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Theorem estrres 17388
Description: Any restriction of a category (as an extensible structure which is an unordered triple of ordered pairs) is an unordered triple of ordered pairs. (Contributed by AV, 15-Mar-2020.) (Revised by AV, 3-Jul-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
estrres.c (𝜑𝐶 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩})
estrres.b (𝜑𝐵𝑉)
estrres.h (𝜑𝐻𝑋)
estrres.x (𝜑·𝑌)
estrres.g (𝜑𝐺𝑊)
estrres.u (𝜑𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
estrres (𝜑 → ((𝐶s 𝐴) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩) = {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩})

Proof of Theorem estrres
StepHypRef Expression
1 ovex 7188 . . 3 (𝐶s 𝐴) ∈ V
2 estrres.g . . 3 (𝜑𝐺𝑊)
3 setsval 16512 . . 3 (((𝐶s 𝐴) ∈ V ∧ 𝐺𝑊) → ((𝐶s 𝐴) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩) = (((𝐶s 𝐴) ↾ (V ∖ {(Hom ‘ndx)})) ∪ {⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩}))
41, 2, 3sylancr 589 . 2 (𝜑 → ((𝐶s 𝐴) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩) = (((𝐶s 𝐴) ↾ (V ∖ {(Hom ‘ndx)})) ∪ {⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩}))
5 eqid 2821 . . . . 5 (𝐶s 𝐴) = (𝐶s 𝐴)
6 eqid 2821 . . . . 5 (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
7 eqid 2821 . . . . 5 (Base‘ndx) = (Base‘ndx)
8 estrres.c . . . . . 6 (𝜑𝐶 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩})
9 tpex 7469 . . . . . 6 {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩} ∈ V
108, 9eqeltrdi 2921 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ V)
11 fvex 6682 . . . . . . . . 9 (Base‘ndx) ∈ V
12 fvex 6682 . . . . . . . . 9 (Hom ‘ndx) ∈ V
13 fvex 6682 . . . . . . . . 9 (comp‘ndx) ∈ V
1411, 12, 133pm3.2i 1335 . . . . . . . 8 ((Base‘ndx) ∈ V ∧ (Hom ‘ndx) ∈ V ∧ (comp‘ndx) ∈ V)
1514a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ((Base‘ndx) ∈ V ∧ (Hom ‘ndx) ∈ V ∧ (comp‘ndx) ∈ V))
16 estrres.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵𝑉)
17 estrres.h . . . . . . 7 (𝜑𝐻𝑋)
18 estrres.x . . . . . . 7 (𝜑·𝑌)
19 slotsbhcdif 16692 . . . . . . . 8 ((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx))
2019a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx)))
21 funtpg 6408 . . . . . . 7 ((((Base‘ndx) ∈ V ∧ (Hom ‘ndx) ∈ V ∧ (comp‘ndx) ∈ V) ∧ (𝐵𝑉𝐻𝑋·𝑌) ∧ ((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx))) → Fun {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩})
2215, 16, 17, 18, 20, 21syl131anc 1379 . . . . . 6 (𝜑 → Fun {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩})
238funeqd 6376 . . . . . 6 (𝜑 → (Fun 𝐶 ↔ Fun {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩}))
2422, 23mpbird 259 . . . . 5 (𝜑 → Fun 𝐶)
258, 16, 17, 18estrreslem2 17387 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘ndx) ∈ dom 𝐶)
26 estrres.u . . . . . 6 (𝜑𝐴𝐵)
278, 16estrreslem1 17386 . . . . . 6 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐶))
2826, 27sseqtrd 4006 . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ (Base‘𝐶))
295, 6, 7, 10, 24, 25, 28ressval3d 16560 . . . 4 (𝜑 → (𝐶s 𝐴) = (𝐶 sSet ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩))
3029reseq1d 5851 . . 3 (𝜑 → ((𝐶s 𝐴) ↾ (V ∖ {(Hom ‘ndx)})) = ((𝐶 sSet ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩) ↾ (V ∖ {(Hom ‘ndx)})))
3130uneq1d 4137 . 2 (𝜑 → (((𝐶s 𝐴) ↾ (V ∖ {(Hom ‘ndx)})) ∪ {⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩}) = (((𝐶 sSet ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩) ↾ (V ∖ {(Hom ‘ndx)})) ∪ {⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩}))
3216, 26ssexd 5227 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ V)
33 setsval 16512 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐶 sSet ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩) = ((𝐶 ↾ (V ∖ {(Base‘ndx)})) ∪ {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩}))
3410, 32, 33syl2anc 586 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 sSet ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩) = ((𝐶 ↾ (V ∖ {(Base‘ndx)})) ∪ {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩}))
3534reseq1d 5851 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐶 sSet ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩) ↾ (V ∖ {(Hom ‘ndx)})) = (((𝐶 ↾ (V ∖ {(Base‘ndx)})) ∪ {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩}) ↾ (V ∖ {(Hom ‘ndx)})))
36 fvexd 6684 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (Hom ‘ndx) ∈ V)
37 fvexd 6684 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (comp‘ndx) ∈ V)
3817elexd 3514 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐻 ∈ V)
3918elexd 3514 . . . . . . . . 9 (𝜑· ∈ V)
40 simp1 1132 . . . . . . . . . . 11 (((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx)) → (Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx))
4140necomd 3071 . . . . . . . . . 10 (((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx)) → (Hom ‘ndx) ≠ (Base‘ndx))
4219, 41mp1i 13 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (Hom ‘ndx) ≠ (Base‘ndx))
43 simp2 1133 . . . . . . . . . . 11 (((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx)) → (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx))
4443necomd 3071 . . . . . . . . . 10 (((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx)) → (comp‘ndx) ≠ (Base‘ndx))
4519, 44mp1i 13 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (comp‘ndx) ≠ (Base‘ndx))
468, 36, 37, 38, 39, 42, 45tpres 6962 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶 ↾ (V ∖ {(Base‘ndx)})) = {⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩})
4746uneq1d 4137 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐶 ↾ (V ∖ {(Base‘ndx)})) ∪ {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩}) = ({⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩}))
48 df-tp 4571 . . . . . . 7 {⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩, ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩} = ({⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩})
4947, 48syl6eqr 2874 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐶 ↾ (V ∖ {(Base‘ndx)})) ∪ {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩}) = {⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩, ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩})
50 fvexd 6684 . . . . . 6 (𝜑 → (Base‘ndx) ∈ V)
51 simp3 1134 . . . . . . . 8 (((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx)) → (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx))
5251necomd 3071 . . . . . . 7 (((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx)) → (comp‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx))
5319, 52mp1i 13 . . . . . 6 (𝜑 → (comp‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx))
5419, 40mp1i 13 . . . . . 6 (𝜑 → (Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx))
5549, 37, 50, 39, 32, 53, 54tpres 6962 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐶 ↾ (V ∖ {(Base‘ndx)})) ∪ {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩}) ↾ (V ∖ {(Hom ‘ndx)})) = {⟨(comp‘ndx), · ⟩, ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩})
5635, 55eqtrd 2856 . . . 4 (𝜑 → ((𝐶 sSet ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩) ↾ (V ∖ {(Hom ‘ndx)})) = {⟨(comp‘ndx), · ⟩, ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩})
5756uneq1d 4137 . . 3 (𝜑 → (((𝐶 sSet ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩) ↾ (V ∖ {(Hom ‘ndx)})) ∪ {⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩}) = ({⟨(comp‘ndx), · ⟩, ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩} ∪ {⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩}))
58 df-tp 4571 . . . 4 {⟨(comp‘ndx), · ⟩, ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩} = ({⟨(comp‘ndx), · ⟩, ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩} ∪ {⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩})
59 tprot 4684 . . . 4 {⟨(comp‘ndx), · ⟩, ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩}
6058, 59eqtr3i 2846 . . 3 ({⟨(comp‘ndx), · ⟩, ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩} ∪ {⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩}) = {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩}
6157, 60syl6eq 2872 . 2 (𝜑 → (((𝐶 sSet ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩) ↾ (V ∖ {(Hom ‘ndx)})) ∪ {⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩}) = {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩})
624, 31, 613eqtrd 2860 1 (𝜑 → ((𝐶s 𝐴) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩) = {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1083   = wceq 1533  wcel 2110  wne 3016  Vcvv 3494  cdif 3932  cun 3933  wss 3935  {csn 4566  {cpr 4568  {ctp 4570  cop 4572  cres 5556  Fun wfun 6348  cfv 6354  (class class class)co 7155  ndxcnx 16479   sSet csts 16480  Basecbs 16482  s cress 16483  Hom chom 16575  compcco 16576
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-9 11706  df-n0 11897  df-z 11981  df-dec 12098  df-ndx 16485  df-slot 16486  df-base 16488  df-sets 16489  df-ress 16490  df-hom 16588  df-cco 16589
This theorem is referenced by:  dfrngc2  44242  dfringc2  44288  rngcresringcat  44300
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