinf 9463   < clt 11373  ℕ₀cn0 12636  Basecbs 17419  0_gc0g 17642  Grpcgrp 19176  Ringcrg 20492  IDomncidom 20978  LIdealclidl 21517  RSpancrsp 21518  LPIdealclpidl 21677  LPIRclpir 21678  PIDcpid 21693  EuclFceuf 33928  EDomncedom 33932

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-inf2 9672  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-sup 9464  df-inf 9465  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-4 12437  df-5 12438  df-6 12439  df-7 12440  df-8 12441  df-n0 12637  df-z 12724  df-uz 12996  df-sets 17374  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-ress 17441  df-plusg 17473  df-mulr 17474  df-sca 17476  df-vsca 17477  df-ip 17478  df-0g 17644  df-mgm 18848  df-sgrp 18940  df-mnd 18956  df-grp 19179  df-minusg 19180  df-sbg 19181  df-subg 19365  df-cmn 20029  df-abl 20030  df-mgp 20394  df-rng 20408  df-ur 20441  df-ring 20494  df-cring 20495  df-subrg 20855  df-idom 20981  df-lmod 21170  df-lss 21240  df-lsp 21280  df-sra 21481  df-rgmod 21482  df-lidl 21519  df-rsp 21520  df-lpidl 21679  df-lpir 21680  df-pid 21694  df-edom 33933

This theorem is used by: (None)