MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pi1xfr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pi1xfr 23225
Description: Given a path 𝐹 and its inverse 𝐼 between two basepoints, there is an induced group homomorphism on the fundamental groups. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pi1xfr.p 𝑃 = (𝐽 π1 (𝐹‘0))
pi1xfr.q 𝑄 = (𝐽 π1 (𝐹‘1))
pi1xfr.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
pi1xfr.g 𝐺 = ran (𝑔 𝐵 ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph𝐽), [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽)⟩)
pi1xfr.j (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
pi1xfr.f (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
pi1xfr.i 𝐼 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(1 − 𝑥)))
Assertion
Ref Expression
pi1xfr (𝜑𝐺 ∈ (𝑃 GrpHom 𝑄))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑔,𝐵   𝑔,𝐹,𝑥   𝑔,𝐼,𝑥   𝜑,𝑔,𝑥   𝑔,𝐽,𝑥   𝑃,𝑔,𝑥   𝑄,𝑔,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑔)   𝑋(𝑥,𝑔)

Proof of Theorem pi1xfr
Dummy variables 𝑓 𝑢 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pi1xfr.j . . . 4 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
2 iitopon 23053 . . . . . . 7 II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
32a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
4 pi1xfr.f . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
5 cnf2 21425 . . . . . 6 ((II ∈ (TopOn‘(0[,]1)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽)) → 𝐹:(0[,]1)⟶𝑋)
63, 1, 4, 5syl3anc 1496 . . . . 5 (𝜑𝐹:(0[,]1)⟶𝑋)
7 0elunit 12582 . . . . 5 0 ∈ (0[,]1)
8 ffvelrn 6607 . . . . 5 ((𝐹:(0[,]1)⟶𝑋 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘0) ∈ 𝑋)
96, 7, 8sylancl 582 . . . 4 (𝜑 → (𝐹‘0) ∈ 𝑋)
10 pi1xfr.p . . . . 5 𝑃 = (𝐽 π1 (𝐹‘0))
1110pi1grp 23220 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝐹‘0) ∈ 𝑋) → 𝑃 ∈ Grp)
121, 9, 11syl2anc 581 . . 3 (𝜑𝑃 ∈ Grp)
13 1elunit 12583 . . . . 5 1 ∈ (0[,]1)
14 ffvelrn 6607 . . . . 5 ((𝐹:(0[,]1)⟶𝑋 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘1) ∈ 𝑋)
156, 13, 14sylancl 582 . . . 4 (𝜑 → (𝐹‘1) ∈ 𝑋)
16 pi1xfr.q . . . . 5 𝑄 = (𝐽 π1 (𝐹‘1))
1716pi1grp 23220 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝐹‘1) ∈ 𝑋) → 𝑄 ∈ Grp)
181, 15, 17syl2anc 581 . . 3 (𝜑𝑄 ∈ Grp)
1912, 18jca 509 . 2 (𝜑 → (𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑄 ∈ Grp))
20 pi1xfr.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑃)
21 pi1xfr.g . . . 4 𝐺 = ran (𝑔 𝐵 ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph𝐽), [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽)⟩)
22 pi1xfr.i . . . . . . 7 𝐼 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(1 − 𝑥)))
2322pcorevcl 23195 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐼 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐼‘0) = (𝐹‘1) ∧ (𝐼‘1) = (𝐹‘0)))
244, 23syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐼‘0) = (𝐹‘1) ∧ (𝐼‘1) = (𝐹‘0)))
2524simp1d 1178 . . . 4 (𝜑𝐼 ∈ (II Cn 𝐽))
2624simp2d 1179 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼‘0) = (𝐹‘1))
2726eqcomd 2832 . . . 4 (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐼‘0))
2824simp3d 1180 . . . 4 (𝜑 → (𝐼‘1) = (𝐹‘0))
2910, 16, 20, 21, 1, 4, 25, 27, 28pi1xfrf 23223 . . 3 (𝜑𝐺:𝐵⟶(Base‘𝑄))
3020a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑃))
3110, 1, 9, 30pi1bas2 23211 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 = ( 𝐵 / ( ≃ph𝐽)))
3231eleq2d 2893 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦𝐵𝑦 ∈ ( 𝐵 / ( ≃ph𝐽))))
3332biimpa 470 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐵) → 𝑦 ∈ ( 𝐵 / ( ≃ph𝐽)))
34 eqid 2826 . . . . . 6 ( 𝐵 / ( ≃ph𝐽)) = ( 𝐵 / ( ≃ph𝐽))
35 fvoveq1 6929 . . . . . . . 8 ([𝑓]( ≃ph𝐽) = 𝑦 → (𝐺‘([𝑓]( ≃ph𝐽)(+g𝑃)𝑧)) = (𝐺‘(𝑦(+g𝑃)𝑧)))
36 fveq2 6434 . . . . . . . . 9 ([𝑓]( ≃ph𝐽) = 𝑦 → (𝐺‘[𝑓]( ≃ph𝐽)) = (𝐺𝑦))
3736oveq1d 6921 . . . . . . . 8 ([𝑓]( ≃ph𝐽) = 𝑦 → ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph𝐽))(+g𝑄)(𝐺𝑧)) = ((𝐺𝑦)(+g𝑄)(𝐺𝑧)))
3835, 37eqeq12d 2841 . . . . . . 7 ([𝑓]( ≃ph𝐽) = 𝑦 → ((𝐺‘([𝑓]( ≃ph𝐽)(+g𝑃)𝑧)) = ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph𝐽))(+g𝑄)(𝐺𝑧)) ↔ (𝐺‘(𝑦(+g𝑃)𝑧)) = ((𝐺𝑦)(+g𝑄)(𝐺𝑧))))
3938ralbidv 3196 . . . . . 6 ([𝑓]( ≃ph𝐽) = 𝑦 → (∀𝑧𝐵 (𝐺‘([𝑓]( ≃ph𝐽)(+g𝑃)𝑧)) = ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph𝐽))(+g𝑄)(𝐺𝑧)) ↔ ∀𝑧𝐵 (𝐺‘(𝑦(+g𝑃)𝑧)) = ((𝐺𝑦)(+g𝑄)(𝐺𝑧))))
4031eleq2d 2893 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑧𝐵𝑧 ∈ ( 𝐵 / ( ≃ph𝐽))))
4140biimpa 470 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧𝐵) → 𝑧 ∈ ( 𝐵 / ( ≃ph𝐽)))
4241adantlr 708 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓 𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → 𝑧 ∈ ( 𝐵 / ( ≃ph𝐽)))
43 oveq2 6914 . . . . . . . . . . 11 ([]( ≃ph𝐽) = 𝑧 → ([𝑓]( ≃ph𝐽)(+g𝑃)[]( ≃ph𝐽)) = ([𝑓]( ≃ph𝐽)(+g𝑃)𝑧))
4443fveq2d 6438 . . . . . . . . . 10 ([]( ≃ph𝐽) = 𝑧 → (𝐺‘([𝑓]( ≃ph𝐽)(+g𝑃)[]( ≃ph𝐽))) = (𝐺‘([𝑓]( ≃ph𝐽)(+g𝑃)𝑧)))
45 fveq2 6434 . . . . . . . . . . 11 ([]( ≃ph𝐽) = 𝑧 → (𝐺‘[]( ≃ph𝐽)) = (𝐺𝑧))
4645oveq2d 6922 . . . . . . . . . 10 ([]( ≃ph𝐽) = 𝑧 → ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph𝐽))(+g𝑄)(𝐺‘[]( ≃ph𝐽))) = ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph𝐽))(+g𝑄)(𝐺𝑧)))
4744, 46eqeq12d 2841 . . . . . . . . 9 ([]( ≃ph𝐽) = 𝑧 → ((𝐺‘([𝑓]( ≃ph𝐽)(+g𝑃)[]( ≃ph𝐽))) = ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph𝐽))(+g𝑄)(𝐺‘[]( ≃ph𝐽))) ↔ (𝐺‘([𝑓]( ≃ph𝐽)(+g𝑃)𝑧)) = ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph𝐽))(+g𝑄)(𝐺𝑧))))
48 phtpcer 23165 . . . . . . . . . . . . . 14 ( ≃ph𝐽) Er (II Cn 𝐽)
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → ( ≃ph𝐽) Er (II Cn 𝐽))
5010, 1, 9, 30pi1eluni 23212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑓 𝐵 ↔ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝐹‘0) ∧ (𝑓‘1) = (𝐹‘0))))
5150biimpa 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑓 𝐵) → (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝐹‘0) ∧ (𝑓‘1) = (𝐹‘0)))
5251simp1d 1178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑓 𝐵) → 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽))
53523adant3 1168 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽))
5410, 1, 9, 30pi1eluni 23212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ( 𝐵 ↔ ( ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (‘0) = (𝐹‘0) ∧ (‘1) = (𝐹‘0))))
5554adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑓 𝐵) → ( 𝐵 ↔ ( ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (‘0) = (𝐹‘0) ∧ (‘1) = (𝐹‘0))))
5655biimp3a 1599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → ( ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (‘0) = (𝐹‘0) ∧ (‘1) = (𝐹‘0)))
5756simp1d 1178 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → ∈ (II Cn 𝐽))
5853, 57pco0 23184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → ((𝑓(*𝑝𝐽))‘0) = (𝑓‘0))
5951simp2d 1179 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑓 𝐵) → (𝑓‘0) = (𝐹‘0))
60593adant3 1168 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (𝑓‘0) = (𝐹‘0))
6158, 60eqtrd 2862 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → ((𝑓(*𝑝𝐽))‘0) = (𝐹‘0))
6251simp3d 1180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑓 𝐵) → (𝑓‘1) = (𝐹‘0))
63623adant3 1168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (𝑓‘1) = (𝐹‘0))
6456simp2d 1179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (‘0) = (𝐹‘0))
6563, 64eqtr4d 2865 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (𝑓‘1) = (‘0))
6653, 57, 65pcocn 23187 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (𝑓(*𝑝𝐽)) ∈ (II Cn 𝐽))
6743ad2ant1 1169 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
6866, 67pco0 23184 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (((𝑓(*𝑝𝐽))(*𝑝𝐽)𝐹)‘0) = ((𝑓(*𝑝𝐽))‘0))
69283ad2ant1 1169 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (𝐼‘1) = (𝐹‘0))
7061, 68, 693eqtr4rd 2873 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (𝐼‘1) = (((𝑓(*𝑝𝐽))(*𝑝𝐽)𝐹)‘0))
71253ad2ant1 1169 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → 𝐼 ∈ (II Cn 𝐽))
7249, 71erref 8030 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → 𝐼( ≃ph𝐽)𝐼)
7356simp3d 1180 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (‘1) = (𝐹‘0))
74 eqid 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑢 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑢 ≤ (1 / 2), if(𝑢 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑢), (𝑢 + (1 / 4))), ((𝑢 / 2) + (1 / 2)))) = (𝑢 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑢 ≤ (1 / 2), if(𝑢 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑢), (𝑢 + (1 / 4))), ((𝑢 / 2) + (1 / 2))))
7553, 57, 67, 65, 73, 74pcoass 23194 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → ((𝑓(*𝑝𝐽))(*𝑝𝐽)𝐹)( ≃ph𝐽)(𝑓(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹)))
7657, 67pco0 23184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (((*𝑝𝐽)𝐹)‘0) = (‘0))
7765, 76eqtr4d 2865 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (𝑓‘1) = (((*𝑝𝐽)𝐹)‘0))
7849, 53erref 8030 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → 𝑓( ≃ph𝐽)𝑓)
7967, 71pco1 23185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐼)‘1) = (𝐼‘1))
8064, 76, 693eqtr4rd 2873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (𝐼‘1) = (((*𝑝𝐽)𝐹)‘0))
8179, 80eqtrd 2862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐼)‘1) = (((*𝑝𝐽)𝐹)‘0))
82 eqid 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((0[,]1) × {(𝐹‘0)}) = ((0[,]1) × {(𝐹‘0)})
8322, 82pcorev2 23198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐹(*𝑝𝐽)𝐼)( ≃ph𝐽)((0[,]1) × {(𝐹‘0)}))
8467, 83syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (𝐹(*𝑝𝐽)𝐼)( ≃ph𝐽)((0[,]1) × {(𝐹‘0)}))
8557, 67, 73pcocn 23187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → ((*𝑝𝐽)𝐹) ∈ (II Cn 𝐽))
8649, 85erref 8030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → ((*𝑝𝐽)𝐹)( ≃ph𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹))
8781, 84, 86pcohtpy 23190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐼)(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹))( ≃ph𝐽)(((0[,]1) × {(𝐹‘0)})(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹)))
8876, 64eqtrd 2862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (((*𝑝𝐽)𝐹)‘0) = (𝐹‘0))
8982pcopt 23192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((*𝑝𝐽)𝐹) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (((*𝑝𝐽)𝐹)‘0) = (𝐹‘0)) → (((0[,]1) × {(𝐹‘0)})(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹))( ≃ph𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹))
9085, 88, 89syl2anc 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (((0[,]1) × {(𝐹‘0)})(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹))( ≃ph𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹))
9149, 87, 90ertrd 8026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐼)(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹))( ≃ph𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹))
92263ad2ant1 1169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (𝐼‘0) = (𝐹‘1))
9392eqcomd 2832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (𝐹‘1) = (𝐼‘0))
9467, 71, 85, 93, 80, 74pcoass 23194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐼)(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹))( ≃ph𝐽)(𝐹(*𝑝𝐽)(𝐼(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹))))
9549, 91, 94ertr3d 8028 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → ((*𝑝𝐽)𝐹)( ≃ph𝐽)(𝐹(*𝑝𝐽)(𝐼(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹))))
9677, 78, 95pcohtpy 23190 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (𝑓(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹))( ≃ph𝐽)(𝑓(*𝑝𝐽)(𝐹(*𝑝𝐽)(𝐼(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹)))))
9771, 85, 80pcocn 23187 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (𝐼(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹)) ∈ (II Cn 𝐽))
9871, 85pco0 23184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → ((𝐼(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹))‘0) = (𝐼‘0))
9998, 92eqtrd 2862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → ((𝐼(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹))‘0) = (𝐹‘1))
10099eqcomd 2832 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (𝐹‘1) = ((𝐼(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹))‘0))
10153, 67, 97, 63, 100, 74pcoass 23194 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → ((𝑓(*𝑝𝐽)𝐹)(*𝑝𝐽)(𝐼(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹)))( ≃ph𝐽)(𝑓(*𝑝𝐽)(𝐹(*𝑝𝐽)(𝐼(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹)))))
10249, 96, 101ertr4d 8029 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (𝑓(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹))( ≃ph𝐽)((𝑓(*𝑝𝐽)𝐹)(*𝑝𝐽)(𝐼(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹))))
10349, 75, 102ertrd 8026 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → ((𝑓(*𝑝𝐽))(*𝑝𝐽)𝐹)( ≃ph𝐽)((𝑓(*𝑝𝐽)𝐹)(*𝑝𝐽)(𝐼(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹))))
10470, 72, 103pcohtpy 23190 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (𝐼(*𝑝𝐽)((𝑓(*𝑝𝐽))(*𝑝𝐽)𝐹))( ≃ph𝐽)(𝐼(*𝑝𝐽)((𝑓(*𝑝𝐽)𝐹)(*𝑝𝐽)(𝐼(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹)))))
1054adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑓 𝐵) → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
10652, 105, 62pcocn 23187 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑓 𝐵) → (𝑓(*𝑝𝐽)𝐹) ∈ (II Cn 𝐽))
1071063adant3 1168 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (𝑓(*𝑝𝐽)𝐹) ∈ (II Cn 𝐽))
10852, 105pco0 23184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑓 𝐵) → ((𝑓(*𝑝𝐽)𝐹)‘0) = (𝑓‘0))
10928adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑓 𝐵) → (𝐼‘1) = (𝐹‘0))
11059, 108, 1093eqtr4rd 2873 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑓 𝐵) → (𝐼‘1) = ((𝑓(*𝑝𝐽)𝐹)‘0))
1111103adant3 1168 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (𝐼‘1) = ((𝑓(*𝑝𝐽)𝐹)‘0))
11253, 67pco1 23185 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → ((𝑓(*𝑝𝐽)𝐹)‘1) = (𝐹‘1))
113112, 99eqtr4d 2865 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → ((𝑓(*𝑝𝐽)𝐹)‘1) = ((𝐼(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹))‘0))
11471, 107, 97, 111, 113, 74pcoass 23194 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → ((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑓(*𝑝𝐽)𝐹))(*𝑝𝐽)(𝐼(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹)))( ≃ph𝐽)(𝐼(*𝑝𝐽)((𝑓(*𝑝𝐽)𝐹)(*𝑝𝐽)(𝐼(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹)))))
11549, 104, 114ertr4d 8029 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (𝐼(*𝑝𝐽)((𝑓(*𝑝𝐽))(*𝑝𝐽)𝐹))( ≃ph𝐽)((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑓(*𝑝𝐽)𝐹))(*𝑝𝐽)(𝐼(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹))))
11649, 115erthi 8059 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → [(𝐼(*𝑝𝐽)((𝑓(*𝑝𝐽))(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽) = [((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑓(*𝑝𝐽)𝐹))(*𝑝𝐽)(𝐼(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹)))]( ≃ph𝐽))
11713ad2ant1 1169 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
11853, 57pco1 23185 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → ((𝑓(*𝑝𝐽))‘1) = (‘1))
119118, 73eqtrd 2862 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → ((𝑓(*𝑝𝐽))‘1) = (𝐹‘0))
12010, 1, 9, 30pi1eluni 23212 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑓(*𝑝𝐽)) ∈ 𝐵 ↔ ((𝑓(*𝑝𝐽)) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓(*𝑝𝐽))‘0) = (𝐹‘0) ∧ ((𝑓(*𝑝𝐽))‘1) = (𝐹‘0))))
1211203ad2ant1 1169 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → ((𝑓(*𝑝𝐽)) ∈ 𝐵 ↔ ((𝑓(*𝑝𝐽)) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓(*𝑝𝐽))‘0) = (𝐹‘0) ∧ ((𝑓(*𝑝𝐽))‘1) = (𝐹‘0))))
12266, 61, 119, 121mpbir3and 1448 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (𝑓(*𝑝𝐽)) ∈ 𝐵)
12310, 16, 20, 21, 117, 67, 71, 93, 69, 122pi1xfrval 23224 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (𝐺‘[(𝑓(*𝑝𝐽))]( ≃ph𝐽)) = [(𝐼(*𝑝𝐽)((𝑓(*𝑝𝐽))(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽))
124 eqid 2826 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
125153ad2ant1 1169 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (𝐹‘1) ∈ 𝑋)
126 eqid 2826 . . . . . . . . . . . . 13 (+g𝑄) = (+g𝑄)
12725adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑓 𝐵) → 𝐼 ∈ (II Cn 𝐽))
128127, 106, 110pcocn 23187 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑓 𝐵) → (𝐼(*𝑝𝐽)(𝑓(*𝑝𝐽)𝐹)) ∈ (II Cn 𝐽))
1291283adant3 1168 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (𝐼(*𝑝𝐽)(𝑓(*𝑝𝐽)𝐹)) ∈ (II Cn 𝐽))
130127, 106pco0 23184 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑓 𝐵) → ((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑓(*𝑝𝐽)𝐹))‘0) = (𝐼‘0))
13126adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑓 𝐵) → (𝐼‘0) = (𝐹‘1))
132130, 131eqtrd 2862 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑓 𝐵) → ((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑓(*𝑝𝐽)𝐹))‘0) = (𝐹‘1))
1331323adant3 1168 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → ((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑓(*𝑝𝐽)𝐹))‘0) = (𝐹‘1))
134127, 106pco1 23185 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑓 𝐵) → ((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑓(*𝑝𝐽)𝐹))‘1) = ((𝑓(*𝑝𝐽)𝐹)‘1))
13552, 105pco1 23185 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑓 𝐵) → ((𝑓(*𝑝𝐽)𝐹)‘1) = (𝐹‘1))
136134, 135eqtrd 2862 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑓 𝐵) → ((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑓(*𝑝𝐽)𝐹))‘1) = (𝐹‘1))
1371363adant3 1168 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → ((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑓(*𝑝𝐽)𝐹))‘1) = (𝐹‘1))
138 eqidd 2827 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄))
13916, 117, 125, 138pi1eluni 23212 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → ((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑓(*𝑝𝐽)𝐹)) ∈ (Base‘𝑄) ↔ ((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑓(*𝑝𝐽)𝐹)) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑓(*𝑝𝐽)𝐹))‘0) = (𝐹‘1) ∧ ((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑓(*𝑝𝐽)𝐹))‘1) = (𝐹‘1))))
140129, 133, 137, 139mpbir3and 1448 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (𝐼(*𝑝𝐽)(𝑓(*𝑝𝐽)𝐹)) ∈ (Base‘𝑄))
14171, 85pco1 23185 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → ((𝐼(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹))‘1) = (((*𝑝𝐽)𝐹)‘1))
14257, 67pco1 23185 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (((*𝑝𝐽)𝐹)‘1) = (𝐹‘1))
143141, 142eqtrd 2862 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → ((𝐼(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹))‘1) = (𝐹‘1))
14416, 117, 125, 138pi1eluni 23212 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → ((𝐼(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹)) ∈ (Base‘𝑄) ↔ ((𝐼(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹)) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝐼(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹))‘0) = (𝐹‘1) ∧ ((𝐼(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹))‘1) = (𝐹‘1))))
14597, 99, 143, 144mpbir3and 1448 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (𝐼(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹)) ∈ (Base‘𝑄))
14616, 124, 117, 125, 126, 140, 145pi1addval 23218 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → ([(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑓(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽)(+g𝑄)[(𝐼(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽)) = [((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑓(*𝑝𝐽)𝐹))(*𝑝𝐽)(𝐼(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹)))]( ≃ph𝐽))
147116, 123, 1463eqtr4d 2872 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (𝐺‘[(𝑓(*𝑝𝐽))]( ≃ph𝐽)) = ([(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑓(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽)(+g𝑄)[(𝐼(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽)))
14893ad2ant1 1169 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (𝐹‘0) ∈ 𝑋)
149 eqid 2826 . . . . . . . . . . . . 13 (+g𝑃) = (+g𝑃)
150 simp2 1173 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → 𝑓 𝐵)
151 simp3 1174 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → 𝐵)
15210, 20, 117, 148, 149, 150, 151pi1addval 23218 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → ([𝑓]( ≃ph𝐽)(+g𝑃)[]( ≃ph𝐽)) = [(𝑓(*𝑝𝐽))]( ≃ph𝐽))
153152fveq2d 6438 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (𝐺‘([𝑓]( ≃ph𝐽)(+g𝑃)[]( ≃ph𝐽))) = (𝐺‘[(𝑓(*𝑝𝐽))]( ≃ph𝐽)))
1541adantr 474 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑓 𝐵) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
15527adantr 474 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑓 𝐵) → (𝐹‘1) = (𝐼‘0))
156 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑓 𝐵) → 𝑓 𝐵)
15710, 16, 20, 21, 154, 105, 127, 155, 109, 156pi1xfrval 23224 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑓 𝐵) → (𝐺‘[𝑓]( ≃ph𝐽)) = [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑓(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽))
1581573adant3 1168 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (𝐺‘[𝑓]( ≃ph𝐽)) = [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑓(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽))
15910, 16, 20, 21, 117, 67, 71, 93, 69, 151pi1xfrval 23224 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (𝐺‘[]( ≃ph𝐽)) = [(𝐼(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽))
160158, 159oveq12d 6924 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph𝐽))(+g𝑄)(𝐺‘[]( ≃ph𝐽))) = ([(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑓(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽)(+g𝑄)[(𝐼(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽)))
161147, 153, 1603eqtr4d 2872 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (𝐺‘([𝑓]( ≃ph𝐽)(+g𝑃)[]( ≃ph𝐽))) = ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph𝐽))(+g𝑄)(𝐺‘[]( ≃ph𝐽))))
1621613expa 1153 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓 𝐵) ∧ 𝐵) → (𝐺‘([𝑓]( ≃ph𝐽)(+g𝑃)[]( ≃ph𝐽))) = ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph𝐽))(+g𝑄)(𝐺‘[]( ≃ph𝐽))))
16334, 47, 162ectocld 8080 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐵 / ( ≃ph𝐽))) → (𝐺‘([𝑓]( ≃ph𝐽)(+g𝑃)𝑧)) = ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph𝐽))(+g𝑄)(𝐺𝑧)))
16442, 163syldan 587 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓 𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → (𝐺‘([𝑓]( ≃ph𝐽)(+g𝑃)𝑧)) = ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph𝐽))(+g𝑄)(𝐺𝑧)))
165164ralrimiva 3176 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 𝐵) → ∀𝑧𝐵 (𝐺‘([𝑓]( ≃ph𝐽)(+g𝑃)𝑧)) = ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph𝐽))(+g𝑄)(𝐺𝑧)))
16634, 39, 165ectocld 8080 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ( 𝐵 / ( ≃ph𝐽))) → ∀𝑧𝐵 (𝐺‘(𝑦(+g𝑃)𝑧)) = ((𝐺𝑦)(+g𝑄)(𝐺𝑧)))
16733, 166syldan 587 . . . 4 ((𝜑𝑦𝐵) → ∀𝑧𝐵 (𝐺‘(𝑦(+g𝑃)𝑧)) = ((𝐺𝑦)(+g𝑄)(𝐺𝑧)))
168167ralrimiva 3176 . . 3 (𝜑 → ∀𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐺‘(𝑦(+g𝑃)𝑧)) = ((𝐺𝑦)(+g𝑄)(𝐺𝑧)))
16929, 168jca 509 . 2 (𝜑 → (𝐺:𝐵⟶(Base‘𝑄) ∧ ∀𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐺‘(𝑦(+g𝑃)𝑧)) = ((𝐺𝑦)(+g𝑄)(𝐺𝑧))))
17020, 124, 149, 126isghm 18012 . 2 (𝐺 ∈ (𝑃 GrpHom 𝑄) ↔ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑄 ∈ Grp) ∧ (𝐺:𝐵⟶(Base‘𝑄) ∧ ∀𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐺‘(𝑦(+g𝑃)𝑧)) = ((𝐺𝑦)(+g𝑄)(𝐺𝑧)))))
17119, 169, 170sylanbrc 580 1 (𝜑𝐺 ∈ (𝑃 GrpHom 𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  w3a 1113   = wceq 1658  wcel 2166  wral 3118  ifcif 4307  {csn 4398  cop 4404   cuni 4659   class class class wbr 4874  cmpt 4953   × cxp 5341  ran crn 5344  wf 6120  cfv 6124  (class class class)co 6906   Er wer 8007  [cec 8008   / cqs 8009  0cc0 10253  1c1 10254   + caddc 10256   · cmul 10258  cle 10393  cmin 10586   / cdiv 11010  2c2 11407  4c4 11409  [,]cicc 12467  Basecbs 16223  +gcplusg 16306  Grpcgrp 17777   GrpHom cghm 18009  TopOnctopon 21086   Cn ccn 21400  IIcii 23049  phcphtpc 23139  *𝑝cpco 23170   π1 cpi1 23173
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-inf2 8816  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330  ax-pre-sup 10331  ax-addf 10332  ax-mulf 10333
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-int 4699  df-iun 4743  df-iin 4744  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-se 5303  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-isom 6133  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-of 7158  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-supp 7561  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-1o 7827  df-2o 7828  df-oadd 7831  df-er 8010  df-ec 8012  df-qs 8016  df-map 8125  df-ixp 8177  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-fin 8227  df-fsupp 8546  df-fi 8587  df-sup 8618  df-inf 8619  df-oi 8685  df-card 9079  df-cda 9306  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-div 11011  df-nn 11352  df-2 11415  df-3 11416  df-4 11417  df-5 11418  df-6 11419  df-7 11420  df-8 11421  df-9 11422  df-n0 11620  df-z 11706  df-dec 11823  df-uz 11970  df-q 12073  df-rp 12114  df-xneg 12233  df-xadd 12234  df-xmul 12235  df-ioo 12468  df-icc 12471  df-fz 12621  df-fzo 12762  df-seq 13097  df-exp 13156  df-hash 13412  df-cj 14217  df-re 14218  df-im 14219  df-sqrt 14353  df-abs 14354  df-struct 16225  df-ndx 16226  df-slot 16227  df-base 16229  df-sets 16230  df-ress 16231  df-plusg 16319  df-mulr 16320  df-starv 16321  df-sca 16322  df-vsca 16323  df-ip 16324  df-tset 16325  df-ple 16326  df-ds 16328  df-unif 16329  df-hom 16330  df-cco 16331  df-rest 16437  df-topn 16438  df-0g 16456  df-gsum 16457  df-topgen 16458  df-pt 16459  df-prds 16462  df-xrs 16516  df-qtop 16521  df-imas 16522  df-qus 16523  df-xps 16524  df-mre 16600  df-mrc 16601  df-acs 16603  df-mgm 17596  df-sgrp 17638  df-mnd 17649  df-submnd 17690  df-grp 17780  df-mulg 17896  df-ghm 18010  df-cntz 18101  df-cmn 18549  df-psmet 20099  df-xmet 20100  df-met 20101  df-bl 20102  df-mopn 20103  df-cnfld 20108  df-top 21070  df-topon 21087  df-topsp 21109  df-bases 21122  df-cld 21195  df-cn 21403  df-cnp 21404  df-tx 21737  df-hmeo 21930  df-xms 22496  df-ms 22497  df-tms 22498  df-ii 23051  df-htpy 23140  df-phtpy 23141  df-phtpc 23162  df-pco 23175  df-om1 23176  df-pi1 23178
This theorem is referenced by:  pi1xfrcnv  23227  pi1xfrgim  23228
  Copyright terms: Public domain W3C validator