MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1resf1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1resf1 6559
Description: The restriction of an injective function is injective. (Contributed by AV, 28-Jun-2022.)
Assertion
Ref Expression
f1resf1 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐶𝐴 ∧ (𝐹𝐶):𝐶𝐷) → (𝐹𝐶):𝐶1-1𝐷)

Proof of Theorem f1resf1
StepHypRef Expression
1 f1ssres 6558 . . 3 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐶𝐴) → (𝐹𝐶):𝐶1-1𝐵)
213adant3 1128 . 2 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐶𝐴 ∧ (𝐹𝐶):𝐶𝐷) → (𝐹𝐶):𝐶1-1𝐵)
3 frn 6496 . . 3 ((𝐹𝐶):𝐶𝐷 → ran (𝐹𝐶) ⊆ 𝐷)
433ad2ant3 1131 . 2 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐶𝐴 ∧ (𝐹𝐶):𝐶𝐷) → ran (𝐹𝐶) ⊆ 𝐷)
5 f1ssr 6557 . 2 (((𝐹𝐶):𝐶1-1𝐵 ∧ ran (𝐹𝐶) ⊆ 𝐷) → (𝐹𝐶):𝐶1-1𝐷)
62, 4, 5syl2anc 586 1 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐶𝐴 ∧ (𝐹𝐶):𝐶𝐷) → (𝐹𝐶):𝐶1-1𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1083  wss 3913  ran crn 5532  cres 5533  wf 6327  1-1wf1 6328
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pr 5306
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ral 3130  df-rex 3131  df-rab 3134  df-v 3475  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4270  df-if 4444  df-sn 4544  df-pr 4546  df-op 4550  df-br 5043  df-opab 5105  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336
This theorem is referenced by:  inlresf1  9322  inrresf1  9324  pfxf1  30605
  Copyright terms: Public domain W3C validator