Theorem estrres 18091

Description: Any restriction of a category (as an extensible structure which is an unordered triple of ordered pairs) is an unordered triple of ordered pairs. (Contributed by AV, 15-Mar-2020.) (Revised by AV, 3-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
estrres.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩})
estrres.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
estrres.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑋)
estrres.x	⊢ (𝜑 → · ∈ 𝑌)
estrres.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
estrres.u	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
estrres	⊢ (𝜑 → ((𝐶 ↾s 𝐴) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩) = {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩})

Proof of Theorem estrres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7442	. . 3 ⊢ (𝐶 ↾s 𝐴) ∈ V
2		estrres.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
3		setsval 17100	. . 3 ⊢ (((𝐶 ↾s 𝐴) ∈ V ∧ 𝐺 ∈ 𝑊) → ((𝐶 ↾s 𝐴) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩) = (((𝐶 ↾s 𝐴) ↾ (V ∖ {(Hom ‘ndx)})) ∪ {⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩}))
4	1, 2, 3	sylancr 588	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ↾s 𝐴) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩) = (((𝐶 ↾s 𝐴) ↾ (V ∖ {(Hom ‘ndx)})) ∪ {⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩}))
5		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ↾s 𝐴) = (𝐶 ↾s 𝐴)
6		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
7		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (Base‘ndx) = (Base‘ndx)
8		estrres.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩})
9		tpex 7734	. . . . . 6 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩} ∈ V
10	8, 9	eqeltrdi 2842	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ V)
11		fvex 6905	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘ndx) ∈ V
12		fvex 6905	. . . . . . . . 9 ⊢ (Hom ‘ndx) ∈ V
13		fvex 6905	. . . . . . . . 9 ⊢ (comp‘ndx) ∈ V
14	11, 12, 13	3pm3.2i 1340	. . . . . . . 8 ⊢ ((Base‘ndx) ∈ V ∧ (Hom ‘ndx) ∈ V ∧ (comp‘ndx) ∈ V)
15	14	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((Base‘ndx) ∈ V ∧ (Hom ‘ndx) ∈ V ∧ (comp‘ndx) ∈ V))
16		estrres.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
17		estrres.h	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑋)
18		estrres.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → · ∈ 𝑌)
19		slotsbhcdif 17360	. . . . . . . 8 ⊢ ((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx))
20	19	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx)))
21		funtpg 6604	. . . . . . 7 ⊢ ((((Base‘ndx) ∈ V ∧ (Hom ‘ndx) ∈ V ∧ (comp‘ndx) ∈ V) ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐻 ∈ 𝑋 ∧ · ∈ 𝑌) ∧ ((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx))) → Fun {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩})
22	15, 16, 17, 18, 20, 21	syl131anc 1384	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Fun {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩})
23	8	funeqd 6571	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Fun 𝐶 ↔ Fun {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩}))
24	22, 23	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐶)
25	8, 16, 17, 18	estrreslem2 18090	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘ndx) ∈ dom 𝐶)
26		estrres.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
27	8, 16	estrreslem1 18088	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐶))
28	26, 27	sseqtrd 4023	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (Base‘𝐶))
29	5, 6, 7, 10, 24, 25, 28	ressval3d 17191	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ↾s 𝐴) = (𝐶 sSet ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩))
30	29	reseq1d 5981	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ↾s 𝐴) ↾ (V ∖ {(Hom ‘ndx)})) = ((𝐶 sSet ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩) ↾ (V ∖ {(Hom ‘ndx)})))
31	30	uneq1d 4163	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 ↾s 𝐴) ↾ (V ∖ {(Hom ‘ndx)})) ∪ {⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩}) = (((𝐶 sSet ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩) ↾ (V ∖ {(Hom ‘ndx)})) ∪ {⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩}))
32	16, 26	ssexd 5325	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
33		setsval 17100	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐶 sSet ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩) = ((𝐶 ↾ (V ∖ {(Base‘ndx)})) ∪ {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩}))
34	10, 32, 33	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 sSet ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩) = ((𝐶 ↾ (V ∖ {(Base‘ndx)})) ∪ {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩}))
35	34	reseq1d 5981	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 sSet ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩) ↾ (V ∖ {(Hom ‘ndx)})) = (((𝐶 ↾ (V ∖ {(Base‘ndx)})) ∪ {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩}) ↾ (V ∖ {(Hom ‘ndx)})))
36		fvexd 6907	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Hom ‘ndx) ∈ V)
37		fvexd 6907	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (comp‘ndx) ∈ V)
38	17	elexd 3495	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ V)
39	18	elexd 3495	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → · ∈ V)
40		simp1 1137	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx)) → (Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx))
41	40	necomd 2997	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx)) → (Hom ‘ndx) ≠ (Base‘ndx))
42	19, 41	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Hom ‘ndx) ≠ (Base‘ndx))
43		simp2 1138	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx)) → (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx))
44	43	necomd 2997	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx)) → (comp‘ndx) ≠ (Base‘ndx))
45	19, 44	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (comp‘ndx) ≠ (Base‘ndx))
46	8, 36, 37, 38, 39, 42, 45	tpres 7202	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ↾ (V ∖ {(Base‘ndx)})) = {⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩})
47	46	uneq1d 4163	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ↾ (V ∖ {(Base‘ndx)})) ∪ {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩}) = ({⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩}))
48		df-tp 4634	. . . . . . 7 ⊢ {⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩, ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩} = ({⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩})
49	47, 48	eqtr4di 2791	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ↾ (V ∖ {(Base‘ndx)})) ∪ {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩}) = {⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩, ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩})
50		fvexd 6907	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘ndx) ∈ V)
51		simp3 1139	. . . . . . . 8 ⊢ (((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx)) → (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx))
52	51	necomd 2997	. . . . . . 7 ⊢ (((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx)) → (comp‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx))
53	19, 52	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (comp‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx))
54	19, 40	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx))
55	49, 37, 50, 39, 32, 53, 54	tpres 7202	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 ↾ (V ∖ {(Base‘ndx)})) ∪ {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩}) ↾ (V ∖ {(Hom ‘ndx)})) = {⟨(comp‘ndx), · ⟩, ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩})
56	35, 55	eqtrd 2773	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 sSet ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩) ↾ (V ∖ {(Hom ‘ndx)})) = {⟨(comp‘ndx), · ⟩, ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩})
57	56	uneq1d 4163	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 sSet ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩) ↾ (V ∖ {(Hom ‘ndx)})) ∪ {⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩}) = ({⟨(comp‘ndx), · ⟩, ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩} ∪ {⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩}))
58		df-tp 4634	. . . 4 ⊢ {⟨(comp‘ndx), · ⟩, ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩} = ({⟨(comp‘ndx), · ⟩, ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩} ∪ {⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩})
59		tprot 4754	. . . 4 ⊢ {⟨(comp‘ndx), · ⟩, ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩}
60	58, 59	eqtr3i 2763	. . 3 ⊢ ({⟨(comp‘ndx), · ⟩, ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩} ∪ {⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩}) = {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩}
61	57, 60	eqtrdi 2789	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 sSet ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩) ↾ (V ∖ {(Hom ‘ndx)})) ∪ {⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩}) = {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩})
62	4, 31, 61	3eqtrd 2777	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ↾s 𝐴) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩) = {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  Vcvv 3475   ∖ cdif 3946   ∪ cun 3947   ⊆ wss 3949  {csn 4629  {cpr 4631  {ctp 4633  ⟨cop 4635   ↾ cres 5679  Fun wfun 6538  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409   sSet csts 17096  ndxcnx 17126  Basecbs 17144   ↾_s cress 17173  Hom chom 17208  compcco 17209

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-hom 17221  df-cco 17222

This theorem is referenced by:  dfrngc2  46870  dfringc2  46916  rngcresringcat  46928