Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prjspner1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prjspner1 40950
Description: Two vectors whose zeroth coordinate is nonzero are equivalent if and only if they have the same representative in the (n-1)-dimensional affine subspace { x0 = 1 } . For example, vectors in 3D space whose 𝑥 coordinate is nonzero are equivalent iff they intersect at the plane 𝑥 = 1 at the same point (also see section header). (Contributed by SN, 13-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
prjspner01.e = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝑆 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
prjspner01.f 𝐹 = (𝑏𝐵 ↦ if((𝑏‘0) = 0 , 𝑏, ((𝐼‘(𝑏‘0)) · 𝑏)))
prjspner01.b 𝐵 = ((Base‘𝑊) ∖ {(0g𝑊)})
prjspner01.w 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0...𝑁))
prjspner01.t · = ( ·𝑠𝑊)
prjspner01.s 𝑆 = (Base‘𝐾)
prjspner01.0 0 = (0g𝐾)
prjspner01.i 𝐼 = (invr𝐾)
prjspner01.k (𝜑𝐾 ∈ DivRing)
prjspner01.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
prjspner01.x (𝜑𝑋𝐵)
prjspner1.y (𝜑𝑌𝐵)
prjspner1.1 (𝜑 → (𝑋‘0) ≠ 0 )
prjspner1.2 (𝜑 → (𝑌‘0) ≠ 0 )
Assertion
Ref Expression
prjspner1 (𝜑 → (𝑋 𝑌 ↔ (𝐹𝑋) = (𝐹𝑌)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑋,𝑙,𝑥,𝑦   𝑊,𝑙,𝑥,𝑦   · ,𝑙,𝑥,𝑦   𝑆,𝑙   𝐼,𝑙,𝑥,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥, 0 ,𝑦   𝐵,𝑏   𝑋,𝑏   0 ,𝑏   · ,𝑏   𝐼,𝑏   𝜑,𝑏   𝑌,𝑙,𝑥,𝑦   𝑌,𝑏   𝑥,𝑆,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑙)   𝐵(𝑙)   (𝑥,𝑦,𝑏,𝑙)   𝑆(𝑏)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑏,𝑙)   𝐾(𝑏,𝑙)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑏,𝑙)   𝑊(𝑏)   0 (𝑙)

Proof of Theorem prjspner1
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prjspner01.e . . . 4 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝑆 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
21prjsprel 40928 . . 3 (𝑋 𝑌 ↔ ((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ∃𝑚𝑆 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)))
3 prjspner1.1 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑋‘0) ≠ 0 )
4 fveq1 6841 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑋 = (0g𝑊) → (𝑋‘0) = ((0g𝑊)‘0))
5 prjspner01.w . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0...𝑁))
6 prjspner01.0 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 = (0g𝐾)
7 prjspner01.k . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐾 ∈ DivRing)
87drngringd 20193 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐾 ∈ Ring)
9 ovexd 7392 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (0...𝑁) ∈ V)
10 prjspner01.n . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
11 0elfz 13538 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑁))
135, 6, 8, 9, 12frlm0vald 40715 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((0g𝑊)‘0) = 0 )
144, 13sylan9eqr 2798 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑋 = (0g𝑊)) → (𝑋‘0) = 0 )
153, 14mteqand 3048 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑋 ≠ (0g𝑊))
165frlmsca 21159 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ DivRing ∧ (0...𝑁) ∈ V) → 𝐾 = (Scalar‘𝑊))
177, 9, 16syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐾 = (Scalar‘𝑊))
1817fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (0g𝐾) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
196, 18eqtrid 2788 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑0 = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
2019oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ( 0 · 𝑌) = ((0g‘(Scalar‘𝑊)) · 𝑌))
215frlmlvec 21167 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ DivRing ∧ (0...𝑁) ∈ V) → 𝑊 ∈ LVec)
227, 9, 21syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
2322lveclmodd 40711 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
24 prjspner1.y . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑌𝐵)
25 prjspner01.b . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐵 = ((Base‘𝑊) ∖ {(0g𝑊)})
2624, 25eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑌 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g𝑊)}))
2726eldifad 3922 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑌 ∈ (Base‘𝑊))
28 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
29 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
30 prjspner01.t . . . . . . . . . . . . . . . 16 · = ( ·𝑠𝑊)
31 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
32 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0g𝑊) = (0g𝑊)
3328, 29, 30, 31, 32lmod0vs 20355 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝑊)) → ((0g‘(Scalar‘𝑊)) · 𝑌) = (0g𝑊))
3423, 27, 33syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((0g‘(Scalar‘𝑊)) · 𝑌) = (0g𝑊))
3520, 34eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ( 0 · 𝑌) = (0g𝑊))
3615, 35neeqtrrd 3018 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋 ≠ ( 0 · 𝑌))
3736ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) → 𝑋 ≠ ( 0 · 𝑌))
38 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 0 → (𝑚 · 𝑌) = ( 0 · 𝑌))
3938neeq2d 3004 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 0 → (𝑋 ≠ (𝑚 · 𝑌) ↔ 𝑋 ≠ ( 0 · 𝑌)))
4037, 39syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) → (𝑚 = 0𝑋 ≠ (𝑚 · 𝑌)))
4140necon2d 2966 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) → (𝑋 = (𝑚 · 𝑌) → 𝑚0 ))
4241ancrd 552 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) → (𝑋 = (𝑚 · 𝑌) → (𝑚0𝑋 = (𝑚 · 𝑌))))
43 prjspner01.s . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑆 = (Base‘𝐾)
44 ovexd 7392 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → (0...𝑁) ∈ V)
45 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → 𝑚𝑆)
4627ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑊))
4712ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → 0 ∈ (0...𝑁))
48 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . 15 (.r𝐾) = (.r𝐾)
495, 28, 43, 44, 45, 46, 47, 30, 48frlmvscaval 21174 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → ((𝑚 · 𝑌)‘0) = (𝑚(.r𝐾)(𝑌‘0)))
5049fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → (𝐼‘((𝑚 · 𝑌)‘0)) = (𝐼‘(𝑚(.r𝐾)(𝑌‘0))))
51 prjspner01.i . . . . . . . . . . . . . 14 𝐼 = (invr𝐾)
527ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → 𝐾 ∈ DivRing)
535, 43, 28frlmbasf 21166 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((0...𝑁) ∈ V ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑌:(0...𝑁)⟶𝑆)
549, 27, 53syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑌:(0...𝑁)⟶𝑆)
5554, 12ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑌‘0) ∈ 𝑆)
5655ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → (𝑌‘0) ∈ 𝑆)
57 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → 𝑚0 )
58 prjspner1.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑌‘0) ≠ 0 )
5958ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → (𝑌‘0) ≠ 0 )
6043, 6, 48, 51, 52, 45, 56, 57, 59drnginvmuld 40707 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → (𝐼‘(𝑚(.r𝐾)(𝑌‘0))) = ((𝐼‘(𝑌‘0))(.r𝐾)(𝐼𝑚)))
6150, 60eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → (𝐼‘((𝑚 · 𝑌)‘0)) = ((𝐼‘(𝑌‘0))(.r𝐾)(𝐼𝑚)))
6261oveq1d 7372 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → ((𝐼‘((𝑚 · 𝑌)‘0)) · (𝑚 · 𝑌)) = (((𝐼‘(𝑌‘0))(.r𝐾)(𝐼𝑚)) · (𝑚 · 𝑌)))
6323ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → 𝑊 ∈ LMod)
648ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → 𝐾 ∈ Ring)
6543, 6, 51, 52, 56, 59drnginvrcld 20207 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → (𝐼‘(𝑌‘0)) ∈ 𝑆)
6643, 6, 51, 52, 45, 57drnginvrcld 20207 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → (𝐼𝑚) ∈ 𝑆)
6743, 48, 64, 65, 66ringcld 19986 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → ((𝐼‘(𝑌‘0))(.r𝐾)(𝐼𝑚)) ∈ 𝑆)
6817fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (Base‘𝐾) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
6943, 68eqtrid 2788 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑆 = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
7069ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → 𝑆 = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
7167, 70eleqtrd 2840 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → ((𝐼‘(𝑌‘0))(.r𝐾)(𝐼𝑚)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
7245, 70eleqtrd 2840 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → 𝑚 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
73 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
74 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (.r‘(Scalar‘𝑊)) = (.r‘(Scalar‘𝑊))
7528, 29, 30, 73, 74lmodvsass 20347 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (((𝐼‘(𝑌‘0))(.r𝐾)(𝐼𝑚)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑚 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝑊))) → ((((𝐼‘(𝑌‘0))(.r𝐾)(𝐼𝑚))(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑚) · 𝑌) = (((𝐼‘(𝑌‘0))(.r𝐾)(𝐼𝑚)) · (𝑚 · 𝑌)))
7663, 71, 72, 46, 75syl13anc 1372 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → ((((𝐼‘(𝑌‘0))(.r𝐾)(𝐼𝑚))(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑚) · 𝑌) = (((𝐼‘(𝑌‘0))(.r𝐾)(𝐼𝑚)) · (𝑚 · 𝑌)))
7743, 48, 64, 65, 66, 45ringassd 40690 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → (((𝐼‘(𝑌‘0))(.r𝐾)(𝐼𝑚))(.r𝐾)𝑚) = ((𝐼‘(𝑌‘0))(.r𝐾)((𝐼𝑚)(.r𝐾)𝑚)))
7852, 44, 16syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → 𝐾 = (Scalar‘𝑊))
7978fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → (.r𝐾) = (.r‘(Scalar‘𝑊)))
8079oveqd 7374 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → (((𝐼‘(𝑌‘0))(.r𝐾)(𝐼𝑚))(.r𝐾)𝑚) = (((𝐼‘(𝑌‘0))(.r𝐾)(𝐼𝑚))(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑚))
81 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1r𝐾) = (1r𝐾)
8243, 6, 48, 81, 51, 52, 45, 57drnginvrld 40703 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → ((𝐼𝑚)(.r𝐾)𝑚) = (1r𝐾))
8382oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → ((𝐼‘(𝑌‘0))(.r𝐾)((𝐼𝑚)(.r𝐾)𝑚)) = ((𝐼‘(𝑌‘0))(.r𝐾)(1r𝐾)))
8443, 48, 81, 64, 65ringridmd 40692 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → ((𝐼‘(𝑌‘0))(.r𝐾)(1r𝐾)) = (𝐼‘(𝑌‘0)))
8583, 84eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → ((𝐼‘(𝑌‘0))(.r𝐾)((𝐼𝑚)(.r𝐾)𝑚)) = (𝐼‘(𝑌‘0)))
8677, 80, 853eqtr3d 2784 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → (((𝐼‘(𝑌‘0))(.r𝐾)(𝐼𝑚))(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑚) = (𝐼‘(𝑌‘0)))
8786oveq1d 7372 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → ((((𝐼‘(𝑌‘0))(.r𝐾)(𝐼𝑚))(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑚) · 𝑌) = ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌))
8862, 76, 873eqtr2d 2782 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → ((𝐼‘((𝑚 · 𝑌)‘0)) · (𝑚 · 𝑌)) = ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌))
89 fveq1 6841 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 = (𝑚 · 𝑌) → (𝑋‘0) = ((𝑚 · 𝑌)‘0))
9089fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 = (𝑚 · 𝑌) → (𝐼‘(𝑋‘0)) = (𝐼‘((𝑚 · 𝑌)‘0)))
91 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 = (𝑚 · 𝑌) → 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))
9290, 91oveq12d 7375 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 = (𝑚 · 𝑌) → ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋) = ((𝐼‘((𝑚 · 𝑌)‘0)) · (𝑚 · 𝑌)))
9392eqeq1d 2738 . . . . . . . . . 10 (𝑋 = (𝑚 · 𝑌) → (((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋) = ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌) ↔ ((𝐼‘((𝑚 · 𝑌)‘0)) · (𝑚 · 𝑌)) = ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌)))
9488, 93syl5ibrcom 246 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → (𝑋 = (𝑚 · 𝑌) → ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋) = ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌)))
9594expimpd 454 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) → ((𝑚0𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋) = ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌)))
9642, 95syld 47 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) → (𝑋 = (𝑚 · 𝑌) → ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋) = ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌)))
9796rexlimdva 3152 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (∃𝑚𝑆 𝑋 = (𝑚 · 𝑌) → ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋) = ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌)))
9897impr 455 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ∃𝑚𝑆 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋) = ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌))
993neneqd 2948 . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ (𝑋‘0) = 0 )
10099iffalsed 4497 . . . . . 6 (𝜑 → if((𝑋‘0) = 0 , 𝑋, ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋)) = ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋))
101100adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ∃𝑚𝑆 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → if((𝑋‘0) = 0 , 𝑋, ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋)) = ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋))
10258neneqd 2948 . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ (𝑌‘0) = 0 )
103102iffalsed 4497 . . . . . 6 (𝜑 → if((𝑌‘0) = 0 , 𝑌, ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌)) = ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌))
104103adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ∃𝑚𝑆 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → if((𝑌‘0) = 0 , 𝑌, ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌)) = ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌))
10598, 101, 1043eqtr4d 2786 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ∃𝑚𝑆 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → if((𝑋‘0) = 0 , 𝑋, ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋)) = if((𝑌‘0) = 0 , 𝑌, ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌)))
106 prjspner01.f . . . . 5 𝐹 = (𝑏𝐵 ↦ if((𝑏‘0) = 0 , 𝑏, ((𝐼‘(𝑏‘0)) · 𝑏)))
107 fveq1 6841 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑋 → (𝑏‘0) = (𝑋‘0))
108107eqeq1d 2738 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑋 → ((𝑏‘0) = 0 ↔ (𝑋‘0) = 0 ))
109 id 22 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑋𝑏 = 𝑋)
110107fveq2d 6846 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑋 → (𝐼‘(𝑏‘0)) = (𝐼‘(𝑋‘0)))
111110, 109oveq12d 7375 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑋 → ((𝐼‘(𝑏‘0)) · 𝑏) = ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋))
112108, 109, 111ifbieq12d 4514 . . . . 5 (𝑏 = 𝑋 → if((𝑏‘0) = 0 , 𝑏, ((𝐼‘(𝑏‘0)) · 𝑏)) = if((𝑋‘0) = 0 , 𝑋, ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋)))
113 simprll 777 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ∃𝑚𝑆 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → 𝑋𝐵)
114 ovexd 7392 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ∃𝑚𝑆 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋) ∈ V)
115113, 114ifexd 4534 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ∃𝑚𝑆 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → if((𝑋‘0) = 0 , 𝑋, ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋)) ∈ V)
116106, 112, 113, 115fvmptd3 6971 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ∃𝑚𝑆 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → (𝐹𝑋) = if((𝑋‘0) = 0 , 𝑋, ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋)))
117 fveq1 6841 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑌 → (𝑏‘0) = (𝑌‘0))
118117eqeq1d 2738 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑌 → ((𝑏‘0) = 0 ↔ (𝑌‘0) = 0 ))
119 id 22 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑌𝑏 = 𝑌)
120117fveq2d 6846 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑌 → (𝐼‘(𝑏‘0)) = (𝐼‘(𝑌‘0)))
121120, 119oveq12d 7375 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑌 → ((𝐼‘(𝑏‘0)) · 𝑏) = ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌))
122118, 119, 121ifbieq12d 4514 . . . . 5 (𝑏 = 𝑌 → if((𝑏‘0) = 0 , 𝑏, ((𝐼‘(𝑏‘0)) · 𝑏)) = if((𝑌‘0) = 0 , 𝑌, ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌)))
123 simprlr 778 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ∃𝑚𝑆 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → 𝑌𝐵)
124 ovexd 7392 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ∃𝑚𝑆 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌) ∈ V)
125123, 124ifexd 4534 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ∃𝑚𝑆 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → if((𝑌‘0) = 0 , 𝑌, ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌)) ∈ V)
126106, 122, 123, 125fvmptd3 6971 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ∃𝑚𝑆 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → (𝐹𝑌) = if((𝑌‘0) = 0 , 𝑌, ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌)))
127105, 116, 1263eqtr4d 2786 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ∃𝑚𝑆 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → (𝐹𝑋) = (𝐹𝑌))
1282, 127sylan2b 594 . 2 ((𝜑𝑋 𝑌) → (𝐹𝑋) = (𝐹𝑌))
1291, 5, 25, 43, 30, 7prjspner 40943 . . . 4 (𝜑 Er 𝐵)
130129adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋) = (𝐹𝑌)) → Er 𝐵)
131 prjspner01.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝐵)
1321, 106, 25, 5, 30, 43, 6, 51, 7, 10, 131prjspner01 40949 . . . 4 (𝜑𝑋 (𝐹𝑋))
133132adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋) = (𝐹𝑌)) → 𝑋 (𝐹𝑋))
134129, 132ercl2 8661 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝑋) ∈ 𝐵)
135134adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋) = (𝐹𝑌)) → (𝐹𝑋) ∈ 𝐵)
136130, 135erref 8668 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋) = (𝐹𝑌)) → (𝐹𝑋) (𝐹𝑋))
137 breq2 5109 . . . . . 6 ((𝐹𝑋) = (𝐹𝑌) → ((𝐹𝑋) (𝐹𝑋) ↔ (𝐹𝑋) (𝐹𝑌)))
138137adantl 482 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋) = (𝐹𝑌)) → ((𝐹𝑋) (𝐹𝑋) ↔ (𝐹𝑋) (𝐹𝑌)))
139136, 138mpbid 231 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋) = (𝐹𝑌)) → (𝐹𝑋) (𝐹𝑌))
1401, 106, 25, 5, 30, 43, 6, 51, 7, 10, 24prjspner01 40949 . . . . 5 (𝜑𝑌 (𝐹𝑌))
141140adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋) = (𝐹𝑌)) → 𝑌 (𝐹𝑌))
142130, 139, 141ertr4d 8667 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋) = (𝐹𝑌)) → (𝐹𝑋) 𝑌)
143130, 133, 142ertrd 8664 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋) = (𝐹𝑌)) → 𝑋 𝑌)
144128, 143impbida 799 1 (𝜑 → (𝑋 𝑌 ↔ (𝐹𝑋) = (𝐹𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wrex 3073  Vcvv 3445  cdif 3907  ifcif 4486  {csn 4586   class class class wbr 5105  {copab 5167  cmpt 5188  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357   Er wer 8645  0cc0 11051  0cn0 12413  ...cfz 13424  Basecbs 17083  .rcmulr 17134  Scalarcsca 17136   ·𝑠 cvsca 17137  0gc0g 17321  1rcur 19913  Ringcrg 19964  invrcinvr 20100  DivRingcdr 20185  LModclmod 20322  LVecclvec 20563   freeLMod cfrlm 21152
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-ifp 1062  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-sup 9378  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-fz 13425  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-hom 17157  df-cco 17158  df-0g 17323  df-prds 17329  df-pws 17331  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-subg 18925  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-invr 20101  df-drng 20187  df-subrg 20220  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-lvec 20564  df-sra 20633  df-rgmod 20634  df-dsmm 21138  df-frlm 21153
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator