Theorem pfxf1 33389

Description: Condition for a prefix to be injective. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Dec-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
pfxf1.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
pfxf1.2	⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝑆)
pfxf1.3	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)))

Assertion

Ref	Expression
pfxf1	⊢ (𝜑 → (𝑊 prefix 𝐿):dom (𝑊 prefix 𝐿)–1-1→𝑆)

Proof of Theorem pfxf1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pfxf1.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝑆)
2		pfxf1.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
3		elfzuz3 13576	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘𝐿))
4		fzoss2 13744	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘𝐿) → (0..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
5	2, 3, 4	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
6		pfxf1.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
7		wrddm 14587	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
8	6, 7	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
9	5, 8	sseqtrrd 3968	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0..^𝐿) ⊆ dom 𝑊)
10		wrdf 14584	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)
11	6, 10	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)
12	11, 5	fssresd 6743	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ↾ (0..^𝐿)):(0..^𝐿)⟶𝑆)
13		f1resf1 6782	. . 3 ⊢ ((𝑊:dom 𝑊–1-1→𝑆 ∧ (0..^𝐿) ⊆ dom 𝑊 ∧ (𝑊 ↾ (0..^𝐿)):(0..^𝐿)⟶𝑆) → (𝑊 ↾ (0..^𝐿)):(0..^𝐿)–1-1→𝑆)
14	1, 9, 12, 13	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ↾ (0..^𝐿)):(0..^𝐿)–1-1→𝑆)
15		pfxres 14750	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 prefix 𝐿) = (𝑊 ↾ (0..^𝐿)))
16	6, 2, 15	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑊 prefix 𝐿) = (𝑊 ↾ (0..^𝐿)))
17		pfxfn 14752	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 prefix 𝐿) Fn (0..^𝐿))
18	6, 2, 17	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑊 prefix 𝐿) Fn (0..^𝐿))
19	18	fndmd 6638	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (𝑊 prefix 𝐿) = (0..^𝐿))
20		eqidd 2761	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = 𝑆)
21	16, 19, 20	f1eq123d 6810	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 prefix 𝐿):dom (𝑊 prefix 𝐿)–1-1→𝑆 ↔ (𝑊 ↾ (0..^𝐿)):(0..^𝐿)–1-1→𝑆))
22	14, 21	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝑊 prefix 𝐿):dom (𝑊 prefix 𝐿)–1-1→𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  dom cdm 5655   ↾ cres 5657   Fn wfn 6528  ⟶wf 6529  –1-1→wf1 6530  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  0cc0 11125  ℤ_≥cuz 12888  ...cfz 13562  ..^cfzo 13710  ♯chash 14395  Word cword 14579   prefix cpfx 14741

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-card 9945  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-n0 12530  df-z 12617  df-uz 12889  df-fz 13563  df-fzo 13711  df-hash 14396  df-word 14580  df-substr 14710  df-pfx 14742

This theorem is used by:  cycpmco2f1  33565