Theorem ertr4d 8768

Description: A transitivity relation for equivalences. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ersymb.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 Er 𝑋)
ertr4d.5	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐵)
ertr4d.6	⊢ (𝜑 → 𝐶𝑅𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ertr4d	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐶)

Proof of Theorem ertr4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ersymb.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Er 𝑋)
2		ertr4d.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐵)
3		ertr4d.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶𝑅𝐵)
4	1, 3	ersym 8761	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵𝑅𝐶)
5	1, 2, 4	ertrd 8765	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   class class class wbr 5106   Er wer 8745

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-pr 5396

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-br 5107  df-opab 5172  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-er 8748

This theorem is used by:  erref  8769  erdisj  8806  nqereu  11044  nqereq  11050  efgredeu  19999  pi1xfr  25409  pi1xfrcnvlem  25410  erscottd  35856  prjspnnorm  43865