Theorem estrreslem2 18230

Description: Lemma 2 for estrres 18231. (Contributed by AV, 14-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
estrres.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩})
estrres.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
estrres.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑋)
estrres.x	⊢ (𝜑 → · ∈ 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
estrreslem2	⊢ (𝜑 → (Base‘ndx) ∈ dom 𝐶)

Proof of Theorem estrreslem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2763	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘ndx) = (Base‘ndx))
2	1	3mix1d 1355	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Base‘ndx) = (Base‘ndx) ∨ (Base‘ndx) = (Hom ‘ndx) ∨ (Base‘ndx) = (comp‘ndx)))
3		fvex 6895	. . . 4 ⊢ (Base‘ndx) ∈ V
4		eltpg 4650	. . . 4 ⊢ ((Base‘ndx) ∈ V → ((Base‘ndx) ∈ {(Base‘ndx), (Hom ‘ndx), (comp‘ndx)} ↔ ((Base‘ndx) = (Base‘ndx) ∨ (Base‘ndx) = (Hom ‘ndx) ∨ (Base‘ndx) = (comp‘ndx))))
5	3, 4	mp1i 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Base‘ndx) ∈ {(Base‘ndx), (Hom ‘ndx), (comp‘ndx)} ↔ ((Base‘ndx) = (Base‘ndx) ∨ (Base‘ndx) = (Hom ‘ndx) ∨ (Base‘ndx) = (comp‘ndx))))
6	2, 5	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘ndx) ∈ {(Base‘ndx), (Hom ‘ndx), (comp‘ndx)})
7		df-tp 4592	. . . . . 6 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩} = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩} ∪ {⟨(comp‘ndx), · ⟩})
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩} = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩} ∪ {⟨(comp‘ndx), · ⟩}))
9	8	dmeqd 5893	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩} = dom ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩} ∪ {⟨(comp‘ndx), · ⟩}))
10		dmun 5898	. . . . 5 ⊢ dom ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩} ∪ {⟨(comp‘ndx), · ⟩}) = (dom {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩} ∪ dom {⟨(comp‘ndx), · ⟩})
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩} ∪ {⟨(comp‘ndx), · ⟩}) = (dom {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩} ∪ dom {⟨(comp‘ndx), · ⟩}))
12		estrres.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
13		estrres.h	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑋)
14		dmpropg 6215	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐻 ∈ 𝑋) → dom {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩} = {(Base‘ndx), (Hom ‘ndx)})
15	12, 13, 14	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩} = {(Base‘ndx), (Hom ‘ndx)})
16		estrres.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → · ∈ 𝑌)
17		dmsnopg 6213	. . . . . 6 ⊢ ( · ∈ 𝑌 → dom {⟨(comp‘ndx), · ⟩} = {(comp‘ndx)})
18	16, 17	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom {⟨(comp‘ndx), · ⟩} = {(comp‘ndx)})
19	15, 18	uneq12d 4119	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (dom {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩} ∪ dom {⟨(comp‘ndx), · ⟩}) = ({(Base‘ndx), (Hom ‘ndx)} ∪ {(comp‘ndx)}))
20	9, 11, 19	3eqtrd 2801	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩} = ({(Base‘ndx), (Hom ‘ndx)} ∪ {(comp‘ndx)}))
21		estrres.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩})
22	21	dmeqd 5893	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝐶 = dom {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩})
23		df-tp 4592	. . . 4 ⊢ {(Base‘ndx), (Hom ‘ndx), (comp‘ndx)} = ({(Base‘ndx), (Hom ‘ndx)} ∪ {(comp‘ndx)})
24	23	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → {(Base‘ndx), (Hom ‘ndx), (comp‘ndx)} = ({(Base‘ndx), (Hom ‘ndx)} ∪ {(comp‘ndx)}))
25	20, 22, 24	3eqtr4d 2807	. 2 ⊢ (𝜑 → dom 𝐶 = {(Base‘ndx), (Hom ‘ndx), (comp‘ndx)})
26	6, 25	eleqtrrd 2865	1 ⊢ (𝜑 → (Base‘ndx) ∈ dom 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∨ w3o 1102   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453   ∪ cun 3900  {csn 4587  {cpr 4589  {ctp 4591  ⟨cop 4593  dom cdm 5659  ‘cfv 6537  ndxcnx 17289  Basecbs 17305  Hom chom 17357  compcco 17358

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pr 5402

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ne 2958  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-dm 5669  df-iota 6493  df-fv 6545

This theorem is used by:  estrres  18231