Theorem estrreslem2 18072

Description: Lemma 2 for estrres 18073. (Contributed by AV, 14-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
estrres.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩})
estrres.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
estrres.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑋)
estrres.x	⊢ (𝜑 → · ∈ 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
estrreslem2	⊢ (𝜑 → (Base‘ndx) ∈ dom 𝐶)

Proof of Theorem estrreslem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2732	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘ndx) = (Base‘ndx))
2	1	3mix1d 1336	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Base‘ndx) = (Base‘ndx) ∨ (Base‘ndx) = (Hom ‘ndx) ∨ (Base‘ndx) = (comp‘ndx)))
3		fvex 6891	. . . 4 ⊢ (Base‘ndx) ∈ V
4		eltpg 4682	. . . 4 ⊢ ((Base‘ndx) ∈ V → ((Base‘ndx) ∈ {(Base‘ndx), (Hom ‘ndx), (comp‘ndx)} ↔ ((Base‘ndx) = (Base‘ndx) ∨ (Base‘ndx) = (Hom ‘ndx) ∨ (Base‘ndx) = (comp‘ndx))))
5	3, 4	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Base‘ndx) ∈ {(Base‘ndx), (Hom ‘ndx), (comp‘ndx)} ↔ ((Base‘ndx) = (Base‘ndx) ∨ (Base‘ndx) = (Hom ‘ndx) ∨ (Base‘ndx) = (comp‘ndx))))
6	2, 5	mpbird 256	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘ndx) ∈ {(Base‘ndx), (Hom ‘ndx), (comp‘ndx)})
7		df-tp 4627	. . . . . 6 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩} = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩} ∪ {⟨(comp‘ndx), · ⟩})
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩} = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩} ∪ {⟨(comp‘ndx), · ⟩}))
9	8	dmeqd 5897	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩} = dom ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩} ∪ {⟨(comp‘ndx), · ⟩}))
10		dmun 5902	. . . . 5 ⊢ dom ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩} ∪ {⟨(comp‘ndx), · ⟩}) = (dom {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩} ∪ dom {⟨(comp‘ndx), · ⟩})
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩} ∪ {⟨(comp‘ndx), · ⟩}) = (dom {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩} ∪ dom {⟨(comp‘ndx), · ⟩}))
12		estrres.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
13		estrres.h	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑋)
14		dmpropg 6203	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐻 ∈ 𝑋) → dom {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩} = {(Base‘ndx), (Hom ‘ndx)})
15	12, 13, 14	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩} = {(Base‘ndx), (Hom ‘ndx)})
16		estrres.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → · ∈ 𝑌)
17		dmsnopg 6201	. . . . . 6 ⊢ ( · ∈ 𝑌 → dom {⟨(comp‘ndx), · ⟩} = {(comp‘ndx)})
18	16, 17	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom {⟨(comp‘ndx), · ⟩} = {(comp‘ndx)})
19	15, 18	uneq12d 4160	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (dom {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩} ∪ dom {⟨(comp‘ndx), · ⟩}) = ({(Base‘ndx), (Hom ‘ndx)} ∪ {(comp‘ndx)}))
20	9, 11, 19	3eqtrd 2775	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩} = ({(Base‘ndx), (Hom ‘ndx)} ∪ {(comp‘ndx)}))
21		estrres.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩})
22	21	dmeqd 5897	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝐶 = dom {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩})
23		df-tp 4627	. . . 4 ⊢ {(Base‘ndx), (Hom ‘ndx), (comp‘ndx)} = ({(Base‘ndx), (Hom ‘ndx)} ∪ {(comp‘ndx)})
24	23	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → {(Base‘ndx), (Hom ‘ndx), (comp‘ndx)} = ({(Base‘ndx), (Hom ‘ndx)} ∪ {(comp‘ndx)}))
25	20, 22, 24	3eqtr4d 2781	. 2 ⊢ (𝜑 → dom 𝐶 = {(Base‘ndx), (Hom ‘ndx), (comp‘ndx)})
26	6, 25	eleqtrrd 2835	1 ⊢ (𝜑 → (Base‘ndx) ∈ dom 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∨ w3o 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3473   ∪ cun 3942  {csn 4622  {cpr 4624  {ctp 4626  ⟨cop 4628  dom cdm 5669  ‘cfv 6532  ndxcnx 17108  Basecbs 17126  Hom chom 17190  compcco 17191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-ne 2940  df-rab 3432  df-v 3475  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4523  df-sn 4623  df-pr 4625  df-tp 4627  df-op 4629  df-uni 4902  df-br 5142  df-dm 5679  df-iota 6484  df-fv 6540

This theorem is referenced by:  estrres  18073