MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pi1xfr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pi1xfr 23664
Description: Given a path 𝐹 and its inverse 𝐼 between two basepoints, there is an induced group homomorphism on the fundamental groups. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pi1xfr.p 𝑃 = (𝐽 π1 (𝐹‘0))
pi1xfr.q 𝑄 = (𝐽 π1 (𝐹‘1))
pi1xfr.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
pi1xfr.g 𝐺 = ran (𝑔 𝐵 ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph𝐽), [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽)⟩)
pi1xfr.j (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
pi1xfr.f (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
pi1xfr.i 𝐼 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(1 − 𝑥)))
Assertion
Ref Expression
pi1xfr (𝜑𝐺 ∈ (𝑃 GrpHom 𝑄))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑔,𝐵   𝑔,𝐹,𝑥   𝑔,𝐼,𝑥   𝜑,𝑔,𝑥   𝑔,𝐽,𝑥   𝑃,𝑔,𝑥   𝑄,𝑔,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑔)   𝑋(𝑥,𝑔)

Proof of Theorem pi1xfr
Dummy variables 𝑓 𝑢 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pi1xfr.j . . 3 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
2 iitopon 23488 . . . . 5 II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
3 pi1xfr.f . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
4 cnf2 21858 . . . . 5 ((II ∈ (TopOn‘(0[,]1)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽)) → 𝐹:(0[,]1)⟶𝑋)
52, 1, 3, 4mp3an2i 1463 . . . 4 (𝜑𝐹:(0[,]1)⟶𝑋)
6 0elunit 12851 . . . 4 0 ∈ (0[,]1)
7 ffvelrn 6830 . . . 4 ((𝐹:(0[,]1)⟶𝑋 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘0) ∈ 𝑋)
85, 6, 7sylancl 589 . . 3 (𝜑 → (𝐹‘0) ∈ 𝑋)
9 pi1xfr.p . . . 4 𝑃 = (𝐽 π1 (𝐹‘0))
109pi1grp 23659 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝐹‘0) ∈ 𝑋) → 𝑃 ∈ Grp)
111, 8, 10syl2anc 587 . 2 (𝜑𝑃 ∈ Grp)
12 1elunit 12852 . . . 4 1 ∈ (0[,]1)
13 ffvelrn 6830 . . . 4 ((𝐹:(0[,]1)⟶𝑋 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘1) ∈ 𝑋)
145, 12, 13sylancl 589 . . 3 (𝜑 → (𝐹‘1) ∈ 𝑋)
15 pi1xfr.q . . . 4 𝑄 = (𝐽 π1 (𝐹‘1))
1615pi1grp 23659 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝐹‘1) ∈ 𝑋) → 𝑄 ∈ Grp)
171, 14, 16syl2anc 587 . 2 (𝜑𝑄 ∈ Grp)
18 pi1xfr.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑃)
19 pi1xfr.g . . . 4 𝐺 = ran (𝑔 𝐵 ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph𝐽), [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽)⟩)
20 pi1xfr.i . . . . . . 7 𝐼 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(1 − 𝑥)))
2120pcorevcl 23634 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐼 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐼‘0) = (𝐹‘1) ∧ (𝐼‘1) = (𝐹‘0)))
223, 21syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐼‘0) = (𝐹‘1) ∧ (𝐼‘1) = (𝐹‘0)))
2322simp1d 1139 . . . 4 (𝜑𝐼 ∈ (II Cn 𝐽))
2422simp2d 1140 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼‘0) = (𝐹‘1))
2524eqcomd 2807 . . . 4 (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐼‘0))
2622simp3d 1141 . . . 4 (𝜑 → (𝐼‘1) = (𝐹‘0))
279, 15, 18, 19, 1, 3, 23, 25, 26pi1xfrf 23662 . . 3 (𝜑𝐺:𝐵⟶(Base‘𝑄))
2818a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑃))
299, 1, 8, 28pi1bas2 23650 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 = ( 𝐵 / ( ≃ph𝐽)))
3029eleq2d 2878 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦𝐵𝑦 ∈ ( 𝐵 / ( ≃ph𝐽))))
3130biimpa 480 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐵) → 𝑦 ∈ ( 𝐵 / ( ≃ph𝐽)))
32 eqid 2801 . . . . . 6 ( 𝐵 / ( ≃ph𝐽)) = ( 𝐵 / ( ≃ph𝐽))
33 fvoveq1 7162 . . . . . . . 8 ([𝑓]( ≃ph𝐽) = 𝑦 → (𝐺‘([𝑓]( ≃ph𝐽)(+g𝑃)𝑧)) = (𝐺‘(𝑦(+g𝑃)𝑧)))
34 fveq2 6649 . . . . . . . . 9 ([𝑓]( ≃ph𝐽) = 𝑦 → (𝐺‘[𝑓]( ≃ph𝐽)) = (𝐺𝑦))
3534oveq1d 7154 . . . . . . . 8 ([𝑓]( ≃ph𝐽) = 𝑦 → ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph𝐽))(+g𝑄)(𝐺𝑧)) = ((𝐺𝑦)(+g𝑄)(𝐺𝑧)))
3633, 35eqeq12d 2817 . . . . . . 7 ([𝑓]( ≃ph𝐽) = 𝑦 → ((𝐺‘([𝑓]( ≃ph𝐽)(+g𝑃)𝑧)) = ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph𝐽))(+g𝑄)(𝐺𝑧)) ↔ (𝐺‘(𝑦(+g𝑃)𝑧)) = ((𝐺𝑦)(+g𝑄)(𝐺𝑧))))
3736ralbidv 3165 . . . . . 6 ([𝑓]( ≃ph𝐽) = 𝑦 → (∀𝑧𝐵 (𝐺‘([𝑓]( ≃ph𝐽)(+g𝑃)𝑧)) = ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph𝐽))(+g𝑄)(𝐺𝑧)) ↔ ∀𝑧𝐵 (𝐺‘(𝑦(+g𝑃)𝑧)) = ((𝐺𝑦)(+g𝑄)(𝐺𝑧))))
3829eleq2d 2878 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑧𝐵𝑧 ∈ ( 𝐵 / ( ≃ph𝐽))))
3938biimpa 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧𝐵) → 𝑧 ∈ ( 𝐵 / ( ≃ph𝐽)))
4039adantlr 714 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓 𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → 𝑧 ∈ ( 𝐵 / ( ≃ph𝐽)))
41 oveq2 7147 . . . . . . . . . . 11 ([]( ≃ph𝐽) = 𝑧 → ([𝑓]( ≃ph𝐽)(+g𝑃)[]( ≃ph𝐽)) = ([𝑓]( ≃ph𝐽)(+g𝑃)𝑧))
4241fveq2d 6653 . . . . . . . . . 10 ([]( ≃ph𝐽) = 𝑧 → (𝐺‘([𝑓]( ≃ph𝐽)(+g𝑃)[]( ≃ph𝐽))) = (𝐺‘([𝑓]( ≃ph𝐽)(+g𝑃)𝑧)))
43 fveq2 6649 . . . . . . . . . . 11 ([]( ≃ph𝐽) = 𝑧 → (𝐺‘[]( ≃ph𝐽)) = (𝐺𝑧))
4443oveq2d 7155 . . . . . . . . . 10 ([]( ≃ph𝐽) = 𝑧 → ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph𝐽))(+g𝑄)(𝐺‘[]( ≃ph𝐽))) = ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph𝐽))(+g𝑄)(𝐺𝑧)))
4542, 44eqeq12d 2817 . . . . . . . . 9 ([]( ≃ph𝐽) = 𝑧 → ((𝐺‘([𝑓]( ≃ph𝐽)(+g𝑃)[]( ≃ph𝐽))) = ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph𝐽))(+g𝑄)(𝐺‘[]( ≃ph𝐽))) ↔ (𝐺‘([𝑓]( ≃ph𝐽)(+g𝑃)𝑧)) = ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph𝐽))(+g𝑄)(𝐺𝑧))))
46 phtpcer 23604 . . . . . . . . . . . . . 14 ( ≃ph𝐽) Er (II Cn 𝐽)
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → ( ≃ph𝐽) Er (II Cn 𝐽))
489, 1, 8, 28pi1eluni 23651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑓 𝐵 ↔ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝐹‘0) ∧ (𝑓‘1) = (𝐹‘0))))
4948biimpa 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑓 𝐵) → (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝐹‘0) ∧ (𝑓‘1) = (𝐹‘0)))
5049simp1d 1139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑓 𝐵) → 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽))
51503adant3 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽))
529, 1, 8, 28pi1eluni 23651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ( 𝐵 ↔ ( ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (‘0) = (𝐹‘0) ∧ (‘1) = (𝐹‘0))))
5352adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑓 𝐵) → ( 𝐵 ↔ ( ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (‘0) = (𝐹‘0) ∧ (‘1) = (𝐹‘0))))
5453biimp3a 1466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → ( ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (‘0) = (𝐹‘0) ∧ (‘1) = (𝐹‘0)))
5554simp1d 1139 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → ∈ (II Cn 𝐽))
5651, 55pco0 23623 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → ((𝑓(*𝑝𝐽))‘0) = (𝑓‘0))
5749simp2d 1140 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑓 𝐵) → (𝑓‘0) = (𝐹‘0))
58573adant3 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (𝑓‘0) = (𝐹‘0))
5956, 58eqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → ((𝑓(*𝑝𝐽))‘0) = (𝐹‘0))
6049simp3d 1141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑓 𝐵) → (𝑓‘1) = (𝐹‘0))
61603adant3 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (𝑓‘1) = (𝐹‘0))
6254simp2d 1140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (‘0) = (𝐹‘0))
6361, 62eqtr4d 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (𝑓‘1) = (‘0))
6451, 55, 63pcocn 23626 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (𝑓(*𝑝𝐽)) ∈ (II Cn 𝐽))
6533ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
6664, 65pco0 23623 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (((𝑓(*𝑝𝐽))(*𝑝𝐽)𝐹)‘0) = ((𝑓(*𝑝𝐽))‘0))
67263ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (𝐼‘1) = (𝐹‘0))
6859, 66, 673eqtr4rd 2847 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (𝐼‘1) = (((𝑓(*𝑝𝐽))(*𝑝𝐽)𝐹)‘0))
69233ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → 𝐼 ∈ (II Cn 𝐽))
7047, 69erref 8296 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → 𝐼( ≃ph𝐽)𝐼)
7154simp3d 1141 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (‘1) = (𝐹‘0))
72 eqid 2801 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑢 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑢 ≤ (1 / 2), if(𝑢 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑢), (𝑢 + (1 / 4))), ((𝑢 / 2) + (1 / 2)))) = (𝑢 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑢 ≤ (1 / 2), if(𝑢 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑢), (𝑢 + (1 / 4))), ((𝑢 / 2) + (1 / 2))))
7351, 55, 65, 63, 71, 72pcoass 23633 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → ((𝑓(*𝑝𝐽))(*𝑝𝐽)𝐹)( ≃ph𝐽)(𝑓(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹)))
7455, 65pco0 23623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (((*𝑝𝐽)𝐹)‘0) = (‘0))
7563, 74eqtr4d 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (𝑓‘1) = (((*𝑝𝐽)𝐹)‘0))
7647, 51erref 8296 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → 𝑓( ≃ph𝐽)𝑓)
7765, 69pco1 23624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐼)‘1) = (𝐼‘1))
7862, 74, 673eqtr4rd 2847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (𝐼‘1) = (((*𝑝𝐽)𝐹)‘0))
7977, 78eqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐼)‘1) = (((*𝑝𝐽)𝐹)‘0))
80 eqid 2801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((0[,]1) × {(𝐹‘0)}) = ((0[,]1) × {(𝐹‘0)})
8120, 80pcorev2 23637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐹(*𝑝𝐽)𝐼)( ≃ph𝐽)((0[,]1) × {(𝐹‘0)}))
8265, 81syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (𝐹(*𝑝𝐽)𝐼)( ≃ph𝐽)((0[,]1) × {(𝐹‘0)}))
8355, 65, 71pcocn 23626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → ((*𝑝𝐽)𝐹) ∈ (II Cn 𝐽))
8447, 83erref 8296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → ((*𝑝𝐽)𝐹)( ≃ph𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹))
8579, 82, 84pcohtpy 23629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐼)(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹))( ≃ph𝐽)(((0[,]1) × {(𝐹‘0)})(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹)))
8674, 62eqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (((*𝑝𝐽)𝐹)‘0) = (𝐹‘0))
8780pcopt 23631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((*𝑝𝐽)𝐹) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (((*𝑝𝐽)𝐹)‘0) = (𝐹‘0)) → (((0[,]1) × {(𝐹‘0)})(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹))( ≃ph𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹))
8883, 86, 87syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (((0[,]1) × {(𝐹‘0)})(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹))( ≃ph𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹))
8947, 85, 88ertrd 8292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐼)(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹))( ≃ph𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹))
90243ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (𝐼‘0) = (𝐹‘1))
9190eqcomd 2807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (𝐹‘1) = (𝐼‘0))
9265, 69, 83, 91, 78, 72pcoass 23633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐼)(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹))( ≃ph𝐽)(𝐹(*𝑝𝐽)(𝐼(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹))))
9347, 89, 92ertr3d 8294 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → ((*𝑝𝐽)𝐹)( ≃ph𝐽)(𝐹(*𝑝𝐽)(𝐼(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹))))
9475, 76, 93pcohtpy 23629 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (𝑓(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹))( ≃ph𝐽)(𝑓(*𝑝𝐽)(𝐹(*𝑝𝐽)(𝐼(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹)))))
9569, 83, 78pcocn 23626 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (𝐼(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹)) ∈ (II Cn 𝐽))
9669, 83pco0 23623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → ((𝐼(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹))‘0) = (𝐼‘0))
9796, 90eqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → ((𝐼(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹))‘0) = (𝐹‘1))
9897eqcomd 2807 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (𝐹‘1) = ((𝐼(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹))‘0))
9951, 65, 95, 61, 98, 72pcoass 23633 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → ((𝑓(*𝑝𝐽)𝐹)(*𝑝𝐽)(𝐼(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹)))( ≃ph𝐽)(𝑓(*𝑝𝐽)(𝐹(*𝑝𝐽)(𝐼(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹)))))
10047, 94, 99ertr4d 8295 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (𝑓(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹))( ≃ph𝐽)((𝑓(*𝑝𝐽)𝐹)(*𝑝𝐽)(𝐼(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹))))
10147, 73, 100ertrd 8292 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → ((𝑓(*𝑝𝐽))(*𝑝𝐽)𝐹)( ≃ph𝐽)((𝑓(*𝑝𝐽)𝐹)(*𝑝𝐽)(𝐼(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹))))
10268, 70, 101pcohtpy 23629 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (𝐼(*𝑝𝐽)((𝑓(*𝑝𝐽))(*𝑝𝐽)𝐹))( ≃ph𝐽)(𝐼(*𝑝𝐽)((𝑓(*𝑝𝐽)𝐹)(*𝑝𝐽)(𝐼(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹)))))
1033adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑓 𝐵) → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
10450, 103, 60pcocn 23626 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑓 𝐵) → (𝑓(*𝑝𝐽)𝐹) ∈ (II Cn 𝐽))
1051043adant3 1129 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (𝑓(*𝑝𝐽)𝐹) ∈ (II Cn 𝐽))
10650, 103pco0 23623 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑓 𝐵) → ((𝑓(*𝑝𝐽)𝐹)‘0) = (𝑓‘0))
10726adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑓 𝐵) → (𝐼‘1) = (𝐹‘0))
10857, 106, 1073eqtr4rd 2847 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑓 𝐵) → (𝐼‘1) = ((𝑓(*𝑝𝐽)𝐹)‘0))
1091083adant3 1129 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (𝐼‘1) = ((𝑓(*𝑝𝐽)𝐹)‘0))
11051, 65pco1 23624 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → ((𝑓(*𝑝𝐽)𝐹)‘1) = (𝐹‘1))
111110, 97eqtr4d 2839 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → ((𝑓(*𝑝𝐽)𝐹)‘1) = ((𝐼(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹))‘0))
11269, 105, 95, 109, 111, 72pcoass 23633 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → ((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑓(*𝑝𝐽)𝐹))(*𝑝𝐽)(𝐼(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹)))( ≃ph𝐽)(𝐼(*𝑝𝐽)((𝑓(*𝑝𝐽)𝐹)(*𝑝𝐽)(𝐼(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹)))))
11347, 102, 112ertr4d 8295 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (𝐼(*𝑝𝐽)((𝑓(*𝑝𝐽))(*𝑝𝐽)𝐹))( ≃ph𝐽)((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑓(*𝑝𝐽)𝐹))(*𝑝𝐽)(𝐼(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹))))
11447, 113erthi 8327 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → [(𝐼(*𝑝𝐽)((𝑓(*𝑝𝐽))(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽) = [((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑓(*𝑝𝐽)𝐹))(*𝑝𝐽)(𝐼(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹)))]( ≃ph𝐽))
11513ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
11651, 55pco1 23624 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → ((𝑓(*𝑝𝐽))‘1) = (‘1))
117116, 71eqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → ((𝑓(*𝑝𝐽))‘1) = (𝐹‘0))
1189, 1, 8, 28pi1eluni 23651 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑓(*𝑝𝐽)) ∈ 𝐵 ↔ ((𝑓(*𝑝𝐽)) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓(*𝑝𝐽))‘0) = (𝐹‘0) ∧ ((𝑓(*𝑝𝐽))‘1) = (𝐹‘0))))
1191183ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → ((𝑓(*𝑝𝐽)) ∈ 𝐵 ↔ ((𝑓(*𝑝𝐽)) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓(*𝑝𝐽))‘0) = (𝐹‘0) ∧ ((𝑓(*𝑝𝐽))‘1) = (𝐹‘0))))
12064, 59, 117, 119mpbir3and 1339 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (𝑓(*𝑝𝐽)) ∈ 𝐵)
1219, 15, 18, 19, 115, 65, 69, 91, 67, 120pi1xfrval 23663 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (𝐺‘[(𝑓(*𝑝𝐽))]( ≃ph𝐽)) = [(𝐼(*𝑝𝐽)((𝑓(*𝑝𝐽))(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽))
122 eqid 2801 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
123143ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (𝐹‘1) ∈ 𝑋)
124 eqid 2801 . . . . . . . . . . . . 13 (+g𝑄) = (+g𝑄)
12523adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑓 𝐵) → 𝐼 ∈ (II Cn 𝐽))
126125, 104, 108pcocn 23626 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑓 𝐵) → (𝐼(*𝑝𝐽)(𝑓(*𝑝𝐽)𝐹)) ∈ (II Cn 𝐽))
1271263adant3 1129 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (𝐼(*𝑝𝐽)(𝑓(*𝑝𝐽)𝐹)) ∈ (II Cn 𝐽))
128125, 104pco0 23623 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑓 𝐵) → ((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑓(*𝑝𝐽)𝐹))‘0) = (𝐼‘0))
12924adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑓 𝐵) → (𝐼‘0) = (𝐹‘1))
130128, 129eqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑓 𝐵) → ((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑓(*𝑝𝐽)𝐹))‘0) = (𝐹‘1))
1311303adant3 1129 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → ((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑓(*𝑝𝐽)𝐹))‘0) = (𝐹‘1))
132125, 104pco1 23624 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑓 𝐵) → ((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑓(*𝑝𝐽)𝐹))‘1) = ((𝑓(*𝑝𝐽)𝐹)‘1))
13350, 103pco1 23624 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑓 𝐵) → ((𝑓(*𝑝𝐽)𝐹)‘1) = (𝐹‘1))
134132, 133eqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑓 𝐵) → ((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑓(*𝑝𝐽)𝐹))‘1) = (𝐹‘1))
1351343adant3 1129 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → ((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑓(*𝑝𝐽)𝐹))‘1) = (𝐹‘1))
136 eqidd 2802 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄))
13715, 115, 123, 136pi1eluni 23651 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → ((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑓(*𝑝𝐽)𝐹)) ∈ (Base‘𝑄) ↔ ((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑓(*𝑝𝐽)𝐹)) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑓(*𝑝𝐽)𝐹))‘0) = (𝐹‘1) ∧ ((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑓(*𝑝𝐽)𝐹))‘1) = (𝐹‘1))))
138127, 131, 135, 137mpbir3and 1339 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (𝐼(*𝑝𝐽)(𝑓(*𝑝𝐽)𝐹)) ∈ (Base‘𝑄))
13969, 83pco1 23624 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → ((𝐼(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹))‘1) = (((*𝑝𝐽)𝐹)‘1))
14055, 65pco1 23624 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (((*𝑝𝐽)𝐹)‘1) = (𝐹‘1))
141139, 140eqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → ((𝐼(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹))‘1) = (𝐹‘1))
14215, 115, 123, 136pi1eluni 23651 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → ((𝐼(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹)) ∈ (Base‘𝑄) ↔ ((𝐼(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹)) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝐼(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹))‘0) = (𝐹‘1) ∧ ((𝐼(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹))‘1) = (𝐹‘1))))
14395, 97, 141, 142mpbir3and 1339 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (𝐼(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹)) ∈ (Base‘𝑄))
14415, 122, 115, 123, 124, 138, 143pi1addval 23657 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → ([(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑓(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽)(+g𝑄)[(𝐼(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽)) = [((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑓(*𝑝𝐽)𝐹))(*𝑝𝐽)(𝐼(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹)))]( ≃ph𝐽))
145114, 121, 1443eqtr4d 2846 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (𝐺‘[(𝑓(*𝑝𝐽))]( ≃ph𝐽)) = ([(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑓(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽)(+g𝑄)[(𝐼(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽)))
14683ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (𝐹‘0) ∈ 𝑋)
147 eqid 2801 . . . . . . . . . . . . 13 (+g𝑃) = (+g𝑃)
148 simp2 1134 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → 𝑓 𝐵)
149 simp3 1135 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → 𝐵)
1509, 18, 115, 146, 147, 148, 149pi1addval 23657 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → ([𝑓]( ≃ph𝐽)(+g𝑃)[]( ≃ph𝐽)) = [(𝑓(*𝑝𝐽))]( ≃ph𝐽))
151150fveq2d 6653 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (𝐺‘([𝑓]( ≃ph𝐽)(+g𝑃)[]( ≃ph𝐽))) = (𝐺‘[(𝑓(*𝑝𝐽))]( ≃ph𝐽)))
1521adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑓 𝐵) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
15325adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑓 𝐵) → (𝐹‘1) = (𝐼‘0))
154 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑓 𝐵) → 𝑓 𝐵)
1559, 15, 18, 19, 152, 103, 125, 153, 107, 154pi1xfrval 23663 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑓 𝐵) → (𝐺‘[𝑓]( ≃ph𝐽)) = [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑓(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽))
1561553adant3 1129 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (𝐺‘[𝑓]( ≃ph𝐽)) = [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑓(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽))
1579, 15, 18, 19, 115, 65, 69, 91, 67, 149pi1xfrval 23663 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (𝐺‘[]( ≃ph𝐽)) = [(𝐼(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽))
158156, 157oveq12d 7157 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph𝐽))(+g𝑄)(𝐺‘[]( ≃ph𝐽))) = ([(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑓(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽)(+g𝑄)[(𝐼(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽)))
159145, 151, 1583eqtr4d 2846 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (𝐺‘([𝑓]( ≃ph𝐽)(+g𝑃)[]( ≃ph𝐽))) = ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph𝐽))(+g𝑄)(𝐺‘[]( ≃ph𝐽))))
1601593expa 1115 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓 𝐵) ∧ 𝐵) → (𝐺‘([𝑓]( ≃ph𝐽)(+g𝑃)[]( ≃ph𝐽))) = ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph𝐽))(+g𝑄)(𝐺‘[]( ≃ph𝐽))))
16132, 45, 160ectocld 8351 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐵 / ( ≃ph𝐽))) → (𝐺‘([𝑓]( ≃ph𝐽)(+g𝑃)𝑧)) = ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph𝐽))(+g𝑄)(𝐺𝑧)))
16240, 161syldan 594 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓 𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → (𝐺‘([𝑓]( ≃ph𝐽)(+g𝑃)𝑧)) = ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph𝐽))(+g𝑄)(𝐺𝑧)))
163162ralrimiva 3152 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 𝐵) → ∀𝑧𝐵 (𝐺‘([𝑓]( ≃ph𝐽)(+g𝑃)𝑧)) = ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph𝐽))(+g𝑄)(𝐺𝑧)))
16432, 37, 163ectocld 8351 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ( 𝐵 / ( ≃ph𝐽))) → ∀𝑧𝐵 (𝐺‘(𝑦(+g𝑃)𝑧)) = ((𝐺𝑦)(+g𝑄)(𝐺𝑧)))
16531, 164syldan 594 . . . 4 ((𝜑𝑦𝐵) → ∀𝑧𝐵 (𝐺‘(𝑦(+g𝑃)𝑧)) = ((𝐺𝑦)(+g𝑄)(𝐺𝑧)))
166165ralrimiva 3152 . . 3 (𝜑 → ∀𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐺‘(𝑦(+g𝑃)𝑧)) = ((𝐺𝑦)(+g𝑄)(𝐺𝑧)))
16727, 166jca 515 . 2 (𝜑 → (𝐺:𝐵⟶(Base‘𝑄) ∧ ∀𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐺‘(𝑦(+g𝑃)𝑧)) = ((𝐺𝑦)(+g𝑄)(𝐺𝑧))))
16818, 122, 147, 124isghm 18354 . 2 (𝐺 ∈ (𝑃 GrpHom 𝑄) ↔ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑄 ∈ Grp) ∧ (𝐺:𝐵⟶(Base‘𝑄) ∧ ∀𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐺‘(𝑦(+g𝑃)𝑧)) = ((𝐺𝑦)(+g𝑄)(𝐺𝑧)))))
16911, 17, 167, 168syl21anbrc 1341 1 (𝜑𝐺 ∈ (𝑃 GrpHom 𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2112  wral 3109  ifcif 4428  {csn 4528  cop 4534   cuni 4803   class class class wbr 5033  cmpt 5113   × cxp 5521  ran crn 5524  wf 6324  cfv 6328  (class class class)co 7139   Er wer 8273  [cec 8274   / cqs 8275  0cc0 10530  1c1 10531   + caddc 10533   · cmul 10535  cle 10669  cmin 10863   / cdiv 11290  2c2 11684  4c4 11686  [,]cicc 12733  Basecbs 16479  +gcplusg 16561  Grpcgrp 18099   GrpHom cghm 18351  TopOnctopon 21519   Cn ccn 21833  IIcii 23484  phcphtpc 23578  *𝑝cpco 23609   π1 cpi1 23612
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608  ax-addf 10609  ax-mulf 10610
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-ec 8278  df-qs 8282  df-map 8395  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ioo 12734  df-icc 12737  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-exp 13430  df-hash 13691  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591  df-struct 16481  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-ress 16487  df-plusg 16574  df-mulr 16575  df-starv 16576  df-sca 16577  df-vsca 16578  df-ip 16579  df-tset 16580  df-ple 16581  df-ds 16583  df-unif 16584  df-hom 16585  df-cco 16586  df-rest 16692  df-topn 16693  df-0g 16711  df-gsum 16712  df-topgen 16713  df-pt 16714  df-prds 16717  df-xrs 16771  df-qtop 16776  df-imas 16777  df-qus 16778  df-xps 16779  df-mre 16853  df-mrc 16854  df-acs 16856  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-submnd 17953  df-grp 18102  df-mulg 18221  df-ghm 18352  df-cntz 18443  df-cmn 18904  df-psmet 20087  df-xmet 20088  df-met 20089  df-bl 20090  df-mopn 20091  df-cnfld 20096  df-top 21503  df-topon 21520  df-topsp 21542  df-bases 21555  df-cld 21628  df-cn 21836  df-cnp 21837  df-tx 22171  df-hmeo 22364  df-xms 22931  df-ms 22932  df-tms 22933  df-ii 23486  df-htpy 23579  df-phtpy 23580  df-phtpc 23601  df-pco 23614  df-om1 23615  df-pi1 23617
This theorem is referenced by:  pi1xfrcnv  23666  pi1xfrgim  23667
  Copyright terms: Public domain W3C validator