Theorem nqereq 10973

Description: The function [Q] acts as a substitute for equivalence classes, and it satisfies the fundamental requirement for equivalence representatives: the representatives are equal iff the members are equivalent. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Aug-2015.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nqereq	⊢ ((𝐴 ∈ (N × N) ∧ 𝐵 ∈ (N × N)) → (𝐴 ~Q 𝐵 ↔ ([Q]‘𝐴) = ([Q]‘𝐵)))

Proof of Theorem nqereq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nqercl 10969	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (N × N) → ([Q]‘𝐴) ∈ Q)
2	1	3ad2ant1 1132	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (N × N) ∧ 𝐵 ∈ (N × N) ∧ 𝐴 ~Q 𝐵) → ([Q]‘𝐴) ∈ Q)
3		nqercl 10969	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (N × N) → ([Q]‘𝐵) ∈ Q)
4	3	3ad2ant2 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (N × N) ∧ 𝐵 ∈ (N × N) ∧ 𝐴 ~Q 𝐵) → ([Q]‘𝐵) ∈ Q)
5		enqer 10959	. . . . . 6 ⊢ ~Q Er (N × N)
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (N × N) ∧ 𝐵 ∈ (N × N) ∧ 𝐴 ~Q 𝐵) → ~Q Er (N × N))
7		nqerrel 10970	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (N × N) → 𝐴 ~Q ([Q]‘𝐴))
8	7	3ad2ant1 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (N × N) ∧ 𝐵 ∈ (N × N) ∧ 𝐴 ~Q 𝐵) → 𝐴 ~Q ([Q]‘𝐴))
9		simp3 1137	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (N × N) ∧ 𝐵 ∈ (N × N) ∧ 𝐴 ~Q 𝐵) → 𝐴 ~Q 𝐵)
10	6, 8, 9	ertr3d 8762	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (N × N) ∧ 𝐵 ∈ (N × N) ∧ 𝐴 ~Q 𝐵) → ([Q]‘𝐴) ~Q 𝐵)
11		nqerrel 10970	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (N × N) → 𝐵 ~Q ([Q]‘𝐵))
12	11	3ad2ant2 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (N × N) ∧ 𝐵 ∈ (N × N) ∧ 𝐴 ~Q 𝐵) → 𝐵 ~Q ([Q]‘𝐵))
13	6, 10, 12	ertrd 8760	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (N × N) ∧ 𝐵 ∈ (N × N) ∧ 𝐴 ~Q 𝐵) → ([Q]‘𝐴) ~Q ([Q]‘𝐵))
14		enqeq 10972	. . . 4 ⊢ ((([Q]‘𝐴) ∈ Q ∧ ([Q]‘𝐵) ∈ Q ∧ ([Q]‘𝐴) ~Q ([Q]‘𝐵)) → ([Q]‘𝐴) = ([Q]‘𝐵))
15	2, 4, 13, 14	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (N × N) ∧ 𝐵 ∈ (N × N) ∧ 𝐴 ~Q 𝐵) → ([Q]‘𝐴) = ([Q]‘𝐵))
16	15	3expia 1120	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (N × N) ∧ 𝐵 ∈ (N × N)) → (𝐴 ~Q 𝐵 → ([Q]‘𝐴) = ([Q]‘𝐵)))
17	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (N × N) ∧ (𝐵 ∈ (N × N) ∧ ([Q]‘𝐴) = ([Q]‘𝐵))) → ~Q Er (N × N))
18	7	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (N × N) ∧ (𝐵 ∈ (N × N) ∧ ([Q]‘𝐴) = ([Q]‘𝐵))) → 𝐴 ~Q ([Q]‘𝐴))
19		simprr 773	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (N × N) ∧ (𝐵 ∈ (N × N) ∧ ([Q]‘𝐴) = ([Q]‘𝐵))) → ([Q]‘𝐴) = ([Q]‘𝐵))
20	18, 19	breqtrd 5174	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (N × N) ∧ (𝐵 ∈ (N × N) ∧ ([Q]‘𝐴) = ([Q]‘𝐵))) → 𝐴 ~Q ([Q]‘𝐵))
21	11	ad2antrl 728	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (N × N) ∧ (𝐵 ∈ (N × N) ∧ ([Q]‘𝐴) = ([Q]‘𝐵))) → 𝐵 ~Q ([Q]‘𝐵))
22	17, 20, 21	ertr4d 8763	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (N × N) ∧ (𝐵 ∈ (N × N) ∧ ([Q]‘𝐴) = ([Q]‘𝐵))) → 𝐴 ~Q 𝐵)
23	22	expr 456	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (N × N) ∧ 𝐵 ∈ (N × N)) → (([Q]‘𝐴) = ([Q]‘𝐵) → 𝐴 ~Q 𝐵))
24	16, 23	impbid 212	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (N × N) ∧ 𝐵 ∈ (N × N)) → (𝐴 ~Q 𝐵 ↔ ([Q]‘𝐴) = ([Q]‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148   × cxp 5687  ‘cfv 6563   Er wer 8741  Ncnpi 10882   ~_Q ceq 10889  Qcnq 10890  [Q]cerq 10892

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-oadd 8509  df-omul 8510  df-er 8744  df-ni 10910  df-mi 10912  df-lti 10913  df-enq 10949  df-nq 10950  df-erq 10951  df-1nq 10954

This theorem is referenced by:  adderpq  10994  mulerpq  10995  distrnq  10999  recmulnq  11002  ltexnq  11013