Theorem eqvrelcl 38976

Description: Elementhood in the field of an equivalence relation. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2015.) (Revised by Peter Mazsa, 2-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqvrelcl.1	⊢ (𝜑 → EqvRel 𝑅)
eqvrelcl.2	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐵)

Assertion

Ref	Expression
eqvrelcl	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom 𝑅)

Proof of Theorem eqvrelcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqvrelcl.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → EqvRel 𝑅)
2		eqvrelrel 38961	. . 3 ⊢ ( EqvRel 𝑅 → Rel 𝑅)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → Rel 𝑅)
4		eqvrelcl.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐵)
5		releldm 5903	. 2 ⊢ ((Rel 𝑅 ∧ 𝐴𝑅𝐵) → 𝐴 ∈ dom 𝑅)
6	3, 4, 5	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom 𝑅)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  dom cdm 5634  Rel wrel 5639   EqvRel weqvrel 38480

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-pr 5381

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-br 5101  df-opab 5163  df-id 5529  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-refrel 38872  df-symrel 38904  df-trrel 38938  df-eqvrel 38949

This theorem is referenced by:  eqvrelthi  38977  erimeq2  39043