Theorem pfxf1 33020

Description: Condition for a prefix to be injective. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Dec-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
pfxf1.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
pfxf1.2	⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝑆)
pfxf1.3	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)))

Assertion

Ref	Expression
pfxf1	⊢ (𝜑 → (𝑊 prefix 𝐿):dom (𝑊 prefix 𝐿)–1-1→𝑆)

Proof of Theorem pfxf1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pfxf1.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝑆)
2		pfxf1.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
3		elfzuz3 13469	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘𝐿))
4		fzoss2 13636	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘𝐿) → (0..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
5	2, 3, 4	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
6		pfxf1.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
7		wrddm 14477	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
8	6, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
9	5, 8	sseqtrrd 3960	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0..^𝐿) ⊆ dom 𝑊)
10		wrdf 14474	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)
11	6, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)
12	11, 5	fssresd 6702	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ↾ (0..^𝐿)):(0..^𝐿)⟶𝑆)
13		f1resf1 6739	. . 3 ⊢ ((𝑊:dom 𝑊–1-1→𝑆 ∧ (0..^𝐿) ⊆ dom 𝑊 ∧ (𝑊 ↾ (0..^𝐿)):(0..^𝐿)⟶𝑆) → (𝑊 ↾ (0..^𝐿)):(0..^𝐿)–1-1→𝑆)
14	1, 9, 12, 13	syl3anc 1374	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ↾ (0..^𝐿)):(0..^𝐿)–1-1→𝑆)
15		pfxres 14636	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 prefix 𝐿) = (𝑊 ↾ (0..^𝐿)))
16	6, 2, 15	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑊 prefix 𝐿) = (𝑊 ↾ (0..^𝐿)))
17		pfxfn 14638	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 prefix 𝐿) Fn (0..^𝐿))
18	6, 2, 17	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑊 prefix 𝐿) Fn (0..^𝐿))
19	18	fndmd 6598	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (𝑊 prefix 𝐿) = (0..^𝐿))
20		eqidd 2738	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = 𝑆)
21	16, 19, 20	f1eq123d 6767	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 prefix 𝐿):dom (𝑊 prefix 𝐿)–1-1→𝑆 ↔ (𝑊 ↾ (0..^𝐿)):(0..^𝐿)–1-1→𝑆))
22	14, 21	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝑊 prefix 𝐿):dom (𝑊 prefix 𝐿)–1-1→𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3890  dom cdm 5625   ↾ cres 5627   Fn wfn 6488  ⟶wf 6489  –1-1→wf1 6490  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  0cc0 11032  ℤ_≥cuz 12782  ...cfz 13455  ..^cfzo 13602  ♯chash 14286  Word cword 14469   prefix cpfx 14627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-card 9857  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-fz 13456  df-fzo 13603  df-hash 14287  df-word 14470  df-substr 14598  df-pfx 14628

This theorem is referenced by:  cycpmco2f1  33203