MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pi1xfr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pi1xfr 23266
Description: Given a path 𝐹 and its inverse 𝐼 between two basepoints, there is an induced group homomorphism on the fundamental groups. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pi1xfr.p 𝑃 = (𝐽 π1 (𝐹‘0))
pi1xfr.q 𝑄 = (𝐽 π1 (𝐹‘1))
pi1xfr.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
pi1xfr.g 𝐺 = ran (𝑔 𝐵 ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph𝐽), [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽)⟩)
pi1xfr.j (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
pi1xfr.f (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
pi1xfr.i 𝐼 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(1 − 𝑥)))
Assertion
Ref Expression
pi1xfr (𝜑𝐺 ∈ (𝑃 GrpHom 𝑄))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑔,𝐵   𝑔,𝐹,𝑥   𝑔,𝐼,𝑥   𝜑,𝑔,𝑥   𝑔,𝐽,𝑥   𝑃,𝑔,𝑥   𝑄,𝑔,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑔)   𝑋(𝑥,𝑔)

Proof of Theorem pi1xfr
Dummy variables 𝑓 𝑢 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pi1xfr.j . . . 4 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
2 iitopon 23094 . . . . . . 7 II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
32a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
4 pi1xfr.f . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
5 cnf2 21465 . . . . . 6 ((II ∈ (TopOn‘(0[,]1)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽)) → 𝐹:(0[,]1)⟶𝑋)
63, 1, 4, 5syl3anc 1439 . . . . 5 (𝜑𝐹:(0[,]1)⟶𝑋)
7 0elunit 12609 . . . . 5 0 ∈ (0[,]1)
8 ffvelrn 6623 . . . . 5 ((𝐹:(0[,]1)⟶𝑋 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘0) ∈ 𝑋)
96, 7, 8sylancl 580 . . . 4 (𝜑 → (𝐹‘0) ∈ 𝑋)
10 pi1xfr.p . . . . 5 𝑃 = (𝐽 π1 (𝐹‘0))
1110pi1grp 23261 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝐹‘0) ∈ 𝑋) → 𝑃 ∈ Grp)
121, 9, 11syl2anc 579 . . 3 (𝜑𝑃 ∈ Grp)
13 1elunit 12610 . . . . 5 1 ∈ (0[,]1)
14 ffvelrn 6623 . . . . 5 ((𝐹:(0[,]1)⟶𝑋 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘1) ∈ 𝑋)
156, 13, 14sylancl 580 . . . 4 (𝜑 → (𝐹‘1) ∈ 𝑋)
16 pi1xfr.q . . . . 5 𝑄 = (𝐽 π1 (𝐹‘1))
1716pi1grp 23261 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝐹‘1) ∈ 𝑋) → 𝑄 ∈ Grp)
181, 15, 17syl2anc 579 . . 3 (𝜑𝑄 ∈ Grp)
1912, 18jca 507 . 2 (𝜑 → (𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑄 ∈ Grp))
20 pi1xfr.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑃)
21 pi1xfr.g . . . 4 𝐺 = ran (𝑔 𝐵 ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph𝐽), [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽)⟩)
22 pi1xfr.i . . . . . . 7 𝐼 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(1 − 𝑥)))
2322pcorevcl 23236 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐼 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐼‘0) = (𝐹‘1) ∧ (𝐼‘1) = (𝐹‘0)))
244, 23syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐼‘0) = (𝐹‘1) ∧ (𝐼‘1) = (𝐹‘0)))
2524simp1d 1133 . . . 4 (𝜑𝐼 ∈ (II Cn 𝐽))
2624simp2d 1134 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼‘0) = (𝐹‘1))
2726eqcomd 2784 . . . 4 (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐼‘0))
2824simp3d 1135 . . . 4 (𝜑 → (𝐼‘1) = (𝐹‘0))
2910, 16, 20, 21, 1, 4, 25, 27, 28pi1xfrf 23264 . . 3 (𝜑𝐺:𝐵⟶(Base‘𝑄))
3020a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑃))
3110, 1, 9, 30pi1bas2 23252 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 = ( 𝐵 / ( ≃ph𝐽)))
3231eleq2d 2845 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦𝐵𝑦 ∈ ( 𝐵 / ( ≃ph𝐽))))
3332biimpa 470 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐵) → 𝑦 ∈ ( 𝐵 / ( ≃ph𝐽)))
34 eqid 2778 . . . . . 6 ( 𝐵 / ( ≃ph𝐽)) = ( 𝐵 / ( ≃ph𝐽))
35 fvoveq1 6947 . . . . . . . 8 ([𝑓]( ≃ph𝐽) = 𝑦 → (𝐺‘([𝑓]( ≃ph𝐽)(+g𝑃)𝑧)) = (𝐺‘(𝑦(+g𝑃)𝑧)))
36 fveq2 6448 . . . . . . . . 9 ([𝑓]( ≃ph𝐽) = 𝑦 → (𝐺‘[𝑓]( ≃ph𝐽)) = (𝐺𝑦))
3736oveq1d 6939 . . . . . . . 8 ([𝑓]( ≃ph𝐽) = 𝑦 → ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph𝐽))(+g𝑄)(𝐺𝑧)) = ((𝐺𝑦)(+g𝑄)(𝐺𝑧)))
3835, 37eqeq12d 2793 . . . . . . 7 ([𝑓]( ≃ph𝐽) = 𝑦 → ((𝐺‘([𝑓]( ≃ph𝐽)(+g𝑃)𝑧)) = ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph𝐽))(+g𝑄)(𝐺𝑧)) ↔ (𝐺‘(𝑦(+g𝑃)𝑧)) = ((𝐺𝑦)(+g𝑄)(𝐺𝑧))))
3938ralbidv 3168 . . . . . 6 ([𝑓]( ≃ph𝐽) = 𝑦 → (∀𝑧𝐵 (𝐺‘([𝑓]( ≃ph𝐽)(+g𝑃)𝑧)) = ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph𝐽))(+g𝑄)(𝐺𝑧)) ↔ ∀𝑧𝐵 (𝐺‘(𝑦(+g𝑃)𝑧)) = ((𝐺𝑦)(+g𝑄)(𝐺𝑧))))
4031eleq2d 2845 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑧𝐵𝑧 ∈ ( 𝐵 / ( ≃ph𝐽))))
4140biimpa 470 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧𝐵) → 𝑧 ∈ ( 𝐵 / ( ≃ph𝐽)))
4241adantlr 705 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓 𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → 𝑧 ∈ ( 𝐵 / ( ≃ph𝐽)))
43 oveq2 6932 . . . . . . . . . . 11 ([]( ≃ph𝐽) = 𝑧 → ([𝑓]( ≃ph𝐽)(+g𝑃)[]( ≃ph𝐽)) = ([𝑓]( ≃ph𝐽)(+g𝑃)𝑧))
4443fveq2d 6452 . . . . . . . . . 10 ([]( ≃ph𝐽) = 𝑧 → (𝐺‘([𝑓]( ≃ph𝐽)(+g𝑃)[]( ≃ph𝐽))) = (𝐺‘([𝑓]( ≃ph𝐽)(+g𝑃)𝑧)))
45 fveq2 6448 . . . . . . . . . . 11 ([]( ≃ph𝐽) = 𝑧 → (𝐺‘[]( ≃ph𝐽)) = (𝐺𝑧))
4645oveq2d 6940 . . . . . . . . . 10 ([]( ≃ph𝐽) = 𝑧 → ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph𝐽))(+g𝑄)(𝐺‘[]( ≃ph𝐽))) = ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph𝐽))(+g𝑄)(𝐺𝑧)))
4744, 46eqeq12d 2793 . . . . . . . . 9 ([]( ≃ph𝐽) = 𝑧 → ((𝐺‘([𝑓]( ≃ph𝐽)(+g𝑃)[]( ≃ph𝐽))) = ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph𝐽))(+g𝑄)(𝐺‘[]( ≃ph𝐽))) ↔ (𝐺‘([𝑓]( ≃ph𝐽)(+g𝑃)𝑧)) = ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph𝐽))(+g𝑄)(𝐺𝑧))))
48 phtpcer 23206 . . . . . . . . . . . . . 14 ( ≃ph𝐽) Er (II Cn 𝐽)
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → ( ≃ph𝐽) Er (II Cn 𝐽))
5010, 1, 9, 30pi1eluni 23253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑓 𝐵 ↔ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝐹‘0) ∧ (𝑓‘1) = (𝐹‘0))))
5150biimpa 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑓 𝐵) → (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = (𝐹‘0) ∧ (𝑓‘1) = (𝐹‘0)))
5251simp1d 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑓 𝐵) → 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽))
53523adant3 1123 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽))
5410, 1, 9, 30pi1eluni 23253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ( 𝐵 ↔ ( ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (‘0) = (𝐹‘0) ∧ (‘1) = (𝐹‘0))))
5554adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑓 𝐵) → ( 𝐵 ↔ ( ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (‘0) = (𝐹‘0) ∧ (‘1) = (𝐹‘0))))
5655biimp3a 1542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → ( ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (‘0) = (𝐹‘0) ∧ (‘1) = (𝐹‘0)))
5756simp1d 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → ∈ (II Cn 𝐽))
5853, 57pco0 23225 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → ((𝑓(*𝑝𝐽))‘0) = (𝑓‘0))
5951simp2d 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑓 𝐵) → (𝑓‘0) = (𝐹‘0))
60593adant3 1123 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (𝑓‘0) = (𝐹‘0))
6158, 60eqtrd 2814 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → ((𝑓(*𝑝𝐽))‘0) = (𝐹‘0))
6251simp3d 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑓 𝐵) → (𝑓‘1) = (𝐹‘0))
63623adant3 1123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (𝑓‘1) = (𝐹‘0))
6456simp2d 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (‘0) = (𝐹‘0))
6563, 64eqtr4d 2817 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (𝑓‘1) = (‘0))
6653, 57, 65pcocn 23228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (𝑓(*𝑝𝐽)) ∈ (II Cn 𝐽))
6743ad2ant1 1124 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
6866, 67pco0 23225 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (((𝑓(*𝑝𝐽))(*𝑝𝐽)𝐹)‘0) = ((𝑓(*𝑝𝐽))‘0))
69283ad2ant1 1124 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (𝐼‘1) = (𝐹‘0))
7061, 68, 693eqtr4rd 2825 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (𝐼‘1) = (((𝑓(*𝑝𝐽))(*𝑝𝐽)𝐹)‘0))
71253ad2ant1 1124 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → 𝐼 ∈ (II Cn 𝐽))
7249, 71erref 8048 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → 𝐼( ≃ph𝐽)𝐼)
7356simp3d 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (‘1) = (𝐹‘0))
74 eqid 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑢 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑢 ≤ (1 / 2), if(𝑢 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑢), (𝑢 + (1 / 4))), ((𝑢 / 2) + (1 / 2)))) = (𝑢 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑢 ≤ (1 / 2), if(𝑢 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑢), (𝑢 + (1 / 4))), ((𝑢 / 2) + (1 / 2))))
7553, 57, 67, 65, 73, 74pcoass 23235 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → ((𝑓(*𝑝𝐽))(*𝑝𝐽)𝐹)( ≃ph𝐽)(𝑓(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹)))
7657, 67pco0 23225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (((*𝑝𝐽)𝐹)‘0) = (‘0))
7765, 76eqtr4d 2817 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (𝑓‘1) = (((*𝑝𝐽)𝐹)‘0))
7849, 53erref 8048 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → 𝑓( ≃ph𝐽)𝑓)
7967, 71pco1 23226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐼)‘1) = (𝐼‘1))
8064, 76, 693eqtr4rd 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (𝐼‘1) = (((*𝑝𝐽)𝐹)‘0))
8179, 80eqtrd 2814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐼)‘1) = (((*𝑝𝐽)𝐹)‘0))
82 eqid 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((0[,]1) × {(𝐹‘0)}) = ((0[,]1) × {(𝐹‘0)})
8322, 82pcorev2 23239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐹(*𝑝𝐽)𝐼)( ≃ph𝐽)((0[,]1) × {(𝐹‘0)}))
8467, 83syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (𝐹(*𝑝𝐽)𝐼)( ≃ph𝐽)((0[,]1) × {(𝐹‘0)}))
8557, 67, 73pcocn 23228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → ((*𝑝𝐽)𝐹) ∈ (II Cn 𝐽))
8649, 85erref 8048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → ((*𝑝𝐽)𝐹)( ≃ph𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹))
8781, 84, 86pcohtpy 23231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐼)(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹))( ≃ph𝐽)(((0[,]1) × {(𝐹‘0)})(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹)))
8876, 64eqtrd 2814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (((*𝑝𝐽)𝐹)‘0) = (𝐹‘0))
8982pcopt 23233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((*𝑝𝐽)𝐹) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (((*𝑝𝐽)𝐹)‘0) = (𝐹‘0)) → (((0[,]1) × {(𝐹‘0)})(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹))( ≃ph𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹))
9085, 88, 89syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (((0[,]1) × {(𝐹‘0)})(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹))( ≃ph𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹))
9149, 87, 90ertrd 8044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐼)(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹))( ≃ph𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹))
92263ad2ant1 1124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (𝐼‘0) = (𝐹‘1))
9392eqcomd 2784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (𝐹‘1) = (𝐼‘0))
9467, 71, 85, 93, 80, 74pcoass 23235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐼)(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹))( ≃ph𝐽)(𝐹(*𝑝𝐽)(𝐼(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹))))
9549, 91, 94ertr3d 8046 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → ((*𝑝𝐽)𝐹)( ≃ph𝐽)(𝐹(*𝑝𝐽)(𝐼(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹))))
9677, 78, 95pcohtpy 23231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (𝑓(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹))( ≃ph𝐽)(𝑓(*𝑝𝐽)(𝐹(*𝑝𝐽)(𝐼(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹)))))
9771, 85, 80pcocn 23228 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (𝐼(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹)) ∈ (II Cn 𝐽))
9871, 85pco0 23225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → ((𝐼(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹))‘0) = (𝐼‘0))
9998, 92eqtrd 2814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → ((𝐼(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹))‘0) = (𝐹‘1))
10099eqcomd 2784 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (𝐹‘1) = ((𝐼(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹))‘0))
10153, 67, 97, 63, 100, 74pcoass 23235 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → ((𝑓(*𝑝𝐽)𝐹)(*𝑝𝐽)(𝐼(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹)))( ≃ph𝐽)(𝑓(*𝑝𝐽)(𝐹(*𝑝𝐽)(𝐼(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹)))))
10249, 96, 101ertr4d 8047 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (𝑓(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹))( ≃ph𝐽)((𝑓(*𝑝𝐽)𝐹)(*𝑝𝐽)(𝐼(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹))))
10349, 75, 102ertrd 8044 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → ((𝑓(*𝑝𝐽))(*𝑝𝐽)𝐹)( ≃ph𝐽)((𝑓(*𝑝𝐽)𝐹)(*𝑝𝐽)(𝐼(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹))))
10470, 72, 103pcohtpy 23231 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (𝐼(*𝑝𝐽)((𝑓(*𝑝𝐽))(*𝑝𝐽)𝐹))( ≃ph𝐽)(𝐼(*𝑝𝐽)((𝑓(*𝑝𝐽)𝐹)(*𝑝𝐽)(𝐼(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹)))))
1054adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑓 𝐵) → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
10652, 105, 62pcocn 23228 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑓 𝐵) → (𝑓(*𝑝𝐽)𝐹) ∈ (II Cn 𝐽))
1071063adant3 1123 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (𝑓(*𝑝𝐽)𝐹) ∈ (II Cn 𝐽))
10852, 105pco0 23225 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑓 𝐵) → ((𝑓(*𝑝𝐽)𝐹)‘0) = (𝑓‘0))
10928adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑓 𝐵) → (𝐼‘1) = (𝐹‘0))
11059, 108, 1093eqtr4rd 2825 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑓 𝐵) → (𝐼‘1) = ((𝑓(*𝑝𝐽)𝐹)‘0))
1111103adant3 1123 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (𝐼‘1) = ((𝑓(*𝑝𝐽)𝐹)‘0))
11253, 67pco1 23226 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → ((𝑓(*𝑝𝐽)𝐹)‘1) = (𝐹‘1))
113112, 99eqtr4d 2817 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → ((𝑓(*𝑝𝐽)𝐹)‘1) = ((𝐼(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹))‘0))
11471, 107, 97, 111, 113, 74pcoass 23235 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → ((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑓(*𝑝𝐽)𝐹))(*𝑝𝐽)(𝐼(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹)))( ≃ph𝐽)(𝐼(*𝑝𝐽)((𝑓(*𝑝𝐽)𝐹)(*𝑝𝐽)(𝐼(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹)))))
11549, 104, 114ertr4d 8047 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (𝐼(*𝑝𝐽)((𝑓(*𝑝𝐽))(*𝑝𝐽)𝐹))( ≃ph𝐽)((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑓(*𝑝𝐽)𝐹))(*𝑝𝐽)(𝐼(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹))))
11649, 115erthi 8077 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → [(𝐼(*𝑝𝐽)((𝑓(*𝑝𝐽))(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽) = [((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑓(*𝑝𝐽)𝐹))(*𝑝𝐽)(𝐼(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹)))]( ≃ph𝐽))
11713ad2ant1 1124 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
11853, 57pco1 23226 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → ((𝑓(*𝑝𝐽))‘1) = (‘1))
119118, 73eqtrd 2814 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → ((𝑓(*𝑝𝐽))‘1) = (𝐹‘0))
12010, 1, 9, 30pi1eluni 23253 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑓(*𝑝𝐽)) ∈ 𝐵 ↔ ((𝑓(*𝑝𝐽)) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓(*𝑝𝐽))‘0) = (𝐹‘0) ∧ ((𝑓(*𝑝𝐽))‘1) = (𝐹‘0))))
1211203ad2ant1 1124 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → ((𝑓(*𝑝𝐽)) ∈ 𝐵 ↔ ((𝑓(*𝑝𝐽)) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓(*𝑝𝐽))‘0) = (𝐹‘0) ∧ ((𝑓(*𝑝𝐽))‘1) = (𝐹‘0))))
12266, 61, 119, 121mpbir3and 1399 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (𝑓(*𝑝𝐽)) ∈ 𝐵)
12310, 16, 20, 21, 117, 67, 71, 93, 69, 122pi1xfrval 23265 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (𝐺‘[(𝑓(*𝑝𝐽))]( ≃ph𝐽)) = [(𝐼(*𝑝𝐽)((𝑓(*𝑝𝐽))(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽))
124 eqid 2778 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
125153ad2ant1 1124 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (𝐹‘1) ∈ 𝑋)
126 eqid 2778 . . . . . . . . . . . . 13 (+g𝑄) = (+g𝑄)
12725adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑓 𝐵) → 𝐼 ∈ (II Cn 𝐽))
128127, 106, 110pcocn 23228 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑓 𝐵) → (𝐼(*𝑝𝐽)(𝑓(*𝑝𝐽)𝐹)) ∈ (II Cn 𝐽))
1291283adant3 1123 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (𝐼(*𝑝𝐽)(𝑓(*𝑝𝐽)𝐹)) ∈ (II Cn 𝐽))
130127, 106pco0 23225 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑓 𝐵) → ((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑓(*𝑝𝐽)𝐹))‘0) = (𝐼‘0))
13126adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑓 𝐵) → (𝐼‘0) = (𝐹‘1))
132130, 131eqtrd 2814 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑓 𝐵) → ((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑓(*𝑝𝐽)𝐹))‘0) = (𝐹‘1))
1331323adant3 1123 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → ((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑓(*𝑝𝐽)𝐹))‘0) = (𝐹‘1))
134127, 106pco1 23226 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑓 𝐵) → ((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑓(*𝑝𝐽)𝐹))‘1) = ((𝑓(*𝑝𝐽)𝐹)‘1))
13552, 105pco1 23226 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑓 𝐵) → ((𝑓(*𝑝𝐽)𝐹)‘1) = (𝐹‘1))
136134, 135eqtrd 2814 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑓 𝐵) → ((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑓(*𝑝𝐽)𝐹))‘1) = (𝐹‘1))
1371363adant3 1123 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → ((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑓(*𝑝𝐽)𝐹))‘1) = (𝐹‘1))
138 eqidd 2779 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄))
13916, 117, 125, 138pi1eluni 23253 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → ((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑓(*𝑝𝐽)𝐹)) ∈ (Base‘𝑄) ↔ ((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑓(*𝑝𝐽)𝐹)) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑓(*𝑝𝐽)𝐹))‘0) = (𝐹‘1) ∧ ((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑓(*𝑝𝐽)𝐹))‘1) = (𝐹‘1))))
140129, 133, 137, 139mpbir3and 1399 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (𝐼(*𝑝𝐽)(𝑓(*𝑝𝐽)𝐹)) ∈ (Base‘𝑄))
14171, 85pco1 23226 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → ((𝐼(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹))‘1) = (((*𝑝𝐽)𝐹)‘1))
14257, 67pco1 23226 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (((*𝑝𝐽)𝐹)‘1) = (𝐹‘1))
143141, 142eqtrd 2814 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → ((𝐼(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹))‘1) = (𝐹‘1))
14416, 117, 125, 138pi1eluni 23253 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → ((𝐼(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹)) ∈ (Base‘𝑄) ↔ ((𝐼(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹)) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝐼(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹))‘0) = (𝐹‘1) ∧ ((𝐼(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹))‘1) = (𝐹‘1))))
14597, 99, 143, 144mpbir3and 1399 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (𝐼(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹)) ∈ (Base‘𝑄))
14616, 124, 117, 125, 126, 140, 145pi1addval 23259 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → ([(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑓(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽)(+g𝑄)[(𝐼(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽)) = [((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑓(*𝑝𝐽)𝐹))(*𝑝𝐽)(𝐼(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹)))]( ≃ph𝐽))
147116, 123, 1463eqtr4d 2824 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (𝐺‘[(𝑓(*𝑝𝐽))]( ≃ph𝐽)) = ([(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑓(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽)(+g𝑄)[(𝐼(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽)))
14893ad2ant1 1124 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (𝐹‘0) ∈ 𝑋)
149 eqid 2778 . . . . . . . . . . . . 13 (+g𝑃) = (+g𝑃)
150 simp2 1128 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → 𝑓 𝐵)
151 simp3 1129 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → 𝐵)
15210, 20, 117, 148, 149, 150, 151pi1addval 23259 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → ([𝑓]( ≃ph𝐽)(+g𝑃)[]( ≃ph𝐽)) = [(𝑓(*𝑝𝐽))]( ≃ph𝐽))
153152fveq2d 6452 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (𝐺‘([𝑓]( ≃ph𝐽)(+g𝑃)[]( ≃ph𝐽))) = (𝐺‘[(𝑓(*𝑝𝐽))]( ≃ph𝐽)))
1541adantr 474 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑓 𝐵) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
15527adantr 474 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑓 𝐵) → (𝐹‘1) = (𝐼‘0))
156 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑓 𝐵) → 𝑓 𝐵)
15710, 16, 20, 21, 154, 105, 127, 155, 109, 156pi1xfrval 23265 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑓 𝐵) → (𝐺‘[𝑓]( ≃ph𝐽)) = [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑓(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽))
1581573adant3 1123 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (𝐺‘[𝑓]( ≃ph𝐽)) = [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑓(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽))
15910, 16, 20, 21, 117, 67, 71, 93, 69, 151pi1xfrval 23265 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (𝐺‘[]( ≃ph𝐽)) = [(𝐼(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽))
160158, 159oveq12d 6942 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph𝐽))(+g𝑄)(𝐺‘[]( ≃ph𝐽))) = ([(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑓(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽)(+g𝑄)[(𝐼(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽)))
161147, 153, 1603eqtr4d 2824 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑓 𝐵 𝐵) → (𝐺‘([𝑓]( ≃ph𝐽)(+g𝑃)[]( ≃ph𝐽))) = ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph𝐽))(+g𝑄)(𝐺‘[]( ≃ph𝐽))))
1621613expa 1108 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓 𝐵) ∧ 𝐵) → (𝐺‘([𝑓]( ≃ph𝐽)(+g𝑃)[]( ≃ph𝐽))) = ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph𝐽))(+g𝑄)(𝐺‘[]( ≃ph𝐽))))
16334, 47, 162ectocld 8099 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐵 / ( ≃ph𝐽))) → (𝐺‘([𝑓]( ≃ph𝐽)(+g𝑃)𝑧)) = ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph𝐽))(+g𝑄)(𝐺𝑧)))
16442, 163syldan 585 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓 𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → (𝐺‘([𝑓]( ≃ph𝐽)(+g𝑃)𝑧)) = ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph𝐽))(+g𝑄)(𝐺𝑧)))
165164ralrimiva 3148 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 𝐵) → ∀𝑧𝐵 (𝐺‘([𝑓]( ≃ph𝐽)(+g𝑃)𝑧)) = ((𝐺‘[𝑓]( ≃ph𝐽))(+g𝑄)(𝐺𝑧)))
16634, 39, 165ectocld 8099 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ( 𝐵 / ( ≃ph𝐽))) → ∀𝑧𝐵 (𝐺‘(𝑦(+g𝑃)𝑧)) = ((𝐺𝑦)(+g𝑄)(𝐺𝑧)))
16733, 166syldan 585 . . . 4 ((𝜑𝑦𝐵) → ∀𝑧𝐵 (𝐺‘(𝑦(+g𝑃)𝑧)) = ((𝐺𝑦)(+g𝑄)(𝐺𝑧)))
168167ralrimiva 3148 . . 3 (𝜑 → ∀𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐺‘(𝑦(+g𝑃)𝑧)) = ((𝐺𝑦)(+g𝑄)(𝐺𝑧)))
16929, 168jca 507 . 2 (𝜑 → (𝐺:𝐵⟶(Base‘𝑄) ∧ ∀𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐺‘(𝑦(+g𝑃)𝑧)) = ((𝐺𝑦)(+g𝑄)(𝐺𝑧))))
17020, 124, 149, 126isghm 18048 . 2 (𝐺 ∈ (𝑃 GrpHom 𝑄) ↔ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑄 ∈ Grp) ∧ (𝐺:𝐵⟶(Base‘𝑄) ∧ ∀𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐺‘(𝑦(+g𝑃)𝑧)) = ((𝐺𝑦)(+g𝑄)(𝐺𝑧)))))
17119, 169, 170sylanbrc 578 1 (𝜑𝐺 ∈ (𝑃 GrpHom 𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  w3a 1071   = wceq 1601  wcel 2107  wral 3090  ifcif 4307  {csn 4398  cop 4404   cuni 4673   class class class wbr 4888  cmpt 4967   × cxp 5355  ran crn 5358  wf 6133  cfv 6137  (class class class)co 6924   Er wer 8025  [cec 8026   / cqs 8027  0cc0 10274  1c1 10275   + caddc 10277   · cmul 10279  cle 10414  cmin 10608   / cdiv 11034  2c2 11434  4c4 11436  [,]cicc 12494  Basecbs 16259  +gcplusg 16342  Grpcgrp 17813   GrpHom cghm 18045  TopOnctopon 21126   Cn ccn 21440  IIcii 23090  phcphtpc 23180  *𝑝cpco 23211   π1 cpi1 23214
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-inf2 8837  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351  ax-pre-sup 10352  ax-addf 10353  ax-mulf 10354
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-iin 4758  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-se 5317  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-isom 6146  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-of 7176  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-supp 7579  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-2o 7846  df-oadd 7849  df-er 8028  df-ec 8030  df-qs 8034  df-map 8144  df-ixp 8197  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-fsupp 8566  df-fi 8607  df-sup 8638  df-inf 8639  df-oi 8706  df-card 9100  df-cda 9327  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-div 11035  df-nn 11379  df-2 11442  df-3 11443  df-4 11444  df-5 11445  df-6 11446  df-7 11447  df-8 11448  df-9 11449  df-n0 11647  df-z 11733  df-dec 11850  df-uz 11997  df-q 12100  df-rp 12142  df-xneg 12261  df-xadd 12262  df-xmul 12263  df-ioo 12495  df-icc 12498  df-fz 12648  df-fzo 12789  df-seq 13124  df-exp 13183  df-hash 13440  df-cj 14250  df-re 14251  df-im 14252  df-sqrt 14386  df-abs 14387  df-struct 16261  df-ndx 16262  df-slot 16263  df-base 16265  df-sets 16266  df-ress 16267  df-plusg 16355  df-mulr 16356  df-starv 16357  df-sca 16358  df-vsca 16359  df-ip 16360  df-tset 16361  df-ple 16362  df-ds 16364  df-unif 16365  df-hom 16366  df-cco 16367  df-rest 16473  df-topn 16474  df-0g 16492  df-gsum 16493  df-topgen 16494  df-pt 16495  df-prds 16498  df-xrs 16552  df-qtop 16557  df-imas 16558  df-qus 16559  df-xps 16560  df-mre 16636  df-mrc 16637  df-acs 16639  df-mgm 17632  df-sgrp 17674  df-mnd 17685  df-submnd 17726  df-grp 17816  df-mulg 17932  df-ghm 18046  df-cntz 18137  df-cmn 18585  df-psmet 20138  df-xmet 20139  df-met 20140  df-bl 20141  df-mopn 20142  df-cnfld 20147  df-top 21110  df-topon 21127  df-topsp 21149  df-bases 21162  df-cld 21235  df-cn 21443  df-cnp 21444  df-tx 21778  df-hmeo 21971  df-xms 22537  df-ms 22538  df-tms 22539  df-ii 23092  df-htpy 23181  df-phtpy 23182  df-phtpc 23203  df-pco 23216  df-om1 23217  df-pi1 23219
This theorem is referenced by:  pi1xfrcnv  23268  pi1xfrgim  23269
  Copyright terms: Public domain W3C validator