Theorem estrreslem2 18312

Description: Lemma 2 for estrres 18313. (Contributed by AV, 14-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
estrres.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩})
estrres.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
estrres.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑋)
estrres.x	⊢ (𝜑 → · ∈ 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
estrreslem2	⊢ (𝜑 → (Base‘ndx) ∈ dom 𝐶)

Proof of Theorem estrreslem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2761	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘ndx) = (Base‘ndx))
2	1	3mix1d 1355	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Base‘ndx) = (Base‘ndx) ∨ (Base‘ndx) = (Hom ‘ndx) ∨ (Base‘ndx) = (comp‘ndx)))
3		fvex 6898	. . . 4 ⊢ (Base‘ndx) ∈ V
4		eltpg 4646	. . . 4 ⊢ ((Base‘ndx) ∈ V → ((Base‘ndx) ∈ {(Base‘ndx), (Hom ‘ndx), (comp‘ndx)} ↔ ((Base‘ndx) = (Base‘ndx) ∨ (Base‘ndx) = (Hom ‘ndx) ∨ (Base‘ndx) = (comp‘ndx))))
5	3, 4	mp1i 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Base‘ndx) ∈ {(Base‘ndx), (Hom ‘ndx), (comp‘ndx)} ↔ ((Base‘ndx) = (Base‘ndx) ∨ (Base‘ndx) = (Hom ‘ndx) ∨ (Base‘ndx) = (comp‘ndx))))
6	2, 5	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘ndx) ∈ {(Base‘ndx), (Hom ‘ndx), (comp‘ndx)})
7		df-tp 4588	. . . . . 6 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩} = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩} ∪ {⟨(comp‘ndx), · ⟩})
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩} = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩} ∪ {⟨(comp‘ndx), · ⟩}))
9	8	dmeqd 5886	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩} = dom ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩} ∪ {⟨(comp‘ndx), · ⟩}))
10		dmun 5891	. . . . 5 ⊢ dom ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩} ∪ {⟨(comp‘ndx), · ⟩}) = (dom {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩} ∪ dom {⟨(comp‘ndx), · ⟩})
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩} ∪ {⟨(comp‘ndx), · ⟩}) = (dom {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩} ∪ dom {⟨(comp‘ndx), · ⟩}))
12		estrres.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
13		estrres.h	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑋)
14		dmpropg 6216	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐻 ∈ 𝑋) → dom {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩} = {(Base‘ndx), (Hom ‘ndx)})
15	12, 13, 14	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩} = {(Base‘ndx), (Hom ‘ndx)})
16		estrres.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → · ∈ 𝑌)
17		dmsnopg 6214	. . . . . 6 ⊢ ( · ∈ 𝑌 → dom {⟨(comp‘ndx), · ⟩} = {(comp‘ndx)})
18	16, 17	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom {⟨(comp‘ndx), · ⟩} = {(comp‘ndx)})
19	15, 18	uneq12d 4168	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (dom {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩} ∪ dom {⟨(comp‘ndx), · ⟩}) = ({(Base‘ndx), (Hom ‘ndx)} ∪ {(comp‘ndx)}))
20	9, 11, 19	3eqtrd 2799	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩} = ({(Base‘ndx), (Hom ‘ndx)} ∪ {(comp‘ndx)}))
21		estrres.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩})
22	21	dmeqd 5886	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝐶 = dom {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩})
23		df-tp 4588	. . . 4 ⊢ {(Base‘ndx), (Hom ‘ndx), (comp‘ndx)} = ({(Base‘ndx), (Hom ‘ndx)} ∪ {(comp‘ndx)})
24	23	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → {(Base‘ndx), (Hom ‘ndx), (comp‘ndx)} = ({(Base‘ndx), (Hom ‘ndx)} ∪ {(comp‘ndx)}))
25	20, 22, 24	3eqtr4d 2805	. 2 ⊢ (𝜑 → dom 𝐶 = {(Base‘ndx), (Hom ‘ndx), (comp‘ndx)})
26	6, 25	eleqtrrd 2863	1 ⊢ (𝜑 → (Base‘ndx) ∈ dom 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∨ w3o 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   ∪ cun 4149  {csn 4583  {cpr 4585  {ctp 4587  ⟨cop 4589  dom cdm 5650  ‘cfv 6538  ndxcnx 17371  Basecbs 17387  Hom chom 17439  compcco 17440

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-dm 5660  df-iota 6494  df-fv 6546

This theorem is used by:  estrres  18313