MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pi1xfrcnvlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pi1xfrcnvlem 23348
Description: Given a path 𝐹 between two basepoints, there is an induced group homomorphism on the fundamental groups. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 23-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pi1xfr.p 𝑃 = (𝐽 π1 (𝐹‘0))
pi1xfr.q 𝑄 = (𝐽 π1 (𝐹‘1))
pi1xfr.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
pi1xfr.g 𝐺 = ran (𝑔 𝐵 ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph𝐽), [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽)⟩)
pi1xfr.j (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
pi1xfr.f (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
pi1xfr.i 𝐼 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(1 − 𝑥)))
pi1xfrcnv.h 𝐻 = ran ( (Base‘𝑄) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [(𝐹(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩)
Assertion
Ref Expression
pi1xfrcnvlem (𝜑𝐺𝐻)
Distinct variable groups:   𝑔,,𝑥,𝐵   𝑔,𝐹,,𝑥   𝑔,𝐼,,𝑥   ,𝐺   𝜑,𝑔,,𝑥   𝑔,𝐽,,𝑥   𝑃,𝑔,,𝑥   𝑄,𝑔,,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑔)   𝐻(𝑥,𝑔,)   𝑋(𝑥,𝑔,)

Proof of Theorem pi1xfrcnvlem
StepHypRef Expression
1 pi1xfr.g . . . 4 𝐺 = ran (𝑔 𝐵 ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph𝐽), [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽)⟩)
2 fvex 6556 . . . . 5 ( ≃ph𝐽) ∈ V
3 ecexg 8148 . . . . 5 (( ≃ph𝐽) ∈ V → [𝑔]( ≃ph𝐽) ∈ V)
42, 3mp1i 13 . . . 4 ((𝜑𝑔 𝐵) → [𝑔]( ≃ph𝐽) ∈ V)
5 ecexg 8148 . . . . 5 (( ≃ph𝐽) ∈ V → [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽) ∈ V)
62, 5mp1i 13 . . . 4 ((𝜑𝑔 𝐵) → [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽) ∈ V)
71, 4, 6fliftcnv 6932 . . 3 (𝜑𝐺 = ran (𝑔 𝐵 ↦ ⟨[(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽), [𝑔]( ≃ph𝐽)⟩))
8 pi1xfr.f . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
9 pi1xfr.i . . . . . . . . . . . 12 𝐼 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(1 − 𝑥)))
109pcorevcl 23317 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐼 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐼‘0) = (𝐹‘1) ∧ (𝐼‘1) = (𝐹‘0)))
118, 10syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐼 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐼‘0) = (𝐹‘1) ∧ (𝐼‘1) = (𝐹‘0)))
1211simp1d 1135 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼 ∈ (II Cn 𝐽))
1312adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔 𝐵) → 𝐼 ∈ (II Cn 𝐽))
14 pi1xfr.p . . . . . . . . . . . 12 𝑃 = (𝐽 π1 (𝐹‘0))
15 pi1xfr.j . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
16 iitopon 23175 . . . . . . . . . . . . . 14 II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
17 cnf2 21546 . . . . . . . . . . . . . 14 ((II ∈ (TopOn‘(0[,]1)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽)) → 𝐹:(0[,]1)⟶𝑋)
1816, 15, 8, 17mp3an2i 1458 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹:(0[,]1)⟶𝑋)
19 0elunit 12710 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ (0[,]1)
20 ffvelrn 6719 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:(0[,]1)⟶𝑋 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘0) ∈ 𝑋)
2118, 19, 20sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹‘0) ∈ 𝑋)
22 pi1xfr.b . . . . . . . . . . . . 13 𝐵 = (Base‘𝑃)
2322a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑃))
2414, 15, 21, 23pi1eluni 23334 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑔 𝐵 ↔ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑔‘0) = (𝐹‘0) ∧ (𝑔‘1) = (𝐹‘0))))
2524biimpa 477 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑔 𝐵) → (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑔‘0) = (𝐹‘0) ∧ (𝑔‘1) = (𝐹‘0)))
2625simp1d 1135 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑔 𝐵) → 𝑔 ∈ (II Cn 𝐽))
278adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑔 𝐵) → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
2825simp3d 1137 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑔 𝐵) → (𝑔‘1) = (𝐹‘0))
2926, 27, 28pcocn 23309 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔 𝐵) → (𝑔(*𝑝𝐽)𝐹) ∈ (II Cn 𝐽))
3011simp3d 1137 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐼‘1) = (𝐹‘0))
3130adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑔 𝐵) → (𝐼‘1) = (𝐹‘0))
3225simp2d 1136 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑔 𝐵) → (𝑔‘0) = (𝐹‘0))
3331, 32eqtr4d 2834 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑔 𝐵) → (𝐼‘1) = (𝑔‘0))
3426, 27pco0 23306 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑔 𝐵) → ((𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)‘0) = (𝑔‘0))
3533, 34eqtr4d 2834 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔 𝐵) → (𝐼‘1) = ((𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)‘0))
3613, 29, 35pcocn 23309 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔 𝐵) → (𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)) ∈ (II Cn 𝐽))
3713, 29pco0 23306 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔 𝐵) → ((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))‘0) = (𝐼‘0))
3811simp2d 1136 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐼‘0) = (𝐹‘1))
3938adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔 𝐵) → (𝐼‘0) = (𝐹‘1))
4037, 39eqtrd 2831 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔 𝐵) → ((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))‘0) = (𝐹‘1))
4113, 29pco1 23307 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔 𝐵) → ((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))‘1) = ((𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)‘1))
4226, 27pco1 23307 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔 𝐵) → ((𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)‘1) = (𝐹‘1))
4341, 42eqtrd 2831 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔 𝐵) → ((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))‘1) = (𝐹‘1))
44 pi1xfr.q . . . . . . . . 9 𝑄 = (𝐽 π1 (𝐹‘1))
45 1elunit 12711 . . . . . . . . . 10 1 ∈ (0[,]1)
46 ffvelrn 6719 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:(0[,]1)⟶𝑋 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘1) ∈ 𝑋)
4718, 45, 46sylancl 586 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹‘1) ∈ 𝑋)
48 eqidd 2796 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄))
4944, 15, 47, 48pi1eluni 23334 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)) ∈ (Base‘𝑄) ↔ ((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))‘0) = (𝐹‘1) ∧ ((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))‘1) = (𝐹‘1))))
5049adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔 𝐵) → ((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)) ∈ (Base‘𝑄) ↔ ((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))‘0) = (𝐹‘1) ∧ ((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))‘1) = (𝐹‘1))))
5136, 40, 43, 50mpbir3and 1335 . . . . . 6 ((𝜑𝑔 𝐵) → (𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)) ∈ (Base‘𝑄))
52 eqidd 2796 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑔 𝐵 ↦ (𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))) = (𝑔 𝐵 ↦ (𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))))
53 eqidd 2796 . . . . . 6 (𝜑 → ( (Base‘𝑄) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [(𝐹(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩) = ( (Base‘𝑄) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [(𝐹(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩))
54 eceq1 8182 . . . . . . 7 ( = (𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)) → []( ≃ph𝐽) = [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽))
55 oveq1 7028 . . . . . . . . 9 ( = (𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)) → ((*𝑝𝐽)𝐼) = ((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))(*𝑝𝐽)𝐼))
5655oveq2d 7037 . . . . . . . 8 ( = (𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)) → (𝐹(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼)) = (𝐹(*𝑝𝐽)((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))(*𝑝𝐽)𝐼)))
5756eceq1d 8183 . . . . . . 7 ( = (𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)) → [(𝐹(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽) = [(𝐹(*𝑝𝐽)((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))(*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽))
5854, 57opeq12d 4722 . . . . . 6 ( = (𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)) → ⟨[]( ≃ph𝐽), [(𝐹(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩ = ⟨[(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽), [(𝐹(*𝑝𝐽)((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))(*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩)
5951, 52, 53, 58fmptco 6759 . . . . 5 (𝜑 → (( (Base‘𝑄) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [(𝐹(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩) ∘ (𝑔 𝐵 ↦ (𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)))) = (𝑔 𝐵 ↦ ⟨[(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽), [(𝐹(*𝑝𝐽)((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))(*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩))
60 phtpcer 23287 . . . . . . . . 9 ( ≃ph𝐽) Er (II Cn 𝐽)
6160a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔 𝐵) → ( ≃ph𝐽) Er (II Cn 𝐽))
6213, 26pco0 23306 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑔 𝐵) → ((𝐼(*𝑝𝐽)𝑔)‘0) = (𝐼‘0))
6362, 39eqtr2d 2832 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑔 𝐵) → (𝐹‘1) = ((𝐼(*𝑝𝐽)𝑔)‘0))
6461, 27erref 8164 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑔 𝐵) → 𝐹( ≃ph𝐽)𝐹)
6561, 13erref 8164 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑔 𝐵) → 𝐼( ≃ph𝐽)𝐼)
66 eqid 2795 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0[,]1) × {(𝐹‘0)}) = ((0[,]1) × {(𝐹‘0)})
6766pcopt2 23315 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑔‘1) = (𝐹‘0)) → (𝑔(*𝑝𝐽)((0[,]1) × {(𝐹‘0)}))( ≃ph𝐽)𝑔)
6826, 28, 67syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑔 𝐵) → (𝑔(*𝑝𝐽)((0[,]1) × {(𝐹‘0)}))( ≃ph𝐽)𝑔)
6939eqcomd 2801 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑔 𝐵) → (𝐹‘1) = (𝐼‘0))
70 eqid 2795 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4))), ((𝑥 / 2) + (1 / 2)))) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4))), ((𝑥 / 2) + (1 / 2))))
7126, 27, 13, 28, 69, 70pcoass 23316 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑔 𝐵) → ((𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)(*𝑝𝐽)𝐼)( ≃ph𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)(𝐹(*𝑝𝐽)𝐼)))
7227, 13pco0 23306 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑔 𝐵) → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐼)‘0) = (𝐹‘0))
7328, 72eqtr4d 2834 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑔 𝐵) → (𝑔‘1) = ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐼)‘0))
7461, 26erref 8164 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑔 𝐵) → 𝑔( ≃ph𝐽)𝑔)
759, 66pcorev2 23320 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐹(*𝑝𝐽)𝐼)( ≃ph𝐽)((0[,]1) × {(𝐹‘0)}))
7627, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑔 𝐵) → (𝐹(*𝑝𝐽)𝐼)( ≃ph𝐽)((0[,]1) × {(𝐹‘0)}))
7773, 74, 76pcohtpy 23312 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑔 𝐵) → (𝑔(*𝑝𝐽)(𝐹(*𝑝𝐽)𝐼))( ≃ph𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)((0[,]1) × {(𝐹‘0)})))
7861, 71, 77ertr2d 8161 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑔 𝐵) → (𝑔(*𝑝𝐽)((0[,]1) × {(𝐹‘0)}))( ≃ph𝐽)((𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)(*𝑝𝐽)𝐼))
7961, 68, 78ertr3d 8162 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑔 𝐵) → 𝑔( ≃ph𝐽)((𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)(*𝑝𝐽)𝐼))
8033, 65, 79pcohtpy 23312 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑔 𝐵) → (𝐼(*𝑝𝐽)𝑔)( ≃ph𝐽)(𝐼(*𝑝𝐽)((𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)(*𝑝𝐽)𝐼)))
8142, 39eqtr4d 2834 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑔 𝐵) → ((𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)‘1) = (𝐼‘0))
8213, 29, 13, 35, 81, 70pcoass 23316 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑔 𝐵) → ((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))(*𝑝𝐽)𝐼)( ≃ph𝐽)(𝐼(*𝑝𝐽)((𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)(*𝑝𝐽)𝐼)))
8361, 80, 82ertr4d 8163 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑔 𝐵) → (𝐼(*𝑝𝐽)𝑔)( ≃ph𝐽)((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))(*𝑝𝐽)𝐼))
8463, 64, 83pcohtpy 23312 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑔 𝐵) → (𝐹(*𝑝𝐽)(𝐼(*𝑝𝐽)𝑔))( ≃ph𝐽)(𝐹(*𝑝𝐽)((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))(*𝑝𝐽)𝐼)))
8527, 13, 26, 69, 33, 70pcoass 23316 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑔 𝐵) → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐼)(*𝑝𝐽)𝑔)( ≃ph𝐽)(𝐹(*𝑝𝐽)(𝐼(*𝑝𝐽)𝑔)))
8627, 13pco1 23307 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑔 𝐵) → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐼)‘1) = (𝐼‘1))
8786, 33eqtrd 2831 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑔 𝐵) → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐼)‘1) = (𝑔‘0))
8887, 76, 74pcohtpy 23312 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑔 𝐵) → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐼)(*𝑝𝐽)𝑔)( ≃ph𝐽)(((0[,]1) × {(𝐹‘0)})(*𝑝𝐽)𝑔))
8966pcopt 23314 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑔‘0) = (𝐹‘0)) → (((0[,]1) × {(𝐹‘0)})(*𝑝𝐽)𝑔)( ≃ph𝐽)𝑔)
9026, 32, 89syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑔 𝐵) → (((0[,]1) × {(𝐹‘0)})(*𝑝𝐽)𝑔)( ≃ph𝐽)𝑔)
9161, 88, 90ertrd 8160 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑔 𝐵) → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐼)(*𝑝𝐽)𝑔)( ≃ph𝐽)𝑔)
9261, 85, 91ertr3d 8162 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑔 𝐵) → (𝐹(*𝑝𝐽)(𝐼(*𝑝𝐽)𝑔))( ≃ph𝐽)𝑔)
9361, 84, 92ertr3d 8162 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔 𝐵) → (𝐹(*𝑝𝐽)((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))(*𝑝𝐽)𝐼))( ≃ph𝐽)𝑔)
9461, 93erthi 8195 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔 𝐵) → [(𝐹(*𝑝𝐽)((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))(*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽) = [𝑔]( ≃ph𝐽))
9594opeq2d 4721 . . . . . 6 ((𝜑𝑔 𝐵) → ⟨[(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽), [(𝐹(*𝑝𝐽)((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))(*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩ = ⟨[(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽), [𝑔]( ≃ph𝐽)⟩)
9695mpteq2dva 5060 . . . . 5 (𝜑 → (𝑔 𝐵 ↦ ⟨[(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽), [(𝐹(*𝑝𝐽)((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))(*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩) = (𝑔 𝐵 ↦ ⟨[(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽), [𝑔]( ≃ph𝐽)⟩))
9759, 96eqtrd 2831 . . . 4 (𝜑 → (( (Base‘𝑄) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [(𝐹(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩) ∘ (𝑔 𝐵 ↦ (𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)))) = (𝑔 𝐵 ↦ ⟨[(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽), [𝑔]( ≃ph𝐽)⟩))
9897rneqd 5695 . . 3 (𝜑 → ran (( (Base‘𝑄) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [(𝐹(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩) ∘ (𝑔 𝐵 ↦ (𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)))) = ran (𝑔 𝐵 ↦ ⟨[(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽), [𝑔]( ≃ph𝐽)⟩))
997, 98eqtr4d 2834 . 2 (𝜑𝐺 = ran (( (Base‘𝑄) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [(𝐹(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩) ∘ (𝑔 𝐵 ↦ (𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)))))
100 rncoss 5729 . . 3 ran (( (Base‘𝑄) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [(𝐹(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩) ∘ (𝑔 𝐵 ↦ (𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)))) ⊆ ran ( (Base‘𝑄) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [(𝐹(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩)
101 pi1xfrcnv.h . . 3 𝐻 = ran ( (Base‘𝑄) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [(𝐹(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩)
102100, 101sseqtr4i 3929 . 2 ran (( (Base‘𝑄) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [(𝐹(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩) ∘ (𝑔 𝐵 ↦ (𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)))) ⊆ 𝐻
10399, 102syl6eqss 3946 1 (𝜑𝐺𝐻)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1080   = wceq 1522  wcel 2081  Vcvv 3437  wss 3863  ifcif 4385  {csn 4476  cop 4482   cuni 4749   class class class wbr 4966  cmpt 5045   × cxp 5446  ccnv 5447  ran crn 5449  ccom 5452  wf 6226  cfv 6230  (class class class)co 7021   Er wer 8141  [cec 8142  0cc0 10388  1c1 10389   + caddc 10391   · cmul 10393  cle 10527  cmin 10722   / cdiv 11150  2c2 11545  4c4 11547  [,]cicc 12596  Basecbs 16317  TopOnctopon 21207   Cn ccn 21521  IIcii 23171  phcphtpc 23261  *𝑝cpco 23292   π1 cpi1 23295
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5086  ax-sep 5099  ax-nul 5106  ax-pow 5162  ax-pr 5226  ax-un 7324  ax-cnex 10444  ax-resscn 10445  ax-1cn 10446  ax-icn 10447  ax-addcl 10448  ax-addrcl 10449  ax-mulcl 10450  ax-mulrcl 10451  ax-mulcom 10452  ax-addass 10453  ax-mulass 10454  ax-distr 10455  ax-i2m1 10456  ax-1ne0 10457  ax-1rid 10458  ax-rnegex 10459  ax-rrecex 10460  ax-cnre 10461  ax-pre-lttri 10462  ax-pre-lttrn 10463  ax-pre-ltadd 10464  ax-pre-mulgt0 10465  ax-pre-sup 10466  ax-addf 10467  ax-mulf 10468
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3710  df-csb 3816  df-dif 3866  df-un 3868  df-in 3870  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4216  df-if 4386  df-pw 4459  df-sn 4477  df-pr 4479  df-tp 4481  df-op 4483  df-uni 4750  df-int 4787  df-iun 4831  df-iin 4832  df-br 4967  df-opab 5029  df-mpt 5046  df-tr 5069  df-id 5353  df-eprel 5358  df-po 5367  df-so 5368  df-fr 5407  df-se 5408  df-we 5409  df-xp 5454  df-rel 5455  df-cnv 5456  df-co 5457  df-dm 5458  df-rn 5459  df-res 5460  df-ima 5461  df-pred 6028  df-ord 6074  df-on 6075  df-lim 6076  df-suc 6077  df-iota 6194  df-fun 6232  df-fn 6233  df-f 6234  df-f1 6235  df-fo 6236  df-f1o 6237  df-fv 6238  df-isom 6239  df-riota 6982  df-ov 7024  df-oprab 7025  df-mpo 7026  df-of 7272  df-om 7442  df-1st 7550  df-2nd 7551  df-supp 7687  df-wrecs 7803  df-recs 7865  df-rdg 7903  df-1o 7958  df-2o 7959  df-oadd 7962  df-er 8144  df-ec 8146  df-qs 8150  df-map 8263  df-ixp 8316  df-en 8363  df-dom 8364  df-sdom 8365  df-fin 8366  df-fsupp 8685  df-fi 8726  df-sup 8757  df-inf 8758  df-oi 8825  df-card 9219  df-pnf 10528  df-mnf 10529  df-xr 10530  df-ltxr 10531  df-le 10532  df-sub 10724  df-neg 10725  df-div 11151  df-nn 11492  df-2 11553  df-3 11554  df-4 11555  df-5 11556  df-6 11557  df-7 11558  df-8 11559  df-9 11560  df-n0 11751  df-z 11835  df-dec 11953  df-uz 12099  df-q 12203  df-rp 12245  df-xneg 12362  df-xadd 12363  df-xmul 12364  df-ioo 12597  df-icc 12600  df-fz 12748  df-fzo 12889  df-seq 13225  df-exp 13285  df-hash 13546  df-cj 14297  df-re 14298  df-im 14299  df-sqrt 14433  df-abs 14434  df-struct 16319  df-ndx 16320  df-slot 16321  df-base 16323  df-sets 16324  df-ress 16325  df-plusg 16412  df-mulr 16413  df-starv 16414  df-sca 16415  df-vsca 16416  df-ip 16417  df-tset 16418  df-ple 16419  df-ds 16421  df-unif 16422  df-hom 16423  df-cco 16424  df-rest 16530  df-topn 16531  df-0g 16549  df-gsum 16550  df-topgen 16551  df-pt 16552  df-prds 16555  df-xrs 16609  df-qtop 16614  df-imas 16615  df-qus 16616  df-xps 16617  df-mre 16691  df-mrc 16692  df-acs 16694  df-mgm 17686  df-sgrp 17728  df-mnd 17739  df-submnd 17780  df-mulg 17987  df-cntz 18193  df-cmn 18640  df-psmet 20224  df-xmet 20225  df-met 20226  df-bl 20227  df-mopn 20228  df-cnfld 20233  df-top 21191  df-topon 21208  df-topsp 21230  df-bases 21243  df-cld 21316  df-cn 21524  df-cnp 21525  df-tx 21859  df-hmeo 22052  df-xms 22618  df-ms 22619  df-tms 22620  df-ii 23173  df-htpy 23262  df-phtpy 23263  df-phtpc 23284  df-pco 23297  df-om1 23298  df-pi1 23300
This theorem is referenced by:  pi1xfrcnv  23349
  Copyright terms: Public domain W3C validator