Theorem estrres 18080

Description: Any restriction of a category (as an extensible structure which is an unordered triple of ordered pairs) is an unordered triple of ordered pairs. (Contributed by AV, 15-Mar-2020.) (Revised by AV, 3-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
estrres.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩})
estrres.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
estrres.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑋)
estrres.x	⊢ (𝜑 → · ∈ 𝑌)
estrres.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
estrres.u	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
estrres	⊢ (𝜑 → ((𝐶 ↾s 𝐴) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩) = {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩})

Proof of Theorem estrres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7402	. . 3 ⊢ (𝐶 ↾s 𝐴) ∈ V
2		estrres.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
3		setsval 17113	. . 3 ⊢ (((𝐶 ↾s 𝐴) ∈ V ∧ 𝐺 ∈ 𝑊) → ((𝐶 ↾s 𝐴) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩) = (((𝐶 ↾s 𝐴) ↾ (V ∖ {(Hom ‘ndx)})) ∪ {⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩}))
4	1, 2, 3	sylancr 587	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ↾s 𝐴) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩) = (((𝐶 ↾s 𝐴) ↾ (V ∖ {(Hom ‘ndx)})) ∪ {⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩}))
5		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ↾s 𝐴) = (𝐶 ↾s 𝐴)
6		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
7		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (Base‘ndx) = (Base‘ndx)
8		estrres.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩})
9		tpex 7702	. . . . . 6 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩} ∈ V
10	8, 9	eqeltrdi 2836	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ V)
11		fvex 6853	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘ndx) ∈ V
12		fvex 6853	. . . . . . . . 9 ⊢ (Hom ‘ndx) ∈ V
13		fvex 6853	. . . . . . . . 9 ⊢ (comp‘ndx) ∈ V
14	11, 12, 13	3pm3.2i 1340	. . . . . . . 8 ⊢ ((Base‘ndx) ∈ V ∧ (Hom ‘ndx) ∈ V ∧ (comp‘ndx) ∈ V)
15	14	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((Base‘ndx) ∈ V ∧ (Hom ‘ndx) ∈ V ∧ (comp‘ndx) ∈ V))
16		estrres.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
17		estrres.h	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑋)
18		estrres.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → · ∈ 𝑌)
19		slotsbhcdif 17354	. . . . . . . 8 ⊢ ((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx))
20	19	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx)))
21		funtpg 6555	. . . . . . 7 ⊢ ((((Base‘ndx) ∈ V ∧ (Hom ‘ndx) ∈ V ∧ (comp‘ndx) ∈ V) ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐻 ∈ 𝑋 ∧ · ∈ 𝑌) ∧ ((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx))) → Fun {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩})
22	15, 16, 17, 18, 20, 21	syl131anc 1385	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Fun {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩})
23	8	funeqd 6522	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Fun 𝐶 ↔ Fun {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩}))
24	22, 23	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐶)
25	8, 16, 17, 18	estrreslem2 18079	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘ndx) ∈ dom 𝐶)
26		estrres.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
27	8, 16	estrreslem1 18078	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐶))
28	26, 27	sseqtrd 3980	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (Base‘𝐶))
29	5, 6, 7, 10, 24, 25, 28	ressval3d 17192	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ↾s 𝐴) = (𝐶 sSet ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩))
30	29	reseq1d 5938	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ↾s 𝐴) ↾ (V ∖ {(Hom ‘ndx)})) = ((𝐶 sSet ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩) ↾ (V ∖ {(Hom ‘ndx)})))
31	30	uneq1d 4126	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 ↾s 𝐴) ↾ (V ∖ {(Hom ‘ndx)})) ∪ {⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩}) = (((𝐶 sSet ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩) ↾ (V ∖ {(Hom ‘ndx)})) ∪ {⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩}))
32	16, 26	ssexd 5274	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
33		setsval 17113	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐶 sSet ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩) = ((𝐶 ↾ (V ∖ {(Base‘ndx)})) ∪ {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩}))
34	10, 32, 33	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 sSet ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩) = ((𝐶 ↾ (V ∖ {(Base‘ndx)})) ∪ {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩}))
35	34	reseq1d 5938	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 sSet ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩) ↾ (V ∖ {(Hom ‘ndx)})) = (((𝐶 ↾ (V ∖ {(Base‘ndx)})) ∪ {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩}) ↾ (V ∖ {(Hom ‘ndx)})))
36		fvexd 6855	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Hom ‘ndx) ∈ V)
37		fvexd 6855	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (comp‘ndx) ∈ V)
38	17	elexd 3468	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ V)
39	18	elexd 3468	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → · ∈ V)
40		simp1 1136	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx)) → (Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx))
41	40	necomd 2980	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx)) → (Hom ‘ndx) ≠ (Base‘ndx))
42	19, 41	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Hom ‘ndx) ≠ (Base‘ndx))
43		simp2 1137	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx)) → (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx))
44	43	necomd 2980	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx)) → (comp‘ndx) ≠ (Base‘ndx))
45	19, 44	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (comp‘ndx) ≠ (Base‘ndx))
46	8, 36, 37, 38, 39, 42, 45	tpres 7157	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ↾ (V ∖ {(Base‘ndx)})) = {⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩})
47	46	uneq1d 4126	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ↾ (V ∖ {(Base‘ndx)})) ∪ {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩}) = ({⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩}))
48		df-tp 4590	. . . . . . 7 ⊢ {⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩, ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩} = ({⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩})
49	47, 48	eqtr4di 2782	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ↾ (V ∖ {(Base‘ndx)})) ∪ {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩}) = {⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩, ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩})
50		fvexd 6855	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘ndx) ∈ V)
51		simp3 1138	. . . . . . . 8 ⊢ (((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx)) → (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx))
52	51	necomd 2980	. . . . . . 7 ⊢ (((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx)) → (comp‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx))
53	19, 52	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (comp‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx))
54	19, 40	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx))
55	49, 37, 50, 39, 32, 53, 54	tpres 7157	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 ↾ (V ∖ {(Base‘ndx)})) ∪ {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩}) ↾ (V ∖ {(Hom ‘ndx)})) = {⟨(comp‘ndx), · ⟩, ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩})
56	35, 55	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 sSet ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩) ↾ (V ∖ {(Hom ‘ndx)})) = {⟨(comp‘ndx), · ⟩, ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩})
57	56	uneq1d 4126	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 sSet ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩) ↾ (V ∖ {(Hom ‘ndx)})) ∪ {⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩}) = ({⟨(comp‘ndx), · ⟩, ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩} ∪ {⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩}))
58		df-tp 4590	. . . 4 ⊢ {⟨(comp‘ndx), · ⟩, ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩} = ({⟨(comp‘ndx), · ⟩, ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩} ∪ {⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩})
59		tprot 4709	. . . 4 ⊢ {⟨(comp‘ndx), · ⟩, ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩}
60	58, 59	eqtr3i 2754	. . 3 ⊢ ({⟨(comp‘ndx), · ⟩, ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩} ∪ {⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩}) = {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩}
61	57, 60	eqtrdi 2780	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 sSet ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩) ↾ (V ∖ {(Hom ‘ndx)})) ∪ {⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩}) = {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩})
62	4, 31, 61	3eqtrd 2768	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ↾s 𝐴) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩) = {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  Vcvv 3444   ∖ cdif 3908   ∪ cun 3909   ⊆ wss 3911  {csn 4585  {cpr 4587  {ctp 4589  ⟨cop 4591   ↾ cres 5633  Fun wfun 6493  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   sSet csts 17109  ndxcnx 17139  Basecbs 17155   ↾_s cress 17176  Hom chom 17207  compcco 17208

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-hom 17220  df-cco 17221

This theorem is referenced by:  dfrngc2  20548  dfringc2  20577  rngcresringcat  20589