MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgredeu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efgredeu 19770
Description: There is a unique reduced word equivalent to a given word. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
efgval.r = ( ~FG𝐼)
efgval2.m 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩)
efgval2.t 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
efgred.d 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
efgred.s 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
Assertion
Ref Expression
efgredeu (𝐴𝑊 → ∃!𝑑𝐷 𝑑 𝐴)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑑   𝑦,𝑧   𝑡,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑚,𝑥   𝑚,𝑀   𝑥,𝑛,𝑀,𝑡,𝑣,𝑤   𝑘,𝑚,𝑡,𝑥,𝑇   𝑘,𝑑,𝑚,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝑊   ,𝑑,𝑚,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑆,𝑑   𝑚,𝐼,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑑,𝑚,𝑡
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   (𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛,𝑑)   𝐼(𝑘,𝑑)   𝑀(𝑦,𝑧,𝑘,𝑑)

Proof of Theorem efgredeu
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efgval.w . . . . 5 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
2 efgval.r . . . . 5 = ( ~FG𝐼)
3 efgval2.m . . . . 5 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩)
4 efgval2.t . . . . 5 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
5 efgred.d . . . . 5 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
6 efgred.s . . . . 5 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
71, 2, 3, 4, 5, 6efgsfo 19757 . . . 4 𝑆:dom 𝑆onto𝑊
8 foelrn 7127 . . . 4 ((𝑆:dom 𝑆onto𝑊𝐴𝑊) → ∃𝑎 ∈ dom 𝑆 𝐴 = (𝑆𝑎))
97, 8mpan 690 . . 3 (𝐴𝑊 → ∃𝑎 ∈ dom 𝑆 𝐴 = (𝑆𝑎))
101, 2, 3, 4, 5, 6efgsdm 19748 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝑎 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝑎‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝑎))(𝑎𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝑎‘(𝑖 − 1)))))
1110simp2bi 1147 . . . . . 6 (𝑎 ∈ dom 𝑆 → (𝑎‘0) ∈ 𝐷)
121, 2, 3, 4, 5, 6efgsrel 19752 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ dom 𝑆 → (𝑎‘0) (𝑆𝑎))
1312adantl 481 . . . . . 6 ((𝐴𝑊𝑎 ∈ dom 𝑆) → (𝑎‘0) (𝑆𝑎))
14 breq1 5146 . . . . . . 7 (𝑑 = (𝑎‘0) → (𝑑 (𝑆𝑎) ↔ (𝑎‘0) (𝑆𝑎)))
1514rspcev 3622 . . . . . 6 (((𝑎‘0) ∈ 𝐷 ∧ (𝑎‘0) (𝑆𝑎)) → ∃𝑑𝐷 𝑑 (𝑆𝑎))
1611, 13, 15syl2an2 686 . . . . 5 ((𝐴𝑊𝑎 ∈ dom 𝑆) → ∃𝑑𝐷 𝑑 (𝑆𝑎))
17 breq2 5147 . . . . . 6 (𝐴 = (𝑆𝑎) → (𝑑 𝐴𝑑 (𝑆𝑎)))
1817rexbidv 3179 . . . . 5 (𝐴 = (𝑆𝑎) → (∃𝑑𝐷 𝑑 𝐴 ↔ ∃𝑑𝐷 𝑑 (𝑆𝑎)))
1916, 18syl5ibrcom 247 . . . 4 ((𝐴𝑊𝑎 ∈ dom 𝑆) → (𝐴 = (𝑆𝑎) → ∃𝑑𝐷 𝑑 𝐴))
2019rexlimdva 3155 . . 3 (𝐴𝑊 → (∃𝑎 ∈ dom 𝑆 𝐴 = (𝑆𝑎) → ∃𝑑𝐷 𝑑 𝐴))
219, 20mpd 15 . 2 (𝐴𝑊 → ∃𝑑𝐷 𝑑 𝐴)
221, 2efger 19736 . . . . . . 7 Er 𝑊
2322a1i 11 . . . . . 6 (((𝐴𝑊 ∧ (𝑑𝐷𝑐𝐷)) ∧ (𝑑 𝐴𝑐 𝐴)) → Er 𝑊)
24 simprl 771 . . . . . 6 (((𝐴𝑊 ∧ (𝑑𝐷𝑐𝐷)) ∧ (𝑑 𝐴𝑐 𝐴)) → 𝑑 𝐴)
25 simprr 773 . . . . . 6 (((𝐴𝑊 ∧ (𝑑𝐷𝑐𝐷)) ∧ (𝑑 𝐴𝑐 𝐴)) → 𝑐 𝐴)
2623, 24, 25ertr4d 8764 . . . . 5 (((𝐴𝑊 ∧ (𝑑𝐷𝑐𝐷)) ∧ (𝑑 𝐴𝑐 𝐴)) → 𝑑 𝑐)
271, 2, 3, 4, 5, 6efgrelex 19769 . . . . . 6 (𝑑 𝑐 → ∃𝑎 ∈ (𝑆 “ {𝑑})∃𝑏 ∈ (𝑆 “ {𝑐})(𝑎‘0) = (𝑏‘0))
28 fofn 6822 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆:dom 𝑆onto𝑊𝑆 Fn dom 𝑆)
29 fniniseg 7080 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆 Fn dom 𝑆 → (𝑎 ∈ (𝑆 “ {𝑑}) ↔ (𝑎 ∈ dom 𝑆 ∧ (𝑆𝑎) = 𝑑)))
307, 28, 29mp2b 10 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 ∈ (𝑆 “ {𝑑}) ↔ (𝑎 ∈ dom 𝑆 ∧ (𝑆𝑎) = 𝑑))
3130simplbi 497 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 ∈ (𝑆 “ {𝑑}) → 𝑎 ∈ dom 𝑆)
3231ad2antrl 728 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑊 ∧ (𝑑𝐷𝑐𝐷)) ∧ (𝑑 𝐴𝑐 𝐴)) ∧ (𝑎 ∈ (𝑆 “ {𝑑}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑆 “ {𝑐}))) → 𝑎 ∈ dom 𝑆)
331, 2, 3, 4, 5, 6efgsval 19749 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∈ dom 𝑆 → (𝑆𝑎) = (𝑎‘((♯‘𝑎) − 1)))
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑊 ∧ (𝑑𝐷𝑐𝐷)) ∧ (𝑑 𝐴𝑐 𝐴)) ∧ (𝑎 ∈ (𝑆 “ {𝑑}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑆 “ {𝑐}))) → (𝑆𝑎) = (𝑎‘((♯‘𝑎) − 1)))
3530simprbi 496 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∈ (𝑆 “ {𝑑}) → (𝑆𝑎) = 𝑑)
3635ad2antrl 728 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑊 ∧ (𝑑𝐷𝑐𝐷)) ∧ (𝑑 𝐴𝑐 𝐴)) ∧ (𝑎 ∈ (𝑆 “ {𝑑}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑆 “ {𝑐}))) → (𝑆𝑎) = 𝑑)
37 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴𝑊 ∧ (𝑑𝐷𝑐𝐷)) ∧ (𝑑 𝐴𝑐 𝐴)) ∧ (𝑎 ∈ (𝑆 “ {𝑑}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑆 “ {𝑐}))) → (𝑑𝐷𝑐𝐷))
3837simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴𝑊 ∧ (𝑑𝐷𝑐𝐷)) ∧ (𝑑 𝐴𝑐 𝐴)) ∧ (𝑎 ∈ (𝑆 “ {𝑑}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑆 “ {𝑐}))) → 𝑑𝐷)
3936, 38eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴𝑊 ∧ (𝑑𝐷𝑐𝐷)) ∧ (𝑑 𝐴𝑐 𝐴)) ∧ (𝑎 ∈ (𝑆 “ {𝑑}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑆 “ {𝑐}))) → (𝑆𝑎) ∈ 𝐷)
401, 2, 3, 4, 5, 6efgs1b 19754 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 ∈ dom 𝑆 → ((𝑆𝑎) ∈ 𝐷 ↔ (♯‘𝑎) = 1))
4132, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴𝑊 ∧ (𝑑𝐷𝑐𝐷)) ∧ (𝑑 𝐴𝑐 𝐴)) ∧ (𝑎 ∈ (𝑆 “ {𝑑}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑆 “ {𝑐}))) → ((𝑆𝑎) ∈ 𝐷 ↔ (♯‘𝑎) = 1))
4239, 41mpbid 232 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴𝑊 ∧ (𝑑𝐷𝑐𝐷)) ∧ (𝑑 𝐴𝑐 𝐴)) ∧ (𝑎 ∈ (𝑆 “ {𝑑}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑆 “ {𝑐}))) → (♯‘𝑎) = 1)
4342oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝑊 ∧ (𝑑𝐷𝑐𝐷)) ∧ (𝑑 𝐴𝑐 𝐴)) ∧ (𝑎 ∈ (𝑆 “ {𝑑}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑆 “ {𝑐}))) → ((♯‘𝑎) − 1) = (1 − 1))
44 1m1e0 12338 . . . . . . . . . . . 12 (1 − 1) = 0
4543, 44eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑊 ∧ (𝑑𝐷𝑐𝐷)) ∧ (𝑑 𝐴𝑐 𝐴)) ∧ (𝑎 ∈ (𝑆 “ {𝑑}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑆 “ {𝑐}))) → ((♯‘𝑎) − 1) = 0)
4645fveq2d 6910 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑊 ∧ (𝑑𝐷𝑐𝐷)) ∧ (𝑑 𝐴𝑐 𝐴)) ∧ (𝑎 ∈ (𝑆 “ {𝑑}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑆 “ {𝑐}))) → (𝑎‘((♯‘𝑎) − 1)) = (𝑎‘0))
4734, 36, 463eqtr3rd 2786 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑊 ∧ (𝑑𝐷𝑐𝐷)) ∧ (𝑑 𝐴𝑐 𝐴)) ∧ (𝑎 ∈ (𝑆 “ {𝑑}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑆 “ {𝑐}))) → (𝑎‘0) = 𝑑)
48 fniniseg 7080 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆 Fn dom 𝑆 → (𝑏 ∈ (𝑆 “ {𝑐}) ↔ (𝑏 ∈ dom 𝑆 ∧ (𝑆𝑏) = 𝑐)))
497, 28, 48mp2b 10 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ (𝑆 “ {𝑐}) ↔ (𝑏 ∈ dom 𝑆 ∧ (𝑆𝑏) = 𝑐))
5049simplbi 497 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ (𝑆 “ {𝑐}) → 𝑏 ∈ dom 𝑆)
5150ad2antll 729 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑊 ∧ (𝑑𝐷𝑐𝐷)) ∧ (𝑑 𝐴𝑐 𝐴)) ∧ (𝑎 ∈ (𝑆 “ {𝑑}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑆 “ {𝑐}))) → 𝑏 ∈ dom 𝑆)
521, 2, 3, 4, 5, 6efgsval 19749 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ dom 𝑆 → (𝑆𝑏) = (𝑏‘((♯‘𝑏) − 1)))
5351, 52syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑊 ∧ (𝑑𝐷𝑐𝐷)) ∧ (𝑑 𝐴𝑐 𝐴)) ∧ (𝑎 ∈ (𝑆 “ {𝑑}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑆 “ {𝑐}))) → (𝑆𝑏) = (𝑏‘((♯‘𝑏) − 1)))
5449simprbi 496 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ (𝑆 “ {𝑐}) → (𝑆𝑏) = 𝑐)
5554ad2antll 729 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑊 ∧ (𝑑𝐷𝑐𝐷)) ∧ (𝑑 𝐴𝑐 𝐴)) ∧ (𝑎 ∈ (𝑆 “ {𝑑}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑆 “ {𝑐}))) → (𝑆𝑏) = 𝑐)
5637simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴𝑊 ∧ (𝑑𝐷𝑐𝐷)) ∧ (𝑑 𝐴𝑐 𝐴)) ∧ (𝑎 ∈ (𝑆 “ {𝑑}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑆 “ {𝑐}))) → 𝑐𝐷)
5755, 56eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴𝑊 ∧ (𝑑𝐷𝑐𝐷)) ∧ (𝑑 𝐴𝑐 𝐴)) ∧ (𝑎 ∈ (𝑆 “ {𝑑}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑆 “ {𝑐}))) → (𝑆𝑏) ∈ 𝐷)
581, 2, 3, 4, 5, 6efgs1b 19754 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 ∈ dom 𝑆 → ((𝑆𝑏) ∈ 𝐷 ↔ (♯‘𝑏) = 1))
5951, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴𝑊 ∧ (𝑑𝐷𝑐𝐷)) ∧ (𝑑 𝐴𝑐 𝐴)) ∧ (𝑎 ∈ (𝑆 “ {𝑑}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑆 “ {𝑐}))) → ((𝑆𝑏) ∈ 𝐷 ↔ (♯‘𝑏) = 1))
6057, 59mpbid 232 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴𝑊 ∧ (𝑑𝐷𝑐𝐷)) ∧ (𝑑 𝐴𝑐 𝐴)) ∧ (𝑎 ∈ (𝑆 “ {𝑑}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑆 “ {𝑐}))) → (♯‘𝑏) = 1)
6160oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝑊 ∧ (𝑑𝐷𝑐𝐷)) ∧ (𝑑 𝐴𝑐 𝐴)) ∧ (𝑎 ∈ (𝑆 “ {𝑑}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑆 “ {𝑐}))) → ((♯‘𝑏) − 1) = (1 − 1))
6261, 44eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑊 ∧ (𝑑𝐷𝑐𝐷)) ∧ (𝑑 𝐴𝑐 𝐴)) ∧ (𝑎 ∈ (𝑆 “ {𝑑}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑆 “ {𝑐}))) → ((♯‘𝑏) − 1) = 0)
6362fveq2d 6910 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑊 ∧ (𝑑𝐷𝑐𝐷)) ∧ (𝑑 𝐴𝑐 𝐴)) ∧ (𝑎 ∈ (𝑆 “ {𝑑}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑆 “ {𝑐}))) → (𝑏‘((♯‘𝑏) − 1)) = (𝑏‘0))
6453, 55, 633eqtr3rd 2786 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑊 ∧ (𝑑𝐷𝑐𝐷)) ∧ (𝑑 𝐴𝑐 𝐴)) ∧ (𝑎 ∈ (𝑆 “ {𝑑}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑆 “ {𝑐}))) → (𝑏‘0) = 𝑐)
6547, 64eqeq12d 2753 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝑊 ∧ (𝑑𝐷𝑐𝐷)) ∧ (𝑑 𝐴𝑐 𝐴)) ∧ (𝑎 ∈ (𝑆 “ {𝑑}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑆 “ {𝑐}))) → ((𝑎‘0) = (𝑏‘0) ↔ 𝑑 = 𝑐))
6665biimpd 229 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑊 ∧ (𝑑𝐷𝑐𝐷)) ∧ (𝑑 𝐴𝑐 𝐴)) ∧ (𝑎 ∈ (𝑆 “ {𝑑}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑆 “ {𝑐}))) → ((𝑎‘0) = (𝑏‘0) → 𝑑 = 𝑐))
6766rexlimdvva 3213 . . . . . 6 (((𝐴𝑊 ∧ (𝑑𝐷𝑐𝐷)) ∧ (𝑑 𝐴𝑐 𝐴)) → (∃𝑎 ∈ (𝑆 “ {𝑑})∃𝑏 ∈ (𝑆 “ {𝑐})(𝑎‘0) = (𝑏‘0) → 𝑑 = 𝑐))
6827, 67syl5 34 . . . . 5 (((𝐴𝑊 ∧ (𝑑𝐷𝑐𝐷)) ∧ (𝑑 𝐴𝑐 𝐴)) → (𝑑 𝑐𝑑 = 𝑐))
6926, 68mpd 15 . . . 4 (((𝐴𝑊 ∧ (𝑑𝐷𝑐𝐷)) ∧ (𝑑 𝐴𝑐 𝐴)) → 𝑑 = 𝑐)
7069ex 412 . . 3 ((𝐴𝑊 ∧ (𝑑𝐷𝑐𝐷)) → ((𝑑 𝐴𝑐 𝐴) → 𝑑 = 𝑐))
7170ralrimivva 3202 . 2 (𝐴𝑊 → ∀𝑑𝐷𝑐𝐷 ((𝑑 𝐴𝑐 𝐴) → 𝑑 = 𝑐))
72 breq1 5146 . . 3 (𝑑 = 𝑐 → (𝑑 𝐴𝑐 𝐴))
7372reu4 3737 . 2 (∃!𝑑𝐷 𝑑 𝐴 ↔ (∃𝑑𝐷 𝑑 𝐴 ∧ ∀𝑑𝐷𝑐𝐷 ((𝑑 𝐴𝑐 𝐴) → 𝑑 = 𝑐)))
7421, 71, 73sylanbrc 583 1 (𝐴𝑊 → ∃!𝑑𝐷 𝑑 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070  ∃!wreu 3378  {crab 3436  cdif 3948  c0 4333  {csn 4626  cop 4632  cotp 4634   ciun 4991   class class class wbr 5143  cmpt 5225   I cid 5577   × cxp 5683  ccnv 5684  dom cdm 5685  ran crn 5686  cima 5688   Fn wfn 6556  ontowfo 6559  cfv 6561  (class class class)co 7431  cmpo 7433  1oc1o 8499  2oc2o 8500   Er wer 8742  0cc0 11155  1c1 11156  cmin 11492  ...cfz 13547  ..^cfzo 13694  chash 14369  Word cword 14552   splice csplice 14787  ⟨“cs2 14880   ~FG cefg 19724
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-ot 4635  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-ec 8747  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-hash 14370  df-word 14553  df-concat 14609  df-s1 14634  df-substr 14679  df-pfx 14709  df-splice 14788  df-s2 14887  df-efg 19727
This theorem is referenced by:  efgred2  19771  frgpnabllem2  19892
  Copyright terms: Public domain W3C validator