Theorem pfxf1 32869

Description: Condition for a prefix to be injective. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Dec-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
pfxf1.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
pfxf1.2	⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝑆)
pfxf1.3	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)))

Assertion

Ref	Expression
pfxf1	⊢ (𝜑 → (𝑊 prefix 𝐿):dom (𝑊 prefix 𝐿)–1-1→𝑆)

Proof of Theorem pfxf1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pfxf1.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝑆)
2		pfxf1.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
3		elfzuz3 13488	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘𝐿))
4		fzoss2 13654	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘𝐿) → (0..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
5	2, 3, 4	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
6		pfxf1.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
7		wrddm 14492	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
8	6, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
9	5, 8	sseqtrrd 3986	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0..^𝐿) ⊆ dom 𝑊)
10		wrdf 14489	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)
11	6, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)
12	11, 5	fssresd 6729	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ↾ (0..^𝐿)):(0..^𝐿)⟶𝑆)
13		f1resf1 6766	. . 3 ⊢ ((𝑊:dom 𝑊–1-1→𝑆 ∧ (0..^𝐿) ⊆ dom 𝑊 ∧ (𝑊 ↾ (0..^𝐿)):(0..^𝐿)⟶𝑆) → (𝑊 ↾ (0..^𝐿)):(0..^𝐿)–1-1→𝑆)
14	1, 9, 12, 13	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ↾ (0..^𝐿)):(0..^𝐿)–1-1→𝑆)
15		pfxres 14650	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 prefix 𝐿) = (𝑊 ↾ (0..^𝐿)))
16	6, 2, 15	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑊 prefix 𝐿) = (𝑊 ↾ (0..^𝐿)))
17		pfxfn 14652	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 prefix 𝐿) Fn (0..^𝐿))
18	6, 2, 17	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑊 prefix 𝐿) Fn (0..^𝐿))
19	18	fndmd 6625	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (𝑊 prefix 𝐿) = (0..^𝐿))
20		eqidd 2731	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = 𝑆)
21	16, 19, 20	f1eq123d 6794	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 prefix 𝐿):dom (𝑊 prefix 𝐿)–1-1→𝑆 ↔ (𝑊 ↾ (0..^𝐿)):(0..^𝐿)–1-1→𝑆))
22	14, 21	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝑊 prefix 𝐿):dom (𝑊 prefix 𝐿)–1-1→𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3916  dom cdm 5640   ↾ cres 5642   Fn wfn 6508  ⟶wf 6509  –1-1→wf1 6510  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389  0cc0 11074  ℤ_≥cuz 12799  ...cfz 13474  ..^cfzo 13621  ♯chash 14301  Word cword 14484   prefix cpfx 14641

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4913  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-1o 8436  df-er 8673  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-card 9898  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12188  df-n0 12449  df-z 12536  df-uz 12800  df-fz 13475  df-fzo 13622  df-hash 14302  df-word 14485  df-substr 14612  df-pfx 14642

This theorem is referenced by:  cycpmco2f1  33087