Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prjspner1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prjspner1 42613
Description: Two vectors whose zeroth coordinate is nonzero are equivalent if and only if they have the same representative in the (n-1)-dimensional affine subspace { x0 = 1 } . For example, vectors in 3D space whose 𝑥 coordinate is nonzero are equivalent iff they intersect at the plane 𝑥 = 1 at the same point (also see section header). (Contributed by SN, 13-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
prjspner01.e = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝑆 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
prjspner01.f 𝐹 = (𝑏𝐵 ↦ if((𝑏‘0) = 0 , 𝑏, ((𝐼‘(𝑏‘0)) · 𝑏)))
prjspner01.b 𝐵 = ((Base‘𝑊) ∖ {(0g𝑊)})
prjspner01.w 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0...𝑁))
prjspner01.t · = ( ·𝑠𝑊)
prjspner01.s 𝑆 = (Base‘𝐾)
prjspner01.0 0 = (0g𝐾)
prjspner01.i 𝐼 = (invr𝐾)
prjspner01.k (𝜑𝐾 ∈ DivRing)
prjspner01.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
prjspner01.x (𝜑𝑋𝐵)
prjspner1.y (𝜑𝑌𝐵)
prjspner1.1 (𝜑 → (𝑋‘0) ≠ 0 )
prjspner1.2 (𝜑 → (𝑌‘0) ≠ 0 )
Assertion
Ref Expression
prjspner1 (𝜑 → (𝑋 𝑌 ↔ (𝐹𝑋) = (𝐹𝑌)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑋,𝑙,𝑥,𝑦   𝑊,𝑙,𝑥,𝑦   · ,𝑙,𝑥,𝑦   𝑆,𝑙   𝐼,𝑙,𝑥,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥, 0 ,𝑦   𝐵,𝑏   𝑋,𝑏   0 ,𝑏   · ,𝑏   𝐼,𝑏   𝜑,𝑏   𝑌,𝑙,𝑥,𝑦   𝑌,𝑏   𝑥,𝑆,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑙)   𝐵(𝑙)   (𝑥,𝑦,𝑏,𝑙)   𝑆(𝑏)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑏,𝑙)   𝐾(𝑏,𝑙)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑏,𝑙)   𝑊(𝑏)   0 (𝑙)

Proof of Theorem prjspner1
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prjspner01.e . . . 4 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝑆 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
21prjsprel 42591 . . 3 (𝑋 𝑌 ↔ ((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ∃𝑚𝑆 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)))
3 prjspner1.1 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑋‘0) ≠ 0 )
4 fveq1 6906 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑋 = (0g𝑊) → (𝑋‘0) = ((0g𝑊)‘0))
5 prjspner01.w . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0...𝑁))
6 prjspner01.0 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 = (0g𝐾)
7 prjspner01.k . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐾 ∈ DivRing)
87drngringd 20754 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐾 ∈ Ring)
9 ovexd 7466 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (0...𝑁) ∈ V)
10 prjspner01.n . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
11 0elfz 13661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑁))
135, 6, 8, 9, 12frlm0vald 42526 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((0g𝑊)‘0) = 0 )
144, 13sylan9eqr 2797 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑋 = (0g𝑊)) → (𝑋‘0) = 0 )
153, 14mteqand 3031 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑋 ≠ (0g𝑊))
165frlmsca 21791 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ DivRing ∧ (0...𝑁) ∈ V) → 𝐾 = (Scalar‘𝑊))
177, 9, 16syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐾 = (Scalar‘𝑊))
1817fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (0g𝐾) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
196, 18eqtrid 2787 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑0 = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
2019oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ( 0 · 𝑌) = ((0g‘(Scalar‘𝑊)) · 𝑌))
215frlmlvec 21799 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ DivRing ∧ (0...𝑁) ∈ V) → 𝑊 ∈ LVec)
227, 9, 21syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
2322lveclmodd 21124 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
24 prjspner1.y . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑌𝐵)
25 prjspner01.b . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐵 = ((Base‘𝑊) ∖ {(0g𝑊)})
2624, 25eleqtrdi 2849 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑌 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g𝑊)}))
2726eldifad 3975 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑌 ∈ (Base‘𝑊))
28 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
29 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
30 prjspner01.t . . . . . . . . . . . . . . . 16 · = ( ·𝑠𝑊)
31 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
32 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0g𝑊) = (0g𝑊)
3328, 29, 30, 31, 32lmod0vs 20910 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝑊)) → ((0g‘(Scalar‘𝑊)) · 𝑌) = (0g𝑊))
3423, 27, 33syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((0g‘(Scalar‘𝑊)) · 𝑌) = (0g𝑊))
3520, 34eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ( 0 · 𝑌) = (0g𝑊))
3615, 35neeqtrrd 3013 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋 ≠ ( 0 · 𝑌))
3736ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) → 𝑋 ≠ ( 0 · 𝑌))
38 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 0 → (𝑚 · 𝑌) = ( 0 · 𝑌))
3938neeq2d 2999 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 0 → (𝑋 ≠ (𝑚 · 𝑌) ↔ 𝑋 ≠ ( 0 · 𝑌)))
4037, 39syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) → (𝑚 = 0𝑋 ≠ (𝑚 · 𝑌)))
4140necon2d 2961 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) → (𝑋 = (𝑚 · 𝑌) → 𝑚0 ))
4241ancrd 551 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) → (𝑋 = (𝑚 · 𝑌) → (𝑚0𝑋 = (𝑚 · 𝑌))))
43 prjspner01.s . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑆 = (Base‘𝐾)
44 ovexd 7466 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → (0...𝑁) ∈ V)
45 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → 𝑚𝑆)
4627ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑊))
4712ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → 0 ∈ (0...𝑁))
48 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . 15 (.r𝐾) = (.r𝐾)
495, 28, 43, 44, 45, 46, 47, 30, 48frlmvscaval 21806 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → ((𝑚 · 𝑌)‘0) = (𝑚(.r𝐾)(𝑌‘0)))
5049fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → (𝐼‘((𝑚 · 𝑌)‘0)) = (𝐼‘(𝑚(.r𝐾)(𝑌‘0))))
51 prjspner01.i . . . . . . . . . . . . . 14 𝐼 = (invr𝐾)
527ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → 𝐾 ∈ DivRing)
535, 43, 28frlmbasf 21798 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((0...𝑁) ∈ V ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑌:(0...𝑁)⟶𝑆)
549, 27, 53syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑌:(0...𝑁)⟶𝑆)
5554, 12ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑌‘0) ∈ 𝑆)
5655ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → (𝑌‘0) ∈ 𝑆)
57 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → 𝑚0 )
58 prjspner1.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑌‘0) ≠ 0 )
5958ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → (𝑌‘0) ≠ 0 )
6043, 6, 48, 51, 52, 45, 56, 57, 59drnginvmuld 42514 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → (𝐼‘(𝑚(.r𝐾)(𝑌‘0))) = ((𝐼‘(𝑌‘0))(.r𝐾)(𝐼𝑚)))
6150, 60eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → (𝐼‘((𝑚 · 𝑌)‘0)) = ((𝐼‘(𝑌‘0))(.r𝐾)(𝐼𝑚)))
6261oveq1d 7446 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → ((𝐼‘((𝑚 · 𝑌)‘0)) · (𝑚 · 𝑌)) = (((𝐼‘(𝑌‘0))(.r𝐾)(𝐼𝑚)) · (𝑚 · 𝑌)))
6323ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → 𝑊 ∈ LMod)
648ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → 𝐾 ∈ Ring)
6543, 6, 51, 52, 56, 59drnginvrcld 20772 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → (𝐼‘(𝑌‘0)) ∈ 𝑆)
6643, 6, 51, 52, 45, 57drnginvrcld 20772 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → (𝐼𝑚) ∈ 𝑆)
6743, 48, 64, 65, 66ringcld 20277 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → ((𝐼‘(𝑌‘0))(.r𝐾)(𝐼𝑚)) ∈ 𝑆)
6817fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (Base‘𝐾) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
6943, 68eqtrid 2787 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑆 = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
7069ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → 𝑆 = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
7167, 70eleqtrd 2841 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → ((𝐼‘(𝑌‘0))(.r𝐾)(𝐼𝑚)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
7245, 70eleqtrd 2841 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → 𝑚 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
73 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
74 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . 13 (.r‘(Scalar‘𝑊)) = (.r‘(Scalar‘𝑊))
7528, 29, 30, 73, 74lmodvsass 20902 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (((𝐼‘(𝑌‘0))(.r𝐾)(𝐼𝑚)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑚 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝑊))) → ((((𝐼‘(𝑌‘0))(.r𝐾)(𝐼𝑚))(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑚) · 𝑌) = (((𝐼‘(𝑌‘0))(.r𝐾)(𝐼𝑚)) · (𝑚 · 𝑌)))
7663, 71, 72, 46, 75syl13anc 1371 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → ((((𝐼‘(𝑌‘0))(.r𝐾)(𝐼𝑚))(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑚) · 𝑌) = (((𝐼‘(𝑌‘0))(.r𝐾)(𝐼𝑚)) · (𝑚 · 𝑌)))
7743, 48, 64, 65, 66, 45ringassd 20275 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → (((𝐼‘(𝑌‘0))(.r𝐾)(𝐼𝑚))(.r𝐾)𝑚) = ((𝐼‘(𝑌‘0))(.r𝐾)((𝐼𝑚)(.r𝐾)𝑚)))
7852, 44, 16syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → 𝐾 = (Scalar‘𝑊))
7978fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → (.r𝐾) = (.r‘(Scalar‘𝑊)))
8079oveqd 7448 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → (((𝐼‘(𝑌‘0))(.r𝐾)(𝐼𝑚))(.r𝐾)𝑚) = (((𝐼‘(𝑌‘0))(.r𝐾)(𝐼𝑚))(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑚))
81 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1r𝐾) = (1r𝐾)
8243, 6, 48, 81, 51, 52, 45, 57drnginvrld 20775 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → ((𝐼𝑚)(.r𝐾)𝑚) = (1r𝐾))
8382oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → ((𝐼‘(𝑌‘0))(.r𝐾)((𝐼𝑚)(.r𝐾)𝑚)) = ((𝐼‘(𝑌‘0))(.r𝐾)(1r𝐾)))
8443, 48, 81, 64, 65ringridmd 20287 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → ((𝐼‘(𝑌‘0))(.r𝐾)(1r𝐾)) = (𝐼‘(𝑌‘0)))
8583, 84eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → ((𝐼‘(𝑌‘0))(.r𝐾)((𝐼𝑚)(.r𝐾)𝑚)) = (𝐼‘(𝑌‘0)))
8677, 80, 853eqtr3d 2783 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → (((𝐼‘(𝑌‘0))(.r𝐾)(𝐼𝑚))(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑚) = (𝐼‘(𝑌‘0)))
8786oveq1d 7446 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → ((((𝐼‘(𝑌‘0))(.r𝐾)(𝐼𝑚))(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑚) · 𝑌) = ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌))
8862, 76, 873eqtr2d 2781 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → ((𝐼‘((𝑚 · 𝑌)‘0)) · (𝑚 · 𝑌)) = ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌))
89 fveq1 6906 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 = (𝑚 · 𝑌) → (𝑋‘0) = ((𝑚 · 𝑌)‘0))
9089fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 = (𝑚 · 𝑌) → (𝐼‘(𝑋‘0)) = (𝐼‘((𝑚 · 𝑌)‘0)))
91 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 = (𝑚 · 𝑌) → 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))
9290, 91oveq12d 7449 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 = (𝑚 · 𝑌) → ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋) = ((𝐼‘((𝑚 · 𝑌)‘0)) · (𝑚 · 𝑌)))
9392eqeq1d 2737 . . . . . . . . . 10 (𝑋 = (𝑚 · 𝑌) → (((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋) = ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌) ↔ ((𝐼‘((𝑚 · 𝑌)‘0)) · (𝑚 · 𝑌)) = ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌)))
9488, 93syl5ibrcom 247 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → (𝑋 = (𝑚 · 𝑌) → ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋) = ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌)))
9594expimpd 453 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) → ((𝑚0𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋) = ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌)))
9642, 95syld 47 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) → (𝑋 = (𝑚 · 𝑌) → ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋) = ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌)))
9796rexlimdva 3153 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (∃𝑚𝑆 𝑋 = (𝑚 · 𝑌) → ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋) = ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌)))
9897impr 454 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ∃𝑚𝑆 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋) = ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌))
993neneqd 2943 . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ (𝑋‘0) = 0 )
10099iffalsed 4542 . . . . . 6 (𝜑 → if((𝑋‘0) = 0 , 𝑋, ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋)) = ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋))
101100adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ∃𝑚𝑆 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → if((𝑋‘0) = 0 , 𝑋, ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋)) = ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋))
10258neneqd 2943 . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ (𝑌‘0) = 0 )
103102iffalsed 4542 . . . . . 6 (𝜑 → if((𝑌‘0) = 0 , 𝑌, ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌)) = ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌))
104103adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ∃𝑚𝑆 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → if((𝑌‘0) = 0 , 𝑌, ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌)) = ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌))
10598, 101, 1043eqtr4d 2785 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ∃𝑚𝑆 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → if((𝑋‘0) = 0 , 𝑋, ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋)) = if((𝑌‘0) = 0 , 𝑌, ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌)))
106 prjspner01.f . . . . 5 𝐹 = (𝑏𝐵 ↦ if((𝑏‘0) = 0 , 𝑏, ((𝐼‘(𝑏‘0)) · 𝑏)))
107 fveq1 6906 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑋 → (𝑏‘0) = (𝑋‘0))
108107eqeq1d 2737 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑋 → ((𝑏‘0) = 0 ↔ (𝑋‘0) = 0 ))
109 id 22 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑋𝑏 = 𝑋)
110107fveq2d 6911 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑋 → (𝐼‘(𝑏‘0)) = (𝐼‘(𝑋‘0)))
111110, 109oveq12d 7449 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑋 → ((𝐼‘(𝑏‘0)) · 𝑏) = ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋))
112108, 109, 111ifbieq12d 4559 . . . . 5 (𝑏 = 𝑋 → if((𝑏‘0) = 0 , 𝑏, ((𝐼‘(𝑏‘0)) · 𝑏)) = if((𝑋‘0) = 0 , 𝑋, ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋)))
113 simprll 779 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ∃𝑚𝑆 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → 𝑋𝐵)
114 ovexd 7466 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ∃𝑚𝑆 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋) ∈ V)
115113, 114ifexd 4579 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ∃𝑚𝑆 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → if((𝑋‘0) = 0 , 𝑋, ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋)) ∈ V)
116106, 112, 113, 115fvmptd3 7039 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ∃𝑚𝑆 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → (𝐹𝑋) = if((𝑋‘0) = 0 , 𝑋, ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋)))
117 fveq1 6906 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑌 → (𝑏‘0) = (𝑌‘0))
118117eqeq1d 2737 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑌 → ((𝑏‘0) = 0 ↔ (𝑌‘0) = 0 ))
119 id 22 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑌𝑏 = 𝑌)
120117fveq2d 6911 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑌 → (𝐼‘(𝑏‘0)) = (𝐼‘(𝑌‘0)))
121120, 119oveq12d 7449 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑌 → ((𝐼‘(𝑏‘0)) · 𝑏) = ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌))
122118, 119, 121ifbieq12d 4559 . . . . 5 (𝑏 = 𝑌 → if((𝑏‘0) = 0 , 𝑏, ((𝐼‘(𝑏‘0)) · 𝑏)) = if((𝑌‘0) = 0 , 𝑌, ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌)))
123 simprlr 780 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ∃𝑚𝑆 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → 𝑌𝐵)
124 ovexd 7466 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ∃𝑚𝑆 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌) ∈ V)
125123, 124ifexd 4579 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ∃𝑚𝑆 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → if((𝑌‘0) = 0 , 𝑌, ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌)) ∈ V)
126106, 122, 123, 125fvmptd3 7039 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ∃𝑚𝑆 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → (𝐹𝑌) = if((𝑌‘0) = 0 , 𝑌, ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌)))
127105, 116, 1263eqtr4d 2785 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ∃𝑚𝑆 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → (𝐹𝑋) = (𝐹𝑌))
1282, 127sylan2b 594 . 2 ((𝜑𝑋 𝑌) → (𝐹𝑋) = (𝐹𝑌))
1291, 5, 25, 43, 30, 7prjspner 42606 . . . 4 (𝜑 Er 𝐵)
130129adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋) = (𝐹𝑌)) → Er 𝐵)
131 prjspner01.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝐵)
1321, 106, 25, 5, 30, 43, 6, 51, 7, 10, 131prjspner01 42612 . . . 4 (𝜑𝑋 (𝐹𝑋))
133132adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋) = (𝐹𝑌)) → 𝑋 (𝐹𝑋))
134129, 132ercl2 8757 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝑋) ∈ 𝐵)
135134adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋) = (𝐹𝑌)) → (𝐹𝑋) ∈ 𝐵)
136130, 135erref 8764 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋) = (𝐹𝑌)) → (𝐹𝑋) (𝐹𝑋))
137 breq2 5152 . . . . . 6 ((𝐹𝑋) = (𝐹𝑌) → ((𝐹𝑋) (𝐹𝑋) ↔ (𝐹𝑋) (𝐹𝑌)))
138137adantl 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋) = (𝐹𝑌)) → ((𝐹𝑋) (𝐹𝑋) ↔ (𝐹𝑋) (𝐹𝑌)))
139136, 138mpbid 232 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋) = (𝐹𝑌)) → (𝐹𝑋) (𝐹𝑌))
1401, 106, 25, 5, 30, 43, 6, 51, 7, 10, 24prjspner01 42612 . . . . 5 (𝜑𝑌 (𝐹𝑌))
141140adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋) = (𝐹𝑌)) → 𝑌 (𝐹𝑌))
142130, 139, 141ertr4d 8763 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋) = (𝐹𝑌)) → (𝐹𝑋) 𝑌)
143130, 133, 142ertrd 8760 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋) = (𝐹𝑌)) → 𝑋 𝑌)
144128, 143impbida 801 1 (𝜑 → (𝑋 𝑌 ↔ (𝐹𝑋) = (𝐹𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wrex 3068  Vcvv 3478  cdif 3960  ifcif 4531  {csn 4631   class class class wbr 5148  {copab 5210  cmpt 5231  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431   Er wer 8741  0cc0 11153  0cn0 12524  ...cfz 13544  Basecbs 17245  .rcmulr 17299  Scalarcsca 17301   ·𝑠 cvsca 17302  0gc0g 17486  1rcur 20199  Ringcrg 20251  invrcinvr 20404  DivRingcdr 20746  LModclmod 20875  LVecclvec 21119   freeLMod cfrlm 21784
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-prds 17494  df-pws 17496  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-subg 19154  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-nzr 20530  df-subrg 20587  df-rlreg 20711  df-domn 20712  df-drng 20748  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lvec 21120  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-dsmm 21770  df-frlm 21785
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator