Theorem pfxf1 32923

Description: Condition for a prefix to be injective. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Dec-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
pfxf1.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
pfxf1.2	⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝑆)
pfxf1.3	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)))

Assertion

Ref	Expression
pfxf1	⊢ (𝜑 → (𝑊 prefix 𝐿):dom (𝑊 prefix 𝐿)–1-1→𝑆)

Proof of Theorem pfxf1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pfxf1.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝑆)
2		pfxf1.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
3		elfzuz3 13421	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘𝐿))
4		fzoss2 13587	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘𝐿) → (0..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
5	2, 3, 4	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
6		pfxf1.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
7		wrddm 14428	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
8	6, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
9	5, 8	sseqtrrd 3967	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0..^𝐿) ⊆ dom 𝑊)
10		wrdf 14425	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)
11	6, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)
12	11, 5	fssresd 6690	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ↾ (0..^𝐿)):(0..^𝐿)⟶𝑆)
13		f1resf1 6727	. . 3 ⊢ ((𝑊:dom 𝑊–1-1→𝑆 ∧ (0..^𝐿) ⊆ dom 𝑊 ∧ (𝑊 ↾ (0..^𝐿)):(0..^𝐿)⟶𝑆) → (𝑊 ↾ (0..^𝐿)):(0..^𝐿)–1-1→𝑆)
14	1, 9, 12, 13	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ↾ (0..^𝐿)):(0..^𝐿)–1-1→𝑆)
15		pfxres 14587	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 prefix 𝐿) = (𝑊 ↾ (0..^𝐿)))
16	6, 2, 15	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑊 prefix 𝐿) = (𝑊 ↾ (0..^𝐿)))
17		pfxfn 14589	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 prefix 𝐿) Fn (0..^𝐿))
18	6, 2, 17	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑊 prefix 𝐿) Fn (0..^𝐿))
19	18	fndmd 6586	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (𝑊 prefix 𝐿) = (0..^𝐿))
20		eqidd 2732	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = 𝑆)
21	16, 19, 20	f1eq123d 6755	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 prefix 𝐿):dom (𝑊 prefix 𝐿)–1-1→𝑆 ↔ (𝑊 ↾ (0..^𝐿)):(0..^𝐿)–1-1→𝑆))
22	14, 21	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝑊 prefix 𝐿):dom (𝑊 prefix 𝐿)–1-1→𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3897  dom cdm 5614   ↾ cres 5616   Fn wfn 6476  ⟶wf 6477  –1-1→wf1 6478  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  0cc0 11006  ℤ_≥cuz 12732  ...cfz 13407  ..^cfzo 13554  ♯chash 14237  Word cword 14420   prefix cpfx 14578

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-hash 14238  df-word 14421  df-substr 14549  df-pfx 14579

This theorem is referenced by:  cycpmco2f1  33093