Theorem estrres 18339

Description: Any restriction of a category (as an extensible structure which is an unordered triple of ordered pairs) is an unordered triple of ordered pairs. (Contributed by AV, 15-Mar-2020.) (Revised by AV, 3-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
estrres.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩})
estrres.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
estrres.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑋)
estrres.x	⊢ (𝜑 → · ∈ 𝑌)
estrres.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
estrres.u	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
estrres	⊢ (𝜑 → ((𝐶 ↾s 𝐴) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩) = {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩})

Proof of Theorem estrres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7473	. . 3 ⊢ (𝐶 ↾s 𝐴) ∈ V
2		estrres.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
3		setsval 17371	. . 3 ⊢ (((𝐶 ↾s 𝐴) ∈ V ∧ 𝐺 ∈ 𝑊) → ((𝐶 ↾s 𝐴) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩) = (((𝐶 ↾s 𝐴) ↾ (V ∖ {(Hom ‘ndx)})) ∪ {⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩}))
4	1, 2, 3	sylancr 599	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ↾s 𝐴) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩) = (((𝐶 ↾s 𝐴) ↾ (V ∖ {(Hom ‘ndx)})) ∪ {⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩}))
5		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ↾s 𝐴) = (𝐶 ↾s 𝐴)
6		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
7		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Base‘ndx) = (Base‘ndx)
8		estrres.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩})
9		tpex 7783	. . . . . 6 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩} ∈ V
10	8, 9	eqeltrdi 2872	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ V)
11		fvex 6918	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘ndx) ∈ V
12		fvex 6918	. . . . . . . . 9 ⊢ (Hom ‘ndx) ∈ V
13		fvex 6918	. . . . . . . . 9 ⊢ (comp‘ndx) ∈ V
14	11, 12, 13	3pm3.2i 1358	. . . . . . . 8 ⊢ ((Base‘ndx) ∈ V ∧ (Hom ‘ndx) ∈ V ∧ (comp‘ndx) ∈ V)
15	14	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((Base‘ndx) ∈ V ∧ (Hom ‘ndx) ∈ V ∧ (comp‘ndx) ∈ V))
16		estrres.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
17		estrres.h	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑋)
18		estrres.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → · ∈ 𝑌)
19		slotsbhcdif 17612	. . . . . . . 8 ⊢ ((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx))
20	19	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx)))
21		funtpg 6614	. . . . . . 7 ⊢ ((((Base‘ndx) ∈ V ∧ (Hom ‘ndx) ∈ V ∧ (comp‘ndx) ∈ V) ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐻 ∈ 𝑋 ∧ · ∈ 𝑌) ∧ ((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx))) → Fun {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩})
22	15, 16, 17, 18, 20, 21	syl131anc 1411	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Fun {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩})
23	8	funeqd 6578	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Fun 𝐶 ↔ Fun {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩}))
24	22, 23	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐶)
25	8, 16, 17, 18	estrreslem2 18338	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘ndx) ∈ dom 𝐶)
26		estrres.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
27	8, 16	estrreslem1 18337	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐶))
28	26, 27	sseqtrd 3949	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (Base‘𝐶))
29	5, 6, 7, 10, 24, 25, 28	ressval3d 17450	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ↾s 𝐴) = (𝐶 sSet ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩))
30	29	reseq1d 5979	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ↾s 𝐴) ↾ (V ∖ {(Hom ‘ndx)})) = ((𝐶 sSet ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩) ↾ (V ∖ {(Hom ‘ndx)})))
31	30	uneq1d 4169	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 ↾s 𝐴) ↾ (V ∖ {(Hom ‘ndx)})) ∪ {⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩}) = (((𝐶 sSet ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩) ↾ (V ∖ {(Hom ‘ndx)})) ∪ {⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩}))
32	16, 26	ssexd 5290	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
33		setsval 17371	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐶 sSet ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩) = ((𝐶 ↾ (V ∖ {(Base‘ndx)})) ∪ {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩}))
34	10, 32, 33	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 sSet ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩) = ((𝐶 ↾ (V ∖ {(Base‘ndx)})) ∪ {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩}))
35	34	reseq1d 5979	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 sSet ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩) ↾ (V ∖ {(Hom ‘ndx)})) = (((𝐶 ↾ (V ∖ {(Base‘ndx)})) ∪ {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩}) ↾ (V ∖ {(Hom ‘ndx)})))
36		fvexd 6920	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Hom ‘ndx) ∈ V)
37		fvexd 6920	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (comp‘ndx) ∈ V)
38	17	elexd 3477	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ V)
39	18	elexd 3477	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → · ∈ V)
40		simp1 1154	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx)) → (Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx))
41	40	necomd 3014	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx)) → (Hom ‘ndx) ≠ (Base‘ndx))
42	19, 41	mp1i 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Hom ‘ndx) ≠ (Base‘ndx))
43		simp2 1155	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx)) → (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx))
44	43	necomd 3014	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx)) → (comp‘ndx) ≠ (Base‘ndx))
45	19, 44	mp1i 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (comp‘ndx) ≠ (Base‘ndx))
46	8, 36, 37, 38, 39, 42, 45	tpres 7227	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ↾ (V ∖ {(Base‘ndx)})) = {⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩})
47	46	uneq1d 4169	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ↾ (V ∖ {(Base‘ndx)})) ∪ {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩}) = ({⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩}))
48		df-tp 4593	. . . . . . 7 ⊢ {⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩, ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩} = ({⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩})
49	47, 48	eqtr4di 2816	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ↾ (V ∖ {(Base‘ndx)})) ∪ {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩}) = {⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩, ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩})
50		fvexd 6920	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘ndx) ∈ V)
51		simp3 1156	. . . . . . . 8 ⊢ (((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx)) → (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx))
52	51	necomd 3014	. . . . . . 7 ⊢ (((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx)) → (comp‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx))
53	19, 52	mp1i 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (comp‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx))
54	19, 40	mp1i 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx))
55	49, 37, 50, 39, 32, 53, 54	tpres 7227	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 ↾ (V ∖ {(Base‘ndx)})) ∪ {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩}) ↾ (V ∖ {(Hom ‘ndx)})) = {⟨(comp‘ndx), · ⟩, ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩})
56	35, 55	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 sSet ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩) ↾ (V ∖ {(Hom ‘ndx)})) = {⟨(comp‘ndx), · ⟩, ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩})
57	56	uneq1d 4169	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 sSet ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩) ↾ (V ∖ {(Hom ‘ndx)})) ∪ {⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩}) = ({⟨(comp‘ndx), · ⟩, ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩} ∪ {⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩}))
58		df-tp 4593	. . . 4 ⊢ {⟨(comp‘ndx), · ⟩, ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩} = ({⟨(comp‘ndx), · ⟩, ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩} ∪ {⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩})
59		tprot 4710	. . . 4 ⊢ {⟨(comp‘ndx), · ⟩, ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩}
60	58, 59	eqtr3i 2788	. . 3 ⊢ ({⟨(comp‘ndx), · ⟩, ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩} ∪ {⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩}) = {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩}
61	57, 60	eqtrdi 2814	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 sSet ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩) ↾ (V ∖ {(Hom ‘ndx)})) ∪ {⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩}) = {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩})
62	4, 31, 61	3eqtrd 2802	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ↾s 𝐴) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩) = {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048   ∪ cun 4152  {csn 4588  {cpr 4590  {ctp 4592  ⟨cop 4838   ↾ cres 5657  Fun wfun 6549  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440   sSet csts 17367  ndxcnx 17397  Basecbs 17413   ↾_s cress 17434  Hom chom 17465  compcco 17466

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-4 12431  df-5 12432  df-6 12433  df-7 12434  df-8 12435  df-9 12436  df-n0 12631  df-z 12718  df-dec 12839  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-ress 17435  df-hom 17478  df-cco 17479

This theorem is used by:  dfrngc2  20907  dfringc2  20936  rngcresringcat  20948