Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgredeu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efgredeu 18873
 Description: There is a unique reduced word equivalent to a given word. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
efgval.r = ( ~FG𝐼)
efgval2.m 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩)
efgval2.t 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
efgred.d 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
efgred.s 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
Assertion
Ref Expression
efgredeu (𝐴𝑊 → ∃!𝑑𝐷 𝑑 𝐴)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑑   𝑦,𝑧   𝑡,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑚,𝑥   𝑚,𝑀   𝑥,𝑛,𝑀,𝑡,𝑣,𝑤   𝑘,𝑚,𝑡,𝑥,𝑇   𝑘,𝑑,𝑚,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝑊   ,𝑑,𝑚,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑆,𝑑   𝑚,𝐼,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑑,𝑚,𝑡
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   (𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛,𝑑)   𝐼(𝑘,𝑑)   𝑀(𝑦,𝑧,𝑘,𝑑)

Proof of Theorem efgredeu
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efgval.w . . . . 5 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
2 efgval.r . . . . 5 = ( ~FG𝐼)
3 efgval2.m . . . . 5 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩)
4 efgval2.t . . . . 5 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
5 efgred.d . . . . 5 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
6 efgred.s . . . . 5 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
71, 2, 3, 4, 5, 6efgsfo 18860 . . . 4 𝑆:dom 𝑆onto𝑊
8 foelrn 6853 . . . 4 ((𝑆:dom 𝑆onto𝑊𝐴𝑊) → ∃𝑎 ∈ dom 𝑆 𝐴 = (𝑆𝑎))
97, 8mpan 689 . . 3 (𝐴𝑊 → ∃𝑎 ∈ dom 𝑆 𝐴 = (𝑆𝑎))
101, 2, 3, 4, 5, 6efgsdm 18851 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝑎 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝑎‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝑎))(𝑎𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝑎‘(𝑖 − 1)))))
1110simp2bi 1143 . . . . . 6 (𝑎 ∈ dom 𝑆 → (𝑎‘0) ∈ 𝐷)
121, 2, 3, 4, 5, 6efgsrel 18855 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ dom 𝑆 → (𝑎‘0) (𝑆𝑎))
1312adantl 485 . . . . . 6 ((𝐴𝑊𝑎 ∈ dom 𝑆) → (𝑎‘0) (𝑆𝑎))
14 breq1 5036 . . . . . . 7 (𝑑 = (𝑎‘0) → (𝑑 (𝑆𝑎) ↔ (𝑎‘0) (𝑆𝑎)))
1514rspcev 3574 . . . . . 6 (((𝑎‘0) ∈ 𝐷 ∧ (𝑎‘0) (𝑆𝑎)) → ∃𝑑𝐷 𝑑 (𝑆𝑎))
1611, 13, 15syl2an2 685 . . . . 5 ((𝐴𝑊𝑎 ∈ dom 𝑆) → ∃𝑑𝐷 𝑑 (𝑆𝑎))
17 breq2 5037 . . . . . 6 (𝐴 = (𝑆𝑎) → (𝑑 𝐴𝑑 (𝑆𝑎)))
1817rexbidv 3259 . . . . 5 (𝐴 = (𝑆𝑎) → (∃𝑑𝐷 𝑑 𝐴 ↔ ∃𝑑𝐷 𝑑 (𝑆𝑎)))
1916, 18syl5ibrcom 250 . . . 4 ((𝐴𝑊𝑎 ∈ dom 𝑆) → (𝐴 = (𝑆𝑎) → ∃𝑑𝐷 𝑑 𝐴))
2019rexlimdva 3246 . . 3 (𝐴𝑊 → (∃𝑎 ∈ dom 𝑆 𝐴 = (𝑆𝑎) → ∃𝑑𝐷 𝑑 𝐴))
219, 20mpd 15 . 2 (𝐴𝑊 → ∃𝑑𝐷 𝑑 𝐴)
221, 2efger 18839 . . . . . . 7 Er 𝑊
2322a1i 11 . . . . . 6 (((𝐴𝑊 ∧ (𝑑𝐷𝑐𝐷)) ∧ (𝑑 𝐴𝑐 𝐴)) → Er 𝑊)
24 simprl 770 . . . . . 6 (((𝐴𝑊 ∧ (𝑑𝐷𝑐𝐷)) ∧ (𝑑 𝐴𝑐 𝐴)) → 𝑑 𝐴)
25 simprr 772 . . . . . 6 (((𝐴𝑊 ∧ (𝑑𝐷𝑐𝐷)) ∧ (𝑑 𝐴𝑐 𝐴)) → 𝑐 𝐴)
2623, 24, 25ertr4d 8295 . . . . 5 (((𝐴𝑊 ∧ (𝑑𝐷𝑐𝐷)) ∧ (𝑑 𝐴𝑐 𝐴)) → 𝑑 𝑐)
271, 2, 3, 4, 5, 6efgrelex 18872 . . . . . 6 (𝑑 𝑐 → ∃𝑎 ∈ (𝑆 “ {𝑑})∃𝑏 ∈ (𝑆 “ {𝑐})(𝑎‘0) = (𝑏‘0))
28 fofn 6571 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆:dom 𝑆onto𝑊𝑆 Fn dom 𝑆)
29 fniniseg 6811 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆 Fn dom 𝑆 → (𝑎 ∈ (𝑆 “ {𝑑}) ↔ (𝑎 ∈ dom 𝑆 ∧ (𝑆𝑎) = 𝑑)))
307, 28, 29mp2b 10 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 ∈ (𝑆 “ {𝑑}) ↔ (𝑎 ∈ dom 𝑆 ∧ (𝑆𝑎) = 𝑑))
3130simplbi 501 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 ∈ (𝑆 “ {𝑑}) → 𝑎 ∈ dom 𝑆)
3231ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑊 ∧ (𝑑𝐷𝑐𝐷)) ∧ (𝑑 𝐴𝑐 𝐴)) ∧ (𝑎 ∈ (𝑆 “ {𝑑}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑆 “ {𝑐}))) → 𝑎 ∈ dom 𝑆)
331, 2, 3, 4, 5, 6efgsval 18852 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∈ dom 𝑆 → (𝑆𝑎) = (𝑎‘((♯‘𝑎) − 1)))
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑊 ∧ (𝑑𝐷𝑐𝐷)) ∧ (𝑑 𝐴𝑐 𝐴)) ∧ (𝑎 ∈ (𝑆 “ {𝑑}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑆 “ {𝑐}))) → (𝑆𝑎) = (𝑎‘((♯‘𝑎) − 1)))
3530simprbi 500 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∈ (𝑆 “ {𝑑}) → (𝑆𝑎) = 𝑑)
3635ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑊 ∧ (𝑑𝐷𝑐𝐷)) ∧ (𝑑 𝐴𝑐 𝐴)) ∧ (𝑎 ∈ (𝑆 “ {𝑑}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑆 “ {𝑐}))) → (𝑆𝑎) = 𝑑)
37 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴𝑊 ∧ (𝑑𝐷𝑐𝐷)) ∧ (𝑑 𝐴𝑐 𝐴)) ∧ (𝑎 ∈ (𝑆 “ {𝑑}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑆 “ {𝑐}))) → (𝑑𝐷𝑐𝐷))
3837simpld 498 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴𝑊 ∧ (𝑑𝐷𝑐𝐷)) ∧ (𝑑 𝐴𝑐 𝐴)) ∧ (𝑎 ∈ (𝑆 “ {𝑑}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑆 “ {𝑐}))) → 𝑑𝐷)
3936, 38eqeltrd 2893 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴𝑊 ∧ (𝑑𝐷𝑐𝐷)) ∧ (𝑑 𝐴𝑐 𝐴)) ∧ (𝑎 ∈ (𝑆 “ {𝑑}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑆 “ {𝑐}))) → (𝑆𝑎) ∈ 𝐷)
401, 2, 3, 4, 5, 6efgs1b 18857 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 ∈ dom 𝑆 → ((𝑆𝑎) ∈ 𝐷 ↔ (♯‘𝑎) = 1))
4132, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴𝑊 ∧ (𝑑𝐷𝑐𝐷)) ∧ (𝑑 𝐴𝑐 𝐴)) ∧ (𝑎 ∈ (𝑆 “ {𝑑}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑆 “ {𝑐}))) → ((𝑆𝑎) ∈ 𝐷 ↔ (♯‘𝑎) = 1))
4239, 41mpbid 235 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴𝑊 ∧ (𝑑𝐷𝑐𝐷)) ∧ (𝑑 𝐴𝑐 𝐴)) ∧ (𝑎 ∈ (𝑆 “ {𝑑}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑆 “ {𝑐}))) → (♯‘𝑎) = 1)
4342oveq1d 7154 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝑊 ∧ (𝑑𝐷𝑐𝐷)) ∧ (𝑑 𝐴𝑐 𝐴)) ∧ (𝑎 ∈ (𝑆 “ {𝑑}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑆 “ {𝑐}))) → ((♯‘𝑎) − 1) = (1 − 1))
44 1m1e0 11701 . . . . . . . . . . . 12 (1 − 1) = 0
4543, 44eqtrdi 2852 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑊 ∧ (𝑑𝐷𝑐𝐷)) ∧ (𝑑 𝐴𝑐 𝐴)) ∧ (𝑎 ∈ (𝑆 “ {𝑑}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑆 “ {𝑐}))) → ((♯‘𝑎) − 1) = 0)
4645fveq2d 6653 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑊 ∧ (𝑑𝐷𝑐𝐷)) ∧ (𝑑 𝐴𝑐 𝐴)) ∧ (𝑎 ∈ (𝑆 “ {𝑑}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑆 “ {𝑐}))) → (𝑎‘((♯‘𝑎) − 1)) = (𝑎‘0))
4734, 36, 463eqtr3rd 2845 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑊 ∧ (𝑑𝐷𝑐𝐷)) ∧ (𝑑 𝐴𝑐 𝐴)) ∧ (𝑎 ∈ (𝑆 “ {𝑑}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑆 “ {𝑐}))) → (𝑎‘0) = 𝑑)
48 fniniseg 6811 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆 Fn dom 𝑆 → (𝑏 ∈ (𝑆 “ {𝑐}) ↔ (𝑏 ∈ dom 𝑆 ∧ (𝑆𝑏) = 𝑐)))
497, 28, 48mp2b 10 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ (𝑆 “ {𝑐}) ↔ (𝑏 ∈ dom 𝑆 ∧ (𝑆𝑏) = 𝑐))
5049simplbi 501 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ (𝑆 “ {𝑐}) → 𝑏 ∈ dom 𝑆)
5150ad2antll 728 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑊 ∧ (𝑑𝐷𝑐𝐷)) ∧ (𝑑 𝐴𝑐 𝐴)) ∧ (𝑎 ∈ (𝑆 “ {𝑑}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑆 “ {𝑐}))) → 𝑏 ∈ dom 𝑆)
521, 2, 3, 4, 5, 6efgsval 18852 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ dom 𝑆 → (𝑆𝑏) = (𝑏‘((♯‘𝑏) − 1)))
5351, 52syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑊 ∧ (𝑑𝐷𝑐𝐷)) ∧ (𝑑 𝐴𝑐 𝐴)) ∧ (𝑎 ∈ (𝑆 “ {𝑑}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑆 “ {𝑐}))) → (𝑆𝑏) = (𝑏‘((♯‘𝑏) − 1)))
5449simprbi 500 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ (𝑆 “ {𝑐}) → (𝑆𝑏) = 𝑐)
5554ad2antll 728 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑊 ∧ (𝑑𝐷𝑐𝐷)) ∧ (𝑑 𝐴𝑐 𝐴)) ∧ (𝑎 ∈ (𝑆 “ {𝑑}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑆 “ {𝑐}))) → (𝑆𝑏) = 𝑐)
5637simprd 499 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴𝑊 ∧ (𝑑𝐷𝑐𝐷)) ∧ (𝑑 𝐴𝑐 𝐴)) ∧ (𝑎 ∈ (𝑆 “ {𝑑}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑆 “ {𝑐}))) → 𝑐𝐷)
5755, 56eqeltrd 2893 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴𝑊 ∧ (𝑑𝐷𝑐𝐷)) ∧ (𝑑 𝐴𝑐 𝐴)) ∧ (𝑎 ∈ (𝑆 “ {𝑑}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑆 “ {𝑐}))) → (𝑆𝑏) ∈ 𝐷)
581, 2, 3, 4, 5, 6efgs1b 18857 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 ∈ dom 𝑆 → ((𝑆𝑏) ∈ 𝐷 ↔ (♯‘𝑏) = 1))
5951, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴𝑊 ∧ (𝑑𝐷𝑐𝐷)) ∧ (𝑑 𝐴𝑐 𝐴)) ∧ (𝑎 ∈ (𝑆 “ {𝑑}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑆 “ {𝑐}))) → ((𝑆𝑏) ∈ 𝐷 ↔ (♯‘𝑏) = 1))
6057, 59mpbid 235 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴𝑊 ∧ (𝑑𝐷𝑐𝐷)) ∧ (𝑑 𝐴𝑐 𝐴)) ∧ (𝑎 ∈ (𝑆 “ {𝑑}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑆 “ {𝑐}))) → (♯‘𝑏) = 1)
6160oveq1d 7154 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝑊 ∧ (𝑑𝐷𝑐𝐷)) ∧ (𝑑 𝐴𝑐 𝐴)) ∧ (𝑎 ∈ (𝑆 “ {𝑑}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑆 “ {𝑐}))) → ((♯‘𝑏) − 1) = (1 − 1))
6261, 44eqtrdi 2852 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑊 ∧ (𝑑𝐷𝑐𝐷)) ∧ (𝑑 𝐴𝑐 𝐴)) ∧ (𝑎 ∈ (𝑆 “ {𝑑}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑆 “ {𝑐}))) → ((♯‘𝑏) − 1) = 0)
6362fveq2d 6653 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑊 ∧ (𝑑𝐷𝑐𝐷)) ∧ (𝑑 𝐴𝑐 𝐴)) ∧ (𝑎 ∈ (𝑆 “ {𝑑}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑆 “ {𝑐}))) → (𝑏‘((♯‘𝑏) − 1)) = (𝑏‘0))
6453, 55, 633eqtr3rd 2845 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑊 ∧ (𝑑𝐷𝑐𝐷)) ∧ (𝑑 𝐴𝑐 𝐴)) ∧ (𝑎 ∈ (𝑆 “ {𝑑}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑆 “ {𝑐}))) → (𝑏‘0) = 𝑐)
6547, 64eqeq12d 2817 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝑊 ∧ (𝑑𝐷𝑐𝐷)) ∧ (𝑑 𝐴𝑐 𝐴)) ∧ (𝑎 ∈ (𝑆 “ {𝑑}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑆 “ {𝑐}))) → ((𝑎‘0) = (𝑏‘0) ↔ 𝑑 = 𝑐))
6665biimpd 232 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑊 ∧ (𝑑𝐷𝑐𝐷)) ∧ (𝑑 𝐴𝑐 𝐴)) ∧ (𝑎 ∈ (𝑆 “ {𝑑}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑆 “ {𝑐}))) → ((𝑎‘0) = (𝑏‘0) → 𝑑 = 𝑐))
6766rexlimdvva 3256 . . . . . 6 (((𝐴𝑊 ∧ (𝑑𝐷𝑐𝐷)) ∧ (𝑑 𝐴𝑐 𝐴)) → (∃𝑎 ∈ (𝑆 “ {𝑑})∃𝑏 ∈ (𝑆 “ {𝑐})(𝑎‘0) = (𝑏‘0) → 𝑑 = 𝑐))
6827, 67syl5 34 . . . . 5 (((𝐴𝑊 ∧ (𝑑𝐷𝑐𝐷)) ∧ (𝑑 𝐴𝑐 𝐴)) → (𝑑 𝑐𝑑 = 𝑐))
6926, 68mpd 15 . . . 4 (((𝐴𝑊 ∧ (𝑑𝐷𝑐𝐷)) ∧ (𝑑 𝐴𝑐 𝐴)) → 𝑑 = 𝑐)
7069ex 416 . . 3 ((𝐴𝑊 ∧ (𝑑𝐷𝑐𝐷)) → ((𝑑 𝐴𝑐 𝐴) → 𝑑 = 𝑐))
7170ralrimivva 3159 . 2 (𝐴𝑊 → ∀𝑑𝐷𝑐𝐷 ((𝑑 𝐴𝑐 𝐴) → 𝑑 = 𝑐))
72 breq1 5036 . . 3 (𝑑 = 𝑐 → (𝑑 𝐴𝑐 𝐴))
7372reu4 3673 . 2 (∃!𝑑𝐷 𝑑 𝐴 ↔ (∃𝑑𝐷 𝑑 𝐴 ∧ ∀𝑑𝐷𝑐𝐷 ((𝑑 𝐴𝑐 𝐴) → 𝑑 = 𝑐)))
7421, 71, 73sylanbrc 586 1 (𝐴𝑊 → ∃!𝑑𝐷 𝑑 𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  ∀wral 3109  ∃wrex 3110  ∃!wreu 3111  {crab 3113   ∖ cdif 3881  ∅c0 4246  {csn 4528  ⟨cop 4534  ⟨cotp 4536  ∪ ciun 4884   class class class wbr 5033   ↦ cmpt 5113   I cid 5427   × cxp 5521  ◡ccnv 5522  dom cdm 5523  ran crn 5524   “ cima 5526   Fn wfn 6323  –onto→wfo 6326  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139   ∈ cmpo 7141  1oc1o 8082  2oc2o 8083   Er wer 8273  0cc0 10530  1c1 10531   − cmin 10863  ...cfz 12889  ..^cfzo 13032  ♯chash 13690  Word cword 13861   splice csplice 14106  ⟨“cs2 14198   ~FG cefg 18827 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-ot 4537  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-ec 8278  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-n0 11890  df-xnn0 11960  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-hash 13691  df-word 13862  df-concat 13918  df-s1 13945  df-substr 13998  df-pfx 14028  df-splice 14107  df-s2 14205  df-efg 18830 This theorem is referenced by:  efgred2  18874  frgpnabllem2  18990
 Copyright terms: Public domain W3C validator