MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pi1xfrcnvlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pi1xfrcnvlem 23665
Description: Given a path 𝐹 between two basepoints, there is an induced group homomorphism on the fundamental groups. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 23-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pi1xfr.p 𝑃 = (𝐽 π1 (𝐹‘0))
pi1xfr.q 𝑄 = (𝐽 π1 (𝐹‘1))
pi1xfr.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
pi1xfr.g 𝐺 = ran (𝑔 𝐵 ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph𝐽), [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽)⟩)
pi1xfr.j (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
pi1xfr.f (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
pi1xfr.i 𝐼 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(1 − 𝑥)))
pi1xfrcnv.h 𝐻 = ran ( (Base‘𝑄) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [(𝐹(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩)
Assertion
Ref Expression
pi1xfrcnvlem (𝜑𝐺𝐻)
Distinct variable groups:   𝑔,,𝑥,𝐵   𝑔,𝐹,,𝑥   𝑔,𝐼,,𝑥   ,𝐺   𝜑,𝑔,,𝑥   𝑔,𝐽,,𝑥   𝑃,𝑔,,𝑥   𝑄,𝑔,,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑔)   𝐻(𝑥,𝑔,)   𝑋(𝑥,𝑔,)

Proof of Theorem pi1xfrcnvlem
StepHypRef Expression
1 pi1xfr.g . . . 4 𝐺 = ran (𝑔 𝐵 ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph𝐽), [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽)⟩)
2 fvex 6662 . . . . 5 ( ≃ph𝐽) ∈ V
3 ecexg 8280 . . . . 5 (( ≃ph𝐽) ∈ V → [𝑔]( ≃ph𝐽) ∈ V)
42, 3mp1i 13 . . . 4 ((𝜑𝑔 𝐵) → [𝑔]( ≃ph𝐽) ∈ V)
5 ecexg 8280 . . . . 5 (( ≃ph𝐽) ∈ V → [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽) ∈ V)
62, 5mp1i 13 . . . 4 ((𝜑𝑔 𝐵) → [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽) ∈ V)
71, 4, 6fliftcnv 7047 . . 3 (𝜑𝐺 = ran (𝑔 𝐵 ↦ ⟨[(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽), [𝑔]( ≃ph𝐽)⟩))
8 pi1xfr.f . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
9 pi1xfr.i . . . . . . . . . . . 12 𝐼 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(1 − 𝑥)))
109pcorevcl 23634 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐼 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐼‘0) = (𝐹‘1) ∧ (𝐼‘1) = (𝐹‘0)))
118, 10syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐼 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐼‘0) = (𝐹‘1) ∧ (𝐼‘1) = (𝐹‘0)))
1211simp1d 1139 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼 ∈ (II Cn 𝐽))
1312adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔 𝐵) → 𝐼 ∈ (II Cn 𝐽))
14 pi1xfr.p . . . . . . . . . . . 12 𝑃 = (𝐽 π1 (𝐹‘0))
15 pi1xfr.j . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
16 iitopon 23488 . . . . . . . . . . . . . 14 II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
17 cnf2 21858 . . . . . . . . . . . . . 14 ((II ∈ (TopOn‘(0[,]1)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽)) → 𝐹:(0[,]1)⟶𝑋)
1816, 15, 8, 17mp3an2i 1463 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹:(0[,]1)⟶𝑋)
19 0elunit 12851 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ (0[,]1)
20 ffvelrn 6830 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:(0[,]1)⟶𝑋 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘0) ∈ 𝑋)
2118, 19, 20sylancl 589 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹‘0) ∈ 𝑋)
22 pi1xfr.b . . . . . . . . . . . . 13 𝐵 = (Base‘𝑃)
2322a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑃))
2414, 15, 21, 23pi1eluni 23651 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑔 𝐵 ↔ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑔‘0) = (𝐹‘0) ∧ (𝑔‘1) = (𝐹‘0))))
2524biimpa 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑔 𝐵) → (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑔‘0) = (𝐹‘0) ∧ (𝑔‘1) = (𝐹‘0)))
2625simp1d 1139 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑔 𝐵) → 𝑔 ∈ (II Cn 𝐽))
278adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑔 𝐵) → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
2825simp3d 1141 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑔 𝐵) → (𝑔‘1) = (𝐹‘0))
2926, 27, 28pcocn 23626 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔 𝐵) → (𝑔(*𝑝𝐽)𝐹) ∈ (II Cn 𝐽))
3011simp3d 1141 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐼‘1) = (𝐹‘0))
3130adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑔 𝐵) → (𝐼‘1) = (𝐹‘0))
3225simp2d 1140 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑔 𝐵) → (𝑔‘0) = (𝐹‘0))
3331, 32eqtr4d 2839 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑔 𝐵) → (𝐼‘1) = (𝑔‘0))
3426, 27pco0 23623 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑔 𝐵) → ((𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)‘0) = (𝑔‘0))
3533, 34eqtr4d 2839 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔 𝐵) → (𝐼‘1) = ((𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)‘0))
3613, 29, 35pcocn 23626 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔 𝐵) → (𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)) ∈ (II Cn 𝐽))
3713, 29pco0 23623 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔 𝐵) → ((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))‘0) = (𝐼‘0))
3811simp2d 1140 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐼‘0) = (𝐹‘1))
3938adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔 𝐵) → (𝐼‘0) = (𝐹‘1))
4037, 39eqtrd 2836 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔 𝐵) → ((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))‘0) = (𝐹‘1))
4113, 29pco1 23624 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔 𝐵) → ((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))‘1) = ((𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)‘1))
4226, 27pco1 23624 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔 𝐵) → ((𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)‘1) = (𝐹‘1))
4341, 42eqtrd 2836 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔 𝐵) → ((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))‘1) = (𝐹‘1))
44 pi1xfr.q . . . . . . . . 9 𝑄 = (𝐽 π1 (𝐹‘1))
45 1elunit 12852 . . . . . . . . . 10 1 ∈ (0[,]1)
46 ffvelrn 6830 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:(0[,]1)⟶𝑋 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘1) ∈ 𝑋)
4718, 45, 46sylancl 589 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹‘1) ∈ 𝑋)
48 eqidd 2802 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄))
4944, 15, 47, 48pi1eluni 23651 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)) ∈ (Base‘𝑄) ↔ ((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))‘0) = (𝐹‘1) ∧ ((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))‘1) = (𝐹‘1))))
5049adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔 𝐵) → ((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)) ∈ (Base‘𝑄) ↔ ((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))‘0) = (𝐹‘1) ∧ ((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))‘1) = (𝐹‘1))))
5136, 40, 43, 50mpbir3and 1339 . . . . . 6 ((𝜑𝑔 𝐵) → (𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)) ∈ (Base‘𝑄))
52 eqidd 2802 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑔 𝐵 ↦ (𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))) = (𝑔 𝐵 ↦ (𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))))
53 eqidd 2802 . . . . . 6 (𝜑 → ( (Base‘𝑄) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [(𝐹(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩) = ( (Base‘𝑄) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [(𝐹(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩))
54 eceq1 8314 . . . . . . 7 ( = (𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)) → []( ≃ph𝐽) = [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽))
55 oveq1 7146 . . . . . . . . 9 ( = (𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)) → ((*𝑝𝐽)𝐼) = ((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))(*𝑝𝐽)𝐼))
5655oveq2d 7155 . . . . . . . 8 ( = (𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)) → (𝐹(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼)) = (𝐹(*𝑝𝐽)((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))(*𝑝𝐽)𝐼)))
5756eceq1d 8315 . . . . . . 7 ( = (𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)) → [(𝐹(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽) = [(𝐹(*𝑝𝐽)((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))(*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽))
5854, 57opeq12d 4776 . . . . . 6 ( = (𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)) → ⟨[]( ≃ph𝐽), [(𝐹(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩ = ⟨[(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽), [(𝐹(*𝑝𝐽)((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))(*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩)
5951, 52, 53, 58fmptco 6872 . . . . 5 (𝜑 → (( (Base‘𝑄) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [(𝐹(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩) ∘ (𝑔 𝐵 ↦ (𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)))) = (𝑔 𝐵 ↦ ⟨[(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽), [(𝐹(*𝑝𝐽)((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))(*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩))
60 phtpcer 23604 . . . . . . . . 9 ( ≃ph𝐽) Er (II Cn 𝐽)
6160a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔 𝐵) → ( ≃ph𝐽) Er (II Cn 𝐽))
6213, 26pco0 23623 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑔 𝐵) → ((𝐼(*𝑝𝐽)𝑔)‘0) = (𝐼‘0))
6362, 39eqtr2d 2837 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑔 𝐵) → (𝐹‘1) = ((𝐼(*𝑝𝐽)𝑔)‘0))
6461, 27erref 8296 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑔 𝐵) → 𝐹( ≃ph𝐽)𝐹)
6561, 13erref 8296 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑔 𝐵) → 𝐼( ≃ph𝐽)𝐼)
66 eqid 2801 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0[,]1) × {(𝐹‘0)}) = ((0[,]1) × {(𝐹‘0)})
6766pcopt2 23632 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑔‘1) = (𝐹‘0)) → (𝑔(*𝑝𝐽)((0[,]1) × {(𝐹‘0)}))( ≃ph𝐽)𝑔)
6826, 28, 67syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑔 𝐵) → (𝑔(*𝑝𝐽)((0[,]1) × {(𝐹‘0)}))( ≃ph𝐽)𝑔)
6939eqcomd 2807 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑔 𝐵) → (𝐹‘1) = (𝐼‘0))
70 eqid 2801 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4))), ((𝑥 / 2) + (1 / 2)))) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4))), ((𝑥 / 2) + (1 / 2))))
7126, 27, 13, 28, 69, 70pcoass 23633 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑔 𝐵) → ((𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)(*𝑝𝐽)𝐼)( ≃ph𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)(𝐹(*𝑝𝐽)𝐼)))
7227, 13pco0 23623 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑔 𝐵) → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐼)‘0) = (𝐹‘0))
7328, 72eqtr4d 2839 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑔 𝐵) → (𝑔‘1) = ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐼)‘0))
7461, 26erref 8296 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑔 𝐵) → 𝑔( ≃ph𝐽)𝑔)
759, 66pcorev2 23637 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐹(*𝑝𝐽)𝐼)( ≃ph𝐽)((0[,]1) × {(𝐹‘0)}))
7627, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑔 𝐵) → (𝐹(*𝑝𝐽)𝐼)( ≃ph𝐽)((0[,]1) × {(𝐹‘0)}))
7773, 74, 76pcohtpy 23629 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑔 𝐵) → (𝑔(*𝑝𝐽)(𝐹(*𝑝𝐽)𝐼))( ≃ph𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)((0[,]1) × {(𝐹‘0)})))
7861, 71, 77ertr2d 8293 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑔 𝐵) → (𝑔(*𝑝𝐽)((0[,]1) × {(𝐹‘0)}))( ≃ph𝐽)((𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)(*𝑝𝐽)𝐼))
7961, 68, 78ertr3d 8294 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑔 𝐵) → 𝑔( ≃ph𝐽)((𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)(*𝑝𝐽)𝐼))
8033, 65, 79pcohtpy 23629 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑔 𝐵) → (𝐼(*𝑝𝐽)𝑔)( ≃ph𝐽)(𝐼(*𝑝𝐽)((𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)(*𝑝𝐽)𝐼)))
8142, 39eqtr4d 2839 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑔 𝐵) → ((𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)‘1) = (𝐼‘0))
8213, 29, 13, 35, 81, 70pcoass 23633 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑔 𝐵) → ((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))(*𝑝𝐽)𝐼)( ≃ph𝐽)(𝐼(*𝑝𝐽)((𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)(*𝑝𝐽)𝐼)))
8361, 80, 82ertr4d 8295 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑔 𝐵) → (𝐼(*𝑝𝐽)𝑔)( ≃ph𝐽)((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))(*𝑝𝐽)𝐼))
8463, 64, 83pcohtpy 23629 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑔 𝐵) → (𝐹(*𝑝𝐽)(𝐼(*𝑝𝐽)𝑔))( ≃ph𝐽)(𝐹(*𝑝𝐽)((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))(*𝑝𝐽)𝐼)))
8527, 13, 26, 69, 33, 70pcoass 23633 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑔 𝐵) → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐼)(*𝑝𝐽)𝑔)( ≃ph𝐽)(𝐹(*𝑝𝐽)(𝐼(*𝑝𝐽)𝑔)))
8627, 13pco1 23624 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑔 𝐵) → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐼)‘1) = (𝐼‘1))
8786, 33eqtrd 2836 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑔 𝐵) → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐼)‘1) = (𝑔‘0))
8887, 76, 74pcohtpy 23629 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑔 𝐵) → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐼)(*𝑝𝐽)𝑔)( ≃ph𝐽)(((0[,]1) × {(𝐹‘0)})(*𝑝𝐽)𝑔))
8966pcopt 23631 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑔‘0) = (𝐹‘0)) → (((0[,]1) × {(𝐹‘0)})(*𝑝𝐽)𝑔)( ≃ph𝐽)𝑔)
9026, 32, 89syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑔 𝐵) → (((0[,]1) × {(𝐹‘0)})(*𝑝𝐽)𝑔)( ≃ph𝐽)𝑔)
9161, 88, 90ertrd 8292 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑔 𝐵) → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐼)(*𝑝𝐽)𝑔)( ≃ph𝐽)𝑔)
9261, 85, 91ertr3d 8294 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑔 𝐵) → (𝐹(*𝑝𝐽)(𝐼(*𝑝𝐽)𝑔))( ≃ph𝐽)𝑔)
9361, 84, 92ertr3d 8294 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔 𝐵) → (𝐹(*𝑝𝐽)((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))(*𝑝𝐽)𝐼))( ≃ph𝐽)𝑔)
9461, 93erthi 8327 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔 𝐵) → [(𝐹(*𝑝𝐽)((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))(*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽) = [𝑔]( ≃ph𝐽))
9594opeq2d 4775 . . . . . 6 ((𝜑𝑔 𝐵) → ⟨[(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽), [(𝐹(*𝑝𝐽)((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))(*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩ = ⟨[(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽), [𝑔]( ≃ph𝐽)⟩)
9695mpteq2dva 5128 . . . . 5 (𝜑 → (𝑔 𝐵 ↦ ⟨[(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽), [(𝐹(*𝑝𝐽)((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))(*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩) = (𝑔 𝐵 ↦ ⟨[(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽), [𝑔]( ≃ph𝐽)⟩))
9759, 96eqtrd 2836 . . . 4 (𝜑 → (( (Base‘𝑄) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [(𝐹(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩) ∘ (𝑔 𝐵 ↦ (𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)))) = (𝑔 𝐵 ↦ ⟨[(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽), [𝑔]( ≃ph𝐽)⟩))
9897rneqd 5776 . . 3 (𝜑 → ran (( (Base‘𝑄) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [(𝐹(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩) ∘ (𝑔 𝐵 ↦ (𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)))) = ran (𝑔 𝐵 ↦ ⟨[(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽), [𝑔]( ≃ph𝐽)⟩))
997, 98eqtr4d 2839 . 2 (𝜑𝐺 = ran (( (Base‘𝑄) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [(𝐹(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩) ∘ (𝑔 𝐵 ↦ (𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)))))
100 rncoss 5812 . . 3 ran (( (Base‘𝑄) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [(𝐹(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩) ∘ (𝑔 𝐵 ↦ (𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)))) ⊆ ran ( (Base‘𝑄) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [(𝐹(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩)
101 pi1xfrcnv.h . . 3 𝐻 = ran ( (Base‘𝑄) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [(𝐹(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩)
102100, 101sseqtrri 3955 . 2 ran (( (Base‘𝑄) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [(𝐹(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩) ∘ (𝑔 𝐵 ↦ (𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)))) ⊆ 𝐻
10399, 102eqsstrdi 3972 1 (𝜑𝐺𝐻)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2112  Vcvv 3444  wss 3884  ifcif 4428  {csn 4528  cop 4534   cuni 4803   class class class wbr 5033  cmpt 5113   × cxp 5521  ccnv 5522  ran crn 5524  ccom 5527  wf 6324  cfv 6328  (class class class)co 7139   Er wer 8273  [cec 8274  0cc0 10530  1c1 10531   + caddc 10533   · cmul 10535  cle 10669  cmin 10863   / cdiv 11290  2c2 11684  4c4 11686  [,]cicc 12733  Basecbs 16479  TopOnctopon 21519   Cn ccn 21833  IIcii 23484  phcphtpc 23578  *𝑝cpco 23609   π1 cpi1 23612
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608  ax-addf 10609  ax-mulf 10610
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-ec 8278  df-qs 8282  df-map 8395  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ioo 12734  df-icc 12737  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-exp 13430  df-hash 13691  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591  df-struct 16481  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-ress 16487  df-plusg 16574  df-mulr 16575  df-starv 16576  df-sca 16577  df-vsca 16578  df-ip 16579  df-tset 16580  df-ple 16581  df-ds 16583  df-unif 16584  df-hom 16585  df-cco 16586  df-rest 16692  df-topn 16693  df-0g 16711  df-gsum 16712  df-topgen 16713  df-pt 16714  df-prds 16717  df-xrs 16771  df-qtop 16776  df-imas 16777  df-qus 16778  df-xps 16779  df-mre 16853  df-mrc 16854  df-acs 16856  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-submnd 17953  df-mulg 18221  df-cntz 18443  df-cmn 18904  df-psmet 20087  df-xmet 20088  df-met 20089  df-bl 20090  df-mopn 20091  df-cnfld 20096  df-top 21503  df-topon 21520  df-topsp 21542  df-bases 21555  df-cld 21628  df-cn 21836  df-cnp 21837  df-tx 22171  df-hmeo 22364  df-xms 22931  df-ms 22932  df-tms 22933  df-ii 23486  df-htpy 23579  df-phtpy 23580  df-phtpc 23601  df-pco 23614  df-om1 23615  df-pi1 23617
This theorem is referenced by:  pi1xfrcnv  23666
  Copyright terms: Public domain W3C validator