Theorem eqvrelcl 39444

Description: Elementhood in the field of an equivalence relation. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2015.) (Revised by Peter Mazsa, 2-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqvrelcl.1	⊢ (𝜑 → EqvRel 𝑅)
eqvrelcl.2	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐵)

Assertion

Ref	Expression
eqvrelcl	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom 𝑅)

Proof of Theorem eqvrelcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqvrelcl.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → EqvRel 𝑅)
2		eqvrelrel 39429	. . 3 ⊢ ( EqvRel 𝑅 → Rel 𝑅)
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → Rel 𝑅)
4		eqvrelcl.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐵)
5		releldm 5928	. 2 ⊢ ((Rel 𝑅 ∧ 𝐴𝑅𝐵) → 𝐴 ∈ dom 𝑅)
6	3, 4, 5	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom 𝑅)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  dom cdm 5655  Rel wrel 5660   EqvRel weqvrel 38948

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-br 5104  df-opab 5168  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-refrel 39340  df-symrel 39372  df-trrel 39406  df-eqvrel 39417

This theorem is used by:  eqvrelthi  39445  erimeq2  39511