MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pi1xfrcnvlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pi1xfrcnvlem 24804
Description: Given a path 𝐹 between two basepoints, there is an induced group homomorphism on the fundamental groups. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 23-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pi1xfr.p 𝑃 = (𝐽 Ο€1 (πΉβ€˜0))
pi1xfr.q 𝑄 = (𝐽 Ο€1 (πΉβ€˜1))
pi1xfr.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
pi1xfr.g 𝐺 = ran (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ↦ ⟨[𝑔]( ≃phβ€˜π½), [(𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))]( ≃phβ€˜π½)⟩)
pi1xfr.j (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
pi1xfr.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
pi1xfr.i 𝐼 = (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ (πΉβ€˜(1 βˆ’ π‘₯)))
pi1xfrcnv.h 𝐻 = ran (β„Ž ∈ βˆͺ (Baseβ€˜π‘„) ↦ ⟨[β„Ž]( ≃phβ€˜π½), [(𝐹(*π‘β€˜π½)(β„Ž(*π‘β€˜π½)𝐼))]( ≃phβ€˜π½)⟩)
Assertion
Ref Expression
pi1xfrcnvlem (πœ‘ β†’ ◑𝐺 βŠ† 𝐻)
Distinct variable groups:   𝑔,β„Ž,π‘₯,𝐡   𝑔,𝐹,β„Ž,π‘₯   𝑔,𝐼,β„Ž,π‘₯   β„Ž,𝐺   πœ‘,𝑔,β„Ž,π‘₯   𝑔,𝐽,β„Ž,π‘₯   𝑃,𝑔,β„Ž,π‘₯   𝑄,𝑔,β„Ž,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐺(π‘₯,𝑔)   𝐻(π‘₯,𝑔,β„Ž)   𝑋(π‘₯,𝑔,β„Ž)

Proof of Theorem pi1xfrcnvlem
StepHypRef Expression
1 pi1xfr.g . . . 4 𝐺 = ran (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ↦ ⟨[𝑔]( ≃phβ€˜π½), [(𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))]( ≃phβ€˜π½)⟩)
2 fvex 6905 . . . . 5 ( ≃phβ€˜π½) ∈ V
3 ecexg 8710 . . . . 5 (( ≃phβ€˜π½) ∈ V β†’ [𝑔]( ≃phβ€˜π½) ∈ V)
42, 3mp1i 13 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ [𝑔]( ≃phβ€˜π½) ∈ V)
5 ecexg 8710 . . . . 5 (( ≃phβ€˜π½) ∈ V β†’ [(𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))]( ≃phβ€˜π½) ∈ V)
62, 5mp1i 13 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ [(𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))]( ≃phβ€˜π½) ∈ V)
71, 4, 6fliftcnv 7311 . . 3 (πœ‘ β†’ ◑𝐺 = ran (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ↦ ⟨[(𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))]( ≃phβ€˜π½), [𝑔]( ≃phβ€˜π½)⟩))
8 pi1xfr.f . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
9 pi1xfr.i . . . . . . . . . . . 12 𝐼 = (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ (πΉβ€˜(1 βˆ’ π‘₯)))
109pcorevcl 24773 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) β†’ (𝐼 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΌβ€˜0) = (πΉβ€˜1) ∧ (πΌβ€˜1) = (πΉβ€˜0)))
118, 10syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐼 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΌβ€˜0) = (πΉβ€˜1) ∧ (πΌβ€˜1) = (πΉβ€˜0)))
1211simp1d 1141 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (II Cn 𝐽))
1312adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ 𝐼 ∈ (II Cn 𝐽))
14 pi1xfr.p . . . . . . . . . . . 12 𝑃 = (𝐽 Ο€1 (πΉβ€˜0))
15 pi1xfr.j . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
16 iitopon 24620 . . . . . . . . . . . . . 14 II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1))
17 cnf2 22974 . . . . . . . . . . . . . 14 ((II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽)) β†’ 𝐹:(0[,]1)βŸΆπ‘‹)
1816, 15, 8, 17mp3an2i 1465 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐹:(0[,]1)βŸΆπ‘‹)
19 0elunit 13451 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ (0[,]1)
20 ffvelcdm 7084 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:(0[,]1)βŸΆπ‘‹ ∧ 0 ∈ (0[,]1)) β†’ (πΉβ€˜0) ∈ 𝑋)
2118, 19, 20sylancl 585 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜0) ∈ 𝑋)
22 pi1xfr.b . . . . . . . . . . . . 13 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
2322a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ))
2414, 15, 21, 23pi1eluni 24790 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ↔ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘”β€˜0) = (πΉβ€˜0) ∧ (π‘”β€˜1) = (πΉβ€˜0))))
2524biimpa 476 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘”β€˜0) = (πΉβ€˜0) ∧ (π‘”β€˜1) = (πΉβ€˜0)))
2625simp1d 1141 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ 𝑔 ∈ (II Cn 𝐽))
278adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
2825simp3d 1143 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ (π‘”β€˜1) = (πΉβ€˜0))
2926, 27, 28pcocn 24765 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ (𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹) ∈ (II Cn 𝐽))
3011simp3d 1143 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜1) = (πΉβ€˜0))
3130adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ (πΌβ€˜1) = (πΉβ€˜0))
3225simp2d 1142 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ (π‘”β€˜0) = (πΉβ€˜0))
3331, 32eqtr4d 2774 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ (πΌβ€˜1) = (π‘”β€˜0))
3426, 27pco0 24762 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ ((𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹)β€˜0) = (π‘”β€˜0))
3533, 34eqtr4d 2774 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ (πΌβ€˜1) = ((𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹)β€˜0))
3613, 29, 35pcocn 24765 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ (𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹)) ∈ (II Cn 𝐽))
3713, 29pco0 24762 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ ((𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))β€˜0) = (πΌβ€˜0))
3811simp2d 1142 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜0) = (πΉβ€˜1))
3938adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ (πΌβ€˜0) = (πΉβ€˜1))
4037, 39eqtrd 2771 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ ((𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))β€˜0) = (πΉβ€˜1))
4113, 29pco1 24763 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ ((𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))β€˜1) = ((𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹)β€˜1))
4226, 27pco1 24763 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ ((𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹)β€˜1) = (πΉβ€˜1))
4341, 42eqtrd 2771 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ ((𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))β€˜1) = (πΉβ€˜1))
44 pi1xfr.q . . . . . . . . 9 𝑄 = (𝐽 Ο€1 (πΉβ€˜1))
45 1elunit 13452 . . . . . . . . . 10 1 ∈ (0[,]1)
46 ffvelcdm 7084 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:(0[,]1)βŸΆπ‘‹ ∧ 1 ∈ (0[,]1)) β†’ (πΉβ€˜1) ∈ 𝑋)
4718, 45, 46sylancl 585 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜1) ∈ 𝑋)
48 eqidd 2732 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘„) = (Baseβ€˜π‘„))
4944, 15, 47, 48pi1eluni 24790 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹)) ∈ βˆͺ (Baseβ€˜π‘„) ↔ ((𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹)) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))β€˜0) = (πΉβ€˜1) ∧ ((𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))β€˜1) = (πΉβ€˜1))))
5049adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ ((𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹)) ∈ βˆͺ (Baseβ€˜π‘„) ↔ ((𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹)) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))β€˜0) = (πΉβ€˜1) ∧ ((𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))β€˜1) = (πΉβ€˜1))))
5136, 40, 43, 50mpbir3and 1341 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ (𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹)) ∈ βˆͺ (Baseβ€˜π‘„))
52 eqidd 2732 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ↦ (𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))) = (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ↦ (𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))))
53 eqidd 2732 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (β„Ž ∈ βˆͺ (Baseβ€˜π‘„) ↦ ⟨[β„Ž]( ≃phβ€˜π½), [(𝐹(*π‘β€˜π½)(β„Ž(*π‘β€˜π½)𝐼))]( ≃phβ€˜π½)⟩) = (β„Ž ∈ βˆͺ (Baseβ€˜π‘„) ↦ ⟨[β„Ž]( ≃phβ€˜π½), [(𝐹(*π‘β€˜π½)(β„Ž(*π‘β€˜π½)𝐼))]( ≃phβ€˜π½)⟩))
54 eceq1 8744 . . . . . . 7 (β„Ž = (𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹)) β†’ [β„Ž]( ≃phβ€˜π½) = [(𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))]( ≃phβ€˜π½))
55 oveq1 7419 . . . . . . . . 9 (β„Ž = (𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹)) β†’ (β„Ž(*π‘β€˜π½)𝐼) = ((𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))(*π‘β€˜π½)𝐼))
5655oveq2d 7428 . . . . . . . 8 (β„Ž = (𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹)) β†’ (𝐹(*π‘β€˜π½)(β„Ž(*π‘β€˜π½)𝐼)) = (𝐹(*π‘β€˜π½)((𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))(*π‘β€˜π½)𝐼)))
5756eceq1d 8745 . . . . . . 7 (β„Ž = (𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹)) β†’ [(𝐹(*π‘β€˜π½)(β„Ž(*π‘β€˜π½)𝐼))]( ≃phβ€˜π½) = [(𝐹(*π‘β€˜π½)((𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))(*π‘β€˜π½)𝐼))]( ≃phβ€˜π½))
5854, 57opeq12d 4882 . . . . . 6 (β„Ž = (𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹)) β†’ ⟨[β„Ž]( ≃phβ€˜π½), [(𝐹(*π‘β€˜π½)(β„Ž(*π‘β€˜π½)𝐼))]( ≃phβ€˜π½)⟩ = ⟨[(𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))]( ≃phβ€˜π½), [(𝐹(*π‘β€˜π½)((𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))(*π‘β€˜π½)𝐼))]( ≃phβ€˜π½)⟩)
5951, 52, 53, 58fmptco 7130 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((β„Ž ∈ βˆͺ (Baseβ€˜π‘„) ↦ ⟨[β„Ž]( ≃phβ€˜π½), [(𝐹(*π‘β€˜π½)(β„Ž(*π‘β€˜π½)𝐼))]( ≃phβ€˜π½)⟩) ∘ (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ↦ (𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹)))) = (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ↦ ⟨[(𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))]( ≃phβ€˜π½), [(𝐹(*π‘β€˜π½)((𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))(*π‘β€˜π½)𝐼))]( ≃phβ€˜π½)⟩))
60 phtpcer 24742 . . . . . . . . 9 ( ≃phβ€˜π½) Er (II Cn 𝐽)
6160a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ ( ≃phβ€˜π½) Er (II Cn 𝐽))
6213, 26pco0 24762 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ ((𝐼(*π‘β€˜π½)𝑔)β€˜0) = (πΌβ€˜0))
6362, 39eqtr2d 2772 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜1) = ((𝐼(*π‘β€˜π½)𝑔)β€˜0))
6461, 27erref 8726 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ 𝐹( ≃phβ€˜π½)𝐹)
6561, 13erref 8726 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ 𝐼( ≃phβ€˜π½)𝐼)
66 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0[,]1) Γ— {(πΉβ€˜0)}) = ((0[,]1) Γ— {(πΉβ€˜0)})
6766pcopt2 24771 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘”β€˜1) = (πΉβ€˜0)) β†’ (𝑔(*π‘β€˜π½)((0[,]1) Γ— {(πΉβ€˜0)}))( ≃phβ€˜π½)𝑔)
6826, 28, 67syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ (𝑔(*π‘β€˜π½)((0[,]1) Γ— {(πΉβ€˜0)}))( ≃phβ€˜π½)𝑔)
6939eqcomd 2737 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜1) = (πΌβ€˜0))
70 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), if(π‘₯ ≀ (1 / 4), (2 Β· π‘₯), (π‘₯ + (1 / 4))), ((π‘₯ / 2) + (1 / 2)))) = (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), if(π‘₯ ≀ (1 / 4), (2 Β· π‘₯), (π‘₯ + (1 / 4))), ((π‘₯ / 2) + (1 / 2))))
7126, 27, 13, 28, 69, 70pcoass 24772 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ ((𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹)(*π‘β€˜π½)𝐼)( ≃phβ€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)(𝐹(*π‘β€˜π½)𝐼)))
7227, 13pco0 24762 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ ((𝐹(*π‘β€˜π½)𝐼)β€˜0) = (πΉβ€˜0))
7328, 72eqtr4d 2774 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ (π‘”β€˜1) = ((𝐹(*π‘β€˜π½)𝐼)β€˜0))
7461, 26erref 8726 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ 𝑔( ≃phβ€˜π½)𝑔)
759, 66pcorev2 24776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) β†’ (𝐹(*π‘β€˜π½)𝐼)( ≃phβ€˜π½)((0[,]1) Γ— {(πΉβ€˜0)}))
7627, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ (𝐹(*π‘β€˜π½)𝐼)( ≃phβ€˜π½)((0[,]1) Γ— {(πΉβ€˜0)}))
7773, 74, 76pcohtpy 24768 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ (𝑔(*π‘β€˜π½)(𝐹(*π‘β€˜π½)𝐼))( ≃phβ€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)((0[,]1) Γ— {(πΉβ€˜0)})))
7861, 71, 77ertr2d 8723 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ (𝑔(*π‘β€˜π½)((0[,]1) Γ— {(πΉβ€˜0)}))( ≃phβ€˜π½)((𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹)(*π‘β€˜π½)𝐼))
7961, 68, 78ertr3d 8724 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ 𝑔( ≃phβ€˜π½)((𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹)(*π‘β€˜π½)𝐼))
8033, 65, 79pcohtpy 24768 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ (𝐼(*π‘β€˜π½)𝑔)( ≃phβ€˜π½)(𝐼(*π‘β€˜π½)((𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹)(*π‘β€˜π½)𝐼)))
8142, 39eqtr4d 2774 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ ((𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹)β€˜1) = (πΌβ€˜0))
8213, 29, 13, 35, 81, 70pcoass 24772 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ ((𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))(*π‘β€˜π½)𝐼)( ≃phβ€˜π½)(𝐼(*π‘β€˜π½)((𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹)(*π‘β€˜π½)𝐼)))
8361, 80, 82ertr4d 8725 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ (𝐼(*π‘β€˜π½)𝑔)( ≃phβ€˜π½)((𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))(*π‘β€˜π½)𝐼))
8463, 64, 83pcohtpy 24768 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ (𝐹(*π‘β€˜π½)(𝐼(*π‘β€˜π½)𝑔))( ≃phβ€˜π½)(𝐹(*π‘β€˜π½)((𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))(*π‘β€˜π½)𝐼)))
8527, 13, 26, 69, 33, 70pcoass 24772 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ ((𝐹(*π‘β€˜π½)𝐼)(*π‘β€˜π½)𝑔)( ≃phβ€˜π½)(𝐹(*π‘β€˜π½)(𝐼(*π‘β€˜π½)𝑔)))
8627, 13pco1 24763 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ ((𝐹(*π‘β€˜π½)𝐼)β€˜1) = (πΌβ€˜1))
8786, 33eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ ((𝐹(*π‘β€˜π½)𝐼)β€˜1) = (π‘”β€˜0))
8887, 76, 74pcohtpy 24768 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ ((𝐹(*π‘β€˜π½)𝐼)(*π‘β€˜π½)𝑔)( ≃phβ€˜π½)(((0[,]1) Γ— {(πΉβ€˜0)})(*π‘β€˜π½)𝑔))
8966pcopt 24770 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘”β€˜0) = (πΉβ€˜0)) β†’ (((0[,]1) Γ— {(πΉβ€˜0)})(*π‘β€˜π½)𝑔)( ≃phβ€˜π½)𝑔)
9026, 32, 89syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ (((0[,]1) Γ— {(πΉβ€˜0)})(*π‘β€˜π½)𝑔)( ≃phβ€˜π½)𝑔)
9161, 88, 90ertrd 8722 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ ((𝐹(*π‘β€˜π½)𝐼)(*π‘β€˜π½)𝑔)( ≃phβ€˜π½)𝑔)
9261, 85, 91ertr3d 8724 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ (𝐹(*π‘β€˜π½)(𝐼(*π‘β€˜π½)𝑔))( ≃phβ€˜π½)𝑔)
9361, 84, 92ertr3d 8724 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ (𝐹(*π‘β€˜π½)((𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))(*π‘β€˜π½)𝐼))( ≃phβ€˜π½)𝑔)
9461, 93erthi 8757 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ [(𝐹(*π‘β€˜π½)((𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))(*π‘β€˜π½)𝐼))]( ≃phβ€˜π½) = [𝑔]( ≃phβ€˜π½))
9594opeq2d 4881 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ ⟨[(𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))]( ≃phβ€˜π½), [(𝐹(*π‘β€˜π½)((𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))(*π‘β€˜π½)𝐼))]( ≃phβ€˜π½)⟩ = ⟨[(𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))]( ≃phβ€˜π½), [𝑔]( ≃phβ€˜π½)⟩)
9695mpteq2dva 5249 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ↦ ⟨[(𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))]( ≃phβ€˜π½), [(𝐹(*π‘β€˜π½)((𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))(*π‘β€˜π½)𝐼))]( ≃phβ€˜π½)⟩) = (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ↦ ⟨[(𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))]( ≃phβ€˜π½), [𝑔]( ≃phβ€˜π½)⟩))
9759, 96eqtrd 2771 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((β„Ž ∈ βˆͺ (Baseβ€˜π‘„) ↦ ⟨[β„Ž]( ≃phβ€˜π½), [(𝐹(*π‘β€˜π½)(β„Ž(*π‘β€˜π½)𝐼))]( ≃phβ€˜π½)⟩) ∘ (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ↦ (𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹)))) = (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ↦ ⟨[(𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))]( ≃phβ€˜π½), [𝑔]( ≃phβ€˜π½)⟩))
9897rneqd 5938 . . 3 (πœ‘ β†’ ran ((β„Ž ∈ βˆͺ (Baseβ€˜π‘„) ↦ ⟨[β„Ž]( ≃phβ€˜π½), [(𝐹(*π‘β€˜π½)(β„Ž(*π‘β€˜π½)𝐼))]( ≃phβ€˜π½)⟩) ∘ (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ↦ (𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹)))) = ran (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ↦ ⟨[(𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹))]( ≃phβ€˜π½), [𝑔]( ≃phβ€˜π½)⟩))
997, 98eqtr4d 2774 . 2 (πœ‘ β†’ ◑𝐺 = ran ((β„Ž ∈ βˆͺ (Baseβ€˜π‘„) ↦ ⟨[β„Ž]( ≃phβ€˜π½), [(𝐹(*π‘β€˜π½)(β„Ž(*π‘β€˜π½)𝐼))]( ≃phβ€˜π½)⟩) ∘ (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ↦ (𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹)))))
100 rncoss 5972 . . 3 ran ((β„Ž ∈ βˆͺ (Baseβ€˜π‘„) ↦ ⟨[β„Ž]( ≃phβ€˜π½), [(𝐹(*π‘β€˜π½)(β„Ž(*π‘β€˜π½)𝐼))]( ≃phβ€˜π½)⟩) ∘ (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ↦ (𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹)))) βŠ† ran (β„Ž ∈ βˆͺ (Baseβ€˜π‘„) ↦ ⟨[β„Ž]( ≃phβ€˜π½), [(𝐹(*π‘β€˜π½)(β„Ž(*π‘β€˜π½)𝐼))]( ≃phβ€˜π½)⟩)
101 pi1xfrcnv.h . . 3 𝐻 = ran (β„Ž ∈ βˆͺ (Baseβ€˜π‘„) ↦ ⟨[β„Ž]( ≃phβ€˜π½), [(𝐹(*π‘β€˜π½)(β„Ž(*π‘β€˜π½)𝐼))]( ≃phβ€˜π½)⟩)
102100, 101sseqtrri 4020 . 2 ran ((β„Ž ∈ βˆͺ (Baseβ€˜π‘„) ↦ ⟨[β„Ž]( ≃phβ€˜π½), [(𝐹(*π‘β€˜π½)(β„Ž(*π‘β€˜π½)𝐼))]( ≃phβ€˜π½)⟩) ∘ (𝑔 ∈ βˆͺ 𝐡 ↦ (𝐼(*π‘β€˜π½)(𝑔(*π‘β€˜π½)𝐹)))) βŠ† 𝐻
10399, 102eqsstrdi 4037 1 (πœ‘ β†’ ◑𝐺 βŠ† 𝐻)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  Vcvv 3473   βŠ† wss 3949  ifcif 4529  {csn 4629  βŸ¨cop 4635  βˆͺ cuni 4909   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   Γ— cxp 5675  β—‘ccnv 5676  ran crn 5678   ∘ ccom 5681  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412   Er wer 8703  [cec 8704  0cc0 11113  1c1 11114   + caddc 11116   Β· cmul 11118   ≀ cle 11254   βˆ’ cmin 11449   / cdiv 11876  2c2 12272  4c4 12274  [,]cicc 13332  Basecbs 17149  TopOnctopon 22633   Cn ccn 22949  IIcii 24616   ≃phcphtpc 24716  *𝑝cpco 24748   Ο€1 cpi1 24751
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191  ax-addf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7673  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-supp 8150  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-2o 8470  df-er 8706  df-ec 8708  df-qs 8712  df-map 8825  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9365  df-fi 9409  df-sup 9440  df-inf 9441  df-oi 9508  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-qus 17460  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-mulg 18988  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cld 22744  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-tx 23287  df-hmeo 23480  df-xms 24047  df-ms 24048  df-tms 24049  df-ii 24618  df-htpy 24717  df-phtpy 24718  df-phtpc 24739  df-pco 24753  df-om1 24754  df-pi1 24756
This theorem is referenced by:  pi1xfrcnv  24805
  Copyright terms: Public domain W3C validator