Theorem extssr 39345

Description: Property of subset relation, see also extid 39072, extep 39045 and the comment of df-ssr 39334. (Contributed by Peter Mazsa, 10-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
extssr	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ([𝐴]◡ S = [𝐵]◡ S ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem extssr

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brssr 39337	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 S 𝐴 ↔ 𝑥 ⊆ 𝐴))
2		brssr 39337	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → (𝑥 S 𝐵 ↔ 𝑥 ⊆ 𝐵))
3	1, 2	bi2bian9 652	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((𝑥 S 𝐴 ↔ 𝑥 S 𝐵) ↔ (𝑥 ⊆ 𝐴 ↔ 𝑥 ⊆ 𝐵)))
4	3	albidv 1953	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (∀𝑥(𝑥 S 𝐴 ↔ 𝑥 S 𝐵) ↔ ∀𝑥(𝑥 ⊆ 𝐴 ↔ 𝑥 ⊆ 𝐵)))
5		relssr 39336	. . 3 ⊢ Rel S
6		releccnveq 39017	. . 3 ⊢ ((Rel S ∧ Rel S ) → ([𝐴]◡ S = [𝐵]◡ S ↔ ∀𝑥(𝑥 S 𝐴 ↔ 𝑥 S 𝐵)))
7	5, 5, 6	mp2an 705	. 2 ⊢ ([𝐴]◡ S = [𝐵]◡ S ↔ ∀𝑥(𝑥 S 𝐴 ↔ 𝑥 S 𝐵))
8		ssext 5433	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑥(𝑥 ⊆ 𝐴 ↔ 𝑥 ⊆ 𝐵))
9	4, 7, 8	3bitr4g 317	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ([𝐴]◡ S = [𝐵]◡ S ↔ 𝐴 = 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401  ∀wal 1568   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3902   class class class wbr 5107  ^◡ccnv 5658  Rel wrel 5664  [cec 8698   S cssr 38942

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-pr 5402

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-br 5108  df-opab 5172  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-ec 8702  df-ssr 39334

This theorem is used by: (None)