Theorem eqvrelcl 35862

Description: Elementhood in the field of an equivalence relation. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2015.) (Revised by Peter Mazsa, 2-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqvrelcl.1	⊢ (𝜑 → EqvRel 𝑅)
eqvrelcl.2	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐵)

Assertion

Ref	Expression
eqvrelcl	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom 𝑅)

Proof of Theorem eqvrelcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqvrelcl.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → EqvRel 𝑅)
2		eqvrelrel 35847	. . 3 ⊢ ( EqvRel 𝑅 → Rel 𝑅)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → Rel 𝑅)
4		eqvrelcl.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐵)
5		releldm 5814	. 2 ⊢ ((Rel 𝑅 ∧ 𝐴𝑅𝐵) → 𝐴 ∈ dom 𝑅)
6	3, 4, 5	syl2anc 586	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom 𝑅)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5066  dom cdm 5555  Rel wrel 5560   EqvRel weqvrel 35485

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pr 5330

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-br 5067  df-opab 5129  df-id 5460  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-refrel 35767  df-symrel 35795  df-trrel 35825  df-eqvrel 35835

This theorem is referenced by:  eqvrelthi  35863  erim2  35926