Theorem nqereq 10908

Description: The function [Q] acts as a substitute for equivalence classes, and it satisfies the fundamental requirement for equivalence representatives: the representatives are equal iff the members are equivalent. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Aug-2015.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nqereq	⊢ ((𝐴 ∈ (N × N) ∧ 𝐵 ∈ (N × N)) → (𝐴 ~Q 𝐵 ↔ ([Q]‘𝐴) = ([Q]‘𝐵)))

Proof of Theorem nqereq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nqercl 10904	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (N × N) → ([Q]‘𝐴) ∈ Q)
2	1	3ad2ant1 1149	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (N × N) ∧ 𝐵 ∈ (N × N) ∧ 𝐴 ~Q 𝐵) → ([Q]‘𝐴) ∈ Q)
3		nqercl 10904	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (N × N) → ([Q]‘𝐵) ∈ Q)
4	3	3ad2ant2 1150	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (N × N) ∧ 𝐵 ∈ (N × N) ∧ 𝐴 ~Q 𝐵) → ([Q]‘𝐵) ∈ Q)
5		enqer 10894	. . . . . 6 ⊢ ~Q Er (N × N)
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (N × N) ∧ 𝐵 ∈ (N × N) ∧ 𝐴 ~Q 𝐵) → ~Q Er (N × N))
7		nqerrel 10905	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (N × N) → 𝐴 ~Q ([Q]‘𝐴))
8	7	3ad2ant1 1149	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (N × N) ∧ 𝐵 ∈ (N × N) ∧ 𝐴 ~Q 𝐵) → 𝐴 ~Q ([Q]‘𝐴))
9		simp3 1154	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (N × N) ∧ 𝐵 ∈ (N × N) ∧ 𝐴 ~Q 𝐵) → 𝐴 ~Q 𝐵)
10	6, 8, 9	ertr3d 8701	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (N × N) ∧ 𝐵 ∈ (N × N) ∧ 𝐴 ~Q 𝐵) → ([Q]‘𝐴) ~Q 𝐵)
11		nqerrel 10905	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (N × N) → 𝐵 ~Q ([Q]‘𝐵))
12	11	3ad2ant2 1150	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (N × N) ∧ 𝐵 ∈ (N × N) ∧ 𝐴 ~Q 𝐵) → 𝐵 ~Q ([Q]‘𝐵))
13	6, 10, 12	ertrd 8699	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (N × N) ∧ 𝐵 ∈ (N × N) ∧ 𝐴 ~Q 𝐵) → ([Q]‘𝐴) ~Q ([Q]‘𝐵))
14		enqeq 10907	. . . 4 ⊢ ((([Q]‘𝐴) ∈ Q ∧ ([Q]‘𝐵) ∈ Q ∧ ([Q]‘𝐴) ~Q ([Q]‘𝐵)) → ([Q]‘𝐴) = ([Q]‘𝐵))
15	2, 4, 13, 14	syl3anc 1394	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (N × N) ∧ 𝐵 ∈ (N × N) ∧ 𝐴 ~Q 𝐵) → ([Q]‘𝐴) = ([Q]‘𝐵))
16	15	3expia 1137	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (N × N) ∧ 𝐵 ∈ (N × N)) → (𝐴 ~Q 𝐵 → ([Q]‘𝐴) = ([Q]‘𝐵)))
17	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (N × N) ∧ (𝐵 ∈ (N × N) ∧ ([Q]‘𝐴) = ([Q]‘𝐵))) → ~Q Er (N × N))
18	7	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (N × N) ∧ (𝐵 ∈ (N × N) ∧ ([Q]‘𝐴) = ([Q]‘𝐵))) → 𝐴 ~Q ([Q]‘𝐴))
19		simprr 784	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (N × N) ∧ (𝐵 ∈ (N × N) ∧ ([Q]‘𝐴) = ([Q]‘𝐵))) → ([Q]‘𝐴) = ([Q]‘𝐵))
20	18, 19	breqtrd 5131	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (N × N) ∧ (𝐵 ∈ (N × N) ∧ ([Q]‘𝐴) = ([Q]‘𝐵))) → 𝐴 ~Q ([Q]‘𝐵))
21	11	ad2antrl 740	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (N × N) ∧ (𝐵 ∈ (N × N) ∧ ([Q]‘𝐴) = ([Q]‘𝐵))) → 𝐵 ~Q ([Q]‘𝐵))
22	17, 20, 21	ertr4d 8702	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (N × N) ∧ (𝐵 ∈ (N × N) ∧ ([Q]‘𝐴) = ([Q]‘𝐵))) → 𝐴 ~Q 𝐵)
23	22	expr 461	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (N × N) ∧ 𝐵 ∈ (N × N)) → (([Q]‘𝐴) = ([Q]‘𝐵) → 𝐴 ~Q 𝐵))
24	16, 23	impbid 215	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (N × N) ∧ 𝐵 ∈ (N × N)) → (𝐴 ~Q 𝐵 ↔ ([Q]‘𝐴) = ([Q]‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5105   × cxp 5650  ‘cfv 6525   Er wer 8679  Ncnpi 10817   ~_Q ceq 10824  Qcnq 10825  [Q]cerq 10827

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5395  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-oadd 8445  df-omul 8446  df-er 8682  df-ni 10845  df-mi 10847  df-lti 10848  df-enq 10884  df-nq 10885  df-erq 10886  df-1nq 10889

This theorem is referenced by:  adderpq  10929  mulerpq  10930  distrnq  10934  recmulnq  10937  ltexnq  10948