Theorem extssr 38465

Description: Property of subset relation, see also extid 38266, extep 38239 and the comment of df-ssr 38454. (Contributed by Peter Mazsa, 10-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
extssr	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ([𝐴]◡ S = [𝐵]◡ S ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem extssr

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brssr 38457	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 S 𝐴 ↔ 𝑥 ⊆ 𝐴))
2		brssr 38457	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → (𝑥 S 𝐵 ↔ 𝑥 ⊆ 𝐵))
3	1, 2	bi2bian9 639	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((𝑥 S 𝐴 ↔ 𝑥 S 𝐵) ↔ (𝑥 ⊆ 𝐴 ↔ 𝑥 ⊆ 𝐵)))
4	3	albidv 1919	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (∀𝑥(𝑥 S 𝐴 ↔ 𝑥 S 𝐵) ↔ ∀𝑥(𝑥 ⊆ 𝐴 ↔ 𝑥 ⊆ 𝐵)))
5		relssr 38456	. . 3 ⊢ Rel S
6		releccnveq 38214	. . 3 ⊢ ((Rel S ∧ Rel S ) → ([𝐴]◡ S = [𝐵]◡ S ↔ ∀𝑥(𝑥 S 𝐴 ↔ 𝑥 S 𝐵)))
7	5, 5, 6	mp2an 691	. 2 ⊢ ([𝐴]◡ S = [𝐵]◡ S ↔ ∀𝑥(𝑥 S 𝐴 ↔ 𝑥 S 𝐵))
8		ssext 5474	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑥(𝑥 ⊆ 𝐴 ↔ 𝑥 ⊆ 𝐵))
9	4, 7, 8	3bitr4g 314	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ([𝐴]◡ S = [𝐵]◡ S ↔ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1535   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3976   class class class wbr 5166  ^◡ccnv 5699  Rel wrel 5705  [cec 8761   S cssr 38138

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-br 5167  df-opab 5229  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-ec 8765  df-ssr 38454

This theorem is referenced by: (None)