Theorem estrres 18094

Description: Any restriction of a category (as an extensible structure which is an unordered triple of ordered pairs) is an unordered triple of ordered pairs. (Contributed by AV, 15-Mar-2020.) (Revised by AV, 3-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
estrres.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩})
estrres.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
estrres.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑋)
estrres.x	⊢ (𝜑 → · ∈ 𝑌)
estrres.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
estrres.u	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
estrres	⊢ (𝜑 → ((𝐶 ↾s 𝐴) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩) = {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩})

Proof of Theorem estrres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7389	. . 3 ⊢ (𝐶 ↾s 𝐴) ∈ V
2		estrres.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
3		setsval 17126	. . 3 ⊢ (((𝐶 ↾s 𝐴) ∈ V ∧ 𝐺 ∈ 𝑊) → ((𝐶 ↾s 𝐴) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩) = (((𝐶 ↾s 𝐴) ↾ (V ∖ {(Hom ‘ndx)})) ∪ {⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩}))
4	1, 2, 3	sylancr 588	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ↾s 𝐴) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩) = (((𝐶 ↾s 𝐴) ↾ (V ∖ {(Hom ‘ndx)})) ∪ {⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩}))
5		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ↾s 𝐴) = (𝐶 ↾s 𝐴)
6		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
7		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (Base‘ndx) = (Base‘ndx)
8		estrres.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩})
9		tpex 7689	. . . . . 6 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩} ∈ V
10	8, 9	eqeltrdi 2843	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ V)
11		fvex 6842	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘ndx) ∈ V
12		fvex 6842	. . . . . . . . 9 ⊢ (Hom ‘ndx) ∈ V
13		fvex 6842	. . . . . . . . 9 ⊢ (comp‘ndx) ∈ V
14	11, 12, 13	3pm3.2i 1341	. . . . . . . 8 ⊢ ((Base‘ndx) ∈ V ∧ (Hom ‘ndx) ∈ V ∧ (comp‘ndx) ∈ V)
15	14	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((Base‘ndx) ∈ V ∧ (Hom ‘ndx) ∈ V ∧ (comp‘ndx) ∈ V))
16		estrres.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
17		estrres.h	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑋)
18		estrres.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → · ∈ 𝑌)
19		slotsbhcdif 17367	. . . . . . . 8 ⊢ ((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx))
20	19	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx)))
21		funtpg 6542	. . . . . . 7 ⊢ ((((Base‘ndx) ∈ V ∧ (Hom ‘ndx) ∈ V ∧ (comp‘ndx) ∈ V) ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐻 ∈ 𝑋 ∧ · ∈ 𝑌) ∧ ((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx))) → Fun {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩})
22	15, 16, 17, 18, 20, 21	syl131anc 1386	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Fun {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩})
23	8	funeqd 6509	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Fun 𝐶 ↔ Fun {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩}))
24	22, 23	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐶)
25	8, 16, 17, 18	estrreslem2 18093	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘ndx) ∈ dom 𝐶)
26		estrres.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
27	8, 16	estrreslem1 18092	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐶))
28	26, 27	sseqtrd 3953	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (Base‘𝐶))
29	5, 6, 7, 10, 24, 25, 28	ressval3d 17205	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ↾s 𝐴) = (𝐶 sSet ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩))
30	29	reseq1d 5932	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ↾s 𝐴) ↾ (V ∖ {(Hom ‘ndx)})) = ((𝐶 sSet ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩) ↾ (V ∖ {(Hom ‘ndx)})))
31	30	uneq1d 4099	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 ↾s 𝐴) ↾ (V ∖ {(Hom ‘ndx)})) ∪ {⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩}) = (((𝐶 sSet ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩) ↾ (V ∖ {(Hom ‘ndx)})) ∪ {⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩}))
32	16, 26	ssexd 5254	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
33		setsval 17126	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐶 sSet ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩) = ((𝐶 ↾ (V ∖ {(Base‘ndx)})) ∪ {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩}))
34	10, 32, 33	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 sSet ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩) = ((𝐶 ↾ (V ∖ {(Base‘ndx)})) ∪ {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩}))
35	34	reseq1d 5932	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 sSet ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩) ↾ (V ∖ {(Hom ‘ndx)})) = (((𝐶 ↾ (V ∖ {(Base‘ndx)})) ∪ {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩}) ↾ (V ∖ {(Hom ‘ndx)})))
36		fvexd 6844	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Hom ‘ndx) ∈ V)
37		fvexd 6844	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (comp‘ndx) ∈ V)
38	17	elexd 3451	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ V)
39	18	elexd 3451	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → · ∈ V)
40		simp1 1137	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx)) → (Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx))
41	40	necomd 2985	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx)) → (Hom ‘ndx) ≠ (Base‘ndx))
42	19, 41	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Hom ‘ndx) ≠ (Base‘ndx))
43		simp2 1138	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx)) → (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx))
44	43	necomd 2985	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx)) → (comp‘ndx) ≠ (Base‘ndx))
45	19, 44	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (comp‘ndx) ≠ (Base‘ndx))
46	8, 36, 37, 38, 39, 42, 45	tpres 7145	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ↾ (V ∖ {(Base‘ndx)})) = {⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩})
47	46	uneq1d 4099	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ↾ (V ∖ {(Base‘ndx)})) ∪ {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩}) = ({⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩}))
48		df-tp 4562	. . . . . . 7 ⊢ {⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩, ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩} = ({⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩})
49	47, 48	eqtr4di 2788	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ↾ (V ∖ {(Base‘ndx)})) ∪ {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩}) = {⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩, ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩})
50		fvexd 6844	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘ndx) ∈ V)
51		simp3 1139	. . . . . . . 8 ⊢ (((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx)) → (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx))
52	51	necomd 2985	. . . . . . 7 ⊢ (((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx)) → (comp‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx))
53	19, 52	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (comp‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx))
54	19, 40	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx))
55	49, 37, 50, 39, 32, 53, 54	tpres 7145	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 ↾ (V ∖ {(Base‘ndx)})) ∪ {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩}) ↾ (V ∖ {(Hom ‘ndx)})) = {⟨(comp‘ndx), · ⟩, ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩})
56	35, 55	eqtrd 2770	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 sSet ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩) ↾ (V ∖ {(Hom ‘ndx)})) = {⟨(comp‘ndx), · ⟩, ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩})
57	56	uneq1d 4099	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 sSet ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩) ↾ (V ∖ {(Hom ‘ndx)})) ∪ {⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩}) = ({⟨(comp‘ndx), · ⟩, ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩} ∪ {⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩}))
58		df-tp 4562	. . . 4 ⊢ {⟨(comp‘ndx), · ⟩, ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩} = ({⟨(comp‘ndx), · ⟩, ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩} ∪ {⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩})
59		tprot 4683	. . . 4 ⊢ {⟨(comp‘ndx), · ⟩, ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩}
60	58, 59	eqtr3i 2760	. . 3 ⊢ ({⟨(comp‘ndx), · ⟩, ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩} ∪ {⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩}) = {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩}
61	57, 60	eqtrdi 2786	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 sSet ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩) ↾ (V ∖ {(Hom ‘ndx)})) ∪ {⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩}) = {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩})
62	4, 31, 61	3eqtrd 2774	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ↾s 𝐴) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩) = {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2930  Vcvv 3427   ∖ cdif 3882   ∪ cun 3883   ⊆ wss 3885  {csn 4557  {cpr 4559  {ctp 4561  ⟨cop 4563   ↾ cres 5622  Fun wfun 6481  ‘cfv 6487  (class class class)co 7356   sSet csts 17122  ndxcnx 17152  Basecbs 17168   ↾_s cress 17189  Hom chom 17220  compcco 17221

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8632  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-4 12235  df-5 12236  df-6 12237  df-7 12238  df-8 12239  df-9 12240  df-n0 12427  df-z 12514  df-dec 12634  df-sets 17123  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-base 17169  df-ress 17190  df-hom 17233  df-cco 17234

This theorem is referenced by:  dfrngc2  20594  dfringc2  20623  rngcresringcat  20635