Theorem extssr 37184

Description: Property of subset relation, see also extid 36984, extep 36956 and the comment of df-ssr 37173. (Contributed by Peter Mazsa, 10-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
extssr	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ([𝐴]◡ S = [𝐵]◡ S ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem extssr

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brssr 37176	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 S 𝐴 ↔ 𝑥 ⊆ 𝐴))
2		brssr 37176	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → (𝑥 S 𝐵 ↔ 𝑥 ⊆ 𝐵))
3	1, 2	bi2bian9 639	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((𝑥 S 𝐴 ↔ 𝑥 S 𝐵) ↔ (𝑥 ⊆ 𝐴 ↔ 𝑥 ⊆ 𝐵)))
4	3	albidv 1923	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (∀𝑥(𝑥 S 𝐴 ↔ 𝑥 S 𝐵) ↔ ∀𝑥(𝑥 ⊆ 𝐴 ↔ 𝑥 ⊆ 𝐵)))
5		relssr 37175	. . 3 ⊢ Rel S
6		releccnveq 36931	. . 3 ⊢ ((Rel S ∧ Rel S ) → ([𝐴]◡ S = [𝐵]◡ S ↔ ∀𝑥(𝑥 S 𝐴 ↔ 𝑥 S 𝐵)))
7	5, 5, 6	mp2an 690	. 2 ⊢ ([𝐴]◡ S = [𝐵]◡ S ↔ ∀𝑥(𝑥 S 𝐴 ↔ 𝑥 S 𝐵))
8		ssext 5447	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑥(𝑥 ⊆ 𝐴 ↔ 𝑥 ⊆ 𝐵))
9	4, 7, 8	3bitr4g 313	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ([𝐴]◡ S = [𝐵]◡ S ↔ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396  ∀wal 1539   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3944   class class class wbr 5141  ^◡ccnv 5668  Rel wrel 5674  [cec 8684   S cssr 36851

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-br 5142  df-opab 5204  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-ec 8688  df-ssr 37173

This theorem is referenced by: (None)