Theorem prjspner1 40063

Description: Two vectors whose zeroth coordinate is nonzero are equivalent if and only if they have the same representative in the (n-1)-dimensional affine subspace { x₀ = 1 } . For example, vectors in 3D space whose 𝑥 coordinate is nonzero are equivalent iff they intersect at the plane 𝑥 = 1 at the same point (also see section header). (Contributed by SN, 13-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
prjspner01.e	⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝑆 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
prjspner01.f	⊢ 𝐹 = (𝑏 ∈ 𝐵 ↦ if((𝑏‘0) = 0 , 𝑏, ((𝐼‘(𝑏‘0)) · 𝑏)))
prjspner01.b	⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})
prjspner01.w	⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0...𝑁))
prjspner01.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
prjspner01.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝐾)
prjspner01.0	⊢ 0 = (0g‘𝐾)
prjspner01.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝐾)
prjspner01.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ DivRing)
prjspner01.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
prjspner01.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
prjspner1.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
prjspner1.1	⊢ (𝜑 → (𝑋‘0) ≠ 0 )
prjspner1.2	⊢ (𝜑 → (𝑌‘0) ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
prjspner1	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∼ 𝑌 ↔ (𝐹‘𝑋) = (𝐹‘𝑌)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑋,𝑙,𝑥,𝑦   𝑊,𝑙,𝑥,𝑦   · ,𝑙,𝑥,𝑦   𝑆,𝑙   𝐼,𝑙,𝑥,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥, 0 ,𝑦   𝐵,𝑏   𝑋,𝑏   0 ,𝑏   · ,𝑏   𝐼,𝑏   𝜑,𝑏   𝑌,𝑙,𝑥,𝑦   𝑌,𝑏   𝑥,𝑆,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑙)   𝐵(𝑙)   ∼ (𝑥,𝑦,𝑏,𝑙)   𝑆(𝑏)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑏,𝑙)   𝐾(𝑏,𝑙)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑏,𝑙)   𝑊(𝑏)   0 (𝑙)

Proof of Theorem prjspner1

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prjspner01.e	. . . 4 ⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝑆 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
2	1	prjsprel 40043	. . 3 ⊢ (𝑋 ∼ 𝑌 ↔ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑚 ∈ 𝑆 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)))
3		prjspner1.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑋‘0) ≠ 0 )
4		fveq1 6676	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑋 = (0g‘𝑊) → (𝑋‘0) = ((0g‘𝑊)‘0))
5		prjspner01.w	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0...𝑁))
6		prjspner01.0	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 = (0g‘𝐾)
7		prjspner01.k	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ DivRing)
8	7	drngringd 39851	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Ring)
9		ovexd 7208	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) ∈ V)
10		prjspner01.n	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
11		0elfz 13098	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑁))
13	5, 6, 8, 9, 12	frlm0vald 39866	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑊)‘0) = 0 )
14	4, 13	sylan9eqr 2796	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (0g‘𝑊)) → (𝑋‘0) = 0 )
15	3, 14	mteqand 3038	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ (0g‘𝑊))
16	5	frlmsca 20572	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ (0...𝑁) ∈ V) → 𝐾 = (Scalar‘𝑊))
17	7, 9, 16	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (Scalar‘𝑊))
18	17	fveq2d 6681	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐾) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
19	6, 18	syl5eq 2786	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
20	19	oveq1d 7188	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ( 0 · 𝑌) = ((0g‘(Scalar‘𝑊)) · 𝑌))
21	5	frlmlvec 20580	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ (0...𝑁) ∈ V) → 𝑊 ∈ LVec)
22	7, 9, 21	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
23	22	lveclmodd 39862	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
24		prjspner1.y	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
25		prjspner01.b	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})
26	24, 25	eleqtrdi 2844	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}))
27	26	eldifad 3856	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝑊))
28		eqid 2739	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
29		eqid 2739	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
30		prjspner01.t	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
31		eqid 2739	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
32		eqid 2739	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
33	28, 29, 30, 31, 32	lmod0vs 19789	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝑊)) → ((0g‘(Scalar‘𝑊)) · 𝑌) = (0g‘𝑊))
34	23, 27, 33	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((0g‘(Scalar‘𝑊)) · 𝑌) = (0g‘𝑊))
35	20, 34	eqtrd 2774	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ( 0 · 𝑌) = (0g‘𝑊))
36	15, 35	neeqtrrd 3009	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ( 0 · 𝑌))
37	36	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) → 𝑋 ≠ ( 0 · 𝑌))
38		oveq1 7180	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = 0 → (𝑚 · 𝑌) = ( 0 · 𝑌))
39	38	neeq2d 2995	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 0 → (𝑋 ≠ (𝑚 · 𝑌) ↔ 𝑋 ≠ ( 0 · 𝑌)))
40	37, 39	syl5ibrcom 250	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) → (𝑚 = 0 → 𝑋 ≠ (𝑚 · 𝑌)))
41	40	necon2d 2958	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) → (𝑋 = (𝑚 · 𝑌) → 𝑚 ≠ 0 ))
42	41	ancrd 555	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) → (𝑋 = (𝑚 · 𝑌) → (𝑚 ≠ 0 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))))
43		prjspner01.s	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝐾)
44		ovexd 7208	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ≠ 0 ) → (0...𝑁) ∈ V)
45		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ≠ 0 ) → 𝑚 ∈ 𝑆)
46	27	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ≠ 0 ) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑊))
47	12	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ≠ 0 ) → 0 ∈ (0...𝑁))
48		eqid 2739	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (.r‘𝐾) = (.r‘𝐾)
49	5, 28, 43, 44, 45, 46, 47, 30, 48	frlmvscaval 20587	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ≠ 0 ) → ((𝑚 · 𝑌)‘0) = (𝑚(.r‘𝐾)(𝑌‘0)))
50	49	fveq2d 6681	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ≠ 0 ) → (𝐼‘((𝑚 · 𝑌)‘0)) = (𝐼‘(𝑚(.r‘𝐾)(𝑌‘0))))
51		prjspner01.i	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝐾)
52	7	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ≠ 0 ) → 𝐾 ∈ DivRing)
53	5, 43, 28	frlmbasf 20579	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((0...𝑁) ∈ V ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑌:(0...𝑁)⟶𝑆)
54	9, 27, 53	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑌:(0...𝑁)⟶𝑆)
55	54, 12	ffvelrnd 6865	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑌‘0) ∈ 𝑆)
56	55	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ≠ 0 ) → (𝑌‘0) ∈ 𝑆)
57		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ≠ 0 ) → 𝑚 ≠ 0 )
58		prjspner1.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑌‘0) ≠ 0 )
59	58	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ≠ 0 ) → (𝑌‘0) ≠ 0 )
60	43, 6, 48, 51, 52, 45, 56, 57, 59	drnginvmuld 39859	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ≠ 0 ) → (𝐼‘(𝑚(.r‘𝐾)(𝑌‘0))) = ((𝐼‘(𝑌‘0))(.r‘𝐾)(𝐼‘𝑚)))
61	50, 60	eqtrd 2774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ≠ 0 ) → (𝐼‘((𝑚 · 𝑌)‘0)) = ((𝐼‘(𝑌‘0))(.r‘𝐾)(𝐼‘𝑚)))
62	61	oveq1d 7188	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ≠ 0 ) → ((𝐼‘((𝑚 · 𝑌)‘0)) · (𝑚 · 𝑌)) = (((𝐼‘(𝑌‘0))(.r‘𝐾)(𝐼‘𝑚)) · (𝑚 · 𝑌)))
63	23	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ≠ 0 ) → 𝑊 ∈ LMod)
64	8	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ≠ 0 ) → 𝐾 ∈ Ring)
65	43, 6, 51, 52, 56, 59	drnginvrcld 39853	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ≠ 0 ) → (𝐼‘(𝑌‘0)) ∈ 𝑆)
66	43, 6, 51, 52, 45, 57	drnginvrcld 39853	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ≠ 0 ) → (𝐼‘𝑚) ∈ 𝑆)
67	43, 48, 64, 65, 66	ringcld 39845	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ≠ 0 ) → ((𝐼‘(𝑌‘0))(.r‘𝐾)(𝐼‘𝑚)) ∈ 𝑆)
68	17	fveq2d 6681	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐾) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
69	43, 68	syl5eq 2786	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
70	69	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ≠ 0 ) → 𝑆 = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
71	67, 70	eleqtrd 2836	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ≠ 0 ) → ((𝐼‘(𝑌‘0))(.r‘𝐾)(𝐼‘𝑚)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
72	45, 70	eleqtrd 2836	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ≠ 0 ) → 𝑚 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
73		eqid 2739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
74		eqid 2739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (.r‘(Scalar‘𝑊)) = (.r‘(Scalar‘𝑊))
75	28, 29, 30, 73, 74	lmodvsass 19781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (((𝐼‘(𝑌‘0))(.r‘𝐾)(𝐼‘𝑚)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑚 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝑊))) → ((((𝐼‘(𝑌‘0))(.r‘𝐾)(𝐼‘𝑚))(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑚) · 𝑌) = (((𝐼‘(𝑌‘0))(.r‘𝐾)(𝐼‘𝑚)) · (𝑚 · 𝑌)))
76	63, 71, 72, 46, 75	syl13anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ≠ 0 ) → ((((𝐼‘(𝑌‘0))(.r‘𝐾)(𝐼‘𝑚))(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑚) · 𝑌) = (((𝐼‘(𝑌‘0))(.r‘𝐾)(𝐼‘𝑚)) · (𝑚 · 𝑌)))
77	43, 48, 64, 65, 66, 45	ringassd 39846	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ≠ 0 ) → (((𝐼‘(𝑌‘0))(.r‘𝐾)(𝐼‘𝑚))(.r‘𝐾)𝑚) = ((𝐼‘(𝑌‘0))(.r‘𝐾)((𝐼‘𝑚)(.r‘𝐾)𝑚)))
78	52, 44, 16	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ≠ 0 ) → 𝐾 = (Scalar‘𝑊))
79	78	fveq2d 6681	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ≠ 0 ) → (.r‘𝐾) = (.r‘(Scalar‘𝑊)))
80	79	oveqd 7190	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ≠ 0 ) → (((𝐼‘(𝑌‘0))(.r‘𝐾)(𝐼‘𝑚))(.r‘𝐾)𝑚) = (((𝐼‘(𝑌‘0))(.r‘𝐾)(𝐼‘𝑚))(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑚))
81		eqid 2739	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1r‘𝐾) = (1r‘𝐾)
82	43, 6, 48, 81, 51, 52, 45, 57	drnginvrld 39855	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ≠ 0 ) → ((𝐼‘𝑚)(.r‘𝐾)𝑚) = (1r‘𝐾))
83	82	oveq2d 7189	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ≠ 0 ) → ((𝐼‘(𝑌‘0))(.r‘𝐾)((𝐼‘𝑚)(.r‘𝐾)𝑚)) = ((𝐼‘(𝑌‘0))(.r‘𝐾)(1r‘𝐾)))
84	43, 48, 81, 64, 65	ringridmd 39848	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ≠ 0 ) → ((𝐼‘(𝑌‘0))(.r‘𝐾)(1r‘𝐾)) = (𝐼‘(𝑌‘0)))
85	83, 84	eqtrd 2774	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ≠ 0 ) → ((𝐼‘(𝑌‘0))(.r‘𝐾)((𝐼‘𝑚)(.r‘𝐾)𝑚)) = (𝐼‘(𝑌‘0)))
86	77, 80, 85	3eqtr3d 2782	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ≠ 0 ) → (((𝐼‘(𝑌‘0))(.r‘𝐾)(𝐼‘𝑚))(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑚) = (𝐼‘(𝑌‘0)))
87	86	oveq1d 7188	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ≠ 0 ) → ((((𝐼‘(𝑌‘0))(.r‘𝐾)(𝐼‘𝑚))(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑚) · 𝑌) = ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌))
88	62, 76, 87	3eqtr2d 2780	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ≠ 0 ) → ((𝐼‘((𝑚 · 𝑌)‘0)) · (𝑚 · 𝑌)) = ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌))
89		fveq1 6676	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 = (𝑚 · 𝑌) → (𝑋‘0) = ((𝑚 · 𝑌)‘0))
90	89	fveq2d 6681	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 = (𝑚 · 𝑌) → (𝐼‘(𝑋‘0)) = (𝐼‘((𝑚 · 𝑌)‘0)))
91		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 = (𝑚 · 𝑌) → 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))
92	90, 91	oveq12d 7191	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 = (𝑚 · 𝑌) → ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋) = ((𝐼‘((𝑚 · 𝑌)‘0)) · (𝑚 · 𝑌)))
93	92	eqeq1d 2741	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 = (𝑚 · 𝑌) → (((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋) = ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌) ↔ ((𝐼‘((𝑚 · 𝑌)‘0)) · (𝑚 · 𝑌)) = ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌)))
94	88, 93	syl5ibrcom 250	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ≠ 0 ) → (𝑋 = (𝑚 · 𝑌) → ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋) = ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌)))
95	94	expimpd 457	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) → ((𝑚 ≠ 0 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋) = ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌)))
96	42, 95	syld 47	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) → (𝑋 = (𝑚 · 𝑌) → ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋) = ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌)))
97	96	rexlimdva 3195	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (∃𝑚 ∈ 𝑆 𝑋 = (𝑚 · 𝑌) → ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋) = ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌)))
98	97	impr 458	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑚 ∈ 𝑆 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋) = ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌))
99	3	neneqd 2940	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑋‘0) = 0 )
100	99	iffalsed 4426	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if((𝑋‘0) = 0 , 𝑋, ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋)) = ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋))
101	100	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑚 ∈ 𝑆 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → if((𝑋‘0) = 0 , 𝑋, ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋)) = ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋))
102	58	neneqd 2940	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑌‘0) = 0 )
103	102	iffalsed 4426	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if((𝑌‘0) = 0 , 𝑌, ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌)) = ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌))
104	103	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑚 ∈ 𝑆 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → if((𝑌‘0) = 0 , 𝑌, ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌)) = ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌))
105	98, 101, 104	3eqtr4d 2784	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑚 ∈ 𝑆 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → if((𝑋‘0) = 0 , 𝑋, ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋)) = if((𝑌‘0) = 0 , 𝑌, ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌)))
106		prjspner01.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑏 ∈ 𝐵 ↦ if((𝑏‘0) = 0 , 𝑏, ((𝐼‘(𝑏‘0)) · 𝑏)))
107		fveq1 6676	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝑋 → (𝑏‘0) = (𝑋‘0))
108	107	eqeq1d 2741	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑋 → ((𝑏‘0) = 0 ↔ (𝑋‘0) = 0 ))
109		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑋 → 𝑏 = 𝑋)
110	107	fveq2d 6681	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝑋 → (𝐼‘(𝑏‘0)) = (𝐼‘(𝑋‘0)))
111	110, 109	oveq12d 7191	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑋 → ((𝐼‘(𝑏‘0)) · 𝑏) = ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋))
112	108, 109, 111	ifbieq12d 4443	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑋 → if((𝑏‘0) = 0 , 𝑏, ((𝐼‘(𝑏‘0)) · 𝑏)) = if((𝑋‘0) = 0 , 𝑋, ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋)))
113		simprll 779	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑚 ∈ 𝑆 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → 𝑋 ∈ 𝐵)
114		ovexd 7208	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑚 ∈ 𝑆 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋) ∈ V)
115	113, 114	ifexd 4463	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑚 ∈ 𝑆 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → if((𝑋‘0) = 0 , 𝑋, ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋)) ∈ V)
116	106, 112, 113, 115	fvmptd3 6801	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑚 ∈ 𝑆 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → (𝐹‘𝑋) = if((𝑋‘0) = 0 , 𝑋, ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋)))
117		fveq1 6676	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → (𝑏‘0) = (𝑌‘0))
118	117	eqeq1d 2741	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → ((𝑏‘0) = 0 ↔ (𝑌‘0) = 0 ))
119		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → 𝑏 = 𝑌)
120	117	fveq2d 6681	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → (𝐼‘(𝑏‘0)) = (𝐼‘(𝑌‘0)))
121	120, 119	oveq12d 7191	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → ((𝐼‘(𝑏‘0)) · 𝑏) = ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌))
122	118, 119, 121	ifbieq12d 4443	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → if((𝑏‘0) = 0 , 𝑏, ((𝐼‘(𝑏‘0)) · 𝑏)) = if((𝑌‘0) = 0 , 𝑌, ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌)))
123		simprlr 780	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑚 ∈ 𝑆 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → 𝑌 ∈ 𝐵)
124		ovexd 7208	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑚 ∈ 𝑆 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌) ∈ V)
125	123, 124	ifexd 4463	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑚 ∈ 𝑆 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → if((𝑌‘0) = 0 , 𝑌, ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌)) ∈ V)
126	106, 122, 123, 125	fvmptd3 6801	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑚 ∈ 𝑆 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → (𝐹‘𝑌) = if((𝑌‘0) = 0 , 𝑌, ((𝐼‘(𝑌‘0)) · 𝑌)))
127	105, 116, 126	3eqtr4d 2784	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑚 ∈ 𝑆 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → (𝐹‘𝑋) = (𝐹‘𝑌))
128	2, 127	sylan2b 597	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) → (𝐹‘𝑋) = (𝐹‘𝑌))
129	1, 5, 25, 43, 30, 7	prjspner 40058	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∼ Er 𝐵)
130	129	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑋) = (𝐹‘𝑌)) → ∼ Er 𝐵)
131		prjspner01.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
132	1, 106, 25, 5, 30, 43, 6, 51, 7, 10, 131	prjspner01 40062	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∼ (𝐹‘𝑋))
133	132	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑋) = (𝐹‘𝑌)) → 𝑋 ∼ (𝐹‘𝑋))
134	129, 132	ercl2 8336	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵)
135	134	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑋) = (𝐹‘𝑌)) → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵)
136	130, 135	erref 8343	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑋) = (𝐹‘𝑌)) → (𝐹‘𝑋) ∼ (𝐹‘𝑋))
137		breq2 5035	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝑋) = (𝐹‘𝑌) → ((𝐹‘𝑋) ∼ (𝐹‘𝑋) ↔ (𝐹‘𝑋) ∼ (𝐹‘𝑌)))
138	137	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑋) = (𝐹‘𝑌)) → ((𝐹‘𝑋) ∼ (𝐹‘𝑋) ↔ (𝐹‘𝑋) ∼ (𝐹‘𝑌)))
139	136, 138	mpbid 235	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑋) = (𝐹‘𝑌)) → (𝐹‘𝑋) ∼ (𝐹‘𝑌))
140	1, 106, 25, 5, 30, 43, 6, 51, 7, 10, 24	prjspner01 40062	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∼ (𝐹‘𝑌))
141	140	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑋) = (𝐹‘𝑌)) → 𝑌 ∼ (𝐹‘𝑌))
142	130, 139, 141	ertr4d 8342	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑋) = (𝐹‘𝑌)) → (𝐹‘𝑋) ∼ 𝑌)
143	130, 133, 142	ertrd 8339	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑋) = (𝐹‘𝑌)) → 𝑋 ∼ 𝑌)
144	128, 143	impbida 801	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∼ 𝑌 ↔ (𝐹‘𝑋) = (𝐹‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2935  ∃wrex 3055  Vcvv 3399   ∖ cdif 3841  ifcif 4415  {csn 4517   class class class wbr 5031  {copab 5093   ↦ cmpt 5111  ⟶wf 6336  ‘cfv 6340  (class class class)co 7173   Er wer 8320  0cc0 10618  ℕ₀cn0 11979  ...cfz 12984  Basecbs 16589  ._rcmulr 16672  Scalarcsca 16674   ·_𝑠 cvsca 16675  0_gc0g 16819  1_rcur 19373  Ringcrg 19419  inv_rcinvr 19546  DivRingcdr 19624  LModclmod 19756  LVecclvec 19996   freeLMod cfrlm 20565

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5233  ax-pr 5297  ax-un 7482  ax-cnex 10674  ax-resscn 10675  ax-1cn 10676  ax-icn 10677  ax-addcl 10678  ax-addrcl 10679  ax-mulcl 10680  ax-mulrcl 10681  ax-mulcom 10682  ax-addass 10683  ax-mulass 10684  ax-distr 10685  ax-i2m1 10686  ax-1ne0 10687  ax-1rid 10688  ax-rnegex 10689  ax-rrecex 10690  ax-cnre 10691  ax-pre-lttri 10692  ax-pre-lttrn 10693  ax-pre-ltadd 10694  ax-pre-mulgt0 10695

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-ifp 1063  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3401  df-sbc 3682  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-pss 3863  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-tp 4522  df-op 4524  df-uni 4798  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7130  df-ov 7176  df-oprab 7177  df-mpo 7178  df-of 7428  df-om 7603  df-1st 7717  df-2nd 7718  df-supp 7860  df-tpos 7924  df-wrecs 7979  df-recs 8040  df-rdg 8078  df-1o 8134  df-er 8323  df-map 8442  df-ixp 8511  df-en 8559  df-dom 8560  df-sdom 8561  df-fin 8562  df-fsupp 8910  df-sup 8982  df-pnf 10758  df-mnf 10759  df-xr 10760  df-ltxr 10761  df-le 10762  df-sub 10953  df-neg 10954  df-nn 11720  df-2 11782  df-3 11783  df-4 11784  df-5 11785  df-6 11786  df-7 11787  df-8 11788  df-9 11789  df-n0 11980  df-z 12066  df-dec 12183  df-uz 12328  df-fz 12985  df-struct 16591  df-ndx 16592  df-slot 16593  df-base 16595  df-sets 16596  df-ress 16597  df-plusg 16684  df-mulr 16685  df-sca 16687  df-vsca 16688  df-ip 16689  df-tset 16690  df-ple 16691  df-ds 16693  df-hom 16695  df-cco 16696  df-0g 16821  df-prds 16827  df-pws 16829  df-mgm 17971  df-sgrp 18020  df-mnd 18031  df-grp 18225  df-minusg 18226  df-sbg 18227  df-subg 18397  df-mgp 19362  df-ur 19374  df-ring 19421  df-oppr 19498  df-dvdsr 19516  df-unit 19517  df-invr 19547  df-drng 19626  df-subrg 19655  df-lmod 19758  df-lss 19826  df-lvec 19997  df-sra 20066  df-rgmod 20067  df-dsmm 20551  df-frlm 20566

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