MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1resf1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1resf1 6748
Description: The restriction of an injective function is injective. (Contributed by AV, 28-Jun-2022.)
Assertion
Ref Expression
f1resf1 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐶𝐴 ∧ (𝐹𝐶):𝐶𝐷) → (𝐹𝐶):𝐶1-1𝐷)

Proof of Theorem f1resf1
StepHypRef Expression
1 f1ssres 6747 . . 3 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐶𝐴) → (𝐹𝐶):𝐶1-1𝐵)
213adant3 1133 . 2 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐶𝐴 ∧ (𝐹𝐶):𝐶𝐷) → (𝐹𝐶):𝐶1-1𝐵)
3 frn 6676 . . 3 ((𝐹𝐶):𝐶𝐷 → ran (𝐹𝐶) ⊆ 𝐷)
433ad2ant3 1136 . 2 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐶𝐴 ∧ (𝐹𝐶):𝐶𝐷) → ran (𝐹𝐶) ⊆ 𝐷)
5 f1ssr 6746 . 2 (((𝐹𝐶):𝐶1-1𝐵 ∧ ran (𝐹𝐶) ⊆ 𝐷) → (𝐹𝐶):𝐶1-1𝐷)
62, 4, 5syl2anc 585 1 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐶𝐴 ∧ (𝐹𝐶):𝐶𝐷) → (𝐹𝐶):𝐶1-1𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1088  wss 3911  ran crn 5635  cres 5636  wf 6493  1-1wf1 6494
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3409  df-v 3448  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-br 5107  df-opab 5169  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502
This theorem is referenced by:  inlresf1  9852  inrresf1  9854  pfxf1  31801
  Copyright terms: Public domain W3C validator