MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pi1xfrcnvlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pi1xfrcnvlem 24442
Description: Given a path 𝐹 between two basepoints, there is an induced group homomorphism on the fundamental groups. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 23-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pi1xfr.p 𝑃 = (𝐽 Ο€1 (πΉβ€˜0))
pi1xfr.q 𝑄 = (𝐽 Ο€1 (πΉβ€˜1))
pi1xfr.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
pi1xfr.g 𝐺 = ran (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ↦ ⟨[𝑔]( ≃phβ€˜π½), [(𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))]( ≃phβ€˜π½)⟩)
pi1xfr.j (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
pi1xfr.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
pi1xfr.i 𝐼 = (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ (πΉβ€˜(1 βˆ’ π‘₯)))
pi1xfrcnv.h 𝐻 = ran (β„Ž ∈ βˆͺ (Baseβ€˜π‘„) ↦ ⟨[β„Ž]( ≃phβ€˜π½), [(𝐹(*π‘β€˜π½)(β„Ž(*π‘β€˜π½)𝐼))]( ≃phβ€˜π½)⟩)
Assertion
Ref Expression
pi1xfrcnvlem (πœ‘ β†’ ◑𝐺 βŠ† 𝐻)
Distinct variable groups:   𝑔,β„Ž,π‘₯,𝐡   𝑔,𝐹,β„Ž,π‘₯   𝑔,𝐼,β„Ž,π‘₯   β„Ž,𝐺   πœ‘,𝑔,β„Ž,π‘₯   𝑔,𝐽,β„Ž,π‘₯   𝑃,𝑔,β„Ž,π‘₯   𝑄,𝑔,β„Ž,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐺(π‘₯,𝑔)   𝐻(π‘₯,𝑔,β„Ž)   𝑋(π‘₯,𝑔,β„Ž)

Proof of Theorem pi1xfrcnvlem
StepHypRef Expression
1 pi1xfr.g . . . 4 𝐺 = ran (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ↦ ⟨[𝑔]( ≃phβ€˜π½), [(𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))]( ≃phβ€˜π½)⟩)
2 fvex 6859 . . . . 5 ( ≃phβ€˜π½) ∈ V
3 ecexg 8658 . . . . 5 (( ≃phβ€˜π½) ∈ V β†’ [𝑔]( ≃phβ€˜π½) ∈ V)
42, 3mp1i 13 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ [𝑔]( ≃phβ€˜π½) ∈ V)
5 ecexg 8658 . . . . 5 (( ≃phβ€˜π½) ∈ V β†’ [(𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))]( ≃phβ€˜π½) ∈ V)
62, 5mp1i 13 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ [(𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))]( ≃phβ€˜π½) ∈ V)
71, 4, 6fliftcnv 7260 . . 3 (πœ‘ β†’ ◑𝐺 = ran (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ↦ ⟨[(𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))]( ≃phβ€˜π½), [𝑔]( ≃phβ€˜π½)⟩))
8 pi1xfr.f . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
9 pi1xfr.i . . . . . . . . . . . 12 𝐼 = (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ (πΉβ€˜(1 βˆ’ π‘₯)))
109pcorevcl 24411 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) β†’ (𝐼 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΌβ€˜0) = (πΉβ€˜1) ∧ (πΌβ€˜1) = (πΉβ€˜0)))
118, 10syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐼 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΌβ€˜0) = (πΉβ€˜1) ∧ (πΌβ€˜1) = (πΉβ€˜0)))
1211simp1d 1143 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (II Cn 𝐽))
1312adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ 𝐼 ∈ (II Cn 𝐽))
14 pi1xfr.p . . . . . . . . . . . 12 𝑃 = (𝐽 Ο€1 (πΉβ€˜0))
15 pi1xfr.j . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
16 iitopon 24265 . . . . . . . . . . . . . 14 II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1))
17 cnf2 22623 . . . . . . . . . . . . . 14 ((II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽)) β†’ 𝐹:(0[,]1)βŸΆπ‘‹)
1816, 15, 8, 17mp3an2i 1467 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐹:(0[,]1)βŸΆπ‘‹)
19 0elunit 13395 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ (0[,]1)
20 ffvelcdm 7036 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:(0[,]1)βŸΆπ‘‹ ∧ 0 ∈ (0[,]1)) β†’ (πΉβ€˜0) ∈ 𝑋)
2118, 19, 20sylancl 587 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜0) ∈ 𝑋)
22 pi1xfr.b . . . . . . . . . . . . 13 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
2322a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ))
2414, 15, 21, 23pi1eluni 24428 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ↔ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘”β€˜0) = (πΉβ€˜0) ∧ (π‘”β€˜1) = (πΉβ€˜0))))
2524biimpa 478 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘”β€˜0) = (πΉβ€˜0) ∧ (π‘”β€˜1) = (πΉβ€˜0)))
2625simp1d 1143 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ 𝑔 ∈ (II Cn 𝐽))
278adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
2825simp3d 1145 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ (π‘”β€˜1) = (πΉβ€˜0))
2926, 27, 28pcocn 24403 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ (𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹) ∈ (II Cn 𝐽))
3011simp3d 1145 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜1) = (πΉβ€˜0))
3130adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ (πΌβ€˜1) = (πΉβ€˜0))
3225simp2d 1144 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ (π‘”β€˜0) = (πΉβ€˜0))
3331, 32eqtr4d 2776 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ (πΌβ€˜1) = (π‘”β€˜0))
3426, 27pco0 24400 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ ((𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹)β€˜0) = (π‘”β€˜0))
3533, 34eqtr4d 2776 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ (πΌβ€˜1) = ((𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹)β€˜0))
3613, 29, 35pcocn 24403 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ (𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹)) ∈ (II Cn 𝐽))
3713, 29pco0 24400 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ ((𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))β€˜0) = (πΌβ€˜0))
3811simp2d 1144 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜0) = (πΉβ€˜1))
3938adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ (πΌβ€˜0) = (πΉβ€˜1))
4037, 39eqtrd 2773 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ ((𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))β€˜0) = (πΉβ€˜1))
4113, 29pco1 24401 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ ((𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))β€˜1) = ((𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹)β€˜1))
4226, 27pco1 24401 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ ((𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹)β€˜1) = (πΉβ€˜1))
4341, 42eqtrd 2773 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ ((𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))β€˜1) = (πΉβ€˜1))
44 pi1xfr.q . . . . . . . . 9 𝑄 = (𝐽 Ο€1 (πΉβ€˜1))
45 1elunit 13396 . . . . . . . . . 10 1 ∈ (0[,]1)
46 ffvelcdm 7036 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:(0[,]1)βŸΆπ‘‹ ∧ 1 ∈ (0[,]1)) β†’ (πΉβ€˜1) ∈ 𝑋)
4718, 45, 46sylancl 587 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜1) ∈ 𝑋)
48 eqidd 2734 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘„) = (Baseβ€˜π‘„))
4944, 15, 47, 48pi1eluni 24428 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹)) ∈ βˆͺ (Baseβ€˜π‘„) ↔ ((𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹)) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))β€˜0) = (πΉβ€˜1) ∧ ((𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))β€˜1) = (πΉβ€˜1))))
5049adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ ((𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹)) ∈ βˆͺ (Baseβ€˜π‘„) ↔ ((𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹)) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))β€˜0) = (πΉβ€˜1) ∧ ((𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))β€˜1) = (πΉβ€˜1))))
5136, 40, 43, 50mpbir3and 1343 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ (𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹)) ∈ βˆͺ (Baseβ€˜π‘„))
52 eqidd 2734 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ↦ (𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))) = (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ↦ (𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))))
53 eqidd 2734 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (β„Ž ∈ βˆͺ (Baseβ€˜π‘„) ↦ ⟨[β„Ž]( ≃phβ€˜π½), [(𝐹(*π‘β€˜π½)(β„Ž(*π‘β€˜π½)𝐼))]( ≃phβ€˜π½)⟩) = (β„Ž ∈ βˆͺ (Baseβ€˜π‘„) ↦ ⟨[β„Ž]( ≃phβ€˜π½), [(𝐹(*π‘β€˜π½)(β„Ž(*π‘β€˜π½)𝐼))]( ≃phβ€˜π½)⟩))
54 eceq1 8692 . . . . . . 7 (β„Ž = (𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹)) β†’ [β„Ž]( ≃phβ€˜π½) = [(𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))]( ≃phβ€˜π½))
55 oveq1 7368 . . . . . . . . 9 (β„Ž = (𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹)) β†’ (β„Ž(*π‘β€˜π½)𝐼) = ((𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))(*π‘β€˜π½)𝐼))
5655oveq2d 7377 . . . . . . . 8 (β„Ž = (𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹)) β†’ (𝐹(*π‘β€˜π½)(β„Ž(*π‘β€˜π½)𝐼)) = (𝐹(*π‘β€˜π½)((𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))(*π‘β€˜π½)𝐼)))
5756eceq1d 8693 . . . . . . 7 (β„Ž = (𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹)) β†’ [(𝐹(*π‘β€˜π½)(β„Ž(*π‘β€˜π½)𝐼))]( ≃phβ€˜π½) = [(𝐹(*π‘β€˜π½)((𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))(*π‘β€˜π½)𝐼))]( ≃phβ€˜π½))
5854, 57opeq12d 4842 . . . . . 6 (β„Ž = (𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹)) β†’ ⟨[β„Ž]( ≃phβ€˜π½), [(𝐹(*π‘β€˜π½)(β„Ž(*π‘β€˜π½)𝐼))]( ≃phβ€˜π½)⟩ = ⟨[(𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))]( ≃phβ€˜π½), [(𝐹(*π‘β€˜π½)((𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))(*π‘β€˜π½)𝐼))]( ≃phβ€˜π½)⟩)
5951, 52, 53, 58fmptco 7079 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((β„Ž ∈ βˆͺ (Baseβ€˜π‘„) ↦ ⟨[β„Ž]( ≃phβ€˜π½), [(𝐹(*π‘β€˜π½)(β„Ž(*π‘β€˜π½)𝐼))]( ≃phβ€˜π½)⟩) ∘ (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ↦ (𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹)))) = (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ↦ ⟨[(𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))]( ≃phβ€˜π½), [(𝐹(*π‘β€˜π½)((𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))(*π‘β€˜π½)𝐼))]( ≃phβ€˜π½)⟩))
60 phtpcer 24381 . . . . . . . . 9 ( ≃phβ€˜π½) Er (II Cn 𝐽)
6160a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ ( ≃phβ€˜π½) Er (II Cn 𝐽))
6213, 26pco0 24400 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ ((𝐼(*π‘β€˜π½)𝑔)β€˜0) = (πΌβ€˜0))
6362, 39eqtr2d 2774 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜1) = ((𝐼(*π‘β€˜π½)𝑔)β€˜0))
6461, 27erref 8674 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ 𝐹( ≃phβ€˜π½)𝐹)
6561, 13erref 8674 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ 𝐼( ≃phβ€˜π½)𝐼)
66 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0[,]1) Γ— {(πΉβ€˜0)}) = ((0[,]1) Γ— {(πΉβ€˜0)})
6766pcopt2 24409 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘”β€˜1) = (πΉβ€˜0)) β†’ (𝑔(*π‘β€˜π½)((0[,]1) Γ— {(πΉβ€˜0)}))( ≃phβ€˜π½)𝑔)
6826, 28, 67syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ (𝑔(*π‘β€˜π½)((0[,]1) Γ— {(πΉβ€˜0)}))( ≃phβ€˜π½)𝑔)
6939eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜1) = (πΌβ€˜0))
70 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), if(π‘₯ ≀ (1 / 4), (2 Β· π‘₯), (π‘₯ + (1 / 4))), ((π‘₯ / 2) + (1 / 2)))) = (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), if(π‘₯ ≀ (1 / 4), (2 Β· π‘₯), (π‘₯ + (1 / 4))), ((π‘₯ / 2) + (1 / 2))))
7126, 27, 13, 28, 69, 70pcoass 24410 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ ((𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹)(*π‘β€˜π½)𝐼)( ≃phβ€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)(𝐹(*π‘β€˜π½)𝐼)))
7227, 13pco0 24400 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ ((𝐹(*π‘β€˜π½)𝐼)β€˜0) = (πΉβ€˜0))
7328, 72eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ (π‘”β€˜1) = ((𝐹(*π‘β€˜π½)𝐼)β€˜0))
7461, 26erref 8674 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ 𝑔( ≃phβ€˜π½)𝑔)
759, 66pcorev2 24414 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) β†’ (𝐹(*π‘β€˜π½)𝐼)( ≃phβ€˜π½)((0[,]1) Γ— {(πΉβ€˜0)}))
7627, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ (𝐹(*π‘β€˜π½)𝐼)( ≃phβ€˜π½)((0[,]1) Γ— {(πΉβ€˜0)}))
7773, 74, 76pcohtpy 24406 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ (𝑔(*π‘β€˜π½)(𝐹(*π‘β€˜π½)𝐼))( ≃phβ€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)((0[,]1) Γ— {(πΉβ€˜0)})))
7861, 71, 77ertr2d 8671 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ (𝑔(*π‘β€˜π½)((0[,]1) Γ— {(πΉβ€˜0)}))( ≃phβ€˜π½)((𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹)(*π‘β€˜π½)𝐼))
7961, 68, 78ertr3d 8672 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ 𝑔( ≃phβ€˜π½)((𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹)(*π‘β€˜π½)𝐼))
8033, 65, 79pcohtpy 24406 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ (𝐼(*π‘β€˜π½)𝑔)( ≃phβ€˜π½)(𝐼(*π‘β€˜π½)((𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹)(*π‘β€˜π½)𝐼)))
8142, 39eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ ((𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹)β€˜1) = (πΌβ€˜0))
8213, 29, 13, 35, 81, 70pcoass 24410 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ ((𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))(*π‘β€˜π½)𝐼)( ≃phβ€˜π½)(𝐼(*π‘β€˜π½)((𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹)(*π‘β€˜π½)𝐼)))
8361, 80, 82ertr4d 8673 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ (𝐼(*π‘β€˜π½)𝑔)( ≃phβ€˜π½)((𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))(*π‘β€˜π½)𝐼))
8463, 64, 83pcohtpy 24406 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ (𝐹(*π‘β€˜π½)(𝐼(*π‘β€˜π½)𝑔))( ≃phβ€˜π½)(𝐹(*π‘β€˜π½)((𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))(*π‘β€˜π½)𝐼)))
8527, 13, 26, 69, 33, 70pcoass 24410 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ ((𝐹(*π‘β€˜π½)𝐼)(*π‘β€˜π½)𝑔)( ≃phβ€˜π½)(𝐹(*π‘β€˜π½)(𝐼(*π‘β€˜π½)𝑔)))
8627, 13pco1 24401 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ ((𝐹(*π‘β€˜π½)𝐼)β€˜1) = (πΌβ€˜1))
8786, 33eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ ((𝐹(*π‘β€˜π½)𝐼)β€˜1) = (π‘”β€˜0))
8887, 76, 74pcohtpy 24406 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ ((𝐹(*π‘β€˜π½)𝐼)(*π‘β€˜π½)𝑔)( ≃phβ€˜π½)(((0[,]1) Γ— {(πΉβ€˜0)})(*π‘β€˜π½)𝑔))
8966pcopt 24408 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘”β€˜0) = (πΉβ€˜0)) β†’ (((0[,]1) Γ— {(πΉβ€˜0)})(*π‘β€˜π½)𝑔)( ≃phβ€˜π½)𝑔)
9026, 32, 89syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ (((0[,]1) Γ— {(πΉβ€˜0)})(*π‘β€˜π½)𝑔)( ≃phβ€˜π½)𝑔)
9161, 88, 90ertrd 8670 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ ((𝐹(*π‘β€˜π½)𝐼)(*π‘β€˜π½)𝑔)( ≃phβ€˜π½)𝑔)
9261, 85, 91ertr3d 8672 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ (𝐹(*π‘β€˜π½)(𝐼(*π‘β€˜π½)𝑔))( ≃phβ€˜π½)𝑔)
9361, 84, 92ertr3d 8672 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ (𝐹(*π‘β€˜π½)((𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))(*π‘β€˜π½)𝐼))( ≃phβ€˜π½)𝑔)
9461, 93erthi 8705 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ [(𝐹(*π‘β€˜π½)((𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))(*π‘β€˜π½)𝐼))]( ≃phβ€˜π½) = [𝑔]( ≃phβ€˜π½))
9594opeq2d 4841 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ ⟨[(𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))]( ≃phβ€˜π½), [(𝐹(*π‘β€˜π½)((𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))(*π‘β€˜π½)𝐼))]( ≃phβ€˜π½)⟩ = ⟨[(𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))]( ≃phβ€˜π½), [𝑔]( ≃phβ€˜π½)⟩)
9695mpteq2dva 5209 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ↦ ⟨[(𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))]( ≃phβ€˜π½), [(𝐹(*π‘β€˜π½)((𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))(*π‘β€˜π½)𝐼))]( ≃phβ€˜π½)⟩) = (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ↦ ⟨[(𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))]( ≃phβ€˜π½), [𝑔]( ≃phβ€˜π½)⟩))
9759, 96eqtrd 2773 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((β„Ž ∈ βˆͺ (Baseβ€˜π‘„) ↦ ⟨[β„Ž]( ≃phβ€˜π½), [(𝐹(*π‘β€˜π½)(β„Ž(*π‘β€˜π½)𝐼))]( ≃phβ€˜π½)⟩) ∘ (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ↦ (𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹)))) = (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ↦ ⟨[(𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))]( ≃phβ€˜π½), [𝑔]( ≃phβ€˜π½)⟩))
9897rneqd 5897 . . 3 (πœ‘ β†’ ran ((β„Ž ∈ βˆͺ (Baseβ€˜π‘„) ↦ ⟨[β„Ž]( ≃phβ€˜π½), [(𝐹(*π‘β€˜π½)(β„Ž(*π‘β€˜π½)𝐼))]( ≃phβ€˜π½)⟩) ∘ (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ↦ (𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹)))) = ran (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ↦ ⟨[(𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))]( ≃phβ€˜π½), [𝑔]( ≃phβ€˜π½)⟩))
997, 98eqtr4d 2776 . 2 (πœ‘ β†’ ◑𝐺 = ran ((β„Ž ∈ βˆͺ (Baseβ€˜π‘„) ↦ ⟨[β„Ž]( ≃phβ€˜π½), [(𝐹(*π‘β€˜π½)(β„Ž(*π‘β€˜π½)𝐼))]( ≃phβ€˜π½)⟩) ∘ (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ↦ (𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹)))))
100 rncoss 5931 . . 3 ran ((β„Ž ∈ βˆͺ (Baseβ€˜π‘„) ↦ ⟨[β„Ž]( ≃phβ€˜π½), [(𝐹(*π‘β€˜π½)(β„Ž(*π‘β€˜π½)𝐼))]( ≃phβ€˜π½)⟩) ∘ (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ↦ (𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹)))) βŠ† ran (β„Ž ∈ βˆͺ (Baseβ€˜π‘„) ↦ ⟨[β„Ž]( ≃phβ€˜π½), [(𝐹(*π‘β€˜π½)(β„Ž(*π‘β€˜π½)𝐼))]( ≃phβ€˜π½)⟩)
101 pi1xfrcnv.h . . 3 𝐻 = ran (β„Ž ∈ βˆͺ (Baseβ€˜π‘„) ↦ ⟨[β„Ž]( ≃phβ€˜π½), [(𝐹(*π‘β€˜π½)(β„Ž(*π‘β€˜π½)𝐼))]( ≃phβ€˜π½)⟩)
102100, 101sseqtrri 3985 . 2 ran ((β„Ž ∈ βˆͺ (Baseβ€˜π‘„) ↦ ⟨[β„Ž]( ≃phβ€˜π½), [(𝐹(*π‘β€˜π½)(β„Ž(*π‘β€˜π½)𝐼))]( ≃phβ€˜π½)⟩) ∘ (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ↦ (𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹)))) βŠ† 𝐻
10399, 102eqsstrdi 4002 1 (πœ‘ β†’ ◑𝐺 βŠ† 𝐻)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3447   βŠ† wss 3914  ifcif 4490  {csn 4590  βŸ¨cop 4596  βˆͺ cuni 4869   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192   Γ— cxp 5635  β—‘ccnv 5636  ran crn 5638   ∘ ccom 5641  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   Er wer 8651  [cec 8652  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062   Β· cmul 11064   ≀ cle 11198   βˆ’ cmin 11393   / cdiv 11820  2c2 12216  4c4 12218  [,]cicc 13276  Basecbs 17091  TopOnctopon 22282   Cn ccn 22598  IIcii 24261   ≃phcphtpc 24355  *𝑝cpco 24386   Ο€1 cpi1 24389
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-addf 11138  ax-mulf 11139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-er 8654  df-ec 8656  df-qs 8660  df-map 8773  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-fi 9355  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9454  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-ioo 13277  df-icc 13280  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-seq 13916  df-exp 13977  df-hash 14240  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-hom 17165  df-cco 17166  df-rest 17312  df-topn 17313  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-topgen 17333  df-pt 17334  df-prds 17337  df-xrs 17392  df-qtop 17397  df-imas 17398  df-qus 17399  df-xps 17400  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-acs 17477  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-submnd 18610  df-mulg 18881  df-cntz 19105  df-cmn 19572  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-met 20813  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-cnfld 20820  df-top 22266  df-topon 22283  df-topsp 22305  df-bases 22319  df-cld 22393  df-cn 22601  df-cnp 22602  df-tx 22936  df-hmeo 23129  df-xms 23696  df-ms 23697  df-tms 23698  df-ii 24263  df-htpy 24356  df-phtpy 24357  df-phtpc 24378  df-pco 24391  df-om1 24392  df-pi1 24394
This theorem is referenced by:  pi1xfrcnv  24443
  Copyright terms: Public domain W3C validator