Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prjspner1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prjspner1 41683
Description: Two vectors whose zeroth coordinate is nonzero are equivalent if and only if they have the same representative in the (n-1)-dimensional affine subspace { x0 = 1 } . For example, vectors in 3D space whose 𝑥 coordinate is nonzero are equivalent iff they intersect at the plane 𝑥 = 1 at the same point (also see section header). (Contributed by SN, 13-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
prjspner01.e = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝑆 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
prjspner01.f 𝐹 = (𝑏𝐵 ↦ if((𝑏‘0) = 0 , 𝑏, ((𝐼‘(𝑏‘0)) · 𝑏)))
prjspner01.b 𝐵 = ((Base‘𝑊) ∖ {(0g𝑊)})
prjspner01.w 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0...𝑁))
prjspner01.t · = ( ·𝑠𝑊)
prjspner01.s 𝑆 = (Base‘𝐾)
prjspner01.0 0 = (0g𝐾)
prjspner01.i 𝐼 = (invr𝐾)
prjspner01.k (𝜑𝐾 ∈ DivRing)
prjspner01.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
prjspner01.x (𝜑𝑋𝐵)
prjspner1.y (𝜑𝑌𝐵)
prjspner1.1 (𝜑 → (𝑋‘0) ≠ 0 )
prjspner1.2 (𝜑 → (𝑌‘0) ≠ 0 )
Assertion
Ref Expression
prjspner1 (𝜑 → (𝑋 𝑌 ↔ (𝐹𝑋) = (𝐹𝑌)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑋,𝑙,𝑥,𝑦   𝑊,𝑙,𝑥,𝑦   · ,𝑙,𝑥,𝑦   𝑆,𝑙   𝐼,𝑙,𝑥,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥, 0 ,𝑦   𝐵,𝑏   𝑋,𝑏   0 ,𝑏   · ,𝑏   𝐼,𝑏   𝜑,𝑏   𝑌,𝑙,𝑥,𝑦   𝑌,𝑏   𝑥,𝑆,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑙)   𝐵(𝑙)   (𝑥,𝑦,𝑏,𝑙)   𝑆(𝑏)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑏,𝑙)   𝐾(𝑏,𝑙)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑏,𝑙)   𝑊(𝑏)   0 (𝑙)

Proof of Theorem prjspner1
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prjspner01.e . . . 4 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝑆 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
21prjsprel 41661 . . 3 (𝑋 𝑌 ↔ ((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ∃𝑚𝑆 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)))
3 prjspner1.1 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑋‘0) ≠ 0 )
4 fveq1 6890 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑋 = (0g𝑊) → (𝑋‘0) = ((0g𝑊)‘0))
5 prjspner01.w . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0...𝑁))
6 prjspner01.0 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 = (0g𝐾)
7 prjspner01.k . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐾 ∈ DivRing)
87drngringd 20512 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐾 ∈ Ring)
9 ovexd 7447 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (0...𝑁) ∈ V)
10 prjspner01.n . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
11 0elfz 13605 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑁))
135, 6, 8, 9, 12frlm0vald 41424 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((0g𝑊)‘0) = 0 )
144, 13sylan9eqr 2793 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑋 = (0g𝑊)) → (𝑋‘0) = 0 )
153, 14mteqand 3032 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑋 ≠ (0g𝑊))
165frlmsca 21531 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ DivRing ∧ (0...𝑁) ∈ V) → 𝐾 = (Scalar‘𝑊))
177, 9, 16syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐾 = (Scalar‘𝑊))
1817fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (0g𝐾) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
196, 18eqtrid 2783 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑0 = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
2019oveq1d 7427 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ( 0 · 𝑌) = ((0g‘(Scalar‘𝑊)) · 𝑌))
215frlmlvec 21539 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ DivRing ∧ (0...𝑁) ∈ V) → 𝑊 ∈ LVec)
227, 9, 21syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
2322lveclmodd 20866 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
24 prjspner1.y . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑌𝐵)
25 prjspner01.b . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐵 = ((Base‘𝑊) ∖ {(0g𝑊)})
2624, 25eleqtrdi 2842 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑌 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g𝑊)}))
2726eldifad 3960 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑌 ∈ (Base‘𝑊))
28 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
29 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
30 prjspner01.t . . . . . . . . . . . . . . . 16 · = ( ·𝑠𝑊)
31 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
32 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0g𝑊) = (0g𝑊)
3328, 29, 30, 31, 32lmod0vs 20653 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝑊)) → ((0g‘(Scalar‘𝑊)) · 𝑌) = (0g𝑊))
3423, 27, 33syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((0g‘(Scalar‘𝑊)) · 𝑌) = (0g𝑊))
3520, 34eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ( 0 · 𝑌) = (0g𝑊))
3615, 35neeqtrrd 3014 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋 ≠ ( 0 · 𝑌))
3736ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) → 𝑋 ≠ ( 0 · 𝑌))
38 oveq1 7419 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 0 → (𝑚 · 𝑌) = ( 0 · 𝑌))
3938neeq2d 3000 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 0 → (𝑋 ≠ (𝑚 · 𝑌) ↔ 𝑋 ≠ ( 0 · 𝑌)))
4037, 39syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) → (𝑚 = 0𝑋 ≠ (𝑚 · 𝑌)))
4140necon2d 2962 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) → (𝑋 = (𝑚 · 𝑌) → 𝑚0 ))
4241ancrd 551 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) → (𝑋 = (𝑚 · 𝑌) → (𝑚0𝑋 = (𝑚 · 𝑌))))
43 prjspner01.s . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑆 = (Base‘𝐾)
44 ovexd 7447 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → (0...𝑁) ∈ V)
45 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → 𝑚𝑆)
4627ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑊))
4712ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → 0 ∈ (0...𝑁))
48 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . . . 15 (.r𝐾) = (.r𝐾)
495, 28, 43, 44, 45, 46, 47, 30, 48frlmvscaval 21546 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → ((𝑚 · 𝑌)‘0) = (𝑚(.r𝐾)(𝑌‘0)))
5049fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → (𝐼‘((𝑚 · 𝑌)‘0)) = (𝐼‘(𝑚(.r𝐾)(𝑌‘0))))
51 prjspner01.i . . . . . . . . . . . . . 14 𝐼 = (invr𝐾)
527ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → 𝐾 ∈ DivRing)
535, 43, 28frlmbasf 21538 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((0...𝑁) ∈ V ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑌:(0...𝑁)⟶𝑆)
549, 27, 53syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑌:(0...𝑁)⟶𝑆)
5554, 12ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑌‘0) ∈ 𝑆)
5655ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → (𝑌‘0) ∈ 𝑆)
57 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → 𝑚0 )
58 prjspner1.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑌‘0) ≠ 0 )
5958ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → (𝑌‘0) ≠ 0 )
6043, 6, 48, 51, 52, 45, 56, 57, 59drnginvmuld 41418 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → (𝐼‘(𝑚(.r𝐾)(𝑌‘0))) = ((𝐼‘(𝑌‘0))(.r𝐾)(𝐼𝑚)))
6150, 60eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → (𝐼‘((𝑚 · 𝑌)‘0)) = ((𝐼‘(𝑌‘0))(.r𝐾)(𝐼𝑚)))
6261oveq1d 7427 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → ((𝐼‘((𝑚 · 𝑌)‘0)) · (𝑚 · 𝑌)) = (((𝐼‘(𝑌‘0))(.r𝐾)(𝐼𝑚)) · (𝑚 · 𝑌)))
6323ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → 𝑊 ∈ LMod)
648ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → 𝐾 ∈ Ring)
6543, 6, 51, 52, 56, 59drnginvrcld 20528 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → (𝐼‘(𝑌‘0)) ∈ 𝑆)
6643, 6, 51, 52, 45, 57drnginvrcld 20528 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → (𝐼𝑚) ∈ 𝑆)
6743, 48, 64, 65, 66ringcld 20155 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → ((𝐼‘(𝑌‘0))(.r𝐾)(𝐼𝑚)) ∈ 𝑆)
6817fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (Base‘𝐾) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
6943, 68eqtrid 2783 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑆 = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
7069ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → 𝑆 = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
7167, 70eleqtrd 2834 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → ((𝐼‘(𝑌‘0))(.r𝐾)(𝐼𝑚)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
7245, 70eleqtrd 2834 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → 𝑚 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
73 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
74 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . 13 (.r‘(Scalar‘𝑊)) = (.r‘(Scalar‘𝑊))
7528, 29, 30, 73, 74lmodvsass 20645 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (((𝐼‘(𝑌‘0))(.r𝐾)(𝐼𝑚)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑚 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝑊))) → ((((𝐼‘(𝑌‘0))(.r𝐾)(𝐼𝑚))(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑚) · 𝑌) = (((𝐼‘(𝑌‘0))(.r𝐾)(𝐼𝑚)) · (𝑚 · 𝑌)))
7663, 71, 72, 46, 75syl13anc 1371 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → ((((𝐼‘(𝑌‘0))(.r𝐾)(𝐼𝑚))(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑚) · 𝑌) = (((𝐼‘(𝑌‘0))(.r𝐾)(𝐼𝑚)) · (𝑚 · 𝑌)))
7743, 48, 64, 65, 66, 45ringassd 20154 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → (((𝐼‘(𝑌‘0))(.r𝐾)(𝐼𝑚))(.r𝐾)𝑚) = ((𝐼‘(𝑌‘0))(.r𝐾)((𝐼𝑚)(.r𝐾)𝑚)))
7852, 44, 16syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → 𝐾 = (Scalar‘𝑊))
7978fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → (.r𝐾) = (.r‘(Scalar‘𝑊)))
8079oveqd 7429 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → (((𝐼‘(𝑌‘0))(.r𝐾)(𝐼𝑚))(.r𝐾)𝑚) = (((𝐼‘(𝑌‘0))(.r𝐾)(𝐼𝑚))(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑚))
81 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1r𝐾) = (1r𝐾)
8243, 6, 48, 81, 51, 52, 45, 57drnginvrld 20531 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → ((𝐼𝑚)(.r𝐾)𝑚) = (1r𝐾))
8382oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → ((𝐼‘(𝑌‘0))(.r𝐾)((𝐼𝑚)(.r𝐾)𝑚)) = ((𝐼‘(𝑌‘0))(.r𝐾)(1r𝐾)))
8443, 48, 81, 64, 65ringridmd 20165 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → ((𝐼‘(𝑌‘0))(.r𝐾)(1r𝐾)) = (𝐼‘(𝑌‘0)))
8583, 84eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → ((𝐼‘(𝑌‘0))(.r𝐾)((𝐼𝑚)(.r𝐾)𝑚)) = (𝐼‘(𝑌‘0)))
8677, 80, 853eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → (((𝐼‘(𝑌‘0))(.r𝐾)(𝐼𝑚))(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑚) = (𝐼‘(𝑌‘0)))
8786oveq1d 7427 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → ((((𝐼‘(𝑌‘0))(.r𝐾)(𝐼𝑚))(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑚) · 𝑌) = ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌))
8862, 76, 873eqtr2d 2777 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → ((𝐼‘((𝑚 · 𝑌)‘0)) · (𝑚 · 𝑌)) = ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌))
89 fveq1 6890 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 = (𝑚 · 𝑌) → (𝑋‘0) = ((𝑚 · 𝑌)‘0))
9089fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 = (𝑚 · 𝑌) → (𝐼‘(𝑋‘0)) = (𝐼‘((𝑚 · 𝑌)‘0)))
91 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 = (𝑚 · 𝑌) → 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))
9290, 91oveq12d 7430 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 = (𝑚 · 𝑌) → ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋) = ((𝐼‘((𝑚 · 𝑌)‘0)) · (𝑚 · 𝑌)))
9392eqeq1d 2733 . . . . . . . . . 10 (𝑋 = (𝑚 · 𝑌) → (((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋) = ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌) ↔ ((𝐼‘((𝑚 · 𝑌)‘0)) · (𝑚 · 𝑌)) = ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌)))
9488, 93syl5ibrcom 246 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑚0 ) → (𝑋 = (𝑚 · 𝑌) → ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋) = ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌)))
9594expimpd 453 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) → ((𝑚0𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋) = ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌)))
9642, 95syld 47 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑚𝑆) → (𝑋 = (𝑚 · 𝑌) → ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋) = ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌)))
9796rexlimdva 3154 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (∃𝑚𝑆 𝑋 = (𝑚 · 𝑌) → ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋) = ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌)))
9897impr 454 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ∃𝑚𝑆 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋) = ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌))
993neneqd 2944 . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ (𝑋‘0) = 0 )
10099iffalsed 4539 . . . . . 6 (𝜑 → if((𝑋‘0) = 0 , 𝑋, ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋)) = ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋))
101100adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ∃𝑚𝑆 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → if((𝑋‘0) = 0 , 𝑋, ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋)) = ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋))
10258neneqd 2944 . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ (𝑌‘0) = 0 )
103102iffalsed 4539 . . . . . 6 (𝜑 → if((𝑌‘0) = 0 , 𝑌, ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌)) = ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌))
104103adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ∃𝑚𝑆 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → if((𝑌‘0) = 0 , 𝑌, ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌)) = ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌))
10598, 101, 1043eqtr4d 2781 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ∃𝑚𝑆 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → if((𝑋‘0) = 0 , 𝑋, ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋)) = if((𝑌‘0) = 0 , 𝑌, ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌)))
106 prjspner01.f . . . . 5 𝐹 = (𝑏𝐵 ↦ if((𝑏‘0) = 0 , 𝑏, ((𝐼‘(𝑏‘0)) · 𝑏)))
107 fveq1 6890 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑋 → (𝑏‘0) = (𝑋‘0))
108107eqeq1d 2733 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑋 → ((𝑏‘0) = 0 ↔ (𝑋‘0) = 0 ))
109 id 22 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑋𝑏 = 𝑋)
110107fveq2d 6895 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑋 → (𝐼‘(𝑏‘0)) = (𝐼‘(𝑋‘0)))
111110, 109oveq12d 7430 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑋 → ((𝐼‘(𝑏‘0)) · 𝑏) = ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋))
112108, 109, 111ifbieq12d 4556 . . . . 5 (𝑏 = 𝑋 → if((𝑏‘0) = 0 , 𝑏, ((𝐼‘(𝑏‘0)) · 𝑏)) = if((𝑋‘0) = 0 , 𝑋, ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋)))
113 simprll 776 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ∃𝑚𝑆 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → 𝑋𝐵)
114 ovexd 7447 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ∃𝑚𝑆 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋) ∈ V)
115113, 114ifexd 4576 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ∃𝑚𝑆 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → if((𝑋‘0) = 0 , 𝑋, ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋)) ∈ V)
116106, 112, 113, 115fvmptd3 7021 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ∃𝑚𝑆 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → (𝐹𝑋) = if((𝑋‘0) = 0 , 𝑋, ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋)))
117 fveq1 6890 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑌 → (𝑏‘0) = (𝑌‘0))
118117eqeq1d 2733 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑌 → ((𝑏‘0) = 0 ↔ (𝑌‘0) = 0 ))
119 id 22 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑌𝑏 = 𝑌)
120117fveq2d 6895 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑌 → (𝐼‘(𝑏‘0)) = (𝐼‘(𝑌‘0)))
121120, 119oveq12d 7430 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑌 → ((𝐼‘(𝑏‘0)) · 𝑏) = ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌))
122118, 119, 121ifbieq12d 4556 . . . . 5 (𝑏 = 𝑌 → if((𝑏‘0) = 0 , 𝑏, ((𝐼‘(𝑏‘0)) · 𝑏)) = if((𝑌‘0) = 0 , 𝑌, ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌)))
123 simprlr 777 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ∃𝑚𝑆 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → 𝑌𝐵)
124 ovexd 7447 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ∃𝑚𝑆 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌) ∈ V)
125123, 124ifexd 4576 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ∃𝑚𝑆 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → if((𝑌‘0) = 0 , 𝑌, ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌)) ∈ V)
126106, 122, 123, 125fvmptd3 7021 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ∃𝑚𝑆 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → (𝐹𝑌) = if((𝑌‘0) = 0 , 𝑌, ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌)))
127105, 116, 1263eqtr4d 2781 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ∃𝑚𝑆 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → (𝐹𝑋) = (𝐹𝑌))
1282, 127sylan2b 593 . 2 ((𝜑𝑋 𝑌) → (𝐹𝑋) = (𝐹𝑌))
1291, 5, 25, 43, 30, 7prjspner 41676 . . . 4 (𝜑 Er 𝐵)
130129adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋) = (𝐹𝑌)) → Er 𝐵)
131 prjspner01.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝐵)
1321, 106, 25, 5, 30, 43, 6, 51, 7, 10, 131prjspner01 41682 . . . 4 (𝜑𝑋 (𝐹𝑋))
133132adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋) = (𝐹𝑌)) → 𝑋 (𝐹𝑋))
134129, 132ercl2 8722 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝑋) ∈ 𝐵)
135134adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋) = (𝐹𝑌)) → (𝐹𝑋) ∈ 𝐵)
136130, 135erref 8729 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋) = (𝐹𝑌)) → (𝐹𝑋) (𝐹𝑋))
137 breq2 5152 . . . . . 6 ((𝐹𝑋) = (𝐹𝑌) → ((𝐹𝑋) (𝐹𝑋) ↔ (𝐹𝑋) (𝐹𝑌)))
138137adantl 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋) = (𝐹𝑌)) → ((𝐹𝑋) (𝐹𝑋) ↔ (𝐹𝑋) (𝐹𝑌)))
139136, 138mpbid 231 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋) = (𝐹𝑌)) → (𝐹𝑋) (𝐹𝑌))
1401, 106, 25, 5, 30, 43, 6, 51, 7, 10, 24prjspner01 41682 . . . . 5 (𝜑𝑌 (𝐹𝑌))
141140adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋) = (𝐹𝑌)) → 𝑌 (𝐹𝑌))
142130, 139, 141ertr4d 8728 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋) = (𝐹𝑌)) → (𝐹𝑋) 𝑌)
143130, 133, 142ertrd 8725 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋) = (𝐹𝑌)) → 𝑋 𝑌)
144128, 143impbida 798 1 (𝜑 → (𝑋 𝑌 ↔ (𝐹𝑋) = (𝐹𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2939  wrex 3069  Vcvv 3473  cdif 3945  ifcif 4528  {csn 4628   class class class wbr 5148  {copab 5210  cmpt 5231  wf 6539  cfv 6543  (class class class)co 7412   Er wer 8706  0cc0 11116  0cn0 12479  ...cfz 13491  Basecbs 17151  .rcmulr 17205  Scalarcsca 17207   ·𝑠 cvsca 17208  0gc0g 17392  1rcur 20079  Ringcrg 20131  invrcinvr 20282  DivRingcdr 20504  LModclmod 20618  LVecclvec 20861   freeLMod cfrlm 21524
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-ifp 1061  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8152  df-tpos 8217  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-map 8828  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9368  df-sup 9443  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-fz 13492  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-hom 17228  df-cco 17229  df-0g 17394  df-prds 17400  df-pws 17402  df-mgm 18568  df-sgrp 18647  df-mnd 18663  df-grp 18861  df-minusg 18862  df-sbg 18863  df-subg 19043  df-cmn 19695  df-abl 19696  df-mgp 20033  df-rng 20051  df-ur 20080  df-ring 20133  df-oppr 20229  df-dvdsr 20252  df-unit 20253  df-invr 20283  df-subrg 20463  df-drng 20506  df-lmod 20620  df-lss 20691  df-lvec 20862  df-sra 20934  df-rgmod 20935  df-dsmm 21510  df-frlm 21525
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator