Theorem prjspner1 42658

Description: Two vectors whose zeroth coordinate is nonzero are equivalent if and only if they have the same representative in the (n-1)-dimensional affine subspace { x₀ = 1 } . For example, vectors in 3D space whose 𝑥 coordinate is nonzero are equivalent iff they intersect at the plane 𝑥 = 1 at the same point (also see section header). (Contributed by SN, 13-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
prjspner01.e	⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝑆 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
prjspner01.f	⊢ 𝐹 = (𝑏 ∈ 𝐵 ↦ if((𝑏‘0) = 0 , 𝑏, ((𝐼‘(𝑏‘0)) · 𝑏)))
prjspner01.b	⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})
prjspner01.w	⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0...𝑁))
prjspner01.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
prjspner01.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝐾)
prjspner01.0	⊢ 0 = (0g‘𝐾)
prjspner01.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝐾)
prjspner01.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ DivRing)
prjspner01.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
prjspner01.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
prjspner1.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
prjspner1.1	⊢ (𝜑 → (𝑋‘0) ≠ 0 )
prjspner1.2	⊢ (𝜑 → (𝑌‘0) ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
prjspner1	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∼ 𝑌 ↔ (𝐹‘𝑋) = (𝐹‘𝑌)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑋,𝑙,𝑥,𝑦   𝑊,𝑙,𝑥,𝑦   · ,𝑙,𝑥,𝑦   𝑆,𝑙   𝐼,𝑙,𝑥,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥, 0 ,𝑦   𝐵,𝑏   𝑋,𝑏   0 ,𝑏   · ,𝑏   𝐼,𝑏   𝜑,𝑏   𝑌,𝑙,𝑥,𝑦   𝑌,𝑏   𝑥,𝑆,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑙)   𝐵(𝑙)   ∼ (𝑥,𝑦,𝑏,𝑙)   𝑆(𝑏)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑏,𝑙)   𝐾(𝑏,𝑙)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑏,𝑙)   𝑊(𝑏)   0 (𝑙)

Proof of Theorem prjspner1

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prjspner01.e	. . . 4 ⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝑆 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
2	1	prjsprel 42636	. . 3 ⊢ (𝑋 ∼ 𝑌 ↔ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑚 ∈ 𝑆 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)))
3		prjspner1.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑋‘0) ≠ 0 )
4		fveq1 6821	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑋 = (0g‘𝑊) → (𝑋‘0) = ((0g‘𝑊)‘0))
5		prjspner01.w	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0...𝑁))
6		prjspner01.0	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 = (0g‘𝐾)
7		prjspner01.k	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ DivRing)
8	7	drngringd 20650	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Ring)
9		ovexd 7381	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) ∈ V)
10		prjspner01.n	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
11		0elfz 13521	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑁))
13	5, 6, 8, 9, 12	frlm0vald 42571	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑊)‘0) = 0 )
14	4, 13	sylan9eqr 2788	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (0g‘𝑊)) → (𝑋‘0) = 0 )
15	3, 14	mteqand 3019	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ (0g‘𝑊))
16	5	frlmsca 21688	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ (0...𝑁) ∈ V) → 𝐾 = (Scalar‘𝑊))
17	7, 9, 16	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (Scalar‘𝑊))
18	17	fveq2d 6826	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐾) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
19	6, 18	eqtrid 2778	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
20	19	oveq1d 7361	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ( 0 · 𝑌) = ((0g‘(Scalar‘𝑊)) · 𝑌))
21	5	frlmlvec 21696	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ (0...𝑁) ∈ V) → 𝑊 ∈ LVec)
22	7, 9, 21	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
23	22	lveclmodd 21039	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
24		prjspner1.y	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
25		prjspner01.b	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})
26	24, 25	eleqtrdi 2841	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}))
27	26	eldifad 3914	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝑊))
28		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
29		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
30		prjspner01.t	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
31		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
32		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
33	28, 29, 30, 31, 32	lmod0vs 20826	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝑊)) → ((0g‘(Scalar‘𝑊)) · 𝑌) = (0g‘𝑊))
34	23, 27, 33	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((0g‘(Scalar‘𝑊)) · 𝑌) = (0g‘𝑊))
35	20, 34	eqtrd 2766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ( 0 · 𝑌) = (0g‘𝑊))
36	15, 35	neeqtrrd 3002	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ( 0 · 𝑌))
37	36	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) → 𝑋 ≠ ( 0 · 𝑌))
38		oveq1 7353	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = 0 → (𝑚 · 𝑌) = ( 0 · 𝑌))
39	38	neeq2d 2988	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 0 → (𝑋 ≠ (𝑚 · 𝑌) ↔ 𝑋 ≠ ( 0 · 𝑌)))
40	37, 39	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) → (𝑚 = 0 → 𝑋 ≠ (𝑚 · 𝑌)))
41	40	necon2d 2951	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) → (𝑋 = (𝑚 · 𝑌) → 𝑚 ≠ 0 ))
42	41	ancrd 551	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) → (𝑋 = (𝑚 · 𝑌) → (𝑚 ≠ 0 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))))
43		prjspner01.s	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝐾)
44		ovexd 7381	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ≠ 0 ) → (0...𝑁) ∈ V)
45		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ≠ 0 ) → 𝑚 ∈ 𝑆)
46	27	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ≠ 0 ) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑊))
47	12	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ≠ 0 ) → 0 ∈ (0...𝑁))
48		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (.r‘𝐾) = (.r‘𝐾)
49	5, 28, 43, 44, 45, 46, 47, 30, 48	frlmvscaval 21703	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ≠ 0 ) → ((𝑚 · 𝑌)‘0) = (𝑚(.r‘𝐾)(𝑌‘0)))
50	49	fveq2d 6826	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ≠ 0 ) → (𝐼‘((𝑚 · 𝑌)‘0)) = (𝐼‘(𝑚(.r‘𝐾)(𝑌‘0))))
51		prjspner01.i	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝐾)
52	7	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ≠ 0 ) → 𝐾 ∈ DivRing)
53	5, 43, 28	frlmbasf 21695	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((0...𝑁) ∈ V ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑌:(0...𝑁)⟶𝑆)
54	9, 27, 53	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑌:(0...𝑁)⟶𝑆)
55	54, 12	ffvelcdmd 7018	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑌‘0) ∈ 𝑆)
56	55	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ≠ 0 ) → (𝑌‘0) ∈ 𝑆)
57		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ≠ 0 ) → 𝑚 ≠ 0 )
58		prjspner1.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑌‘0) ≠ 0 )
59	58	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ≠ 0 ) → (𝑌‘0) ≠ 0 )
60	43, 6, 48, 51, 52, 45, 56, 57, 59	drnginvmuld 42559	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ≠ 0 ) → (𝐼‘(𝑚(.r‘𝐾)(𝑌‘0))) = ((𝐼‘(𝑌‘0))(.r‘𝐾)(𝐼‘𝑚)))
61	50, 60	eqtrd 2766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ≠ 0 ) → (𝐼‘((𝑚 · 𝑌)‘0)) = ((𝐼‘(𝑌‘0))(.r‘𝐾)(𝐼‘𝑚)))
62	61	oveq1d 7361	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ≠ 0 ) → ((𝐼‘((𝑚 · 𝑌)‘0)) · (𝑚 · 𝑌)) = (((𝐼‘(𝑌‘0))(.r‘𝐾)(𝐼‘𝑚)) · (𝑚 · 𝑌)))
63	23	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ≠ 0 ) → 𝑊 ∈ LMod)
64	8	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ≠ 0 ) → 𝐾 ∈ Ring)
65	43, 6, 51, 52, 56, 59	drnginvrcld 20668	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ≠ 0 ) → (𝐼‘(𝑌‘0)) ∈ 𝑆)
66	43, 6, 51, 52, 45, 57	drnginvrcld 20668	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ≠ 0 ) → (𝐼‘𝑚) ∈ 𝑆)
67	43, 48, 64, 65, 66	ringcld 20176	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ≠ 0 ) → ((𝐼‘(𝑌‘0))(.r‘𝐾)(𝐼‘𝑚)) ∈ 𝑆)
68	17	fveq2d 6826	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐾) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
69	43, 68	eqtrid 2778	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
70	69	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ≠ 0 ) → 𝑆 = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
71	67, 70	eleqtrd 2833	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ≠ 0 ) → ((𝐼‘(𝑌‘0))(.r‘𝐾)(𝐼‘𝑚)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
72	45, 70	eleqtrd 2833	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ≠ 0 ) → 𝑚 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
73		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
74		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (.r‘(Scalar‘𝑊)) = (.r‘(Scalar‘𝑊))
75	28, 29, 30, 73, 74	lmodvsass 20818	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (((𝐼‘(𝑌‘0))(.r‘𝐾)(𝐼‘𝑚)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑚 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝑊))) → ((((𝐼‘(𝑌‘0))(.r‘𝐾)(𝐼‘𝑚))(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑚) · 𝑌) = (((𝐼‘(𝑌‘0))(.r‘𝐾)(𝐼‘𝑚)) · (𝑚 · 𝑌)))
76	63, 71, 72, 46, 75	syl13anc 1374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ≠ 0 ) → ((((𝐼‘(𝑌‘0))(.r‘𝐾)(𝐼‘𝑚))(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑚) · 𝑌) = (((𝐼‘(𝑌‘0))(.r‘𝐾)(𝐼‘𝑚)) · (𝑚 · 𝑌)))
77	43, 48, 64, 65, 66, 45	ringassd 20173	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ≠ 0 ) → (((𝐼‘(𝑌‘0))(.r‘𝐾)(𝐼‘𝑚))(.r‘𝐾)𝑚) = ((𝐼‘(𝑌‘0))(.r‘𝐾)((𝐼‘𝑚)(.r‘𝐾)𝑚)))
78	52, 44, 16	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ≠ 0 ) → 𝐾 = (Scalar‘𝑊))
79	78	fveq2d 6826	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ≠ 0 ) → (.r‘𝐾) = (.r‘(Scalar‘𝑊)))
80	79	oveqd 7363	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ≠ 0 ) → (((𝐼‘(𝑌‘0))(.r‘𝐾)(𝐼‘𝑚))(.r‘𝐾)𝑚) = (((𝐼‘(𝑌‘0))(.r‘𝐾)(𝐼‘𝑚))(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑚))
81		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1r‘𝐾) = (1r‘𝐾)
82	43, 6, 48, 81, 51, 52, 45, 57	drnginvrld 20671	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ≠ 0 ) → ((𝐼‘𝑚)(.r‘𝐾)𝑚) = (1r‘𝐾))
83	82	oveq2d 7362	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ≠ 0 ) → ((𝐼‘(𝑌‘0))(.r‘𝐾)((𝐼‘𝑚)(.r‘𝐾)𝑚)) = ((𝐼‘(𝑌‘0))(.r‘𝐾)(1r‘𝐾)))
84	43, 48, 81, 64, 65	ringridmd 20189	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ≠ 0 ) → ((𝐼‘(𝑌‘0))(.r‘𝐾)(1r‘𝐾)) = (𝐼‘(𝑌‘0)))
85	83, 84	eqtrd 2766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ≠ 0 ) → ((𝐼‘(𝑌‘0))(.r‘𝐾)((𝐼‘𝑚)(.r‘𝐾)𝑚)) = (𝐼‘(𝑌‘0)))
86	77, 80, 85	3eqtr3d 2774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ≠ 0 ) → (((𝐼‘(𝑌‘0))(.r‘𝐾)(𝐼‘𝑚))(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑚) = (𝐼‘(𝑌‘0)))
87	86	oveq1d 7361	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ≠ 0 ) → ((((𝐼‘(𝑌‘0))(.r‘𝐾)(𝐼‘𝑚))(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑚) · 𝑌) = ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌))
88	62, 76, 87	3eqtr2d 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ≠ 0 ) → ((𝐼‘((𝑚 · 𝑌)‘0)) · (𝑚 · 𝑌)) = ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌))
89		fveq1 6821	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 = (𝑚 · 𝑌) → (𝑋‘0) = ((𝑚 · 𝑌)‘0))
90	89	fveq2d 6826	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 = (𝑚 · 𝑌) → (𝐼‘(𝑋‘0)) = (𝐼‘((𝑚 · 𝑌)‘0)))
91		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 = (𝑚 · 𝑌) → 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))
92	90, 91	oveq12d 7364	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 = (𝑚 · 𝑌) → ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋) = ((𝐼‘((𝑚 · 𝑌)‘0)) · (𝑚 · 𝑌)))
93	92	eqeq1d 2733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 = (𝑚 · 𝑌) → (((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋) = ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌) ↔ ((𝐼‘((𝑚 · 𝑌)‘0)) · (𝑚 · 𝑌)) = ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌)))
94	88, 93	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ≠ 0 ) → (𝑋 = (𝑚 · 𝑌) → ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋) = ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌)))
95	94	expimpd 453	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) → ((𝑚 ≠ 0 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋) = ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌)))
96	42, 95	syld 47	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) → (𝑋 = (𝑚 · 𝑌) → ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋) = ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌)))
97	96	rexlimdva 3133	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (∃𝑚 ∈ 𝑆 𝑋 = (𝑚 · 𝑌) → ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋) = ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌)))
98	97	impr 454	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑚 ∈ 𝑆 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋) = ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌))
99	3	neneqd 2933	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑋‘0) = 0 )
100	99	iffalsed 4486	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if((𝑋‘0) = 0 , 𝑋, ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋)) = ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋))
101	100	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑚 ∈ 𝑆 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → if((𝑋‘0) = 0 , 𝑋, ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋)) = ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋))
102	58	neneqd 2933	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑌‘0) = 0 )
103	102	iffalsed 4486	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if((𝑌‘0) = 0 , 𝑌, ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌)) = ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌))
104	103	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑚 ∈ 𝑆 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → if((𝑌‘0) = 0 , 𝑌, ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌)) = ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌))
105	98, 101, 104	3eqtr4d 2776	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑚 ∈ 𝑆 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → if((𝑋‘0) = 0 , 𝑋, ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋)) = if((𝑌‘0) = 0 , 𝑌, ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌)))
106		prjspner01.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑏 ∈ 𝐵 ↦ if((𝑏‘0) = 0 , 𝑏, ((𝐼‘(𝑏‘0)) · 𝑏)))
107		fveq1 6821	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝑋 → (𝑏‘0) = (𝑋‘0))
108	107	eqeq1d 2733	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑋 → ((𝑏‘0) = 0 ↔ (𝑋‘0) = 0 ))
109		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑋 → 𝑏 = 𝑋)
110	107	fveq2d 6826	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝑋 → (𝐼‘(𝑏‘0)) = (𝐼‘(𝑋‘0)))
111	110, 109	oveq12d 7364	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑋 → ((𝐼‘(𝑏‘0)) · 𝑏) = ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋))
112	108, 109, 111	ifbieq12d 4504	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑋 → if((𝑏‘0) = 0 , 𝑏, ((𝐼‘(𝑏‘0)) · 𝑏)) = if((𝑋‘0) = 0 , 𝑋, ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋)))
113		simprll 778	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑚 ∈ 𝑆 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → 𝑋 ∈ 𝐵)
114		ovexd 7381	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑚 ∈ 𝑆 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋) ∈ V)
115	113, 114	ifexd 4524	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑚 ∈ 𝑆 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → if((𝑋‘0) = 0 , 𝑋, ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋)) ∈ V)
116	106, 112, 113, 115	fvmptd3 6952	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑚 ∈ 𝑆 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → (𝐹‘𝑋) = if((𝑋‘0) = 0 , 𝑋, ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋)))
117		fveq1 6821	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → (𝑏‘0) = (𝑌‘0))
118	117	eqeq1d 2733	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → ((𝑏‘0) = 0 ↔ (𝑌‘0) = 0 ))
119		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → 𝑏 = 𝑌)
120	117	fveq2d 6826	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → (𝐼‘(𝑏‘0)) = (𝐼‘(𝑌‘0)))
121	120, 119	oveq12d 7364	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → ((𝐼‘(𝑏‘0)) · 𝑏) = ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌))
122	118, 119, 121	ifbieq12d 4504	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → if((𝑏‘0) = 0 , 𝑏, ((𝐼‘(𝑏‘0)) · 𝑏)) = if((𝑌‘0) = 0 , 𝑌, ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌)))
123		simprlr 779	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑚 ∈ 𝑆 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → 𝑌 ∈ 𝐵)
124		ovexd 7381	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑚 ∈ 𝑆 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌) ∈ V)
125	123, 124	ifexd 4524	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑚 ∈ 𝑆 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → if((𝑌‘0) = 0 , 𝑌, ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌)) ∈ V)
126	106, 122, 123, 125	fvmptd3 6952	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑚 ∈ 𝑆 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → (𝐹‘𝑌) = if((𝑌‘0) = 0 , 𝑌, ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌)))
127	105, 116, 126	3eqtr4d 2776	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑚 ∈ 𝑆 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → (𝐹‘𝑋) = (𝐹‘𝑌))
128	2, 127	sylan2b 594	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) → (𝐹‘𝑋) = (𝐹‘𝑌))
129	1, 5, 25, 43, 30, 7	prjspner 42651	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∼ Er 𝐵)
130	129	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑋) = (𝐹‘𝑌)) → ∼ Er 𝐵)
131		prjspner01.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
132	1, 106, 25, 5, 30, 43, 6, 51, 7, 10, 131	prjspner01 42657	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∼ (𝐹‘𝑋))
133	132	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑋) = (𝐹‘𝑌)) → 𝑋 ∼ (𝐹‘𝑋))
134	129, 132	ercl2 8635	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵)
135	134	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑋) = (𝐹‘𝑌)) → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵)
136	130, 135	erref 8642	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑋) = (𝐹‘𝑌)) → (𝐹‘𝑋) ∼ (𝐹‘𝑋))
137		breq2 5095	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝑋) = (𝐹‘𝑌) → ((𝐹‘𝑋) ∼ (𝐹‘𝑋) ↔ (𝐹‘𝑋) ∼ (𝐹‘𝑌)))
138	137	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑋) = (𝐹‘𝑌)) → ((𝐹‘𝑋) ∼ (𝐹‘𝑋) ↔ (𝐹‘𝑋) ∼ (𝐹‘𝑌)))
139	136, 138	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑋) = (𝐹‘𝑌)) → (𝐹‘𝑋) ∼ (𝐹‘𝑌))
140	1, 106, 25, 5, 30, 43, 6, 51, 7, 10, 24	prjspner01 42657	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∼ (𝐹‘𝑌))
141	140	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑋) = (𝐹‘𝑌)) → 𝑌 ∼ (𝐹‘𝑌))
142	130, 139, 141	ertr4d 8641	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑋) = (𝐹‘𝑌)) → (𝐹‘𝑋) ∼ 𝑌)
143	130, 133, 142	ertrd 8638	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑋) = (𝐹‘𝑌)) → 𝑋 ∼ 𝑌)
144	128, 143	impbida 800	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∼ 𝑌 ↔ (𝐹‘𝑋) = (𝐹‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∃wrex 3056  Vcvv 3436   ∖ cdif 3899  ifcif 4475  {csn 4576   class class class wbr 5091  {copab 5153   ↦ cmpt 5172  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   Er wer 8619  0cc0 11003  ℕ₀cn0 12378  ...cfz 13404  Basecbs 17117  ._rcmulr 17159  Scalarcsca 17161   ·_𝑠 cvsca 17162  0_gc0g 17340  1_rcur 20097  Ringcrg 20149  inv_rcinvr 20303  DivRingcdr 20642  LModclmod 20791  LVecclvec 21034   freeLMod cfrlm 21681

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-tpos 8156  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-map 8752  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-sup 9326  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-4 12187  df-5 12188  df-6 12189  df-7 12190  df-8 12191  df-9 12192  df-n0 12379  df-z 12466  df-dec 12586  df-uz 12730  df-fz 13405  df-struct 17055  df-sets 17072  df-slot 17090  df-ndx 17102  df-base 17118  df-ress 17139  df-plusg 17171  df-mulr 17172  df-sca 17174  df-vsca 17175  df-ip 17176  df-tset 17177  df-ple 17178  df-ds 17180  df-hom 17182  df-cco 17183  df-0g 17342  df-prds 17348  df-pws 17350  df-mgm 18545  df-sgrp 18624  df-mnd 18640  df-grp 18846  df-minusg 18847  df-sbg 18848  df-subg 19033  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-ring 20151  df-oppr 20253  df-dvdsr 20273  df-unit 20274  df-invr 20304  df-nzr 20426  df-subrg 20483  df-rlreg 20607  df-domn 20608  df-drng 20644  df-lmod 20793  df-lss 20863  df-lvec 21035  df-sra 21105  df-rgmod 21106  df-dsmm 21667  df-frlm 21682

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