Theorem eleccnvep 37757

Description: Elementhood in the converse epsilon coset of 𝐴 is elementhood in 𝐴. (Contributed by Peter Mazsa, 27-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
eleccnvep	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∈ [𝐴]◡ E ↔ 𝐵 ∈ 𝐴))

Proof of Theorem eleccnvep

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 6111	. . 3 ⊢ Rel ◡ E
2		relelec 8775	. . 3 ⊢ (Rel ◡ E → (𝐵 ∈ [𝐴]◡ E ↔ 𝐴◡ E 𝐵))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ [𝐴]◡ E ↔ 𝐴◡ E 𝐵)
4		brcnvep 37741	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴◡ E 𝐵 ↔ 𝐵 ∈ 𝐴))
5	3, 4	bitrid 282	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∈ [𝐴]◡ E ↔ 𝐵 ∈ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5150   E cep 5583  ^◡ccnv 5679  Rel wrel 5685  [cec 8727

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pr 5431

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rab 3429  df-v 3473  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4325  df-if 4531  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-br 5151  df-opab 5213  df-eprel 5584  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-ec 8731

This theorem is referenced by:  eccnvep  37758