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Theorem prjspner1 42115
Description: Two vectors whose zeroth coordinate is nonzero are equivalent if and only if they have the same representative in the (n-1)-dimensional affine subspace { x0 = 1 } . For example, vectors in 3D space whose π‘₯ coordinate is nonzero are equivalent iff they intersect at the plane π‘₯ = 1 at the same point (also see section header). (Contributed by SN, 13-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
prjspner01.e ∼ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝑆 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑦))}
prjspner01.f 𝐹 = (𝑏 ∈ 𝐡 ↦ if((π‘β€˜0) = 0 , 𝑏, ((πΌβ€˜(π‘β€˜0)) Β· 𝑏)))
prjspner01.b 𝐡 = ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})
prjspner01.w π‘Š = (𝐾 freeLMod (0...𝑁))
prjspner01.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
prjspner01.s 𝑆 = (Baseβ€˜πΎ)
prjspner01.0 0 = (0gβ€˜πΎ)
prjspner01.i 𝐼 = (invrβ€˜πΎ)
prjspner01.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ DivRing)
prjspner01.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
prjspner01.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
prjspner1.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
prjspner1.1 (πœ‘ β†’ (π‘‹β€˜0) β‰  0 )
prjspner1.2 (πœ‘ β†’ (π‘Œβ€˜0) β‰  0 )
Assertion
Ref Expression
prjspner1 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∼ π‘Œ ↔ (πΉβ€˜π‘‹) = (πΉβ€˜π‘Œ)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐡,𝑦   𝑋,𝑙,π‘₯,𝑦   π‘Š,𝑙,π‘₯,𝑦   Β· ,𝑙,π‘₯,𝑦   𝑆,𝑙   𝐼,𝑙,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝐾,𝑦   π‘₯, 0 ,𝑦   𝐡,𝑏   𝑋,𝑏   0 ,𝑏   Β· ,𝑏   𝐼,𝑏   πœ‘,𝑏   π‘Œ,𝑙,π‘₯,𝑦   π‘Œ,𝑏   π‘₯,𝑆,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑦,𝑙)   𝐡(𝑙)   ∼ (π‘₯,𝑦,𝑏,𝑙)   𝑆(𝑏)   𝐹(π‘₯,𝑦,𝑏,𝑙)   𝐾(𝑏,𝑙)   𝑁(π‘₯,𝑦,𝑏,𝑙)   π‘Š(𝑏)   0 (𝑙)

Proof of Theorem prjspner1
Dummy variable π‘š is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prjspner01.e . . . 4 ∼ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝑆 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑦))}
21prjsprel 42093 . . 3 (𝑋 ∼ π‘Œ ↔ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘š ∈ 𝑆 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ)))
3 prjspner1.1 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (π‘‹β€˜0) β‰  0 )
4 fveq1 6891 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑋 = (0gβ€˜π‘Š) β†’ (π‘‹β€˜0) = ((0gβ€˜π‘Š)β€˜0))
5 prjspner01.w . . . . . . . . . . . . . . . 16 π‘Š = (𝐾 freeLMod (0...𝑁))
6 prjspner01.0 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 = (0gβ€˜πΎ)
7 prjspner01.k . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ DivRing)
87drngringd 20636 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Ring)
9 ovexd 7451 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (0...𝑁) ∈ V)
10 prjspner01.n . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
11 0elfz 13630 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 0 ∈ (0...𝑁))
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (0...𝑁))
135, 6, 8, 9, 12frlm0vald 41825 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ ((0gβ€˜π‘Š)β€˜0) = 0 )
144, 13sylan9eqr 2787 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = (0gβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘‹β€˜0) = 0 )
153, 14mteqand 3023 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘Š))
165frlmsca 21691 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ DivRing ∧ (0...𝑁) ∈ V) β†’ 𝐾 = (Scalarβ€˜π‘Š))
177, 9, 16syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐾 = (Scalarβ€˜π‘Š))
1817fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜πΎ) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
196, 18eqtrid 2777 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 0 = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
2019oveq1d 7431 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ( 0 Β· π‘Œ) = ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) Β· π‘Œ))
215frlmlvec 21699 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ DivRing ∧ (0...𝑁) ∈ V) β†’ π‘Š ∈ LVec)
227, 9, 21syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
2322lveclmodd 20996 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
24 prjspner1.y . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
25 prjspner01.b . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐡 = ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)})
2624, 25eleqtrdi 2835 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– {(0gβ€˜π‘Š)}))
2726eldifad 3951 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
28 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
29 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
30 prjspner01.t . . . . . . . . . . . . . . . 16 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
31 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
32 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0gβ€˜π‘Š) = (0gβ€˜π‘Š)
3328, 29, 30, 31, 32lmod0vs 20782 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) Β· π‘Œ) = (0gβ€˜π‘Š))
3423, 27, 33syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) Β· π‘Œ) = (0gβ€˜π‘Š))
3520, 34eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ( 0 Β· π‘Œ) = (0gβ€˜π‘Š))
3615, 35neeqtrrd 3005 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  ( 0 Β· π‘Œ))
3736ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ π‘š ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 β‰  ( 0 Β· π‘Œ))
38 oveq1 7423 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š = 0 β†’ (π‘š Β· π‘Œ) = ( 0 Β· π‘Œ))
3938neeq2d 2991 . . . . . . . . . . 11 (π‘š = 0 β†’ (𝑋 β‰  (π‘š Β· π‘Œ) ↔ 𝑋 β‰  ( 0 Β· π‘Œ)))
4037, 39syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ π‘š ∈ 𝑆) β†’ (π‘š = 0 β†’ 𝑋 β‰  (π‘š Β· π‘Œ)))
4140necon2d 2953 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ π‘š ∈ 𝑆) β†’ (𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ) β†’ π‘š β‰  0 ))
4241ancrd 550 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ π‘š ∈ 𝑆) β†’ (𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ) β†’ (π‘š β‰  0 ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ))))
43 prjspner01.s . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑆 = (Baseβ€˜πΎ)
44 ovexd 7451 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ π‘š ∈ 𝑆) ∧ π‘š β‰  0 ) β†’ (0...𝑁) ∈ V)
45 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ π‘š ∈ 𝑆) ∧ π‘š β‰  0 ) β†’ π‘š ∈ 𝑆)
4627ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ π‘š ∈ 𝑆) ∧ π‘š β‰  0 ) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
4712ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ π‘š ∈ 𝑆) ∧ π‘š β‰  0 ) β†’ 0 ∈ (0...𝑁))
48 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (.rβ€˜πΎ) = (.rβ€˜πΎ)
495, 28, 43, 44, 45, 46, 47, 30, 48frlmvscaval 21706 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ π‘š ∈ 𝑆) ∧ π‘š β‰  0 ) β†’ ((π‘š Β· π‘Œ)β€˜0) = (π‘š(.rβ€˜πΎ)(π‘Œβ€˜0)))
5049fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ π‘š ∈ 𝑆) ∧ π‘š β‰  0 ) β†’ (πΌβ€˜((π‘š Β· π‘Œ)β€˜0)) = (πΌβ€˜(π‘š(.rβ€˜πΎ)(π‘Œβ€˜0))))
51 prjspner01.i . . . . . . . . . . . . . 14 𝐼 = (invrβ€˜πΎ)
527ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ π‘š ∈ 𝑆) ∧ π‘š β‰  0 ) β†’ 𝐾 ∈ DivRing)
535, 43, 28frlmbasf 21698 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((0...𝑁) ∈ V ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ π‘Œ:(0...𝑁)βŸΆπ‘†)
549, 27, 53syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ π‘Œ:(0...𝑁)βŸΆπ‘†)
5554, 12ffvelcdmd 7090 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (π‘Œβ€˜0) ∈ 𝑆)
5655ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ π‘š ∈ 𝑆) ∧ π‘š β‰  0 ) β†’ (π‘Œβ€˜0) ∈ 𝑆)
57 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ π‘š ∈ 𝑆) ∧ π‘š β‰  0 ) β†’ π‘š β‰  0 )
58 prjspner1.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (π‘Œβ€˜0) β‰  0 )
5958ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ π‘š ∈ 𝑆) ∧ π‘š β‰  0 ) β†’ (π‘Œβ€˜0) β‰  0 )
6043, 6, 48, 51, 52, 45, 56, 57, 59drnginvmuld 41819 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ π‘š ∈ 𝑆) ∧ π‘š β‰  0 ) β†’ (πΌβ€˜(π‘š(.rβ€˜πΎ)(π‘Œβ€˜0))) = ((πΌβ€˜(π‘Œβ€˜0))(.rβ€˜πΎ)(πΌβ€˜π‘š)))
6150, 60eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ π‘š ∈ 𝑆) ∧ π‘š β‰  0 ) β†’ (πΌβ€˜((π‘š Β· π‘Œ)β€˜0)) = ((πΌβ€˜(π‘Œβ€˜0))(.rβ€˜πΎ)(πΌβ€˜π‘š)))
6261oveq1d 7431 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ π‘š ∈ 𝑆) ∧ π‘š β‰  0 ) β†’ ((πΌβ€˜((π‘š Β· π‘Œ)β€˜0)) Β· (π‘š Β· π‘Œ)) = (((πΌβ€˜(π‘Œβ€˜0))(.rβ€˜πΎ)(πΌβ€˜π‘š)) Β· (π‘š Β· π‘Œ)))
6323ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ π‘š ∈ 𝑆) ∧ π‘š β‰  0 ) β†’ π‘Š ∈ LMod)
648ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ π‘š ∈ 𝑆) ∧ π‘š β‰  0 ) β†’ 𝐾 ∈ Ring)
6543, 6, 51, 52, 56, 59drnginvrcld 20652 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ π‘š ∈ 𝑆) ∧ π‘š β‰  0 ) β†’ (πΌβ€˜(π‘Œβ€˜0)) ∈ 𝑆)
6643, 6, 51, 52, 45, 57drnginvrcld 20652 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ π‘š ∈ 𝑆) ∧ π‘š β‰  0 ) β†’ (πΌβ€˜π‘š) ∈ 𝑆)
6743, 48, 64, 65, 66ringcld 20203 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ π‘š ∈ 𝑆) ∧ π‘š β‰  0 ) β†’ ((πΌβ€˜(π‘Œβ€˜0))(.rβ€˜πΎ)(πΌβ€˜π‘š)) ∈ 𝑆)
6817fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
6943, 68eqtrid 2777 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑆 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
7069ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ π‘š ∈ 𝑆) ∧ π‘š β‰  0 ) β†’ 𝑆 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
7167, 70eleqtrd 2827 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ π‘š ∈ 𝑆) ∧ π‘š β‰  0 ) β†’ ((πΌβ€˜(π‘Œβ€˜0))(.rβ€˜πΎ)(πΌβ€˜π‘š)) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
7245, 70eleqtrd 2827 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ π‘š ∈ 𝑆) ∧ π‘š β‰  0 ) β†’ π‘š ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
73 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . 13 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
74 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . 13 (.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
7528, 29, 30, 73, 74lmodvsass 20774 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (((πΌβ€˜(π‘Œβ€˜0))(.rβ€˜πΎ)(πΌβ€˜π‘š)) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘š ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π‘Š))) β†’ ((((πΌβ€˜(π‘Œβ€˜0))(.rβ€˜πΎ)(πΌβ€˜π‘š))(.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))π‘š) Β· π‘Œ) = (((πΌβ€˜(π‘Œβ€˜0))(.rβ€˜πΎ)(πΌβ€˜π‘š)) Β· (π‘š Β· π‘Œ)))
7663, 71, 72, 46, 75syl13anc 1369 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ π‘š ∈ 𝑆) ∧ π‘š β‰  0 ) β†’ ((((πΌβ€˜(π‘Œβ€˜0))(.rβ€˜πΎ)(πΌβ€˜π‘š))(.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))π‘š) Β· π‘Œ) = (((πΌβ€˜(π‘Œβ€˜0))(.rβ€˜πΎ)(πΌβ€˜π‘š)) Β· (π‘š Β· π‘Œ)))
7743, 48, 64, 65, 66, 45ringassd 20201 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ π‘š ∈ 𝑆) ∧ π‘š β‰  0 ) β†’ (((πΌβ€˜(π‘Œβ€˜0))(.rβ€˜πΎ)(πΌβ€˜π‘š))(.rβ€˜πΎ)π‘š) = ((πΌβ€˜(π‘Œβ€˜0))(.rβ€˜πΎ)((πΌβ€˜π‘š)(.rβ€˜πΎ)π‘š)))
7852, 44, 16syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ π‘š ∈ 𝑆) ∧ π‘š β‰  0 ) β†’ 𝐾 = (Scalarβ€˜π‘Š))
7978fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ π‘š ∈ 𝑆) ∧ π‘š β‰  0 ) β†’ (.rβ€˜πΎ) = (.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
8079oveqd 7433 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ π‘š ∈ 𝑆) ∧ π‘š β‰  0 ) β†’ (((πΌβ€˜(π‘Œβ€˜0))(.rβ€˜πΎ)(πΌβ€˜π‘š))(.rβ€˜πΎ)π‘š) = (((πΌβ€˜(π‘Œβ€˜0))(.rβ€˜πΎ)(πΌβ€˜π‘š))(.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))π‘š))
81 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1rβ€˜πΎ) = (1rβ€˜πΎ)
8243, 6, 48, 81, 51, 52, 45, 57drnginvrld 20655 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ π‘š ∈ 𝑆) ∧ π‘š β‰  0 ) β†’ ((πΌβ€˜π‘š)(.rβ€˜πΎ)π‘š) = (1rβ€˜πΎ))
8382oveq2d 7432 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ π‘š ∈ 𝑆) ∧ π‘š β‰  0 ) β†’ ((πΌβ€˜(π‘Œβ€˜0))(.rβ€˜πΎ)((πΌβ€˜π‘š)(.rβ€˜πΎ)π‘š)) = ((πΌβ€˜(π‘Œβ€˜0))(.rβ€˜πΎ)(1rβ€˜πΎ)))
8443, 48, 81, 64, 65ringridmd 20213 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ π‘š ∈ 𝑆) ∧ π‘š β‰  0 ) β†’ ((πΌβ€˜(π‘Œβ€˜0))(.rβ€˜πΎ)(1rβ€˜πΎ)) = (πΌβ€˜(π‘Œβ€˜0)))
8583, 84eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ π‘š ∈ 𝑆) ∧ π‘š β‰  0 ) β†’ ((πΌβ€˜(π‘Œβ€˜0))(.rβ€˜πΎ)((πΌβ€˜π‘š)(.rβ€˜πΎ)π‘š)) = (πΌβ€˜(π‘Œβ€˜0)))
8677, 80, 853eqtr3d 2773 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ π‘š ∈ 𝑆) ∧ π‘š β‰  0 ) β†’ (((πΌβ€˜(π‘Œβ€˜0))(.rβ€˜πΎ)(πΌβ€˜π‘š))(.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))π‘š) = (πΌβ€˜(π‘Œβ€˜0)))
8786oveq1d 7431 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ π‘š ∈ 𝑆) ∧ π‘š β‰  0 ) β†’ ((((πΌβ€˜(π‘Œβ€˜0))(.rβ€˜πΎ)(πΌβ€˜π‘š))(.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))π‘š) Β· π‘Œ) = ((πΌβ€˜(π‘Œβ€˜0)) Β· π‘Œ))
8862, 76, 873eqtr2d 2771 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ π‘š ∈ 𝑆) ∧ π‘š β‰  0 ) β†’ ((πΌβ€˜((π‘š Β· π‘Œ)β€˜0)) Β· (π‘š Β· π‘Œ)) = ((πΌβ€˜(π‘Œβ€˜0)) Β· π‘Œ))
89 fveq1 6891 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ) β†’ (π‘‹β€˜0) = ((π‘š Β· π‘Œ)β€˜0))
9089fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ) β†’ (πΌβ€˜(π‘‹β€˜0)) = (πΌβ€˜((π‘š Β· π‘Œ)β€˜0)))
91 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ) β†’ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ))
9290, 91oveq12d 7434 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ) β†’ ((πΌβ€˜(π‘‹β€˜0)) Β· 𝑋) = ((πΌβ€˜((π‘š Β· π‘Œ)β€˜0)) Β· (π‘š Β· π‘Œ)))
9392eqeq1d 2727 . . . . . . . . . 10 (𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ) β†’ (((πΌβ€˜(π‘‹β€˜0)) Β· 𝑋) = ((πΌβ€˜(π‘Œβ€˜0)) Β· π‘Œ) ↔ ((πΌβ€˜((π‘š Β· π‘Œ)β€˜0)) Β· (π‘š Β· π‘Œ)) = ((πΌβ€˜(π‘Œβ€˜0)) Β· π‘Œ)))
9488, 93syl5ibrcom 246 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ π‘š ∈ 𝑆) ∧ π‘š β‰  0 ) β†’ (𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ) β†’ ((πΌβ€˜(π‘‹β€˜0)) Β· 𝑋) = ((πΌβ€˜(π‘Œβ€˜0)) Β· π‘Œ)))
9594expimpd 452 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ π‘š ∈ 𝑆) β†’ ((π‘š β‰  0 ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ)) β†’ ((πΌβ€˜(π‘‹β€˜0)) Β· 𝑋) = ((πΌβ€˜(π‘Œβ€˜0)) Β· π‘Œ)))
9642, 95syld 47 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ π‘š ∈ 𝑆) β†’ (𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ) β†’ ((πΌβ€˜(π‘‹β€˜0)) Β· 𝑋) = ((πΌβ€˜(π‘Œβ€˜0)) Β· π‘Œ)))
9796rexlimdva 3145 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (βˆƒπ‘š ∈ 𝑆 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ) β†’ ((πΌβ€˜(π‘‹β€˜0)) Β· 𝑋) = ((πΌβ€˜(π‘Œβ€˜0)) Β· π‘Œ)))
9897impr 453 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘š ∈ 𝑆 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ))) β†’ ((πΌβ€˜(π‘‹β€˜0)) Β· 𝑋) = ((πΌβ€˜(π‘Œβ€˜0)) Β· π‘Œ))
993neneqd 2935 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Β¬ (π‘‹β€˜0) = 0 )
10099iffalsed 4535 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ if((π‘‹β€˜0) = 0 , 𝑋, ((πΌβ€˜(π‘‹β€˜0)) Β· 𝑋)) = ((πΌβ€˜(π‘‹β€˜0)) Β· 𝑋))
101100adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘š ∈ 𝑆 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ))) β†’ if((π‘‹β€˜0) = 0 , 𝑋, ((πΌβ€˜(π‘‹β€˜0)) Β· 𝑋)) = ((πΌβ€˜(π‘‹β€˜0)) Β· 𝑋))
10258neneqd 2935 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Β¬ (π‘Œβ€˜0) = 0 )
103102iffalsed 4535 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ if((π‘Œβ€˜0) = 0 , π‘Œ, ((πΌβ€˜(π‘Œβ€˜0)) Β· π‘Œ)) = ((πΌβ€˜(π‘Œβ€˜0)) Β· π‘Œ))
104103adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘š ∈ 𝑆 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ))) β†’ if((π‘Œβ€˜0) = 0 , π‘Œ, ((πΌβ€˜(π‘Œβ€˜0)) Β· π‘Œ)) = ((πΌβ€˜(π‘Œβ€˜0)) Β· π‘Œ))
10598, 101, 1043eqtr4d 2775 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘š ∈ 𝑆 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ))) β†’ if((π‘‹β€˜0) = 0 , 𝑋, ((πΌβ€˜(π‘‹β€˜0)) Β· 𝑋)) = if((π‘Œβ€˜0) = 0 , π‘Œ, ((πΌβ€˜(π‘Œβ€˜0)) Β· π‘Œ)))
106 prjspner01.f . . . . 5 𝐹 = (𝑏 ∈ 𝐡 ↦ if((π‘β€˜0) = 0 , 𝑏, ((πΌβ€˜(π‘β€˜0)) Β· 𝑏)))
107 fveq1 6891 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑋 β†’ (π‘β€˜0) = (π‘‹β€˜0))
108107eqeq1d 2727 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑋 β†’ ((π‘β€˜0) = 0 ↔ (π‘‹β€˜0) = 0 ))
109 id 22 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑋 β†’ 𝑏 = 𝑋)
110107fveq2d 6896 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑋 β†’ (πΌβ€˜(π‘β€˜0)) = (πΌβ€˜(π‘‹β€˜0)))
111110, 109oveq12d 7434 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑋 β†’ ((πΌβ€˜(π‘β€˜0)) Β· 𝑏) = ((πΌβ€˜(π‘‹β€˜0)) Β· 𝑋))
112108, 109, 111ifbieq12d 4552 . . . . 5 (𝑏 = 𝑋 β†’ if((π‘β€˜0) = 0 , 𝑏, ((πΌβ€˜(π‘β€˜0)) Β· 𝑏)) = if((π‘‹β€˜0) = 0 , 𝑋, ((πΌβ€˜(π‘‹β€˜0)) Β· 𝑋)))
113 simprll 777 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘š ∈ 𝑆 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
114 ovexd 7451 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘š ∈ 𝑆 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ))) β†’ ((πΌβ€˜(π‘‹β€˜0)) Β· 𝑋) ∈ V)
115113, 114ifexd 4572 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘š ∈ 𝑆 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ))) β†’ if((π‘‹β€˜0) = 0 , 𝑋, ((πΌβ€˜(π‘‹β€˜0)) Β· 𝑋)) ∈ V)
116106, 112, 113, 115fvmptd3 7023 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘š ∈ 𝑆 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ))) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) = if((π‘‹β€˜0) = 0 , 𝑋, ((πΌβ€˜(π‘‹β€˜0)) Β· 𝑋)))
117 fveq1 6891 . . . . . . 7 (𝑏 = π‘Œ β†’ (π‘β€˜0) = (π‘Œβ€˜0))
118117eqeq1d 2727 . . . . . 6 (𝑏 = π‘Œ β†’ ((π‘β€˜0) = 0 ↔ (π‘Œβ€˜0) = 0 ))
119 id 22 . . . . . 6 (𝑏 = π‘Œ β†’ 𝑏 = π‘Œ)
120117fveq2d 6896 . . . . . . 7 (𝑏 = π‘Œ β†’ (πΌβ€˜(π‘β€˜0)) = (πΌβ€˜(π‘Œβ€˜0)))
121120, 119oveq12d 7434 . . . . . 6 (𝑏 = π‘Œ β†’ ((πΌβ€˜(π‘β€˜0)) Β· 𝑏) = ((πΌβ€˜(π‘Œβ€˜0)) Β· π‘Œ))
122118, 119, 121ifbieq12d 4552 . . . . 5 (𝑏 = π‘Œ β†’ if((π‘β€˜0) = 0 , 𝑏, ((πΌβ€˜(π‘β€˜0)) Β· 𝑏)) = if((π‘Œβ€˜0) = 0 , π‘Œ, ((πΌβ€˜(π‘Œβ€˜0)) Β· π‘Œ)))
123 simprlr 778 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘š ∈ 𝑆 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ))) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
124 ovexd 7451 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘š ∈ 𝑆 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ))) β†’ ((πΌβ€˜(π‘Œβ€˜0)) Β· π‘Œ) ∈ V)
125123, 124ifexd 4572 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘š ∈ 𝑆 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ))) β†’ if((π‘Œβ€˜0) = 0 , π‘Œ, ((πΌβ€˜(π‘Œβ€˜0)) Β· π‘Œ)) ∈ V)
126106, 122, 123, 125fvmptd3 7023 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘š ∈ 𝑆 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ))) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) = if((π‘Œβ€˜0) = 0 , π‘Œ, ((πΌβ€˜(π‘Œβ€˜0)) Β· π‘Œ)))
127105, 116, 1263eqtr4d 2775 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘š ∈ 𝑆 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ))) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) = (πΉβ€˜π‘Œ))
1282, 127sylan2b 592 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∼ π‘Œ) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) = (πΉβ€˜π‘Œ))
1291, 5, 25, 43, 30, 7prjspner 42108 . . . 4 (πœ‘ β†’ ∼ Er 𝐡)
130129adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘‹) = (πΉβ€˜π‘Œ)) β†’ ∼ Er 𝐡)
131 prjspner01.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
1321, 106, 25, 5, 30, 43, 6, 51, 7, 10, 131prjspner01 42114 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∼ (πΉβ€˜π‘‹))
133132adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘‹) = (πΉβ€˜π‘Œ)) β†’ 𝑋 ∼ (πΉβ€˜π‘‹))
134129, 132ercl2 8736 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
135134adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘‹) = (πΉβ€˜π‘Œ)) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
136130, 135erref 8743 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘‹) = (πΉβ€˜π‘Œ)) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∼ (πΉβ€˜π‘‹))
137 breq2 5147 . . . . . 6 ((πΉβ€˜π‘‹) = (πΉβ€˜π‘Œ) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹) ∼ (πΉβ€˜π‘‹) ↔ (πΉβ€˜π‘‹) ∼ (πΉβ€˜π‘Œ)))
138137adantl 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘‹) = (πΉβ€˜π‘Œ)) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹) ∼ (πΉβ€˜π‘‹) ↔ (πΉβ€˜π‘‹) ∼ (πΉβ€˜π‘Œ)))
139136, 138mpbid 231 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘‹) = (πΉβ€˜π‘Œ)) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∼ (πΉβ€˜π‘Œ))
1401, 106, 25, 5, 30, 43, 6, 51, 7, 10, 24prjspner01 42114 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∼ (πΉβ€˜π‘Œ))
141140adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘‹) = (πΉβ€˜π‘Œ)) β†’ π‘Œ ∼ (πΉβ€˜π‘Œ))
142130, 139, 141ertr4d 8742 . . 3 ((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘‹) = (πΉβ€˜π‘Œ)) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∼ π‘Œ)
143130, 133, 142ertrd 8739 . 2 ((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘‹) = (πΉβ€˜π‘Œ)) β†’ 𝑋 ∼ π‘Œ)
144128, 143impbida 799 1 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∼ π‘Œ ↔ (πΉβ€˜π‘‹) = (πΉβ€˜π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  βˆƒwrex 3060  Vcvv 3463   βˆ– cdif 3936  ifcif 4524  {csn 4624   class class class wbr 5143  {copab 5205   ↦ cmpt 5226  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416   Er wer 8720  0cc0 11138  β„•0cn0 12502  ...cfz 13516  Basecbs 17179  .rcmulr 17233  Scalarcsca 17235   ·𝑠 cvsca 17236  0gc0g 17420  1rcur 20125  Ringcrg 20177  invrcinvr 20330  DivRingcdr 20628  LModclmod 20747  LVecclvec 20991   freeLMod cfrlm 21684
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-ifp 1061  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-supp 8164  df-tpos 8230  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-sup 9465  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-hom 17256  df-cco 17257  df-0g 17422  df-prds 17428  df-pws 17430  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-sbg 18899  df-subg 19082  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-ring 20179  df-oppr 20277  df-dvdsr 20300  df-unit 20301  df-invr 20331  df-subrg 20512  df-drng 20630  df-lmod 20749  df-lss 20820  df-lvec 20992  df-sra 21062  df-rgmod 21063  df-dsmm 21670  df-frlm 21685
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