Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  wsuclem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wsuclem 33222
Description: Lemma for the supremum properties of well-founded successor. (Contributed by Scott Fenton, 15-Jun-2018.) (Revised by AV, 10-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
wsuclem.1 (𝜑𝑅 We 𝐴)
wsuclem.2 (𝜑𝑅 Se 𝐴)
wsuclem.3 (𝜑𝑋𝑉)
wsuclem.4 (𝜑 → ∃𝑤𝐴 𝑋𝑅𝑤)
Assertion
Ref Expression
wsuclem (𝜑 → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋) ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)𝑧𝑅𝑦)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧,𝑤   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝑋,𝑦,𝑧,𝑤
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑤)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)

Proof of Theorem wsuclem
StepHypRef Expression
1 wsuclem.1 . . 3 (𝜑𝑅 We 𝐴)
2 wsuclem.2 . . 3 (𝜑𝑅 Se 𝐴)
3 predss 6123 . . . 4 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ 𝐴
43a1i 11 . . 3 (𝜑 → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ 𝐴)
5 wsuclem.3 . . . . 5 (𝜑𝑋𝑉)
6 dfpred3g 6127 . . . . 5 (𝑋𝑉 → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) = {𝑤𝐴𝑤𝑅𝑋})
75, 6syl 17 . . . 4 (𝜑 → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) = {𝑤𝐴𝑤𝑅𝑋})
85elexd 3461 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ V)
9 wsuclem.4 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑤𝐴 𝑋𝑅𝑤)
10 rabn0 4293 . . . . . . 7 ({𝑤𝐴𝑤𝑅𝑋} ≠ ∅ ↔ ∃𝑤𝐴 𝑤𝑅𝑋)
11 brcnvg 5714 . . . . . . . . 9 ((𝑤𝐴𝑋 ∈ V) → (𝑤𝑅𝑋𝑋𝑅𝑤))
1211ancoms 462 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑤𝐴) → (𝑤𝑅𝑋𝑋𝑅𝑤))
1312rexbidva 3255 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ V → (∃𝑤𝐴 𝑤𝑅𝑋 ↔ ∃𝑤𝐴 𝑋𝑅𝑤))
1410, 13syl5bb 286 . . . . . 6 (𝑋 ∈ V → ({𝑤𝐴𝑤𝑅𝑋} ≠ ∅ ↔ ∃𝑤𝐴 𝑋𝑅𝑤))
1514biimpar 481 . . . . 5 ((𝑋 ∈ V ∧ ∃𝑤𝐴 𝑋𝑅𝑤) → {𝑤𝐴𝑤𝑅𝑋} ≠ ∅)
168, 9, 15syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → {𝑤𝐴𝑤𝑅𝑋} ≠ ∅)
177, 16eqnetrd 3054 . . 3 (𝜑 → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ≠ ∅)
18 tz6.26 6147 . . 3 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ 𝐴 ∧ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ≠ ∅)) → ∃𝑥 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)Pred(𝑅, Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋), 𝑥) = ∅)
191, 2, 4, 17, 18syl22anc 837 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)Pred(𝑅, Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋), 𝑥) = ∅)
20 dfpred3g 6127 . . . . 5 (𝑋𝑉 → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) = {𝑦𝐴𝑦𝑅𝑋})
215, 20syl 17 . . . 4 (𝜑 → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) = {𝑦𝐴𝑦𝑅𝑋})
2221rexeqdv 3365 . . 3 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)Pred(𝑅, Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋), 𝑥) = ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑦𝐴𝑦𝑅𝑋}Pred(𝑅, Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋), 𝑥) = ∅))
23 breq1 5033 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦𝑅𝑋𝑥𝑅𝑋))
2423rexrab 3635 . . . 4 (∃𝑥 ∈ {𝑦𝐴𝑦𝑅𝑋}Pred(𝑅, Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋), 𝑥) = ∅ ↔ ∃𝑥𝐴 (𝑥𝑅𝑋 ∧ Pred(𝑅, Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋), 𝑥) = ∅))
25 noel 4247 . . . . . . . . . . . 12 ¬ 𝑦 ∈ ∅
26 simp2r 1197 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ Pred(𝑅, Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋), 𝑥) = ∅) ∧ 𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) → Pred(𝑅, Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋), 𝑥) = ∅)
2726eleq2d 2875 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ Pred(𝑅, Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋), 𝑥) = ∅) ∧ 𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) → (𝑦 ∈ Pred(𝑅, Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋), 𝑥) ↔ 𝑦 ∈ ∅))
2825, 27mtbiri 330 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ Pred(𝑅, Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋), 𝑥) = ∅) ∧ 𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) → ¬ 𝑦 ∈ Pred(𝑅, Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋), 𝑥))
29 vex 3444 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥 ∈ V
3029a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ Pred(𝑅, Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋), 𝑥) = ∅) ∧ 𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) → 𝑥 ∈ V)
31 simp3 1135 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ Pred(𝑅, Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋), 𝑥) = ∅) ∧ 𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) → 𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋))
32 elpredg 6130 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) → (𝑦 ∈ Pred(𝑅, Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋), 𝑥) ↔ 𝑦𝑅𝑥))
3330, 31, 32syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ Pred(𝑅, Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋), 𝑥) = ∅) ∧ 𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) → (𝑦 ∈ Pred(𝑅, Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋), 𝑥) ↔ 𝑦𝑅𝑥))
3428, 33mtbid 327 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ Pred(𝑅, Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋), 𝑥) = ∅) ∧ 𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) → ¬ 𝑦𝑅𝑥)
35343expa 1115 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ Pred(𝑅, Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋), 𝑥) = ∅)) ∧ 𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) → ¬ 𝑦𝑅𝑥)
3635ralrimiva 3149 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ Pred(𝑅, Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋), 𝑥) = ∅)) → ∀𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋) ¬ 𝑦𝑅𝑥)
3736expr 460 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (Pred(𝑅, Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋), 𝑥) = ∅ → ∀𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋) ¬ 𝑦𝑅𝑥))
38 simp1rl 1235 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑋)) ∧ 𝑦𝐴𝑥𝑅𝑦) → 𝑥𝐴)
39 simp1rr 1236 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑋)) ∧ 𝑦𝐴𝑥𝑅𝑦) → 𝑥𝑅𝑋)
405adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑋)) → 𝑋𝑉)
41403ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑋)) ∧ 𝑦𝐴𝑥𝑅𝑦) → 𝑋𝑉)
4229elpred 6129 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋𝑉 → (𝑥 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ↔ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑋)))
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑋)) ∧ 𝑦𝐴𝑥𝑅𝑦) → (𝑥 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ↔ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑋)))
4438, 39, 43mpbir2and 712 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑋)) ∧ 𝑦𝐴𝑥𝑅𝑦) → 𝑥 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋))
45 simp3 1135 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑋)) ∧ 𝑦𝐴𝑥𝑅𝑦) → 𝑥𝑅𝑦)
46 breq1 5033 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑥 → (𝑧𝑅𝑦𝑥𝑅𝑦))
4746rspcev 3571 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∧ 𝑥𝑅𝑦) → ∃𝑧 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)𝑧𝑅𝑦)
4844, 45, 47syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑋)) ∧ 𝑦𝐴𝑥𝑅𝑦) → ∃𝑧 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)𝑧𝑅𝑦)
49483expia 1118 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑋)) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)𝑧𝑅𝑦))
5049ralrimiva 3149 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑋)) → ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)𝑧𝑅𝑦))
5150expr 460 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑥𝑅𝑋 → ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)𝑧𝑅𝑦)))
5237, 51anim12d 611 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → ((Pred(𝑅, Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋), 𝑥) = ∅ ∧ 𝑥𝑅𝑋) → (∀𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋) ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)𝑧𝑅𝑦))))
5352ancomsd 469 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑥𝑅𝑋 ∧ Pred(𝑅, Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋), 𝑥) = ∅) → (∀𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋) ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)𝑧𝑅𝑦))))
5453reximdva 3233 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑥𝐴 (𝑥𝑅𝑋 ∧ Pred(𝑅, Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋), 𝑥) = ∅) → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋) ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)𝑧𝑅𝑦))))
5524, 54syl5bi 245 . . 3 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ {𝑦𝐴𝑦𝑅𝑋}Pred(𝑅, Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋), 𝑥) = ∅ → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋) ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)𝑧𝑅𝑦))))
5622, 55sylbid 243 . 2 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)Pred(𝑅, Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋), 𝑥) = ∅ → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋) ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)𝑧𝑅𝑦))))
5719, 56mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋) ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)𝑧𝑅𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2111  wne 2987  wral 3106  wrex 3107  {crab 3110  Vcvv 3441  wss 3881  c0 4243   class class class wbr 5030   Se wse 5476   We wwe 5477  ccnv 5518  Predcpred 6115
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pr 5295
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-br 5031  df-opab 5093  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-cnv 5527  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116
This theorem is referenced by:  wsuccl  33224  wsuclb  33225
  Copyright terms: Public domain W3C validator