Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prjspner1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prjspner1 40463
Description: Two vectors whose zeroth coordinate is nonzero are equivalent if and only if they have the same representative in the (n-1)-dimensional affine subspace { x0 = 1 } . For example, vectors in 3D space whose 𝑥 coordinate is nonzero are equivalent iff they intersect at the plane 𝑥 = 1 at the same point (also see section header). (Contributed by SN, 13-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
prjspner01.e = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝑆 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
prjspner01.f 𝐹 = (𝑏𝐵 ↦ if((𝑏‘0) = 0 , 𝑏, ((𝐼‘(𝑏‘0)) · 𝑏)))
prjspner01.b 𝐵 = ((Base‘𝑊) ∖ {(0g𝑊)})
prjspner01.w 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0...𝑁))
prjspner01.t · = ( ·𝑠𝑊)
prjspner01.s 𝑆 = (Base‘𝐾)
prjspner01.0 0 = (0g𝐾)
prjspner01.i 𝐼 = (invr𝐾)
prjspner01.k (𝜑𝐾 ∈ DivRing)
prjspner01.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
prjspner01.x (𝜑𝑋𝐵)
prjspner1.y (𝜑𝑌𝐵)
prjspner1.1 (𝜑 → (𝑋‘0) ≠ 0 )
prjspner1.2 (𝜑 → (𝑌‘0) ≠ 0 )
Assertion
Ref Expression
prjspner1 (𝜑 → (𝑋 𝑌 ↔ (𝐹𝑋) = (𝐹𝑌)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑋,𝑙,𝑥,𝑦   𝑊,𝑙,𝑥,𝑦   · ,𝑙,𝑥,𝑦   𝑆,𝑙   𝐼,𝑙,𝑥,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥, 0 ,𝑦   𝐵,𝑏   𝑋,𝑏   0 ,𝑏   · ,𝑏   𝐼,𝑏   𝜑,𝑏   𝑌,𝑙,𝑥,𝑦   𝑌,𝑏   𝑥,𝑆,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑙)   𝐵(𝑙)   (𝑥,𝑦,𝑏,𝑙)   𝑆(𝑏)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑏,𝑙)   𝐾(𝑏,𝑙)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑏,𝑙)   𝑊(𝑏)   0 (𝑙)

Proof of Theorem prjspner1
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prjspner01.e . . . 4 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝑆 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
21prjsprel 40443 . . 3 (𝑋 𝑌 ↔ ((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ∃𝑚𝑆 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)))
3 prjspner1.1 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑋‘0) ≠ 0 )
4 fveq1 6773 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑋 = (0g𝑊) → (𝑋‘0) = ((0g𝑊)‘0))
5 prjspner01.w . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0...𝑁))
6 prjspner01.0 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 = (0g𝐾)
7 prjspner01.k . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐾 ∈ DivRing)
87drngringd 40246 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐾 ∈ Ring)
9 ovexd 7310 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (0...𝑁) ∈ V)
10 prjspner01.n . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
11 0elfz 13353 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑁))
135, 6, 8, 9, 12frlm0vald 40262 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((0g𝑊)‘0) = 0 )
144, 13sylan9eqr 2800 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑋 = (0g𝑊)) → (𝑋‘0) = 0 )
153, 14mteqand 3048 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑋 ≠ (0g𝑊))
165frlmsca 20960 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ DivRing ∧ (0...𝑁) ∈ V) → 𝐾 = (Scalar‘𝑊))
177, 9, 16syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐾 = (Scalar‘𝑊))
1817fveq2d 6778 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (0g𝐾) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
196, 18eqtrid 2790 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑0 = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
2019oveq1d 7290 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ( 0 · 𝑌) = ((0g‘(Scalar‘𝑊)) · 𝑌))
215frlmlvec 20968 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ DivRing ∧ (0...𝑁) ∈ V) → 𝑊 ∈ LVec)
227, 9, 21syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
2322lveclmodd 40258 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
24 prjspner1.y . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑌𝐵)
25 prjspner01.b . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐵 = ((Base‘𝑊) ∖ {(0g𝑊)})
2624, 25eleqtrdi 2849 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑌 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g𝑊)}))
2726eldifad 3899 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑌 ∈ (Base‘𝑊))
28 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
29 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
30 prjspner01.t . . . . . . . . . . . . . . . 16 · = ( ·𝑠𝑊)
31 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
32 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0g𝑊) = (0g𝑊)
3328, 29, 30, 31, 32lmod0vs 20156 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝑊)) → ((0g‘(Scalar‘𝑊)) · 𝑌) = (0g𝑊))
3423, 27, 33syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((0g‘(Scalar‘𝑊)) · 𝑌) = (0g𝑊))
3520, 34eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ( 0 · 𝑌) = (0g𝑊))
3615, 35neeqtrrd 3018 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋 ≠ ( 0 · 𝑌))
3736ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) → 𝑋 ≠ ( 0 · 𝑌))
38 oveq1 7282 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 0 → (𝑚 · 𝑌) = ( 0 · 𝑌))
3938neeq2d 3004 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 0 → (𝑋 ≠ (𝑚 · 𝑌) ↔ 𝑋 ≠ ( 0 · 𝑌)))
4037, 39syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) → (𝑚 = 0𝑋 ≠ (𝑚 · 𝑌)))
4140necon2d 2966 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) → (𝑋 = (𝑚 · 𝑌) → 𝑚0 ))
4241ancrd 552 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) → (𝑋 = (𝑚 · 𝑌) → (𝑚0𝑋 = (𝑚 · 𝑌))))
43 prjspner01.s . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑆 = (Base‘𝐾)
44 ovexd 7310 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → (0...𝑁) ∈ V)
45 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → 𝑚𝑆)
4627ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑊))
4712ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → 0 ∈ (0...𝑁))
48 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . . . 15 (.r𝐾) = (.r𝐾)
495, 28, 43, 44, 45, 46, 47, 30, 48frlmvscaval 20975 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → ((𝑚 · 𝑌)‘0) = (𝑚(.r𝐾)(𝑌‘0)))
5049fveq2d 6778 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → (𝐼‘((𝑚 · 𝑌)‘0)) = (𝐼‘(𝑚(.r𝐾)(𝑌‘0))))
51 prjspner01.i . . . . . . . . . . . . . 14 𝐼 = (invr𝐾)
527ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → 𝐾 ∈ DivRing)
535, 43, 28frlmbasf 20967 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((0...𝑁) ∈ V ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑌:(0...𝑁)⟶𝑆)
549, 27, 53syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑌:(0...𝑁)⟶𝑆)
5554, 12ffvelrnd 6962 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑌‘0) ∈ 𝑆)
5655ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → (𝑌‘0) ∈ 𝑆)
57 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → 𝑚0 )
58 prjspner1.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑌‘0) ≠ 0 )
5958ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → (𝑌‘0) ≠ 0 )
6043, 6, 48, 51, 52, 45, 56, 57, 59drnginvmuld 40254 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → (𝐼‘(𝑚(.r𝐾)(𝑌‘0))) = ((𝐼‘(𝑌‘0))(.r𝐾)(𝐼𝑚)))
6150, 60eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → (𝐼‘((𝑚 · 𝑌)‘0)) = ((𝐼‘(𝑌‘0))(.r𝐾)(𝐼𝑚)))
6261oveq1d 7290 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → ((𝐼‘((𝑚 · 𝑌)‘0)) · (𝑚 · 𝑌)) = (((𝐼‘(𝑌‘0))(.r𝐾)(𝐼𝑚)) · (𝑚 · 𝑌)))
6323ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → 𝑊 ∈ LMod)
648ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → 𝐾 ∈ Ring)
6543, 6, 51, 52, 56, 59drnginvrcld 40248 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → (𝐼‘(𝑌‘0)) ∈ 𝑆)
6643, 6, 51, 52, 45, 57drnginvrcld 40248 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → (𝐼𝑚) ∈ 𝑆)
6743, 48, 64, 65, 66ringcld 40240 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → ((𝐼‘(𝑌‘0))(.r𝐾)(𝐼𝑚)) ∈ 𝑆)
6817fveq2d 6778 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (Base‘𝐾) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
6943, 68eqtrid 2790 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑆 = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
7069ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → 𝑆 = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
7167, 70eleqtrd 2841 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → ((𝐼‘(𝑌‘0))(.r𝐾)(𝐼𝑚)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
7245, 70eleqtrd 2841 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → 𝑚 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
73 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
74 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . 13 (.r‘(Scalar‘𝑊)) = (.r‘(Scalar‘𝑊))
7528, 29, 30, 73, 74lmodvsass 20148 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (((𝐼‘(𝑌‘0))(.r𝐾)(𝐼𝑚)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑚 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝑊))) → ((((𝐼‘(𝑌‘0))(.r𝐾)(𝐼𝑚))(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑚) · 𝑌) = (((𝐼‘(𝑌‘0))(.r𝐾)(𝐼𝑚)) · (𝑚 · 𝑌)))
7663, 71, 72, 46, 75syl13anc 1371 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → ((((𝐼‘(𝑌‘0))(.r𝐾)(𝐼𝑚))(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑚) · 𝑌) = (((𝐼‘(𝑌‘0))(.r𝐾)(𝐼𝑚)) · (𝑚 · 𝑌)))
7743, 48, 64, 65, 66, 45ringassd 40241 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → (((𝐼‘(𝑌‘0))(.r𝐾)(𝐼𝑚))(.r𝐾)𝑚) = ((𝐼‘(𝑌‘0))(.r𝐾)((𝐼𝑚)(.r𝐾)𝑚)))
7852, 44, 16syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → 𝐾 = (Scalar‘𝑊))
7978fveq2d 6778 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → (.r𝐾) = (.r‘(Scalar‘𝑊)))
8079oveqd 7292 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → (((𝐼‘(𝑌‘0))(.r𝐾)(𝐼𝑚))(.r𝐾)𝑚) = (((𝐼‘(𝑌‘0))(.r𝐾)(𝐼𝑚))(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑚))
81 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1r𝐾) = (1r𝐾)
8243, 6, 48, 81, 51, 52, 45, 57drnginvrld 40250 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → ((𝐼𝑚)(.r𝐾)𝑚) = (1r𝐾))
8382oveq2d 7291 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → ((𝐼‘(𝑌‘0))(.r𝐾)((𝐼𝑚)(.r𝐾)𝑚)) = ((𝐼‘(𝑌‘0))(.r𝐾)(1r𝐾)))
8443, 48, 81, 64, 65ringridmd 40243 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → ((𝐼‘(𝑌‘0))(.r𝐾)(1r𝐾)) = (𝐼‘(𝑌‘0)))
8583, 84eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → ((𝐼‘(𝑌‘0))(.r𝐾)((𝐼𝑚)(.r𝐾)𝑚)) = (𝐼‘(𝑌‘0)))
8677, 80, 853eqtr3d 2786 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → (((𝐼‘(𝑌‘0))(.r𝐾)(𝐼𝑚))(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑚) = (𝐼‘(𝑌‘0)))
8786oveq1d 7290 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → ((((𝐼‘(𝑌‘0))(.r𝐾)(𝐼𝑚))(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑚) · 𝑌) = ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌))
8862, 76, 873eqtr2d 2784 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → ((𝐼‘((𝑚 · 𝑌)‘0)) · (𝑚 · 𝑌)) = ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌))
89 fveq1 6773 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 = (𝑚 · 𝑌) → (𝑋‘0) = ((𝑚 · 𝑌)‘0))
9089fveq2d 6778 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 = (𝑚 · 𝑌) → (𝐼‘(𝑋‘0)) = (𝐼‘((𝑚 · 𝑌)‘0)))
91 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 = (𝑚 · 𝑌) → 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))
9290, 91oveq12d 7293 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 = (𝑚 · 𝑌) → ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋) = ((𝐼‘((𝑚 · 𝑌)‘0)) · (𝑚 · 𝑌)))
9392eqeq1d 2740 . . . . . . . . . 10 (𝑋 = (𝑚 · 𝑌) → (((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋) = ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌) ↔ ((𝐼‘((𝑚 · 𝑌)‘0)) · (𝑚 · 𝑌)) = ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌)))
9488, 93syl5ibrcom 246 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → (𝑋 = (𝑚 · 𝑌) → ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋) = ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌)))
9594expimpd 454 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) → ((𝑚0𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋) = ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌)))
9642, 95syld 47 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) → (𝑋 = (𝑚 · 𝑌) → ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋) = ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌)))
9796rexlimdva 3213 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (∃𝑚𝑆 𝑋 = (𝑚 · 𝑌) → ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋) = ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌)))
9897impr 455 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ∃𝑚𝑆 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋) = ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌))
993neneqd 2948 . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ (𝑋‘0) = 0 )
10099iffalsed 4470 . . . . . 6 (𝜑 → if((𝑋‘0) = 0 , 𝑋, ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋)) = ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋))
101100adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ∃𝑚𝑆 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → if((𝑋‘0) = 0 , 𝑋, ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋)) = ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋))
10258neneqd 2948 . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ (𝑌‘0) = 0 )
103102iffalsed 4470 . . . . . 6 (𝜑 → if((𝑌‘0) = 0 , 𝑌, ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌)) = ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌))
104103adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ∃𝑚𝑆 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → if((𝑌‘0) = 0 , 𝑌, ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌)) = ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌))
10598, 101, 1043eqtr4d 2788 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ∃𝑚𝑆 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → if((𝑋‘0) = 0 , 𝑋, ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋)) = if((𝑌‘0) = 0 , 𝑌, ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌)))
106 prjspner01.f . . . . 5 𝐹 = (𝑏𝐵 ↦ if((𝑏‘0) = 0 , 𝑏, ((𝐼‘(𝑏‘0)) · 𝑏)))
107 fveq1 6773 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑋 → (𝑏‘0) = (𝑋‘0))
108107eqeq1d 2740 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑋 → ((𝑏‘0) = 0 ↔ (𝑋‘0) = 0 ))
109 id 22 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑋𝑏 = 𝑋)
110107fveq2d 6778 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑋 → (𝐼‘(𝑏‘0)) = (𝐼‘(𝑋‘0)))
111110, 109oveq12d 7293 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑋 → ((𝐼‘(𝑏‘0)) · 𝑏) = ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋))
112108, 109, 111ifbieq12d 4487 . . . . 5 (𝑏 = 𝑋 → if((𝑏‘0) = 0 , 𝑏, ((𝐼‘(𝑏‘0)) · 𝑏)) = if((𝑋‘0) = 0 , 𝑋, ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋)))
113 simprll 776 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ∃𝑚𝑆 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → 𝑋𝐵)
114 ovexd 7310 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ∃𝑚𝑆 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋) ∈ V)
115113, 114ifexd 4507 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ∃𝑚𝑆 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → if((𝑋‘0) = 0 , 𝑋, ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋)) ∈ V)
116106, 112, 113, 115fvmptd3 6898 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ∃𝑚𝑆 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → (𝐹𝑋) = if((𝑋‘0) = 0 , 𝑋, ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋)))
117 fveq1 6773 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑌 → (𝑏‘0) = (𝑌‘0))
118117eqeq1d 2740 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑌 → ((𝑏‘0) = 0 ↔ (𝑌‘0) = 0 ))
119 id 22 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑌𝑏 = 𝑌)
120117fveq2d 6778 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑌 → (𝐼‘(𝑏‘0)) = (𝐼‘(𝑌‘0)))
121120, 119oveq12d 7293 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑌 → ((𝐼‘(𝑏‘0)) · 𝑏) = ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌))
122118, 119, 121ifbieq12d 4487 . . . . 5 (𝑏 = 𝑌 → if((𝑏‘0) = 0 , 𝑏, ((𝐼‘(𝑏‘0)) · 𝑏)) = if((𝑌‘0) = 0 , 𝑌, ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌)))
123 simprlr 777 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ∃𝑚𝑆 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → 𝑌𝐵)
124 ovexd 7310 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ∃𝑚𝑆 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌) ∈ V)
125123, 124ifexd 4507 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ∃𝑚𝑆 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → if((𝑌‘0) = 0 , 𝑌, ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌)) ∈ V)
126106, 122, 123, 125fvmptd3 6898 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ∃𝑚𝑆 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → (𝐹𝑌) = if((𝑌‘0) = 0 , 𝑌, ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌)))
127105, 116, 1263eqtr4d 2788 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ∃𝑚𝑆 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → (𝐹𝑋) = (𝐹𝑌))
1282, 127sylan2b 594 . 2 ((𝜑𝑋 𝑌) → (𝐹𝑋) = (𝐹𝑌))
1291, 5, 25, 43, 30, 7prjspner 40458 . . . 4 (𝜑 Er 𝐵)
130129adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋) = (𝐹𝑌)) → Er 𝐵)
131 prjspner01.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝐵)
1321, 106, 25, 5, 30, 43, 6, 51, 7, 10, 131prjspner01 40462 . . . 4 (𝜑𝑋 (𝐹𝑋))
133132adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋) = (𝐹𝑌)) → 𝑋 (𝐹𝑋))
134129, 132ercl2 8511 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝑋) ∈ 𝐵)
135134adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋) = (𝐹𝑌)) → (𝐹𝑋) ∈ 𝐵)
136130, 135erref 8518 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋) = (𝐹𝑌)) → (𝐹𝑋) (𝐹𝑋))
137 breq2 5078 . . . . . 6 ((𝐹𝑋) = (𝐹𝑌) → ((𝐹𝑋) (𝐹𝑋) ↔ (𝐹𝑋) (𝐹𝑌)))
138137adantl 482 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋) = (𝐹𝑌)) → ((𝐹𝑋) (𝐹𝑋) ↔ (𝐹𝑋) (𝐹𝑌)))
139136, 138mpbid 231 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋) = (𝐹𝑌)) → (𝐹𝑋) (𝐹𝑌))
1401, 106, 25, 5, 30, 43, 6, 51, 7, 10, 24prjspner01 40462 . . . . 5 (𝜑𝑌 (𝐹𝑌))
141140adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋) = (𝐹𝑌)) → 𝑌 (𝐹𝑌))
142130, 139, 141ertr4d 8517 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋) = (𝐹𝑌)) → (𝐹𝑋) 𝑌)
143130, 133, 142ertrd 8514 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋) = (𝐹𝑌)) → 𝑋 𝑌)
144128, 143impbida 798 1 (𝜑 → (𝑋 𝑌 ↔ (𝐹𝑋) = (𝐹𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  wne 2943  wrex 3065  Vcvv 3432  cdif 3884  ifcif 4459  {csn 4561   class class class wbr 5074  {copab 5136  cmpt 5157  wf 6429  cfv 6433  (class class class)co 7275   Er wer 8495  0cc0 10871  0cn0 12233  ...cfz 13239  Basecbs 16912  .rcmulr 16963  Scalarcsca 16965   ·𝑠 cvsca 16966  0gc0g 17150  1rcur 19737  Ringcrg 19783  invrcinvr 19913  DivRingcdr 19991  LModclmod 20123  LVecclvec 20364   freeLMod cfrlm 20953
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-ifp 1061  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-tpos 8042  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-sup 9201  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-fz 13240  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-hom 16986  df-cco 16987  df-0g 17152  df-prds 17158  df-pws 17160  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-subg 18752  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-oppr 19862  df-dvdsr 19883  df-unit 19884  df-invr 19914  df-drng 19993  df-subrg 20022  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-lvec 20365  df-sra 20434  df-rgmod 20435  df-dsmm 20939  df-frlm 20954
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator