Theorem estrres 18045

Description: Any restriction of a category (as an extensible structure which is an unordered triple of ordered pairs) is an unordered triple of ordered pairs. (Contributed by AV, 15-Mar-2020.) (Revised by AV, 3-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
estrres.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩})
estrres.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
estrres.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑋)
estrres.x	⊢ (𝜑 → · ∈ 𝑌)
estrres.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
estrres.u	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
estrres	⊢ (𝜑 → ((𝐶 ↾s 𝐴) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩) = {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩})

Proof of Theorem estrres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7379	. . 3 ⊢ (𝐶 ↾s 𝐴) ∈ V
2		estrres.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
3		setsval 17078	. . 3 ⊢ (((𝐶 ↾s 𝐴) ∈ V ∧ 𝐺 ∈ 𝑊) → ((𝐶 ↾s 𝐴) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩) = (((𝐶 ↾s 𝐴) ↾ (V ∖ {(Hom ‘ndx)})) ∪ {⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩}))
4	1, 2, 3	sylancr 587	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ↾s 𝐴) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩) = (((𝐶 ↾s 𝐴) ↾ (V ∖ {(Hom ‘ndx)})) ∪ {⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩}))
5		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ↾s 𝐴) = (𝐶 ↾s 𝐴)
6		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
7		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (Base‘ndx) = (Base‘ndx)
8		estrres.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩})
9		tpex 7679	. . . . . 6 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩} ∈ V
10	8, 9	eqeltrdi 2839	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ V)
11		fvex 6835	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘ndx) ∈ V
12		fvex 6835	. . . . . . . . 9 ⊢ (Hom ‘ndx) ∈ V
13		fvex 6835	. . . . . . . . 9 ⊢ (comp‘ndx) ∈ V
14	11, 12, 13	3pm3.2i 1340	. . . . . . . 8 ⊢ ((Base‘ndx) ∈ V ∧ (Hom ‘ndx) ∈ V ∧ (comp‘ndx) ∈ V)
15	14	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((Base‘ndx) ∈ V ∧ (Hom ‘ndx) ∈ V ∧ (comp‘ndx) ∈ V))
16		estrres.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
17		estrres.h	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑋)
18		estrres.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → · ∈ 𝑌)
19		slotsbhcdif 17319	. . . . . . . 8 ⊢ ((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx))
20	19	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx)))
21		funtpg 6536	. . . . . . 7 ⊢ ((((Base‘ndx) ∈ V ∧ (Hom ‘ndx) ∈ V ∧ (comp‘ndx) ∈ V) ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐻 ∈ 𝑋 ∧ · ∈ 𝑌) ∧ ((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx))) → Fun {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩})
22	15, 16, 17, 18, 20, 21	syl131anc 1385	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Fun {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩})
23	8	funeqd 6503	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Fun 𝐶 ↔ Fun {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩}))
24	22, 23	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐶)
25	8, 16, 17, 18	estrreslem2 18044	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘ndx) ∈ dom 𝐶)
26		estrres.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
27	8, 16	estrreslem1 18043	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐶))
28	26, 27	sseqtrd 3966	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (Base‘𝐶))
29	5, 6, 7, 10, 24, 25, 28	ressval3d 17157	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ↾s 𝐴) = (𝐶 sSet ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩))
30	29	reseq1d 5926	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ↾s 𝐴) ↾ (V ∖ {(Hom ‘ndx)})) = ((𝐶 sSet ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩) ↾ (V ∖ {(Hom ‘ndx)})))
31	30	uneq1d 4114	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 ↾s 𝐴) ↾ (V ∖ {(Hom ‘ndx)})) ∪ {⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩}) = (((𝐶 sSet ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩) ↾ (V ∖ {(Hom ‘ndx)})) ∪ {⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩}))
32	16, 26	ssexd 5260	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
33		setsval 17078	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐶 sSet ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩) = ((𝐶 ↾ (V ∖ {(Base‘ndx)})) ∪ {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩}))
34	10, 32, 33	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 sSet ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩) = ((𝐶 ↾ (V ∖ {(Base‘ndx)})) ∪ {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩}))
35	34	reseq1d 5926	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 sSet ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩) ↾ (V ∖ {(Hom ‘ndx)})) = (((𝐶 ↾ (V ∖ {(Base‘ndx)})) ∪ {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩}) ↾ (V ∖ {(Hom ‘ndx)})))
36		fvexd 6837	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Hom ‘ndx) ∈ V)
37		fvexd 6837	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (comp‘ndx) ∈ V)
38	17	elexd 3460	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ V)
39	18	elexd 3460	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → · ∈ V)
40		simp1 1136	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx)) → (Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx))
41	40	necomd 2983	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx)) → (Hom ‘ndx) ≠ (Base‘ndx))
42	19, 41	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Hom ‘ndx) ≠ (Base‘ndx))
43		simp2 1137	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx)) → (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx))
44	43	necomd 2983	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx)) → (comp‘ndx) ≠ (Base‘ndx))
45	19, 44	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (comp‘ndx) ≠ (Base‘ndx))
46	8, 36, 37, 38, 39, 42, 45	tpres 7135	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ↾ (V ∖ {(Base‘ndx)})) = {⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩})
47	46	uneq1d 4114	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ↾ (V ∖ {(Base‘ndx)})) ∪ {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩}) = ({⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩}))
48		df-tp 4578	. . . . . . 7 ⊢ {⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩, ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩} = ({⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩})
49	47, 48	eqtr4di 2784	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ↾ (V ∖ {(Base‘ndx)})) ∪ {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩}) = {⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩, ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩})
50		fvexd 6837	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘ndx) ∈ V)
51		simp3 1138	. . . . . . . 8 ⊢ (((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx)) → (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx))
52	51	necomd 2983	. . . . . . 7 ⊢ (((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx)) → (comp‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx))
53	19, 52	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (comp‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx))
54	19, 40	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx))
55	49, 37, 50, 39, 32, 53, 54	tpres 7135	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 ↾ (V ∖ {(Base‘ndx)})) ∪ {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩}) ↾ (V ∖ {(Hom ‘ndx)})) = {⟨(comp‘ndx), · ⟩, ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩})
56	35, 55	eqtrd 2766	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 sSet ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩) ↾ (V ∖ {(Hom ‘ndx)})) = {⟨(comp‘ndx), · ⟩, ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩})
57	56	uneq1d 4114	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 sSet ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩) ↾ (V ∖ {(Hom ‘ndx)})) ∪ {⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩}) = ({⟨(comp‘ndx), · ⟩, ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩} ∪ {⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩}))
58		df-tp 4578	. . . 4 ⊢ {⟨(comp‘ndx), · ⟩, ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩} = ({⟨(comp‘ndx), · ⟩, ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩} ∪ {⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩})
59		tprot 4699	. . . 4 ⊢ {⟨(comp‘ndx), · ⟩, ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩}
60	58, 59	eqtr3i 2756	. . 3 ⊢ ({⟨(comp‘ndx), · ⟩, ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩} ∪ {⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩}) = {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩}
61	57, 60	eqtrdi 2782	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 sSet ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩) ↾ (V ∖ {(Hom ‘ndx)})) ∪ {⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩}) = {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩})
62	4, 31, 61	3eqtrd 2770	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ↾s 𝐴) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩) = {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐺⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  Vcvv 3436   ∖ cdif 3894   ∪ cun 3895   ⊆ wss 3897  {csn 4573  {cpr 4575  {ctp 4577  ⟨cop 4579   ↾ cres 5616  Fun wfun 6475  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   sSet csts 17074  ndxcnx 17104  Basecbs 17120   ↾_s cress 17141  Hom chom 17172  compcco 17173

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-hom 17185  df-cco 17186

This theorem is referenced by:  dfrngc2  20543  dfringc2  20572  rngcresringcat  20584