MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgredeu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efgredeu 19622
Description: There is a unique reduced word equivalent to a given word. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w π‘Š = ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o))
efgval.r ∼ = ( ~FG β€˜πΌ)
efgval2.m 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)⟩)
efgval2.t 𝑇 = (𝑣 ∈ π‘Š ↦ (𝑛 ∈ (0...(β™―β€˜π‘£)), 𝑀 ∈ (𝐼 Γ— 2o) ↦ (𝑣 splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œπ‘€(π‘€β€˜π‘€)β€βŸ©βŸ©)))
efgred.d 𝐷 = (π‘Š βˆ– βˆͺ π‘₯ ∈ π‘Š ran (π‘‡β€˜π‘₯))
efgred.s 𝑆 = (π‘š ∈ {𝑑 ∈ (Word π‘Š βˆ– {βˆ…}) ∣ ((π‘‘β€˜0) ∈ 𝐷 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (1..^(β™―β€˜π‘‘))(π‘‘β€˜π‘˜) ∈ ran (π‘‡β€˜(π‘‘β€˜(π‘˜ βˆ’ 1))))} ↦ (π‘šβ€˜((β™―β€˜π‘š) βˆ’ 1)))
Assertion
Ref Expression
efgredeu (𝐴 ∈ π‘Š β†’ βˆƒ!𝑑 ∈ 𝐷 𝑑 ∼ 𝐴)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑑   𝑦,𝑧   𝑑,𝑛,𝑣,𝑀,𝑦,𝑧,π‘š,π‘₯   π‘š,𝑀   π‘₯,𝑛,𝑀,𝑑,𝑣,𝑀   π‘˜,π‘š,𝑑,π‘₯,𝑇   π‘˜,𝑑,π‘š,𝑛,𝑑,𝑣,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧,π‘Š   ∼ ,𝑑,π‘š,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑆,𝑑   π‘š,𝐼,𝑛,𝑑,𝑣,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧   𝐷,𝑑,π‘š,𝑑
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,𝑑,π‘˜,π‘š,𝑛)   𝐷(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,π‘˜,𝑛)   ∼ (𝑀,𝑣,π‘˜,𝑛)   𝑆(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,𝑑,π‘˜,π‘š,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,𝑛,𝑑)   𝐼(π‘˜,𝑑)   𝑀(𝑦,𝑧,π‘˜,𝑑)

Proof of Theorem efgredeu
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efgval.w . . . . 5 π‘Š = ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o))
2 efgval.r . . . . 5 ∼ = ( ~FG β€˜πΌ)
3 efgval2.m . . . . 5 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)⟩)
4 efgval2.t . . . . 5 𝑇 = (𝑣 ∈ π‘Š ↦ (𝑛 ∈ (0...(β™―β€˜π‘£)), 𝑀 ∈ (𝐼 Γ— 2o) ↦ (𝑣 splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œπ‘€(π‘€β€˜π‘€)β€βŸ©βŸ©)))
5 efgred.d . . . . 5 𝐷 = (π‘Š βˆ– βˆͺ π‘₯ ∈ π‘Š ran (π‘‡β€˜π‘₯))
6 efgred.s . . . . 5 𝑆 = (π‘š ∈ {𝑑 ∈ (Word π‘Š βˆ– {βˆ…}) ∣ ((π‘‘β€˜0) ∈ 𝐷 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (1..^(β™―β€˜π‘‘))(π‘‘β€˜π‘˜) ∈ ran (π‘‡β€˜(π‘‘β€˜(π‘˜ βˆ’ 1))))} ↦ (π‘šβ€˜((β™―β€˜π‘š) βˆ’ 1)))
71, 2, 3, 4, 5, 6efgsfo 19609 . . . 4 𝑆:dom 𝑆–ontoβ†’π‘Š
8 foelrn 7108 . . . 4 ((𝑆:dom 𝑆–ontoβ†’π‘Š ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ dom 𝑆 𝐴 = (π‘†β€˜π‘Ž))
97, 8mpan 688 . . 3 (𝐴 ∈ π‘Š β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ dom 𝑆 𝐴 = (π‘†β€˜π‘Ž))
101, 2, 3, 4, 5, 6efgsdm 19600 . . . . . . 7 (π‘Ž ∈ dom 𝑆 ↔ (π‘Ž ∈ (Word π‘Š βˆ– {βˆ…}) ∧ (π‘Žβ€˜0) ∈ 𝐷 ∧ βˆ€π‘– ∈ (1..^(β™―β€˜π‘Ž))(π‘Žβ€˜π‘–) ∈ ran (π‘‡β€˜(π‘Žβ€˜(𝑖 βˆ’ 1)))))
1110simp2bi 1146 . . . . . 6 (π‘Ž ∈ dom 𝑆 β†’ (π‘Žβ€˜0) ∈ 𝐷)
121, 2, 3, 4, 5, 6efgsrel 19604 . . . . . . 7 (π‘Ž ∈ dom 𝑆 β†’ (π‘Žβ€˜0) ∼ (π‘†β€˜π‘Ž))
1312adantl 482 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ π‘Ž ∈ dom 𝑆) β†’ (π‘Žβ€˜0) ∼ (π‘†β€˜π‘Ž))
14 breq1 5151 . . . . . . 7 (𝑑 = (π‘Žβ€˜0) β†’ (𝑑 ∼ (π‘†β€˜π‘Ž) ↔ (π‘Žβ€˜0) ∼ (π‘†β€˜π‘Ž)))
1514rspcev 3612 . . . . . 6 (((π‘Žβ€˜0) ∈ 𝐷 ∧ (π‘Žβ€˜0) ∼ (π‘†β€˜π‘Ž)) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∼ (π‘†β€˜π‘Ž))
1611, 13, 15syl2an2 684 . . . . 5 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ π‘Ž ∈ dom 𝑆) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∼ (π‘†β€˜π‘Ž))
17 breq2 5152 . . . . . 6 (𝐴 = (π‘†β€˜π‘Ž) β†’ (𝑑 ∼ 𝐴 ↔ 𝑑 ∼ (π‘†β€˜π‘Ž)))
1817rexbidv 3178 . . . . 5 (𝐴 = (π‘†β€˜π‘Ž) β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∼ 𝐴 ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∼ (π‘†β€˜π‘Ž)))
1916, 18syl5ibrcom 246 . . . 4 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ π‘Ž ∈ dom 𝑆) β†’ (𝐴 = (π‘†β€˜π‘Ž) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∼ 𝐴))
2019rexlimdva 3155 . . 3 (𝐴 ∈ π‘Š β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ dom 𝑆 𝐴 = (π‘†β€˜π‘Ž) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∼ 𝐴))
219, 20mpd 15 . 2 (𝐴 ∈ π‘Š β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∼ 𝐴)
221, 2efger 19588 . . . . . . 7 ∼ Er π‘Š
2322a1i 11 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (𝑑 ∈ 𝐷 ∧ 𝑐 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑑 ∼ 𝐴 ∧ 𝑐 ∼ 𝐴)) β†’ ∼ Er π‘Š)
24 simprl 769 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (𝑑 ∈ 𝐷 ∧ 𝑐 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑑 ∼ 𝐴 ∧ 𝑐 ∼ 𝐴)) β†’ 𝑑 ∼ 𝐴)
25 simprr 771 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (𝑑 ∈ 𝐷 ∧ 𝑐 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑑 ∼ 𝐴 ∧ 𝑐 ∼ 𝐴)) β†’ 𝑐 ∼ 𝐴)
2623, 24, 25ertr4d 8724 . . . . 5 (((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (𝑑 ∈ 𝐷 ∧ 𝑐 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑑 ∼ 𝐴 ∧ 𝑐 ∼ 𝐴)) β†’ 𝑑 ∼ 𝑐)
271, 2, 3, 4, 5, 6efgrelex 19621 . . . . . 6 (𝑑 ∼ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ (◑𝑆 β€œ {𝑑})βˆƒπ‘ ∈ (◑𝑆 β€œ {𝑐})(π‘Žβ€˜0) = (π‘β€˜0))
28 fofn 6807 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆:dom 𝑆–ontoβ†’π‘Š β†’ 𝑆 Fn dom 𝑆)
29 fniniseg 7061 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆 Fn dom 𝑆 β†’ (π‘Ž ∈ (◑𝑆 β€œ {𝑑}) ↔ (π‘Ž ∈ dom 𝑆 ∧ (π‘†β€˜π‘Ž) = 𝑑)))
307, 28, 29mp2b 10 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ž ∈ (◑𝑆 β€œ {𝑑}) ↔ (π‘Ž ∈ dom 𝑆 ∧ (π‘†β€˜π‘Ž) = 𝑑))
3130simplbi 498 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ž ∈ (◑𝑆 β€œ {𝑑}) β†’ π‘Ž ∈ dom 𝑆)
3231ad2antrl 726 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (𝑑 ∈ 𝐷 ∧ 𝑐 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑑 ∼ 𝐴 ∧ 𝑐 ∼ 𝐴)) ∧ (π‘Ž ∈ (◑𝑆 β€œ {𝑑}) ∧ 𝑏 ∈ (◑𝑆 β€œ {𝑐}))) β†’ π‘Ž ∈ dom 𝑆)
331, 2, 3, 4, 5, 6efgsval 19601 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž ∈ dom 𝑆 β†’ (π‘†β€˜π‘Ž) = (π‘Žβ€˜((β™―β€˜π‘Ž) βˆ’ 1)))
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (𝑑 ∈ 𝐷 ∧ 𝑐 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑑 ∼ 𝐴 ∧ 𝑐 ∼ 𝐴)) ∧ (π‘Ž ∈ (◑𝑆 β€œ {𝑑}) ∧ 𝑏 ∈ (◑𝑆 β€œ {𝑐}))) β†’ (π‘†β€˜π‘Ž) = (π‘Žβ€˜((β™―β€˜π‘Ž) βˆ’ 1)))
3530simprbi 497 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž ∈ (◑𝑆 β€œ {𝑑}) β†’ (π‘†β€˜π‘Ž) = 𝑑)
3635ad2antrl 726 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (𝑑 ∈ 𝐷 ∧ 𝑐 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑑 ∼ 𝐴 ∧ 𝑐 ∼ 𝐴)) ∧ (π‘Ž ∈ (◑𝑆 β€œ {𝑑}) ∧ 𝑏 ∈ (◑𝑆 β€œ {𝑐}))) β†’ (π‘†β€˜π‘Ž) = 𝑑)
37 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (𝑑 ∈ 𝐷 ∧ 𝑐 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑑 ∼ 𝐴 ∧ 𝑐 ∼ 𝐴)) ∧ (π‘Ž ∈ (◑𝑆 β€œ {𝑑}) ∧ 𝑏 ∈ (◑𝑆 β€œ {𝑐}))) β†’ (𝑑 ∈ 𝐷 ∧ 𝑐 ∈ 𝐷))
3837simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (𝑑 ∈ 𝐷 ∧ 𝑐 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑑 ∼ 𝐴 ∧ 𝑐 ∼ 𝐴)) ∧ (π‘Ž ∈ (◑𝑆 β€œ {𝑑}) ∧ 𝑏 ∈ (◑𝑆 β€œ {𝑐}))) β†’ 𝑑 ∈ 𝐷)
3936, 38eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (𝑑 ∈ 𝐷 ∧ 𝑐 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑑 ∼ 𝐴 ∧ 𝑐 ∼ 𝐴)) ∧ (π‘Ž ∈ (◑𝑆 β€œ {𝑑}) ∧ 𝑏 ∈ (◑𝑆 β€œ {𝑐}))) β†’ (π‘†β€˜π‘Ž) ∈ 𝐷)
401, 2, 3, 4, 5, 6efgs1b 19606 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Ž ∈ dom 𝑆 β†’ ((π‘†β€˜π‘Ž) ∈ 𝐷 ↔ (β™―β€˜π‘Ž) = 1))
4132, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (𝑑 ∈ 𝐷 ∧ 𝑐 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑑 ∼ 𝐴 ∧ 𝑐 ∼ 𝐴)) ∧ (π‘Ž ∈ (◑𝑆 β€œ {𝑑}) ∧ 𝑏 ∈ (◑𝑆 β€œ {𝑐}))) β†’ ((π‘†β€˜π‘Ž) ∈ 𝐷 ↔ (β™―β€˜π‘Ž) = 1))
4239, 41mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (𝑑 ∈ 𝐷 ∧ 𝑐 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑑 ∼ 𝐴 ∧ 𝑐 ∼ 𝐴)) ∧ (π‘Ž ∈ (◑𝑆 β€œ {𝑑}) ∧ 𝑏 ∈ (◑𝑆 β€œ {𝑐}))) β†’ (β™―β€˜π‘Ž) = 1)
4342oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (𝑑 ∈ 𝐷 ∧ 𝑐 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑑 ∼ 𝐴 ∧ 𝑐 ∼ 𝐴)) ∧ (π‘Ž ∈ (◑𝑆 β€œ {𝑑}) ∧ 𝑏 ∈ (◑𝑆 β€œ {𝑐}))) β†’ ((β™―β€˜π‘Ž) βˆ’ 1) = (1 βˆ’ 1))
44 1m1e0 12286 . . . . . . . . . . . 12 (1 βˆ’ 1) = 0
4543, 44eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (𝑑 ∈ 𝐷 ∧ 𝑐 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑑 ∼ 𝐴 ∧ 𝑐 ∼ 𝐴)) ∧ (π‘Ž ∈ (◑𝑆 β€œ {𝑑}) ∧ 𝑏 ∈ (◑𝑆 β€œ {𝑐}))) β†’ ((β™―β€˜π‘Ž) βˆ’ 1) = 0)
4645fveq2d 6895 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (𝑑 ∈ 𝐷 ∧ 𝑐 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑑 ∼ 𝐴 ∧ 𝑐 ∼ 𝐴)) ∧ (π‘Ž ∈ (◑𝑆 β€œ {𝑑}) ∧ 𝑏 ∈ (◑𝑆 β€œ {𝑐}))) β†’ (π‘Žβ€˜((β™―β€˜π‘Ž) βˆ’ 1)) = (π‘Žβ€˜0))
4734, 36, 463eqtr3rd 2781 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (𝑑 ∈ 𝐷 ∧ 𝑐 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑑 ∼ 𝐴 ∧ 𝑐 ∼ 𝐴)) ∧ (π‘Ž ∈ (◑𝑆 β€œ {𝑑}) ∧ 𝑏 ∈ (◑𝑆 β€œ {𝑐}))) β†’ (π‘Žβ€˜0) = 𝑑)
48 fniniseg 7061 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆 Fn dom 𝑆 β†’ (𝑏 ∈ (◑𝑆 β€œ {𝑐}) ↔ (𝑏 ∈ dom 𝑆 ∧ (π‘†β€˜π‘) = 𝑐)))
497, 28, 48mp2b 10 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ (◑𝑆 β€œ {𝑐}) ↔ (𝑏 ∈ dom 𝑆 ∧ (π‘†β€˜π‘) = 𝑐))
5049simplbi 498 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ (◑𝑆 β€œ {𝑐}) β†’ 𝑏 ∈ dom 𝑆)
5150ad2antll 727 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (𝑑 ∈ 𝐷 ∧ 𝑐 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑑 ∼ 𝐴 ∧ 𝑐 ∼ 𝐴)) ∧ (π‘Ž ∈ (◑𝑆 β€œ {𝑑}) ∧ 𝑏 ∈ (◑𝑆 β€œ {𝑐}))) β†’ 𝑏 ∈ dom 𝑆)
521, 2, 3, 4, 5, 6efgsval 19601 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ dom 𝑆 β†’ (π‘†β€˜π‘) = (π‘β€˜((β™―β€˜π‘) βˆ’ 1)))
5351, 52syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (𝑑 ∈ 𝐷 ∧ 𝑐 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑑 ∼ 𝐴 ∧ 𝑐 ∼ 𝐴)) ∧ (π‘Ž ∈ (◑𝑆 β€œ {𝑑}) ∧ 𝑏 ∈ (◑𝑆 β€œ {𝑐}))) β†’ (π‘†β€˜π‘) = (π‘β€˜((β™―β€˜π‘) βˆ’ 1)))
5449simprbi 497 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ (◑𝑆 β€œ {𝑐}) β†’ (π‘†β€˜π‘) = 𝑐)
5554ad2antll 727 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (𝑑 ∈ 𝐷 ∧ 𝑐 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑑 ∼ 𝐴 ∧ 𝑐 ∼ 𝐴)) ∧ (π‘Ž ∈ (◑𝑆 β€œ {𝑑}) ∧ 𝑏 ∈ (◑𝑆 β€œ {𝑐}))) β†’ (π‘†β€˜π‘) = 𝑐)
5637simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (𝑑 ∈ 𝐷 ∧ 𝑐 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑑 ∼ 𝐴 ∧ 𝑐 ∼ 𝐴)) ∧ (π‘Ž ∈ (◑𝑆 β€œ {𝑑}) ∧ 𝑏 ∈ (◑𝑆 β€œ {𝑐}))) β†’ 𝑐 ∈ 𝐷)
5755, 56eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (𝑑 ∈ 𝐷 ∧ 𝑐 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑑 ∼ 𝐴 ∧ 𝑐 ∼ 𝐴)) ∧ (π‘Ž ∈ (◑𝑆 β€œ {𝑑}) ∧ 𝑏 ∈ (◑𝑆 β€œ {𝑐}))) β†’ (π‘†β€˜π‘) ∈ 𝐷)
581, 2, 3, 4, 5, 6efgs1b 19606 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 ∈ dom 𝑆 β†’ ((π‘†β€˜π‘) ∈ 𝐷 ↔ (β™―β€˜π‘) = 1))
5951, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (𝑑 ∈ 𝐷 ∧ 𝑐 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑑 ∼ 𝐴 ∧ 𝑐 ∼ 𝐴)) ∧ (π‘Ž ∈ (◑𝑆 β€œ {𝑑}) ∧ 𝑏 ∈ (◑𝑆 β€œ {𝑐}))) β†’ ((π‘†β€˜π‘) ∈ 𝐷 ↔ (β™―β€˜π‘) = 1))
6057, 59mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (𝑑 ∈ 𝐷 ∧ 𝑐 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑑 ∼ 𝐴 ∧ 𝑐 ∼ 𝐴)) ∧ (π‘Ž ∈ (◑𝑆 β€œ {𝑑}) ∧ 𝑏 ∈ (◑𝑆 β€œ {𝑐}))) β†’ (β™―β€˜π‘) = 1)
6160oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (𝑑 ∈ 𝐷 ∧ 𝑐 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑑 ∼ 𝐴 ∧ 𝑐 ∼ 𝐴)) ∧ (π‘Ž ∈ (◑𝑆 β€œ {𝑑}) ∧ 𝑏 ∈ (◑𝑆 β€œ {𝑐}))) β†’ ((β™―β€˜π‘) βˆ’ 1) = (1 βˆ’ 1))
6261, 44eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (𝑑 ∈ 𝐷 ∧ 𝑐 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑑 ∼ 𝐴 ∧ 𝑐 ∼ 𝐴)) ∧ (π‘Ž ∈ (◑𝑆 β€œ {𝑑}) ∧ 𝑏 ∈ (◑𝑆 β€œ {𝑐}))) β†’ ((β™―β€˜π‘) βˆ’ 1) = 0)
6362fveq2d 6895 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (𝑑 ∈ 𝐷 ∧ 𝑐 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑑 ∼ 𝐴 ∧ 𝑐 ∼ 𝐴)) ∧ (π‘Ž ∈ (◑𝑆 β€œ {𝑑}) ∧ 𝑏 ∈ (◑𝑆 β€œ {𝑐}))) β†’ (π‘β€˜((β™―β€˜π‘) βˆ’ 1)) = (π‘β€˜0))
6453, 55, 633eqtr3rd 2781 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (𝑑 ∈ 𝐷 ∧ 𝑐 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑑 ∼ 𝐴 ∧ 𝑐 ∼ 𝐴)) ∧ (π‘Ž ∈ (◑𝑆 β€œ {𝑑}) ∧ 𝑏 ∈ (◑𝑆 β€œ {𝑐}))) β†’ (π‘β€˜0) = 𝑐)
6547, 64eqeq12d 2748 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (𝑑 ∈ 𝐷 ∧ 𝑐 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑑 ∼ 𝐴 ∧ 𝑐 ∼ 𝐴)) ∧ (π‘Ž ∈ (◑𝑆 β€œ {𝑑}) ∧ 𝑏 ∈ (◑𝑆 β€œ {𝑐}))) β†’ ((π‘Žβ€˜0) = (π‘β€˜0) ↔ 𝑑 = 𝑐))
6665biimpd 228 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (𝑑 ∈ 𝐷 ∧ 𝑐 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑑 ∼ 𝐴 ∧ 𝑐 ∼ 𝐴)) ∧ (π‘Ž ∈ (◑𝑆 β€œ {𝑑}) ∧ 𝑏 ∈ (◑𝑆 β€œ {𝑐}))) β†’ ((π‘Žβ€˜0) = (π‘β€˜0) β†’ 𝑑 = 𝑐))
6766rexlimdvva 3211 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (𝑑 ∈ 𝐷 ∧ 𝑐 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑑 ∼ 𝐴 ∧ 𝑐 ∼ 𝐴)) β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ (◑𝑆 β€œ {𝑑})βˆƒπ‘ ∈ (◑𝑆 β€œ {𝑐})(π‘Žβ€˜0) = (π‘β€˜0) β†’ 𝑑 = 𝑐))
6827, 67syl5 34 . . . . 5 (((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (𝑑 ∈ 𝐷 ∧ 𝑐 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑑 ∼ 𝐴 ∧ 𝑐 ∼ 𝐴)) β†’ (𝑑 ∼ 𝑐 β†’ 𝑑 = 𝑐))
6926, 68mpd 15 . . . 4 (((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (𝑑 ∈ 𝐷 ∧ 𝑐 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑑 ∼ 𝐴 ∧ 𝑐 ∼ 𝐴)) β†’ 𝑑 = 𝑐)
7069ex 413 . . 3 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (𝑑 ∈ 𝐷 ∧ 𝑐 ∈ 𝐷)) β†’ ((𝑑 ∼ 𝐴 ∧ 𝑐 ∼ 𝐴) β†’ 𝑑 = 𝑐))
7170ralrimivva 3200 . 2 (𝐴 ∈ π‘Š β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐷 βˆ€π‘ ∈ 𝐷 ((𝑑 ∼ 𝐴 ∧ 𝑐 ∼ 𝐴) β†’ 𝑑 = 𝑐))
72 breq1 5151 . . 3 (𝑑 = 𝑐 β†’ (𝑑 ∼ 𝐴 ↔ 𝑐 ∼ 𝐴))
7372reu4 3727 . 2 (βˆƒ!𝑑 ∈ 𝐷 𝑑 ∼ 𝐴 ↔ (βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∼ 𝐴 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐷 βˆ€π‘ ∈ 𝐷 ((𝑑 ∼ 𝐴 ∧ 𝑐 ∼ 𝐴) β†’ 𝑑 = 𝑐)))
7421, 71, 73sylanbrc 583 1 (𝐴 ∈ π‘Š β†’ βˆƒ!𝑑 ∈ 𝐷 𝑑 ∼ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  βˆƒ!wreu 3374  {crab 3432   βˆ– cdif 3945  βˆ…c0 4322  {csn 4628  βŸ¨cop 4634  βŸ¨cotp 4636  βˆͺ ciun 4997   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   I cid 5573   Γ— cxp 5674  β—‘ccnv 5675  dom cdm 5676  ran crn 5677   β€œ cima 5679   Fn wfn 6538  β€“ontoβ†’wfo 6541  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413  1oc1o 8461  2oc2o 8462   Er wer 8702  0cc0 11112  1c1 11113   βˆ’ cmin 11446  ...cfz 13486  ..^cfzo 13629  β™―chash 14292  Word cword 14466   splice csplice 14701  βŸ¨β€œcs2 14794   ~FG cefg 19576
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-ot 4637  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-ec 8707  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-2 12277  df-n0 12475  df-xnn0 12547  df-z 12561  df-uz 12825  df-rp 12977  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-hash 14293  df-word 14467  df-concat 14523  df-s1 14548  df-substr 14593  df-pfx 14623  df-splice 14702  df-s2 14801  df-efg 19579
This theorem is referenced by:  efgred2  19623  frgpnabllem2  19744
  Copyright terms: Public domain W3C validator